ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC ——————o0o—————— Võ Thành Luân Tiểu luận CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ LŨY ĐẲNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Cán bộ hướng dẫn GS.TS...
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC
——————o0o——————
Tiểu luận:
CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ LŨY
ĐẲNG
Chuyên Ngành: Đại số và Lý thuyết số
GS.TS Lê Văn Thuyết Võ Thành Luân
Thành phố Huế, tháng 5 năm 2014
Trang 2ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC
——————o0o——————
Võ Thành Luân
Tiểu luận
CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ LŨY ĐẲNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Cán bộ hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết
Huế tháng 5 năm 2014
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên xin gửi đến GS.TS Lê Văn Thuyết lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình học tập môn Cơ sở Đại số hiện đại và môn Lý thuyết Vành và Môđun và nhất là trong quá trình hoàn thành tiểu luận này
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của Trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế
Chân thành cảm ơn các bạn học viên Cao học khóa 22, đặc biệt là các bạn chuyên ngành Đại số
và lý thuyết số cũng như tất cả bạn bè của tôi đã luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi thực hiện tiểu luận này
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng tiểu luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để tiểu luận được hoàn chỉnh hơn
Huế, ngày 06 tháng 05 năm 2014
Học viên
Võ Thành Luân
Trang 4Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức liên quan 4
1.1 Iđêan và vành thương 4
1.2 Phần tử lũy đẳng 4
1.3 Môđun cực đại, môđun cực tiểu 5
1.4 Môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu 5
1.5 Môđun xạ ảnh 5
1.6 Môđun đơn, môđun nửa đơn 5
1.7 Vành địa phương, nửa địa phương 6
1.8 Radical Jacobson của một vành 6
Chương 2 Các tính chất của phần tử lũy đẳng 7
2.1 Các định nghĩa 7
2.2 Lũy đẳng nâng được modulo 8
2.3 Lũy đẳng địa phương 9
2.4 Mệnh đề bổ sung 9
2.5 Một số tính chất trên môđun xạ ảnh 10
Chương 3 Một số bài tập vận dụng 12
Bài 1 12
Bài 2 12
Bài 3 13
Bài 4 13
Trang 5LỜI MỞ ĐẦU
Một phần tử e của vành R có tính chất e2= e được gọi là lũy đẳng của vành R Trong vành giao hoán R 6= 0 có lũy đẳng e không tầm thường thì R phân tích thành tích trực tiếp của hai môđun
Re và R(1-e)
Trong vành không giao hoán các tính chất đó vẫn đúng nếu ta thay từ “lũy đẳng” bởi từ “lũy đẳng tâm” Thật vậy một vành khác (0) là không phân tích được khi và chỉ khi nó không có tâm lũy đẳng không tầm thường Để hiểu rỏ cấu trúc các vành đó rất quan trọng để nghiên cứu các lũy đẳng của họ
Việc nghiên cứu các tính chất của phần tử lũy đẳng trên vành tạo cơ sở cho việc tìm hiểu một
số cấu trúc của vành, trong đó có vành hoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh
Bố cục của Tiểu luận bao gồm 3 chương:
• Chương 1 Một số kiến thức liên quan Chương này trình bày một số kiến thức có liên quan, hầu hết các kiến thức đã được trình bày trong chương trình toán Cao học đặc biệt là trong môn học Lý thuyết vành và Môđun Một số phần còn lại nằm trong kiến thức đại số ở chương trình Toán Đại học
• Chương 2 Các tính chất của phần tử lũy đẳng Trong chương này, trình bày các tính chất của phần tử lũy đẳng trên vành, các tính chất về tính cực đại, cốt yếu, đối cốt yếu của các lớp môđun eR, Rf và các môđun xạ ảnh , nhằm chuẩn bị cho việc nghiên cứu các loại vành hoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh
• Chương 3 Một số bài tập vận dụng Chương này giới thiệu một vài bài tập liên quan đến các tính chất được trình bày trong Chương 2
Do thời gian thực hiện tiểu luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm tiểu luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tôi mong nhận được sự góp ý và những ý kiến từ phía thầy cô
và bạn đọc
Xin chân thành cảm ơn!
