Tiểu luận CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ LŨY ĐẲNG

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC ——————o0o—————— Tiểu luận: CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ LŨY ĐẲNG Chuyên Ngành: Đại số Lý thuyết số Cán hướng dẫn: Học viên: GS.TS Lê Văn Thuyết Võ Thành Luân Thành phố Huế, tháng năm 2014 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC ——————o0o—————— Võ Thành Luân Tiểu luận CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ LŨY ĐẲNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Cán hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết Huế tháng năm 2014 LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi đến GS.TS Lê Văn Thuyết lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt trình học tập môn Cơ sở Đại số đại môn Lý thuyết Vành Môđun trình hoàn thành tiểu luận Tôi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy, cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn bạn học viên Cao học khóa 22, đặc biệt bạn chuyên ngành Đại số lý thuyết số tất bạn bè hỗ trợ suốt trình thực tiểu luận Mặc dù cố gắng tiểu luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô giáo bạn đánh giá, góp ý để tiểu luận hoàn chỉnh Huế, ngày 06 tháng 05 năm 2014 Học viên Võ Thành Luân Mục lục Chương Một số kiến thức liên quan 1.1 Iđêan vành thương 1.2 Phần tử lũy đẳng 1.3 Môđun cực đại, môđun cực tiểu 1.4 Môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu 1.5 Môđun xạ ảnh 1.6 Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.7 Vành địa phương, nửa địa phương 1.8 Radical Jacobson vành Chương Các tính chất phần tử lũy đẳng 2.1 Các định nghĩa 2.2 Lũy đẳng nâng modulo 2.3 Lũy đẳng địa phương 2.4 Mệnh đề bổ sung 2.5 Một số tính chất môđun xạ ảnh 10 Chương Một số tập vận dụng 12 Bài 12 Bài 12 Bài 13 Bài 13 LỜI MỞ ĐẦU Một phần tử e vành R có tính chất e2 = e gọi lũy đẳng vành R Trong vành giao hoán R = có lũy đẳng e không tầm thường R phân tích thành tích trực tiếp hai môđun Re R(1-e) Trong vành không giao hoán tính chất ta thay từ “lũy đẳng” từ “lũy đẳng tâm” Thật vành khác (0) không phân tích tâm lũy đẳng không tầm thường Để hiểu rỏ cấu trúc vành quan trọng để nghiên cứu lũy đẳng họ Việc nghiên cứu tính chất phần tử lũy đẳng vành tạo sở cho việc tìm hiểu số cấu trúc vành, có vành hoàn chỉnh nửa hoàn chỉnh Bố cục Tiểu luận bao gồm chương: • Chương Một số kiến thức liên quan Chương trình bày số kiến thức có liên quan, hầu hết kiến thức trình bày chương trình toán Cao học đặc biệt môn học Lý thuyết vành Môđun Một số phần lại nằm kiến thức đại số chương trình Toán Đại học • Chương Các tính chất phần tử lũy đẳng Trong chương này, trình bày tính chất phần tử lũy đẳng vành, tính