Về các tính chất của hội tụ thô

Trờng đại học vinh khoa toán Nguyễn Văn Đức Về các tính chất của hội tụ thô Khoá luận tốt nghiệp đại học Vinh - 2003 Trờng đại học vinh khoa toán Về các tính chất của hội tụ thô Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành học: Cử nhân s phạm Toán Chuyên ngành: Giải tích Cán bộ hớng dẫn khoá luận: TS. Đinh huy hoàng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Đức Lớp 40A 2 - Toán Vinh - 2003 Mục lục Trang Lời mở đầu 3 Chơng 1. Hội tụ thô. 5 1.1. Các định nghĩa. 5 1.2. Các tính chất của tập điểm r - hội tụ. 5 1.3. Mối quan hệ giữa các khái niệm hội tụ. 8 1.4. Sự phụ thuộc của LIM r x i vào r. 13 1.5 Mối quan hệ giữa độ tụ và độ Cauchy. 15 Chơng 2. Liên tục thô và mối quan hệ với các khái niệm liên tục khác. 17 Chơng 3. Sự mở rộng khái niệm hội tụ thô trong không gian R n . 24 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời mở đầu Khái niệm hội tụ đã đợc trình bày trong chơng trình giải tích cổ điển, trong không gian metric, trong không gian tôpô, . Chúng ta có thể nói rằng khái niệm hội tụ là một khái niệm cơ bản quan trọng và có nhiều ứng dụng trong giải tích. Đầu tháng 9 năm 2002 vừa qua, trong báo cáo tại Hội nghị Toán học toàn quốc tổ chức tại Huế, với nhan đề Mấy ý tởng của giải tích thô, GS. Hoàng Xuân Phú đã đa ra khái niệm hội tụ thô. Khái niệm này là sự tổng quát của khái niệm hội tụ theo nghĩa thông thờng. Giáo s cũng đã đa ra khái niệm liên tục thô và đề xuất nhiều kết quả rộng hơn hay thậm chí không có trong giải tích kinh điển, tuy nhiên Giáo s không đa ra chứng minh các tính chất này. Để tìm hiểu sâu hơn khái niệm hội tụ thô một vấn đề đặt ra là chứng minh các kết quả mà Giáo s đã đề xuất, tìm kiếm xem có tính chất nào khác nữa không? Liệu khái niệm hội tụ thô, liên tục thô có những mối liên hệ gì với các khái niệm liên tục khác. Và một vấn đề cuối cùng đợc đặt ra là liệu có mở rộng khái niệm hội tụ thô trong không gian 3 n đợc không? Nếu đợc thì mở rộng nh thế nào và khi đó các tính chất mà Giáo s đã đề xuất sẽ biến đổi nh thế nào? Với những suy nghĩ nh vậy, khoá luận tốt nghiệp này đã đợc chia làm 3 chơng: Chơng 1. Hội tụ thô Nội dung chủ yếu của chơng này là chứng minh các tính chất về hội tụ thô đã nêu trong [1] nhng cha có chứng minh. Mặt khác chúng tôi cũng đa ra và chứng minh một số mệnh đề mới nh các mệnh đề 1.2.4, 1.2.5, 1.3.2, 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8 góp phần làm phong phú thêm các kết quả về hội tụ thô. Chơng 2. Liên tục thô và mối quan hệ với các khái niệm liên tục khác. Nội dung chủ yếu của chơng này là tìm mối quan hệ giữa các khái niệm liên tục thô, chỉ ra các hàm thoả mãn khái niệm này. Cụ thể tác giả đã đề xuất và chứng minh mệnh đề 2.6 và cuối cùng là tìm hiểu mối quan hệ giữa khái niệm hội tụ thô, tập điểm r - hội tụ với khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Điều này đợc thể hiện qua việc tác giả đã đề xuất và chứng