Trang 6Chương 1
Một số kiến thức liên quan
1.1 Iđêan và vành thương
Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành, I được gọi là iđêan trái (phải) của R nếu I là nhóm con của nhóm cộng R thỏa nãm điều kiện: Với mọi x ∈ R và k ∈ I ta có xk ∈ I(kx ∈ I)
Nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải thì được gọi là iđêan (hai phía) của R
Định nghĩa 1.1.2 Cho vành R, tập I ∈ R
Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho xn= 0
I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là nil iđêan
I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho In = 0, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là iđêan lũy linh
Định nghĩa 1.1.3 Cho vành R, tập I ∈ R
Nếu I là iđêan của R thì tập hợp R/I các lớp x + I cùng với hai phép toán:
• Phép cộng: (x + I) + (y + I) = x + y + I
• Phép nhân: (x + I).(y + I) = x.y + I
Là một vành
Định nghĩa 1.1.4 Vành R/I các lớp x + I được gọi là vành thương của vành R với iđêan I của nó
1.2 Phần tử lũy đẳng
Định nghĩa 1.2.1 Phần tử e ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e2= e.e = e
Nhận xét
Trang 7Cho R là vành bất kỳ ta luôn có.
• 0 và 1 là hai lũy đẳng của vành R và được gọi là lũy đẳng tầm thường
• Nếu e là lũy đẳng của R thì (1 − e) cũng là lũy đẳng của R, và được gọi là lũy đẳng bù với e
1.3 Môđun cực đại, môđun cực tiểu
Định nghĩa 1.3.1 Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu (minimal) của môđun M nếu như A 6= 0 và ∀B ≤ M [B < A ⇒ B = 0]
Định nghĩa 1.3.2 Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại (maximal) của môđun M nếu như A 6= M và ∀B ≤ M [A < B ⇒ B = M ]
1.4 Môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu
Định nghĩa 1.4.1 Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M, ký hiệu: K≤eM , trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L=0
Định nghĩa 1.4.2 Một môđun con K của M là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, ký hiệu: K M , trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M, K + L = M suy ra L=M
1.5 Môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1.5.1 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu δ : B → C, mỗi đồng cấu f : P → C, tồn tại đồng cấu σ : P → B sao cho f = δσ
1.6 Môđun đơn, môđun nửa đơn
Định nghĩa 1.6.1 R-môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M
Định nghĩa 1.6.2 R-môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M
Định lý 1.6.1 Đối với mỗi R-môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương:
(1) M là nửa đơn;
(2) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn;
(3) M là tổng của các môđun con đơn
Trang 81.7 Vành địa phương, nửa địa phương
Định nghĩa 1.7.1 Vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất một iđêan phải (trái) cực đại
Nhận xét:
Nếu R là vành địa phương thì ta luôn có các điều tương đương sau:
(1) Tập các phần tử của R không khả nghịch phải (trái) đóng đối với phép cộng
(2) J = {x ∈ R : xR 6= R} = {x ∈ R : Rx 6= R}
(3) R/J là một thể
(4) J=x ∈ R : x không khả nghịch
(5) Nếu x ∈ R thì hoặc x hoặc 1 − x là khả nghịch
Định nghĩa 1.7.2 Vành R được gọi là nữa địa phương nếu vành thương R/J(R) là (artin) nửa đơn
1.8 Radical Jacobson của một vành
Định nghĩa 1.8.1 Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan trái cực đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan phải cực đại của R) Ký hiệu: radR
Tính chất:
(1) Nếu R = (0), ta định nghĩa radR = (0)
(2) rad(R) là iđêan của R
(3) Mn(radR) = rad(Mn(R))
Trang 9Chương 2
Các tính chất của phần tử lũy đẳng
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1 Hai lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao với nhau nếu e.f=f.e=0 Định nghĩa 2.1.2 Nếu lũy đẳng e 6= 0 của vành R không phân tích được thành tổng của hai lũy đẳng khác 0 trực giao với nhau thì e được gọi là lũy đẳng nguyên thủy
Định nghĩa 2.1.3 Tập {e1, , en, } các lũy đẳng của vành R được gọi là trực giao nếu ei.ej = 0
∀i 6= j
Định nghĩa 2.1.4 Tập {e1, , en} các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của vành R được gọi là đầy
đủ nếu 1 = e1+ + en
Nhận xét
Cho e là phần tử lũy đẳng của R khi đó các điều sau là tương đương
(1) e là lũy đẳng nguyên thủy
(2) Vành eRe không phân tích được
(3) eR không phân tích được như một R-môđun phải (trái)
Chứng minh
Ta luôn có eRe ∼= End(eR), nên eRe không phân tích được ⇔ với vành End(eR) không phân tích được ⇔ với R-môđun phải (trái) eR không phân tích được nên ta có (2) ⇔ (3)
Ta chỉ cần chứng minh (1) ⇔ (2)
(1) ⇒ (2) Giả sử eRe có một lũy đẳng không tầm thường là a (a 6= e, a 6= 0) thì với cách đặt
b = e − a ta có b2= b.b = (e − a)(e − a) = e2− e.a − a.e + a2= e − e.ere − ere.e + a = e − a = b nên
b cũng là lũy đẳng của eRe nên ta có phân tích e = a + b (Vô lý)
(2) ⇒ (1) Ta có eRe = {r ∈ R : er = r = re} khi đó vành eRe có đơn vị là e
Giả sử e là phần tử lũy đẳng và e = a + b với a, b là hai phần tử lũy đẳng trực giao mà đồng thời
Trang 10khác 0 thì lúc đó ta có.
