Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chi hết cho 11... Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AB[r]
(1)SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN ( Dành cho tất các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức A = ( √ x2−2 + √ 3x+1 − 2x5−3√ x√−x7− ): 5x2−√ 10x+√3x ( x > 0; x 4) 1, Rút gọn biểu thức A 2, Tìm x cho A nhận giá trị là số nguyên Bài (2, điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + ( m là tham số, m R) 1, Với m = - tìm tọa độ giao điểm parabol (P) và đường thẳng (d) 2, Chứng minh rằng: với m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt hai điểm phân biệt Tìm m cho hai giao điểm đó có hoành độ dương 3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn qua với m Bài (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: ¿ 2x2 +3xy −2y −5 (2x − y)=0 x −2xy − 3y2 +15=0 ¿{ ¿ Bài (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến B và C đường tròn (O; R) cắt T, đường thẳng AT cắt đường tròn điểm thứ hai là D khác A 1, Chứng minh tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT 2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC 3, Chứng minh hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai điểm 4, Gọi M là trung điểm BC, chứng minh góc BAD góc MAC Bài (0,5 điểm) Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x + y +1 + y + z +1 + z + x+ Hết Họ và tên thí sinh: …………………………………………SBD:……………… (2) ĐÁP ÁN x Bài 1: Rút gọn B = x Với x>0, x khác Chứng minh 0< B<2,5 Mà B là số nguyên nên B= 1; B = thì x = TM, B = thì x =4 loại Bài 2: a) Với m = -5 ta có y = - 4x + 12 Phương trình hoành độ giao điểm là x2 = - 4x + 12 <=>x2 + 4x – 12 =0 T ìm x1 = - , x2 = T ìm đ ược toạ độ A ( - ; 36) ; B(2; 4) b) Phương trình hoành độ giao điểm là x2 = 2(m+3)x -2m + <=>x2 - 2(m+3)x +2m - 2=0 Tính ' = m2 + 6m + – 2m +2= m2 + 4m + 11 = (m+2)2 + > n ên đồ thị luôn cắt điểm phân biệt có hoành độ dương x1 x1 x2 Khi x2 x1 x2 nên 2(m 3) m 1 2m KL: Bài 3: Từ pt (1) 2x2 + 3xy – 2y2 – 5(2x – y) = <=> (2x- y)(x +2y)– 5(2x – y) = <=> (2x- y)(x +2y– 5) = x y 0 x y 0 y 2 x x 5 y TH1: y = 2x thay vào pt (2) ta x2 = nên x= 1 nên y = 2 TH2: x = 5-2y thay vào pt (2) ta x2 – 6x + 8= 10 nên x= x = nên y = y = - A KL: Bài a) Cminh ABT đồng dạng với BDT (g.g) N AB BT b) ABT đồng dạng với BDT (g.g) suy BD DT (1) Tương tự ACT đồng dạng với CDT (g.g) AC CT suy CD DT (2) Mà BT = CT nên từ 1; suy AB.CD = AC.BD AB BE (3) c Kẻ phân giác góc BAC cắt BC E suy AC EC AB BD (4) Mà AB.CD = AC.BD nên AC DC O F E B M D từ B kẻ đường thẳng song song với DC cắt DE F T C (3) FB BE (5) ta có DC EC Từ 3, 4,5 suy BF = BD hay tam giác BFD cân B BDF hay BFD mà BFD CDF (do BF // DC) Nên BDF CDF hay DE là phân giác BDC d) Cách 1: Gọi K là trung điểm AD Cminh các tứ giác BKOT, BOCT nội tiếp suy điểm B, K,O, C, T cùng thuộc đtròn Suy BAC BCT BKT Mà BDK BCA Nên ABC đồng dạng với KBD (g.g) suy BC AC BC.DK AC.BD BD DK Mà M là trung điểm BC, K là trung điểm AD nên BC= 2MC ; AD= 2KD nên 2MC.KD = MC.AD = AC.BD MC BD suy AC AD mà BDA MCA Nên ABD đồng dạng với AMC (c.g.c) suy BAD MAC Cách 2: kẻ BN vuông góc với AC N cminh O,M,T thẳng hàng và BC vuông góc với MO AB AN Cminh ABN đồng dạng với BTM (g.g) suy BT BM Mà Tam giác BNC vuông, M là trung điểm BC nên MN = BM = MC AB AN Nên BT NM Ta có NMC cân M => MCN MNC Gọi tia Bx là tia đối tia BT nên BCA ABx ABx MNC Suy ABT ANM cùng bù với góc Nên ABT đồng dạng với ANM (c.g.)suy BAD MAC Bài x, y, z >0 nên x2+y2+z2 ( x y z )2 đặt t= x+y+z ( t>0) Từ gt ta có 18 (t-6)(t+9) 0 hay t 6 Do t + 9>0 ( x y z )2 + x+y+z hay t2 +3t – 54 0 hay 1 Theo BĐT a b c a