minh các mệnh đề 2.8, 2.9, 2.10, 2.11. Chơng 3. Sự mở rộng khái niệm hội tụ thô trong không gian 3 n . Trong chơng này, tác giả đa ra khái niệm hội tụ theo một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, chứng minh đợc khái niệm hội tụ thô trong không gian 3 n chỉ là một trờng hợp đặc biệt của khái niệm này. Tác giả cũng đã đề xuất và chứng minh một số tính chất của khái niệm vừa đa ra, chỉ ra rằng một số tính chất đã nêu ở chơng 1 là những trờng hợp riêng của các tính chất này. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS. Đinh Huy Hoàng. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã dành cho tác giả nhiều thời gian quý báu, tận tình chỉ bảo cho tác giả trong suốt quá trình làm khoá luận. Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành khoá luận này. Cuối cùng, tác giả mong muốn nhận đợc sự góp ý chân tình của các thầy giáo, cô giáo và các bạn. Vinh ngày 20 tháng 4 năm 2003 Tác giả Chơng 1 Hội tụ thô Khái niệm hội tụ thô đã đợc GS. Hoàng Xuân Phú trình bày trong bài Mấy ý tởng của Giải tích thô tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6 tháng 9 năm 2002. Trong chơng này, một mặt chúng tôi chứng minh một số mệnh đề do GS. Hoàng Xuân Phú giới thiệu nhng không có chứng minh. Mặt khác chúng tôi cũng đa ra một số mệnh đề mới nh các mệnh đề 1.2.4, 1.2.5, 1.3.2, 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8 góp phần làm phong phú thêm các kết quả về hội tụ thô. 1.1. Các định nghĩa Cho (X, ||.||) là không gian định chuẩn, r và là 2 số thực không âm. +) Dãy (x i ) X gọi là r - hội tụ tới x * X và kí hiệu là x i r x * nếu với mọi > 0, tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||x i - x * || < r + . +) Với S X, tập LIM s, r x i := {x * S: x i r x * } gọi là tập điểm r- hội tụ thuộc S. +) LIM r x i := LIM X, r x i . +) Nếu LIM r x i thì ta nói (x i ) r- hội tụ và gọi r là một độ tụ của (x i ). +) diamS := sup x,y S ||x - y|| gọi là đờng kính của tập S với S X. 1.2. Các tính chất của tập điểm r - hội tụ Mệnh đề 1.2.1 Nếu LIM r x i thì diam LIM r x i 2r. Chứng minh. Với mọi x, y LIM r x i thì x i r x và x i r y. Do đó với mọi > 0 tồn tại 21 , ii sao cho i 1 i ||x i - x|| < r + i 2 i ||x i - y|| < r + Với i max( 21 , ii ) thì ||x i - x|| < r + và ||x i - y|| < r + suy ra ||x - y|| = ||x - x i + x i - y|| ||x - x i || + ||x i - y|| = ||x i - x|| + ||x i - y|| < (r + ) + (r + ) = 2r + 2 . Vậy ||x - y|| < 2r + 2 với mọi > 0, với mọi x,y LIM r x i . Cho 0 ta có ||x-y|| 2r với mọi x,y LIM r x i . Do đó i LIMyx x r , sup ||x - y|| 2r hay diamLIM r x i 2r. (đpcm) Mệnh đề 1.2. 