e.a = (a + b).a = a2+ b.a = a2= a
a.e = a.(a + b) = a2+ a.b = a2= a
Suy ra a ∈ eRe (Mâu thuẩn với (2))
2.2 Lũy đẳng nâng được modulo
Định nghĩa 2.2.1 Cho I là iđêan của vành R khi đó, nếu mọi lũy đẳng
_
f của vành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành R sao cho e − f ∈ I thì ta gọi các lũy đẳng nâng được modulo I( Mỗi lũy đẳng
_
f của vành thương R/I nâng được đến một lũy đẳng e của vành R)
Nhận xét
(1) Với lũy đẳng
_
f của vành R/I thì nói chung f chưa hẵn là lũy đẳng của R
(2) e là tạo ảnh của
_
f trong phép chiếu R → R/I(e 7→_e =
_
f )
Mệnh đề 2.2.1 Nếu Iđêan I của vành R là linh thì mọi lũy đẳng nâng được modulo I
Chứng minh
Gọi r là một lũy đẳng của R/I, ta có r2 = (r)2 = r nên r − r2 ∈ I, và cũng do đó ta có
_
r =
_
r2=
_
r3=
_
r4= =
_
rn= Mặt khác do I là linh nên tồn tại n ∈ N sao cho (r − r2)n= 0
Ta có 0 = (r − r2)n =
n
P
k=o
Ck
nrn−k(−r2)k =
n
P
k=0
(−1)kCk
nrn+k= rn− rn+1(
n
P
k=1
(−1)k−1Ck
nrk−1) Đặt s =
n
P
k=1
(−1)k−1Ck
nrk−1 Khi đó ta có rn= rn+1s và rs = sr
Ta gọi e = rnsn, lúc đó ta có e ∈ R và e = (rn+1s)sn = rn+1sn+1= rn+2sn+2 = = r2ns2n = (rnsn)2= e2 Nên e là lũy đẳng và r + I = rn+ I = rn+1s + I = (rn+1+ I)(s + I) = (r + I)(s + I) =
rs + I
Suy ra r + I = (r + I)n= (rs + I)n = e + I nên ta có điều cần chứng minh
Mệnh đề 2.2.2 Cho iđêan I ≤ J = J (R) Và T là một iđêan phải (hoặc trái) của R Nếu với phần
tử t ∈ T tồn tại lũy đẳng f ∈ R sao cho (f − t) ∈ T , thì có một lũy đẳng e ∈ T sao cho (e − t) ∈ I Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp T là iđêan phải còn trái chứng minh tương tự
Giả sử f và t thỏa mãn điều kiện, tức là f2= f và f − t ∈ I, do I ≤ J suy ra f − t ∈ J nên với
u = 1 − (f − t) là khả nghịch và 1 − u = f − t ∈ I Hơn nữa f.u = f.(1 − (f − t)) = f − f2+ f.t =
f − f + f.t = f.t
Vì vậy f = f.t.u−1.f , đặt e = t.u−1.f ta có e ∈ T (Vì T là iđêan phải) và e2= e.e = (t.u−1.f ).(t.u−1.f ) = (t.u−1)(f.t.u−1.) = t.u−1.f = e nên e là lũy đẳng của T
Mặt khác e − t.f = t.u−1.f − t.f = t.(u−1− 1).f ∈ I và t.(f − t) = t.f − t2 = t.f − t ∈ I suy ra (e − t) ∈ I
Trang 112.3 Lũy đẳng địa phương
Định nghĩa 2.3.1 Một phần tử lũy đẳng e của vành R được gọi là lũy đẳng địa phương nếu eRe
là vành đại phương
Mệnh đề 2.3.1 Cho e2= e ∈ R với J=J(R) Các điều kiện sau đây là tương đương
(1) e là một lũy đẳng địa phương;
(2) eR có duy nhất một môđun con cực đại;
(3) eJ là môđun con cực đại duy nhất của eR;
(4) eR/eJ là môđun đơn
Chứng minh
(1) ⇒ (2) Gọi I, K là các môđun con cực đại của eR khi đó I 6= eR và K 6= eR
Nếu I 6= K thì I < I + K nên theo tính cực đại ta có I + K = eR, và do đó ta có thể viết e = a + b với e là đơn vị của vành eRe và a ∈ I và b ∈ K
Ta có e = e2 = e.e = (a + b).e = a.e + b.e với e là đơn vị của vành eRe suy ra hoặc a.e khả nghịch hoặc b.e khả nghich trong vành eRe Điều này suy ra được hoặc e ∈ I hoặc e ∈ K nên hoặc
I = eR hoặc K = eR, điều này mâu thuẩn Vậy I=K
(2) ⇒ (3) Gọi K là môđun cực đại duy nhất của eR Khi đó mọi môđun con của eR đều chứa trong K, nên ta có eJ ≤ K
Mặt khác nếu có môđun L sao cho K + L = eR thì do tính cực đại duy nhất của K ta suy ra được
L = eR và vì vậy K eR mà eR ≤ RR nên ta có K RR nên K ≤ J (R), và vì vậy K ≤ eJ (R) Vậy K = eJ
(3) ⇒ (4) Ta sử dụng một tính chất đơn giản đã được chứng minh là: (I là môđun con cực đại của môđun M)⇔ (M/I là đơn)
(4) ⇒ (1) Ta sử dụng tính chất rad(eRe) = J (eRe) = eJ (R)e sau đó ta chứng minh eRe/eJ (R)e
là một thể
Lấy a ∈ eRe/eJ (R)e mà a /∈ eJ , do tính cực đại của eJ trong eR ta có phân tích eR = eJ + aR nên ta có e = ex + ab với x ∈ J (R), b ∈ R Khi đó a(ebe) = e − exe là khả nghịch phải trong vành eRe và do đó ac = e với c ∈ eRe nào đó Vì c /∈ eJ (R)e, nên chứng minh tương tự như trên ta có
cd = e cho d ∈ eRe nào đó Điều này chứng tỏ eRe/eJ (R)e gồm các phần tử khả nghịch nên ta có điều cần chứng minh
2.4 Mệnh đề bổ sung
Mệnh đề 2.4.1 Cho e,f là các lũy đẳng của vành R Các điều kiện sau đây là tương đương (1) eR ∼= f R như các R-môđun phải;
(2) Re ∼= Rf như các R-môđun trái;
Trang 12(3) e = a.b và f = b.a với a, b nào đó trong R;
(4) e = a.b và f = b.a với a ∈ eRf và b ∈ f Re nào đó;
(5) eR=aR và Rf=Ra với a nào đó trong R
Chứng minh
Theo tính đối xứng trái phải ta chỉ cần chứng minh (1) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1)
(1) ⇒ (3) Giả sử δ : eR → f R là một đẳng cấu Đặt b = δ(e) ∈ f Re và a = δ−1(f ) ∈ eRf Khi đó
ab = δ−1(f )b = δ−1(f b) = δ−1(b) = e ( b ∈ f Re nên b = f re với r ∈ R, do đó f b = f2re = f re = b), tương tự cho ba = f
(3) ⇒ (4) Giả sử a, b thỏa điều kiện (3) Đặt a1= eaf , b1= f be Khi đó a1∈ eRf , b1∈ f Re và
a1b1= eaf2be = eaf be = ea(ba)be = e4= e, Hoàn toàn tương tự ta có b1a1= f
(4) ⇒ (5) Giả sử a, b thỏa điều kiện (4) Khi đó er = (ab)r = a(br)∀r ∈ R nên eR = aR tương
tự cho Rf = Ra
(5) ⇒ (1).giả sử a, b như ở điều kiện (5), ta có a ∈ eR ∩ Rf = eRf Đặt e = ax và f = ya với
x, y ∈ R Khi đó f x = (ya)x = ye, vì vậy bởi định nghĩa b = f x = ye ∈ R suy ra ab = a(f x) = (af )x = ax = e và ba = (ye)a = y(ea) = ya = f
Xét đồng cấu δ : eR → f R xác định bởi δ(er) = aer và đồng cấu α : eR → f R xác định bởi α(f r) = bf r ta có δα(f r) = δ(bf r) = bδ(f r) = bafr = ffr = fr với mọi f r ∈ f R nên δα = 1, tương
tự ta có αδ = 1 Nên δ là đẳng cấu
2.5 Một số tính chất trên môđun xạ ảnh
Mệnh đề 2.5.1 Cho PR là môđun xạ ảnh Khi đó
(1) Nếu PJ=P thì P=0;
(2) rad(P)=PJ do đó, nếu P 6= 0, thì P có một môđun con cực đại
Chứng minh
P là xạ ảnh nên P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó Nên ta giả sử
F = P ⊕ Q với F là môđun tự do với cơ sở {ei: i ∈ I}
(1) Cho mỗi i ∈ I, ta có thể viết ei = pi+ qi, với pi ∈ P , qi ∈ Q Cho mỗi p ∈ P , ta có
p =P
i
eiri=P
i
piri+P
i
qiri, với ri∈ R Chúng ta sẽ chứng minh rằng ri= 0 với mỗi i ∈ I Thật vậy, ta có P
i
qiri = p −P
i
piri, nênP
i
qiri∈ P ∩ Q = 0 Vì P = P J ≤ F J , nên pi =P
jejaij với mỗi aij∈ J Vì Vậy qi=P
jej(δij− aij), với δij= 1 nếu i = j và δij= 0 nếu i 6= j Ta có
0 =X
i
qiri=X
i
[X
j
ej(δij− aij)]ri =X
j
ej[X
i
(δij− aij)ri]
Vì vậy ta được P
i
(δij− aij)ri = 0 cho mỗi j ∈ I Mặt khác do [[aij]] ∈ J (Mn(R)), nên ma trận (δij− aij)n×n là khả nghịch do đó suy ra mỗi ri= 0
Trang 13(2) Vì rad(R ) = J = R J , nên rad(F ) = F J Suy ra F J = P J ⊕ QJ = rad(P ⊕ Q) = rad(P ) ⊕ rad(Q) Mặt khác, ta đã có P J ≤ rad(P ) nên từ đó ta có rad(P ) = P J Và nếu P 6= 0 thì P 6= P J do đó P có một mô đuncon cực đại
Mệnh đề 2.5.2 Cho PR là môđun xạ ảnh khác không Khi đó các điều sau là tương đương: (1) P không là tổng của hai môđun con khác nó;
(2) Rad(P) là môđun con cực đại của P và đối cốt yếu trong P;
(3) Rad(P) là mô đun con của P và khác P;
(4) End(P) là vành địa phương
Chứng minh
(1) ⇒ (2) P không là tổng của hai môđun con khác nó nên mọi môđun con thực sự của P đều đối cốt yếu trong P Vì P 6= 0 nên theo Mệnh đề 2.5.2 ta có rad(P ) = P J 6= P , nên rad(P) là một con thực sự của P và vì vậy là đối cốt yếu trong P Mặt khác rad(P ) = P
A P
A nên mọi môđun con cốt yếu của P đề chứa trong rad(P), do đó rad(P) cực đại trong P Vậy ta có (2)
(2) ⇒ (3) rad(P) là môđun con cực đại của P nên theo định nghĩa môđun con cực đại ta có (3) (3) ⇒ (4) Ta ký hiệu S=End(P), ta chứng minh S/J(S) là một thể
Đặt A = {f ∈ S : f (P ) ≤ Rad(P )} Khi đó A là một iđêan của vành S và (1 − f )(P ) 6≤ rad(P ) với mỗi f ∈ A Từ đó suy ra 1 − f là một toàn cấu và do P là xạ ảnh nên 1 − f có phần tử khả nghịch phải Suy ra A ≤ J (S) Mặt khác, nếu g ∈ S\J (S) thì g /∈ A Lặp lại chứng minh tương tự như trên ta cũng có g có phần tử khả nghịch phải Điều này chứng tỏ S\J (S) gồm các phần tử khả nghịch
(4) ⇒ (1).Giả sử P = K + N với K,N là môđun con thực sự của P Nếu π : P → P/K là một toàn cấu chính tắc, thì φ = π
N : N → P/K là một toàn cấu Vì P là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu
λ : P → N sao cho φλ = π Đặt ∂ : N → P là phép nhúng chính tắc và s = ∂λ ∈ S Vì S là vành địa phương nên:
Nếu s khả nghịch thì khi đó mỗi x ∈ P tồn tại một y ∈ P sao cho x = s(y) = ∂λ(y) = λ(y) ∈ N Vậy N=P
Nếu (1 − s) khả nghịch thì K=P
Cả hai điều này đều trái với việc N,K là các môđun con thực sự của P Hay P không phân tích thành tổng hai môđun con thục sự của nó