chất tính cực đại, cốt yếu, đối cốt yếu lớp môđun eR, Rf môđun xạ ảnh , nhằm chuẩn bị cho việc nghiên cứu loại vành hoàn chỉnh nửa hoàn chỉnh • Chương Một số tập vận dụng Chương giới thiệu vài tập liên quan đến tính chất trình bày Chương Do thời gian thực tiểu luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm tiểu luận không tránh khỏi hạn chế sai sót Tôi mong nhận góp ý ý kiến từ phía thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức liên quan 1.1 Iđêan vành thương Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, I gọi iđêan trái (phải) R I nhóm nhóm cộng R thỏa nãm điều kiện: Với x ∈ R k ∈ I ta có xk ∈ I(kx ∈ I) Nếu I vừa iđêan trái vừa iđêan phải gọi iđêan (hai phía) R Định nghĩa 1.1.2 Cho vành R, tập I ∈ R Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy linh tồn n ∈ N cho xn = I gọi tập nil phần tử I lũy linh, I iđêan R, ta gọi I nil iđêan I gọi tập lũy linh tồn n ∈ N cho I n = 0, I iđêan R, ta gọi I iđêan lũy linh Định nghĩa 1.1.3 Cho vành R, tập I ∈ R Nếu I iđêan R tập hợp R/I lớp x + I với hai phép toán: • Phép cộng: (x + I) + (y + I) = x + y + I • Phép nhân: (x + I).(y + I) = x.y + I Là vành Định nghĩa 1.1.4 Vành R/I lớp x + I gọi vành thương vành R với iđêan I 1.2 Phần tử lũy đẳng Định nghĩa 1.2.1 Phần tử e ∈ R gọi lũy đẳng e2 = e.e = e Nhận xét Cho R vành ta có • hai lũy đẳng vành R gọi lũy đẳng tầm thường • Nếu e lũy đẳng R (1 − e) lũy đẳng R, gọi lũy đẳng bù với e 1.3 Môđun cực đại, môđun cực tiểu Định nghĩa 1.3.1 Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu (minimal) môđun M A = ∀B ≤ M [B < A ⇒ B = 0] Định nghĩa 1.3.2 Môđun A ≤ M gọi môđun cực đại (maximal) môđun M A = M ∀B ≤ M [A < B ⇒ B = M ] 1.4 Môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu Định nghĩa 1.4.1 Một môđun K M cốt yếu (lớn) M, ký hiệu: K≤e M , trường hợp với môđun L ≤ M, K ∩ L = suy L=0 Định nghĩa 1.4.2 Một môđun K M đối cốt yếu (nhỏ) M, ký hiệu: K M , trường hợp với môđun L ≤ M, K + L = M suy L=M 1.5 Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.5.1 Môđun P gọi môđun xạ ảnh với toàn cấu δ : B → C, đồng cấu f : P → C, tồn đồng cấu σ : P → B cho f = δσ 1.6 Môđun đơn, môđun nửa đơn Định nghĩa 1.6.1 R-môđun M gọi môđun đơn (hay môđun bất khả qui) M có hai môđun tầm thường (0) M Định nghĩa 1.6.2 R-môđun M gọi môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) môđun M hạng tử trực tiếp M Định lý 1.6.1 Đối với R-môđun M, phát biểu sau tương đương: (1) M nửa đơn; (2) M tổng trực tiếp môđun đơn; (3) M tổng môđun đơn 1.7 Vành địa phương, nửa địa phương Định nghĩa 1.7.1 Vành R gọi địa phương R có iđêan phải (trái) cực đại Nhận xét: Nếu R vành địa phương ta có điều tương đương sau: (1) Tập phần tử R không khả nghịch