2. LIM r x i là tập đóng và lồi. Chứng minh. Nếu LIM r x i = thì LIM r x i đóng và lồi. Bây giờ ta chứng minh cho trờng hợp LIM r x i . Giả sử X \ LIM r x i không mở. Khi đó tồn tại X \ LIM r x i sao cho với mọi > 0, tồn tại x * X \LIM r x i sao cho ||x * - || < 2 (1). Vì x * X \ LIM r x i nên x * LIM r x i . Do đó nên tồn tại i 0 sao cho ||x i - x * || < r + 2 với mọi i i 0 . (2) Từ (1) và (2) suy ra ||x i - || = ||x i - x * +x * - || ||x i - x * || + ||x * - || < r + với mọi i i 0 . Do đó LIM r x i , mâu thuẫn với X \ LIM r x i . Điều này chứng tỏ LIM r x i là tập đóng. Với mọi x,y LIM r x i , với mọi (0, 1), ta cần chứng minh x + (1- )y LIM r x i . Do x, y LIM r x i nên với mọi > 0, tồn tại 21 , ii sao cho ||x i - x|| < r + , với mọi i 1 i ||x i - y|| < r + , với mọi i 2 i . Đặt i = max{ 21 , ii }. Khi đó với mọi i i ta có ||x i - ( x + (1 - )y|| = || (x i - x) + (1 - )(x i - y)|| || (x i - x)|| + ||(1 - )(x i - y)|| = ||x i - x|| + (1 - )||x i - y|| < (r + ) + (1 - )(r + ) = r + Do đó x + (1 - )y LIM r x i . Vậy LIM r x i là đóng và lồi. Mệnh đề 1.2.3. Nếu ( i x ) là dãy con của (x i ) thì LIM r x i LIM r i x . Chứng minh. Nếu LIM r x i = thì ta có điều phải chứng minh. Nếu LIM r x i thì với mọi LIM r x i cần chứng minh LIM r i x . Do LIM r x i nên mọi > 0, tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||x i - || < r + . Từ ( i x ) (x i ) suy ra ( i x ) = ( k i x ). Khi đó i k k nên || k i x - || < r + , với mọi k i . Vậy LIM r k i x = LIM r i x . Mệnh đề 1.2. 4. Giả sử r 1 , r 2 0 (x i ) X, (y i ) X . Khi đó i r xLIM 1 + i r yLIM 2 )( 21 ii rr yxLIM + + . Chứng minh. Nếu i r xLIM 1 = hoặc i r yLIM 2 = thì i r xLIM 1 + i r yLIM 2 = nên ta có điều cần chứng minh. Xét trờng hợp i r xLIM 1 và i r yLIM 2 . Khi đó với mọi i r xLIM 1 , với mọi i r yLIM 2 ta cần chứng minh + )( 21 ii rr yxLIM + + . Từ i r xLIM 1 , i r yLIM 2 suy ra Với mọi > 0, tồn tại 21 , ii sao cho ||x i - || < r 1 + 2 với mọi i 1 i ||y i - || < r 2 + 2 với mọi i 2 i Đặt i = max{ 21 , ii }. Khi đó với mọi i i ta có |(x i + y i ) - ( + )|| = ||(x i - ) + (y i - )|| ||x i - || + ||y i - || < r 1 + 2 + r 2 + 2 = r 1 + r 2 + Do đó + )( 21 ii rr yxLIM + + . Mệnh đề 1.2.5. LIM r x i LIM | | r x i với mọi R. Chứng minh. Nếu LIM r x i = thì ta có điều phải chứng minh. Xét trờng hợp LIM r x i . Nếu = 0 thì LIM r x i = {0} và LIM | | r x i = LIM 0 x i = {0} (vì x i = 0 với mọi i * ). Nếu 0 thì với mọi LIM r x i ta chứng minh LIM | | r x i . Từ LIM r x i suy ra với mọi > 0, tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||x i - || < r + . Do đó với mọi > 0, tồn tại i sao cho với mọi i i ta có || x i - || = || (x i - )|| = | |.||x i - || < | |(r + ) = | |r + . Vậy LIM | | .r x i . Mệnh đề 1.2.6. Dãy (x i ) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại r 0 sao cho LIM r x i . Chứng minh. a) Giả sử (x i ) bị chặn khi đó tồn tại r 0 sao cho LIM r x i Vì (x i ) bị chặn nên tồn tại r 0 sao cho ||x i || r với mọi i . Do đó với mọi > 0 ta có ||x i - 0|| = ||x i || < r + với mọi i . Từ đó 0 LIM r x i hay LIM r x i . b) Tồn tại r 0 sao cho LIM r x i suy ra (x i ) bị chặn. Vì LIM r x i nên tồn tại LIM r x i . Khi đó với 0 > 0 tồn tại 0 i sao cho i 0 i ta có ||x i - || < r + 0 . Do đó ||x i || = ||x i - + || |x