b c Với a>0; b>0; c>0 9 2( x y z ) 2.6 Ta có B nên B dấu = xảy x = y = z = cách Do x, y, z >0 mà (x – 2)2 0; nên x2 4 x 4; 2 tương tự y 4 y 4; z 4 z nên x2+y2+z2 4( x y z ) 12 18 x2+y2+z2 + x + y +z 5( x y z ) 12 (4) 5( x y z ) 30 x+y+z 6 1 Theo BĐT a b c a b c Với a>0; b>0; c>0 9 Ta có B 2( x y z ) 2.6 nên B dấu = xảy x = y = z = SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN ( Dành cho thí sinh chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: √ 5x −6+ √10 −3x=2x − x − 2) Giải hệ phương trình: ¿ x 3+ xy =96y x2 +32y 2=48 ¿{ ¿ Bài (2,0 điểm) 1) Cho phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x1; x2 Tính S=x 71 + x 72 2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + ab + b2 = c2 + cd + d2 Chứng minh a + b + c + d là hợp số Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng a-bc b-ca c-ab Chứng minh: a+bc + b+ ca + c +ab ≤ Bài (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động Đường phân giác góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự I và J (J nằm A và D) Gọi M là giao điểm khác A hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ 1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ 2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc đường tròn 3) Tìm đường tròn cố định luôn qua M B, D di động Bài (1,0 điểm) (5) Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn ít số có tổng các chữ số chi hết cho 11 Hết -Họ và tên thí sinh: …………………………………………SBD:……………… ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: √ 5x −6+ √10 −3x=2x − x − 10 x ĐK : √ 5x −6+ √10 −3x=2x − x − ( 5x 2) ( 10 3x 2) 2x x 5x 10 3x (2 x 3)( x 2) ( x 2) x 10 3x 5x 10 3x TH1: x – = nên x= 2(TM) TH2: 2x 10 3x 0 5x (1) 10 27 x Nên 2x+3 ; Vì 2x 10 3x 0; 10 3x 5 5x 2 0 5x x= là nghiệm pt đã cho 2) Giải hệ phương trình: ¿ x 3+ xy =96y x2 +32y 2=48 ¿{ ¿ 3 2 x xy 2y.48 x xy 2y.(x 32y )(1) 2 x 32y 48 (2) x 32y 48 2 2 xét (1) x - 2x y xy 64y 0 ( x y )(x + 2xy 16 y ) 0 TH1: x= 4y thay vào pt (2) ta có y2 = nên y= y = -1 2 Th2: x + 2xy 16 y 0 Vì y= không là nghiệm (2) nên y2>0 2 2 Mà x + 2xy 16 y (x + y ) 15 y 0 5x (6) Vậy hệ pt đã cho có nghiệm (4;1); ( - 4; -1) Bài 2: Cho phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x1; x2 Tính S=x 71 + x 72 x1 x 2 x ; x x1 x Vì là nghiệm pt nên Ta có x13 x 32 (x1 x )(x12 - x1x x 22 ) (x1 x ) (x1 + x ) - 3x1x 32 2 x14 x 42 (x1 + x ) - 2x1x 2x12 x 22 2 - 2( 4) 2( 4) 112 3 4 3 7 S=x + x =( x1 x )( x1 x ) - x1 x (x1 x ) =32.112- 2(-4)3 = 3712 Bài (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động Đường phân giác góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự I và J (J nằm A và D) Gọi M là giao điểm khác A hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ Chứng minh AO là phân giác góc IAJ Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc đường tròn Tìm đường tròn cố định luôn qua M B, D di động B C E F A J D K I O M Đáp án vì CI là phân giác góc BCD nên AJICD hay tam giác AIJ cân A Và AIJ AJI AI AJ hay A là điểm chính cung IJ Nên AO là phân giác góc IAJ Ta có CBI cân B nên BI =BC= AD (7) Mà OI = AOVà IAO AIO OAD Nên IBO = ADO (c.g.c) => ABO ADO => tứ giác ABDO nội tiếp Gọi giao điểm AC và BD là E, F là tâm đtròn ngoại tiếp tam giác BAD Ta có DAO DBO OAI BDO Nên ODB cân O hay OB = OD Mà BF = DF, BE = DE nên O; E; F thẳng hàng Cminh OF AM, tính chất đường nối tâm, và O là điểm chính cung BD nên OE BD => tứ giác ABDM là hình thang nội tiếp đtròn nên tứ giác ABDM là hình thang cân Gọi K là giao điểm AM và OE ta có K là trung điểm AM và E là trung điểm AC nên KE//MC mà KE AM nên MC AM Suy M thuộc đtròn đường kính AC cố định (8)