phải (trái) đóng phép cộng (2) J = {x ∈ R : xR = R} = {x ∈ R : Rx = R} (3) R/J thể (4) J=x ∈ R : x không khả nghịch (5) Nếu x ∈ R x − x khả nghịch Định nghĩa 1.7.2 Vành R gọi địa phương vành thương R/J(R) (artin) nửa đơn 1.8 Radical Jacobson vành Định nghĩa 1.8.1 Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson vành R giao tất iđêan trái cực đại R (đồng thời giao tất iđêan phải cực đại R) Ký hiệu: radR Tính chất: (1) Nếu R = (0), ta định nghĩa radR = (0) (2) rad(R) iđêan R (3) Mn (radR) = rad(Mn (R)) Chương Các tính chất phần tử lũy đẳng 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Hai lũy đẳng e f vành R gọi trực giao với e.f=f.e=0 Định nghĩa 2.1.2 Nếu lũy đẳng e = vành R không phân tích thành tổng hai lũy đẳng khác trực giao với e gọi lũy đẳng nguyên thủy Định nghĩa 2.1.3 Tập {e1 , , en , } lũy đẳng vành R gọi trực giao ei ej = ∀i = j Định nghĩa 2.1.4 Tập {e1 , , en } lũy đẳng nguyên thủy trực giao vành R gọi đầy đủ = e1 + + en Nhận xét Cho e phần tử lũy đẳng R điều sau tương đương (1) e lũy đẳng nguyên thủy (2) Vành eRe không phân tích (3) eR không phân tích R-môđun phải (trái) Chứng minh Ta có eRe ∼ = End(eR), nên eRe không phân tích ⇔ với vành End(eR) không phân tích ⇔ với R-môđun phải (trái) eR không phân tích nên ta có (2) ⇔ (3) Ta cần chứng minh (1) ⇔ (2) (1) ⇒ (2) Giả sử eRe có lũy đẳng không tầm thường a (a = e, a = 0) với cách đặt b = e − a ta có b2 = b.b = (e − a)(e − a) = e2 − e.a − a.e + a2 = e − e.ere − ere.e + a = e − a = b nên b lũy đẳng eRe nên ta có phân tích e = a + b (Vô lý) (2) ⇒ (1) Ta có eRe = {r ∈ R : er = r = re} vành eRe có đơn vị e Giả sử e phần tử lũy đẳng e = a + b với a, b hai phần tử lũy đẳng trực giao mà đồng thời khác  lúc ta có  e.a = (a + b).a = a2 + b.a = a2 = a  a.e = a.(a + b) = a2 + a.b = a2 = a Suy a ∈ eRe (Mâu thuẩn với (2)) 2.2 Lũy đẳng nâng modulo _ Định nghĩa 2.2.1 Cho I iđêan vành R đó, lũy đẳng f vành thương R/I tồn lũy đẳng e vành R cho e − f ∈ I ta gọi lũy đẳng nâng modulo I( _ Mỗi lũy đẳng f vành thương R/I nâng đến lũy đẳng e vành R) Nhận xét _ (1) Với lũy đẳng f vành R/I nói chung f chưa hẵn lũy đẳng R _ _ _ (2) e tạo ảnh f phép chiếu R → R/I(e → e = f ) Mệnh đề 2.2.1 Nếu Iđêan I vành R linh lũy đẳng nâng modulo I Chứng minh Gọi r lũy đẳng R/I, ta có r2 = (r)2 = r nên r − r2 ∈ I, ta có _ _ _ _ _ r = r2 = r3 = r4 = = rn = Mặt khác I linh nên tồn n ∈ N cho (r − r2 )n = Ta có = (r − r2 )n = k=o n Đặt s = n (−1) k−1 k Cnk rn−k (−r2 ) = n k (−1) Cnk rn+k = rn − rn+1 ( k=0 n k−1 (−1) Cnk rk−1 ) k=1 Cnk rk−1 Khi ta có rn = rn+1 s rs = sr k=1 Ta gọi e = rn sn , lúc ta có e ∈ R e = (rn+1 s)sn = rn+1 sn+1 = rn+2 sn+2 = = r2n s2n = (rn sn )2 = e2 Nên e lũy đẳng r + I = rn + I = rn+1 s + I = (rn+1 + I)(s + I) = (r + I)(s + I) = rs + I Suy r + I = (r + I)n = (rs + I)n = e + I nên ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 2.2.2 Cho iđêan I ≤ J = J(R) Và T iđêan phải (hoặc trái) R Nếu với phần tử t ∈ T tồn lũy đẳng f ∈ R cho (f − t) ∈ T , có lũy đẳng e ∈ T cho (e − t) ∈ I Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp T iđêan phải trái chứng minh tương tự Giả sử f t thỏa mãn điều kiện, tức f = f f − t ∈ I, I ≤ J suy f − t ∈ J nên với u = − (f − t) khả nghịch − u = f − t ∈ I Hơn f.u = f.(1 − (f − t)) = f − f + f.t = f − f + f.t = f.t Vì f = f.t.u−1 f , đặt e = t.u−1 f ta có e ∈ T (Vì T iđêan phải) e2 = e.e = (t.u−1 f ).(t.u−1 f ) = (t.u−1 )(f.t.u−1 ) = t.u−1 f = e nên e lũy đẳng T Mặt khác e − t.f = t.u−1 f − t.f = t.(u−1 − 1).f ∈ I t.(f − t) = t.f − t2 = t.f − t ∈ I suy (e − t) ∈ I 2.3 Lũy đẳng địa phương Định nghĩa 2.3.1 Một phần tử lũy đẳng e vành R gọi lũy đẳng địa phương eRe vành đại phương Mệnh đề 2.3.1 Cho e2 = e ∈ R với J=J(R) Các điều kiện sau tương đương (1) e lũy đẳng địa phương; (2) eR có môđun cực đại; (3) eJ môđun cực đại eR; (4) eR/eJ môđun đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) Gọi I, K môđun cực đại eR I = eR K = eR Nếu I = K I < I + K nên theo tính cực đại ta có I + K = eR, ta viết e = a + b với e đơn vị vành eRe a ∈ I b ∈ K Ta có e = e2 = e.e = (a + b).e = a.e + b.e với e đơn vị vành eRe suy a.e khả nghịch b.e khả nghich vành eRe Điều suy e ∈ I e ∈ K nên I = eR K = eR, điều mâu thuẩn Vậy I=K (2) ⇒ (3) Gọi K môđun cực đại eR Khi môđun eR chứa K, nên ta có eJ ≤ K Mặt khác có môđun L cho K + L = eR tính cực đại K ta suy L = eR K eR mà eR ≤ RR nên ta có K RR nên K ≤ J(R), K ≤ eJ(R) Vậy K = eJ (3) ⇒ (4) Ta sử dụng tính chất đơn giản chứng minh là: (I môđun cực đại môđun M)⇔ (M/I đơn) (4) ⇒ (1) Ta sử dụng tính chất rad(eRe) = J(eRe) = eJ(R)e sau ta chứng minh eRe/eJ(R)e thể Lấy a ∈ eRe/eJ(R)e mà a ∈ / eJ, tính cực đại eJ eR ta có phân tích eR = eJ + aR nên ta có e = ex + ab với x ∈ J(R), b ∈ R Khi a(ebe) = e − exe khả nghịch phải vành eRe ac = e với c ∈ eRe Vì c ∈ / eJ(R)e, nên chứng minh tương tự ta có cd = e cho d ∈ eRe Điều chứng tỏ eRe/eJ(R)e gồm phần tử khả nghịch nên ta có điều cần chứng minh 2.4 Mệnh đề bổ sung Mệnh đề 2.4.1 Cho e,f lũy đẳng vành R Các điều kiện sau tương đương (1) eR ∼ = f R R-môđun phải; (2) Re ∼ = Rf R-môđun trái; (3) e = a.b f = b.a với a, b R; (4) e = a.b f = b.a với a ∈ eRf b ∈ f Re đó; (5) eR=aR Rf=Ra với a R Chứng minh Theo tính đối xứng trái phải ta cần chứng minh (1) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1) (1) ⇒ (3) Giả sử δ : eR → f R đẳng cấu Đặt b = δ(e) ∈ f Re a = δ −1 (f ) ∈ eRf Khi ab = δ −1 (f )b = δ −1 (f b) = δ −1 (b) = e ( b ∈ f Re nên b = f re với r ∈ R, f b = f re = f re = b), tương tự cho ba = f (3) ⇒ (4) Giả sử a, b thỏa điều kiện (3) Đặt a1 = eaf , b1 = f be Khi a1 ∈ eRf , b1 ∈ f Re a1 b1 = eaf be = eaf be = ea(ba)be = e4 = e, Hoàn toàn tương tự ta có b1 a1 = f (4) ⇒ (5) Giả sử a, b thỏa điều kiện (4) Khi er = (ab)r = a(br)∀r ∈ R nên eR = aR tương tự cho Rf = Ra (5) ⇒ (1).giả sử a, b điều kiện (5), ta có a ∈ eR ∩ Rf = eRf Đặt e = ax f = ya với x, y ∈ R Khi f x = (ya)x = ye, định nghĩa b = f x = ye ∈ R suy ab = a(f x) = (af )x = ax = e ba = (ye)a = y(ea) = ya = f Xét đồng cấu δ : eR → f R xác định δ(er) = aer đồng cấu α : eR → f R xác định α(f r) = bf r ta có δα(f r) = δ(bf r) = bδ(f r) = bafr = ffr = fr với f r ∈ f R nên δα = 1, tương tự ta có αδ = Nên δ đẳng cấu 2.5 Một số tính chất môđun xạ ảnh Mệnh đề 2.5.1 Cho PR môđun xạ ảnh Khi (1) Nếu PJ=P P=0; (2) rad(P)=PJ đó, P = 0, P có môđun cực đại Chứng minh P xạ ảnh nên P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự Nên ta giả sử F = P ⊕ Q với F môđun tự với sở {ei : i ∈ I} (1) Cho i ∈ I, ta viết ei = pi + qi , với pi ∈ P , qi ∈ Q Cho p ∈ P , ta có p= ei ri = i qi ri , với ri ∈ R Chúng ta chứng minh ri = với i ∈ I Thật pi ri + i i qi ri = p − vậy, ta có qi ri ∈ P ∩ Q = Vì P = P J ≤ F J, nên pi = pi ri , nên i i aij ∈ J Vì Vậy qi = 0= i j ej aij với ej (δij − aij ), với δij = i = j δij = i = j Ta có qi ri = i j ej (δij − aij )]ri = [ i j (δij − aij )ri ] ej [ j i (δij − aij )ri = cho j ∈ I Mặt khác [[aij ]] ∈ J(Mn (R)), nên ma trận Vì ta i (δij − aij )n×n khả nghịch suy ri = 10 (2) Vì rad(R(I) ) = J (I) = R(I) J, nên rad(F ) = F J Suy F J = P J ⊕ QJ = rad(P ⊕ Q) = rad(P ) ⊕ rad(Q) Mặt khác, ta có P J ≤ rad(P ) nên từ ta có rad(P ) = P J Và P = P = P J P có mô đuncon cực đại Mệnh đề 2.5.2 Cho PR môđun xạ ảnh khác không Khi điều sau tương đương: (1) P không tổng hai môđun khác nó; (2) Rad(P) môđun cực đại P đối cốt yếu P; (3) Rad(P) mô đun P khác P; (4) End(P) vành địa phương Chứng minh (1) ⇒ (2) P không tổng hai môđun khác nên môđun thực P đối cốt yếu P Vì P = nên theo Mệnh đề 2.5.2 ta có rad(P ) = P J = P , nên rad(P) thực P đối cốt yếu P Mặt khác rad(P ) = A nên môđun A P cốt yếu P đề chứa rad(P), rad(P) cực đại P Vậy ta có (2) (2) ⇒ (3) rad(P) môđun cực đại P nên theo định nghĩa môđun cực đại ta có (3) (3) ⇒ (4) Ta ký hiệu S=End(P), ta chứng minh S/J(S) thể Đặt A = {f ∈ S : f (P ) ≤ Rad(P )} Khi A iđêan vành S (1 − f )(P ) ≤ rad(P ) với f ∈ A Từ suy − f toàn cấu P xạ ảnh nên − f có phần tử khả nghịch phải Suy A ≤ J(S) Mặt khác, g ∈ S\J(S) g ∈ / A Lặp lại chứng minh tương tự ta có g có phần tử khả nghịch phải Điều chứng tỏ S\J(S) gồm phần tử khả nghịch (4) ⇒ (1).Giả sử P = K + N với K,N môđun thực P