i - || + || || < r + 0 + || ||. Đặt M = max{||x 0 ||,||x 1 ||, .,|| 0 i x ||, r+ 0 +|| ||} thì ||x i || M với mọi i . Vậy (x i ) bị chặn. 1.3. Mối quan hệ giữa các khái niệm hội tụ Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ thô với sự hội tụ thông thờng. Mệnh đề 1.3.1. Giả sử r 0 và (x i ) X. Khi đó x i r x * khi và chỉ khi tồn tại (y i ) X sao cho y i x * và ||x i - y i || r với mọi i = 1, 2, 3, . Chứng minh. a) Giả sử tồn tại (y i ) X sao cho y i x * và ||x i - y i || r với mọi i = 1, 2, . Ta cần chứng minh x i r x * Thật vậy, do y i x * nên với mọi > 0, tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||y i - x * || < . Do đó ||x i - x * || = ||x i - y i + y i - x * || ||x i - y i || + ||y i - x * || < r + Vậy x i r x * . b) Giả sử x i r x * . Ta chứng minh tồn tại (y i ) X sao cho y i x * và ||x i - y i || r , với mọi i = 1, 2, . Thật vậy, xét dãy (y i ) X nh sau y i = > rxxxx xx r x rxxx ii i i i ** * ** )( nếu nếu (*) (**) với mọi i = 1, 2, . Khi đó ||x i - y i || r với mọi i = 1, 2, . vì +) Nếu y i tính theo công thức (*) thì ||x i - y i || = ||x i - x * || r +) Nếu y i tính theo công thức (**) thì ||x i - y i || = )( * * xx xx r i i = * * * * . xx xx r xx xx r i i i i = = r. Nếu y i tính theo công thức (*) thì ||y i - x * || = ||x i - x * || = 0 (1) Nếu y i tính theo công thức (**) thì từ x i r x * suy ra với mọi > 0 tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||x i - x * || < r + . Do đó ||y i - x * || = ** * )( xxx xx r x i i i = )(1 * * xx xx r i i = * * .1 xx xx r i i = * * 1 xx xx r i i = ||x i - x * || - r < , với mọi i i (2) Từ (1) và (2) ta có y i r x * . Mệnh đề 1.3.2. Cho r 1 r 2 0, (x i ) X. Khi đó x i 1 r x * khi và chỉ khi tồn tại (y i ) X sao cho y i 2 r x * và ||x i -y i || r 1 - r 2 với mọi i = 1, 2, . Chứng minh. a) Giả sử tồn tại (y i ) X sao cho y i 2 r x * và ||x i - y i || r 1 - r 2 với mọi i = 1, 2, . Ta chứng minh x i 1 r x * . Thật vậy, do y i 2 r x * nên với mọi > 0, tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||y i - x * || < r 2 + . Do đó ||x i - x * || = ||(x i - y i ) + (y i - x * )|| ||x i - y i || + ||y i - x * || < r 1 - r 2 + r 2 + = r 1 + với mọi i i Nh vậy x i 1 r x * . b) Giả sử x i 1 r x * , ta chứng minh tồn tại (y i ) X sao cho y i 2 r x * và ||y i - x i || r 1 - r 2 với mọi i = 1, 2, . Thật vậy, xét dãy (y i ) X xác định nh sau: y i = )( * * 21 * xx xx rr x x i i i nếu ||x i - x * || r 1 - r 2 (1) nếu ||x i - x * || > r 1 - r 2 (2) Khi đó ||y i - x i || r 1 - r 2 với mọi i = 1, 2, . vì Nếu y i tính theo công thức (1) thì ||y i - x i || = ||x i - x * || r 1 - r 2 Nếu y i tính theo công thức (2) thì ||x i - y i || = * * 21 * * 21 .)( xx xx rr xx xx rr i i i i = = r 1 - r 2 . Giả sử > 0. Nếu y i tính theo (1) thì ||y i - x * || = ||x * - x * || = 0 < r 2 + Nếu y i tính theo (2) thì từ x i 1 r x * suy ra tồn tại i sao cho với mọi i i ta có ||x i - x * || < r 1 + . Khi đó: