Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại.. Tìm tất cả các phần tử của A..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x 5x x x x 4x 1 x y b) Giải hệ phương trình y x 2x y xy 4xy 2x y Câu (2,0 điểm) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a b2 ab Tính giá trị biểu thức A a b2 2ab Câu (2,0 điểm) 3(a b c) Cho a,b,c là các số thực Chứng minh (a 1)(b 1)(c 1) Câu (7,0 điểm) 2 Cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC 2R) ; E là điểm chính cung nhỏ BC Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B) Trên đoạn AC lấy điểm D khác C cho ED = EC Tia BD cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai là F a) Chứng minh D là trực tâm tam giác AEF b) Gọi H là trực tâm tam giác DEC; DH cắt BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai là M Chứng minh đường thẳng DM luôn qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc A Tìm tất các phần tử A HẾT Họ và tên thí sinh Số báo danh (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang) Nội dung Câu Điểm ĐKXĐ: x 0,5 x 5x x x x 4x a 3,0đ Câu 7,0đ (x 1)(x 4) x x (x 1)(x 5) x 1 x 4 x 5 2 x 1 x 4 x 5 0,5 0,5 x 4 x 5 x 4 x 5 x 0,5 x x x 1 0,5 x (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 0,5 ĐKXĐ: x 0; y 0,5 1 (1) x y y x 2 2x y xy 4xy 2x y (2) Phương trình (2) 2x y b 4,0đ 1 2(x ) (y ) y x y x 0,5 (3) a x y Đặt Kết hợp với (1) và(3) ta có hệ b y x a 2a a(4 2a) a b 2a b b 2a ab 2a b 0,5 0,5 (3) Nội dung Câu x 1 a xy y y Với ta có b xy 2x y x y 2x y 2x x(2x 2) 2x 2x 4x 2 2 x x (thỏa mãn) 2 y y 2 2 Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x;y) là ( ; 2) ; 2) và ( 2 Ký hiệu (x;y) là ước chung lớn hai số nguyên x và y Gọi d = (a;b) => a da1; b db1 , với (a1; b1 ) Điểm 0,5 0,5 1,0 0,5 a b2 d2 (a12 b12 ) và ab d 2a1b1 Câu 2,0 đ d (a12 b12 ) d 2a1b1 a12 b12 a1b1 0,5 a12 b1 a1 a1 b1 mà (a1; b1 ) a1 b1 0,5 Tương tự b1 a1 suy a1 b1 A Câu 2,0 đ d (a12 b12 ) 2d 2a1b1 0,5 Đặt x a 2, y b 2, z c Ta cần chứng minh (x 2)(y2 2)(z 2) 3(x y z) 0,5 Ta có (x 2)(y2 2) (x 1)(y2 1) x y2 x y2 2x 2y2 0,5 (x y)2 (x 2)(y2 2) 2xy x y2 (x y) 2 (x 2)(y2 2)(z 2) (x y)2 z 2(x y) 2z 4(x y)z 2(x y) 2z 3(x y z) 2 3(a b c)2 (a 1)(b2 1)(c2 1) Dấu đẳng thức xảy a b c 0,5 0,5 (4) Nội dung Câu Điểm K A F O D H B N C M E Câu 7,0 đ ACE 180o Tứ giác ABEC nội tiếp suy ABE 0,5 EDC 180o ACE và ADE Mà EDC 0,5 ADE Kết hợp với BAE ADE DAE => ABE nên ABE 0,5 Mặt khác EB = EC = ED nên AE là trung trực đoạn BD a ADB 4,0đ => AE BF (1) và AB = AD => ABD DCF (cùng chắn cung AF) và ADB FDC (đối đỉnh) Kết hợp với ABD FCD tam giác FDC cân F Suy FDC => FD = FC Kết hợp với ED = EC => EF là trung trực DC => DC EF (2) Từ (1) và (2) suy D là trực tâm tam giác AEF b 3,0đ Câu 2,0 đ Kẻ đường kính EK (O;R).Khi đó điểm K cố định BND Tứ giác BDNM nội tiếp nên BMD 90o BCE 90o BAC (3) BMD Tứ giác ABMK nội tiếp nên BMK 1800 BAK BAE EAK 90o BAC Mà BAK BMK 90o BAC (4) Từ (3) và (4) suy BMD BMK Suy ba điểm M, D, K thẳng hàng Do đó MD luôn qua điểm K cố định Giả sử A = a1;a ;a 3; ;a 21 với a1;a ;a 3; ;a 21 Z và a1 a a a 21 Theo giả thiết ta có a1 a a a11 a12 a13 a 21 a1 a12 a a13 a a 21 a11 (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) Câu Nội dung Mặt khác với x; y Z và x y thì y x a12 a 10, a13 a 10, ,a 21 a11 10 (2) Nên từ (1) suy a1 10+10+ +10 = 100 => a1 =101 (vì 101 A) => 101 a12 a a13 a a 21 a11 100 a12 a a13 a a 21 a11 100 Kết hợp với (2) a12 a a13 a a 21 a11 10 (3) 10 a12 a (a12 a11 ) (a11 a10 ) (a a ) 10 a12 a11 a11 a10 a a (4) Ta có a1 =101 mà 102 A => a =102 Kết hợp với (3) và (4) suy A = 101;102;103; ;121 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn Điểm 0,5 0,5 0,5 (6)