Nếu π : P → P/K toàn cấu tắc, φ = π N : N → P/K toàn cấu Vì P xạ ảnh nên tồn đồng cấu λ : P → N cho φλ = π Đặt ∂ : N → P phép nhúng tắc s = ∂λ ∈ S Vì S vành địa phương nên: Nếu s khả nghịch x ∈ P tồn y ∈ P cho x = s(y) = ∂λ(y) = λ(y) ∈ N Vậy N=P Nếu (1 − s) khả nghịch K=P Cả hai điều trái với việc N,K môđun thực P Hay P không phân tích thành tổng hai môđun thục 11 Chương Một số tập vận dụng Bài Cho I, J iđean phải vành R Chứng minh cho phần tử e ∈ R với e2 = e, có (a) (I + J) ∩ eR = (I ∩ eR) + (J ∩ eR) (b) (I ∩ J) + eR = (I + eR) ∩ (J + eR) Chứng minh: (a) Ta chứng minh cho hai bao hàm thức.(I + J) ∩ eR ⊂ (I ∩ eR) + (J ∩ eR), (I + J) ∩ eR ⊃ (I ∩ eR) + (J ∩ eR)    x ∈ (I + J)  x = a + b; a ∈ I, b ∈ J (*) ∀x ∈ (I +J)∩eR ta có nên ta có suy er = a+b  x ∈ eR  x = er; r ∈ R nên er = ea + eb, a + b = ea + ab nên a ∈ eR b ∈ eR Vậy a ∈ I ∩ eR b ∈ J ∩ eR suy x ∈ (I ∩ eR) + (J ∩ eR) (*) ∀y ∈ (I ∩ eR) + (J ∩ eR) ta viết y = a + b với a ∈ (I ∩ eR) b ∈ (J ∩ eR) Do a ∈ I, a ∈ eR, b ∈ J, b ∈ eR nên a + b ∈ (I + J) a + b ∈ eR Vậy a + b ∈ (I + J) ∩ eR hay y ∈ (I + J) ∩ eR (b) Ta chứng minh tương ứng cho bao hàm thức (*) ∀x ∈ (I ∩ J) + eR ta viết x = a + b với a ∈ (I ∩ J) b ∈ eR, nên ta có a + b ∈ I + eR a + b ∈ J + eR Do x ∈ (I + eR) ∩ (J  + eR)  y ∈ I + eR (*) ∀y ∈ (I + eR) ∩ (J + eR), ta có  y ∈ J + eR nên ta viết y = a + er a ∈ I a ∈ J, r ∈ R a + er ∈ (I ∩ J) + eR, hay y ∈ (I ∩ J) + eR Bài Cho f = f với f : M → M đồng cấu Chứng minh rằng: M = imf ⊕ ker f Chứng minh: 12 ∀x ∈ M ta có x = f (x) + x − f (x), với f (x − f (x)) = f (x) − f (x) = f (x) − f (x) = suy (x − f (x)) ∈ kerf Do x ∈ imf + kerfnên M = imf + kerf   x ∈ imf  ∃y ∈ M : x = f (y) Mặt khác, ta lấy x ∈ imf ∩ ker f điều có nghĩa  x ∈ ker f  f (x) = Khi = f (x) = f (f (y)) ⇔ f (y) = ⇔ f (y) = ⇔ x = Vậy M = imf ⊕ ker f Bài Ta xem vành R R-môđun, với e phần tử lũy đẳng vành R, I iđean trái vành R Chứng minh rằng: I hạng tử trực tiếp R-môđun R tồn lũy đẳng e R cho I = Re Hơn (1 − e) lũy đẳng R = Re ⊕ R(1 − e) Chứng minh: (⇒) I hạng tử trực tiếp R-môđun R nên tồn môđun B R cho R = I ⊕ B Ta có 1R = e + b (e ∈ I, b ∈ B) ⇒ e = e2 = eb e = e2 = be ⇒ e − e2 = eb = be, Với I iđean trái ⇒ be ∈ I B R-môđun ⇒ eb ∈ B mà I ∩ B = ∅ ⇒ e = e2 , hay e lũy đẳng ∀x ∈ R ⇒ xe ∈ I, hay Re ⊂ I Ta có ∀x ∈ I : x = xe + x(1 − x)(∗) Vì 1R = e + b ⇒ b = 1R − e ∈ B ⇒ x(1 − e) ∈ B Mặt khác x(1 − e) = x − xe ∈ I ⇒ x(1 − e) = Nên (∗) ⇒ x = xe ∈ Re, Re ⊃ I Vậy I = Re (⇐) Giả sử e lũy đẳng ⇒ e = e2 Ta có (1 − e)2 = − 2e + e2 = − e ⇒ (1 − e) lũy đẳng ∀x ∈ R, x = xe + x(1 −e) ∈ Re + R(1 − e) ⇒ R = Re + R(1 − e)  x = ye ∀x ∈ Re ∩ R(1 − e) ⇒ ⇒ ye = z(1 − e) ⇒ ye2 = z(1 − e)e ⇒ ye = z(e − e2 ) = ⇒  x = z(1 − e) x = Do Re ∩ R(1 − e) = {0} ⇒ R = Re ⊕ R(1 − e) Nên I = Re hạng tử trực tiếp R Bài Cho e lũy đẳng vành R J = radR rad(eRe) = J ∩ (eRe) = eJe _ _ _ Hơn eRe/rad(eRe) ∼ = e R e, Trong e ảnh e R = R/J Chứng minh: Kết luận đầu ta cần chứng minh cho ba điều kiện sau: (1) r ∈ rad(eRe) ⇒ r ∈ J (2) r ∈ J ∩ (eRe) ⇒ r ∈ eJe 13 (3) r ∈ eJe ⇒ r ∈ rad(eRe) Ta chứng minh (1) Ta thấy ∀y ∈ eRe, − yr có nghịch đảo trái R (với r ∈ R) Thật vậy, trước tiên eRe ta tìm được: b ∈ eRe : b(e − eyer) = e ⇒ b(1 − yr) = e ⇒ yrb(1 − yr)yre = yr ⇔ yrb(1 − yr) = − (1 − yr) ⇔ (1 + yrb)(1 − yr) = Vậy (1 − yr) có nghịch đảo trái (2) Vì r ∈ J ∩ eRe nên r = ere ∈ eJe (do r ∈ J) (3) Ta cần chứng minh ∀y ∈ eRe, e − yr có nghịch đảo eRe Vì r ∈ eJe ∈ J nên tồn x ∈ R : x(1 − yr) = Nhưng e = ex(1 − yr)e = ex(e − yr) = exe(1 − yr) Vậy exe nghịch đảo trái e-yr Phần lại toán ta tính eRe/eJe _ Xét ánh xạ chiếu f : eRe → e R e Đây toàn cấu vành nên có kerf = eJe _ Vậy eRe/rad(eRe) ∼ = e R e 14 KẾT LUẬN Trong tiểu luận em trình bày số tính chất đơn giản phần tử lũy đẳng vành, lũy đẳng nâng modolu có ý nghĩa việc định nghĩa vành nửa hoàn thiện số tính chất lũy đẳng môđun xạ ảnh Song song số tập minh họa đơn giản Đóng góp tiểu luận bao gồm: Định nghĩa phần tử lũy đẳng số tính chất đơn giản chúng vành Định nghĩa lũy đẳng địa phương, lũy đẳng nâng modolu tính chất lũy đẳng môđun xạ ảnh, thuận tiện cho việc nghiên cứu vành nửa hoàn thiện, hoàn thiện tính chất chúng Giới thiệu vài tập phần tử lũy đẳng, tập đơn giản khai thác thêm vài tính chất lũy đẳng Tuy nhiên thời gian thực tiểu luận không nhiều có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Huế, ngày 06 tháng 05 năm 2014 Học viên Võ Thành Luân 15 Tài liệu tham khảo [1] TS Trương Công Quỳnh, GS.TS Lê Văn Thuyết, Giáo trình Lý thuyết Vành Môđun, NXB Đại học Huế (2013) [2] Lê Thanh Hà, Giáo trình Đại số đại cương, NXB Đại học Huế (1999) [3] Frank W Andersom, Ken R Fuller, Rings and categories of modules, Springer-Verlag, (1991) [4] Nguyễn Chí Hiểu, Các vành đại phương, nửa địa phương phân tích môđun chúng - Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư Phạm TPHCM, (2011) 16 ... Môđun Một số phần lại nằm kiến thức đại số chương trình Toán Đại học • Chương Các tính chất phần tử lũy đẳng Trong chương này, trình bày tính chất phần tử lũy đẳng vành, tính chất tính cực đại,... 1.2 Phần tử lũy đẳng Định nghĩa 1.2.1 Phần tử e ∈ R gọi lũy đẳng e2 = e.e = e Nhận xét Cho R vành ta có • hai lũy đẳng vành R gọi lũy đẳng tầm thường • Nếu e lũy đẳng R (1 − e) lũy đẳng R, gọi lũy. .. Đóng góp tiểu luận bao gồm: Định nghĩa phần tử lũy đẳng số tính chất đơn giản chúng vành Định nghĩa lũy đẳng địa phương, lũy đẳng nâng modolu tính chất lũy đẳng môđun xạ ảnh, thuận tiện cho việc