SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b khác thỏa mãn: a 1) Tính giá trị biểu thức A 1 1 a b b2 ab ab 3 2) Chứng minh rằng: a b a 1 b 1 3 a b Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x x 3x x x 1 4 y x y x Giải hệ phương trình: x 3 y y x Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Trên cung nhỏ AD lấy điểm E (E không trùng với A D) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M N Hai đường thẳng AN , DK cắt P Chứng minh : Tứ giác EPND nội tiếp đường tròn Chứng minh EKM DKM Khi M trung điểm AD, tính độ dài đoạn thẳng AE theo R Câu (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên x; y phương trình x y 2020 Câu (1,5 điểm) 0 a, b, c Cho số thực a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 2a 3b 4c biểu thức P a 3b 4c b 4a 8c 3 c 2a 3b 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M a;b gọi điểm nguyên a b số nguyên Chứng minh tồn điểm I mặt phẳng tọa độ 2019 số thực dương R1; R2 ; .; R2019 cho có k điểm nguyên nằm đường tròn I ; Rk với k số nguyên dương không vượt 2019 ĐÁP ÁN Câu 2 a b2 1 A 2 a b ab a b ab 1 1 A a b a b ab 2 1 1 1 1 A 1 a b ab a b 1 Từ giả thiết a b ab a b ab a b a 1 b 1 Áp dụng đẳng thức x y x3 y 3xy x y a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 3 a b a 1 b 1 3 a b 2 3 a b a 1 b 1 3 a b 2 Câu Điều kiện x x x 3x x x 1 3 x x x x 1 x x 1 Đặt a x 2; b x a; b 0 Ta phương trình: a 2b a 2b 3ab a 2b a b 1 a 2b a b Với a 2b x x x Với a b x x 1 1 x x x 1 x Vậy S 2 Điều kiện x 1; y 4; x2 y Biến đổi phương trình (1): 1 x y x2 y x2 4x x2 y x 2 x2 y x x y x 3(ktm x 1) Với x y x y x 1thay vào (2) ta được: x 3 x x x x 3 x 3 x 3 x 1 x 10 x 3 x x 3 x x 2x x 1 1 2x 2x x 2 5 x 1 1 2x x 2x x 2 y 5 2x 0(VN ) x x 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;5 Câu B A I E K P O M N D C Ta có : PNE NAC NCA NCA sd EA Chứng minh: PDA ABE Suy PDE PDA ADE ABE ADE ABE sd EA Xét tứ giác EPND có: PNE PDE hai đỉnh N, D hai đỉnh liên tiếp nên EPND tứ giác nội tiếp đường tròn Ta thấy tứ giác AKME tứ giác nội tiếp MEK MAK 450 MEA MKA 900 , MK / / BD MKD KDB KBD EKM Chứng minh MDC MEA( g.g ) MD ME CD 2 MC.ME MD.MA MD MC MA CD 5CD Mặt khác ta có: MC CD MD CD 4 5CD 5CD Suy MC ME 10 EA AM AM CD 10 Mà EA CD R CD MC MC 5 Câu Điều kiện : x 0, y 1 x 2020 y x 2020 y 2020 y x 2020 y 5.101y Do x; y nguyên nên 5.101y nguyên hay 5.101y số phương Suy 5.101y k y 5.101.a 505a ( a số nguyên) Tương tự x 5.101.b2 505b2 ( b số nguyên) Thay x; y theo a, b vào phương trình đề ta được: a 505 b 505 505 a b a b x 505b2 2020 505 1 0 Vậy phương trình có nghiệm 2020;0 ; 505;505 ; 0;2020 Câu Ta có P a 3b 4c b 4a 8c 3 c 2a 3b 1 P y 505a 505 2020 a 1 2a b 1 2b c 1 2c 2a 3b 4c a 1 2a b 1 2b c 1 2c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: a a 2a a 1 2a 27 1 Tương tự b2 1 2b ; c 1 2c 27 27 Suy P 27 2a 3b 4c 81 Dấu " " xảy a b c Vậy GTNN P 81 a b c Xét điểm I 2; Ta chứng minh khoảng cách từ I đến hai điểm nguyên khác khác Xét hai điểm nguyên M a; b ; M ' a '; b ' IM IM ' IM IM '2 a b a ' b ' 2 2 a b a '2 b '2 a a ' b b ' Nhận xét số nguyên m, n, p thỏa mãn: m n p m n p 2; 3; ; m, n, p 2 2mn p m 2n 2 2mp 2n m p 2 2 pn m 2n p m n p mn np pm mn p0 m n p Ta có: IM IM ' IM IM '2 a b a '2 b '2 b b ' 2 a ' a M M' a a ' 2 b ' b Xét tất khoảng cách từ điểm nguyên đến I, khoảng cách đôi phân biệt Gọi S tập hợp số thực khoảng cách từ tất điểm nguyên đến I Ta chọn 2020 số dương nhỏ thuộc S xếp theo thứ tự tăng dần, nghĩa tồn số dương s1, s2 , , s2020 thuộc tập S thỏa mãn s p sq p q , số thuộc S \ s1, s2 , , s2020 lớn s1, s2 , , s2020 Đặt Rk sk sk 1 , k 1;2;3; ;2019 Ta có điều phải chứng minh ... ME 10 EA AM AM CD 10 Mà EA CD R CD MC MC 5 Câu Điều kiện : x 0, y 1 x 2020 y x 2020 y 2020 y x 2020 y 5 .101 y Do x; y nguyên nên 5 .101 y nguyên hay 5 .101 y... Suy 5 .101 y k y 5 .101 .a 505a ( a số nguyên) Tương tự x 5 .101 .b2 505b2 ( b số nguyên) Thay x; y theo a, b vào phương trình đề ta được: a 505 b 505 505 a b a b x 505b2 2020. .. Ta chọn 2020 số dương nhỏ thuộc S xếp theo thứ tự tăng dần, nghĩa tồn số dương s1, s2 , , s2020 thuộc tập S thỏa mãn s p sq p q , số thuộc S s1, s2 , , s2020 lớn s1, s2 , , s2020 Đặt