- Gọi Y là giao điểm của BH và DK , Ta chứng minh Y các điểm đối xứng với trực tâm H qua cạnh AC rồi suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC hay AC là trung trực của... Lưu ý: - Ta có [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2015 – 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 17/6/2015 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức: ( a 1)2 a 5 a a a a a a P với a > 0, a 1 Rút gọn P Dặt Q (a a 1).P Chứng minh Q > 2 Câu (1.0 điểm) Cho phương trình x 2(m + 1)x + m = ( m là tham số) Tìm giá trị m để phương trình đã co có nghiệm x1, x thỏa mãn: (x1 m) x m Câu (2.0 điểm) Giải phương trình: x 1 2(x 4) x x 2 Giải hệ phương trình: x x xy y x y x y x 3x 3 Câu (1.0 điểm) Giải phương trình trên tập số nguyên: x 2015 y(y 1)(y 2)(y 3) 1 Câu (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Goi H là trực tâm tam giác ABC Goi M là là trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: AH = 2OM Dựng hình bình hành AHIO Goi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI.OJ = R Gọi N là giao điểm AH và đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ NC đường tròn tâm O (O khác N và C) Gọi E là điểm đối xứng với = ADK D qua AC, K là giao điểm AC và HE Chứng minh rằng: ACH Câu (1.0 điểm) a 1 b 1 ab Cho a,b là các số thực dương Chứng minh rằng: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 a 2a b b 2 1 a 1 b (2) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức: Rút gọn P ( a 1) a 5 a ( a 1)2 a P a ( a 1) a a a a a ( a 1)( a 1) a = 4( a 1) ( a 1) ( a 1) ( a 1) a a Dặt Q (a a 1).P Chứng minh Q Q (a a 1).P ( a - Ta có: a 1) 1 a 2 a a a a 1 a - Dấu “=” xãy Vì a 1 nên a 2 1 a Q 1 Câu (1.0 điểm) - Để phương trình có nghiêm x1 , x2 thì ' 0 - Do đó: ' ( m 1) m2 2m 0 m 1 2 - Vì x1 , x2 là nghiệm phương trình x 2(m 1) x m 0 nên ta có: x12 2(m 1) x1 m 0 ( x m) 2 x1 x1 x2 2(m 1) x1 x2 2(m 1) - Do đó: 2 ( x1 m) x2 m x1 ( x1 x2 ) m x1 m ( 2m) m x 2(m 1) x m 0 m 0 - Suy ra: 2 m m 0 Câu (2.0 điểm) Giải phương trình: x 1 - Điều kiện: x 2( x 4) x x 1 3 (3) 1 ( x 1) ( x 1) 0 2( x 4) ( x 1)( x 2) 2( x 4) ( x 2) (2) x x 2 x 2 (3) 2 2( x 4) ( x 2) ( x 2) 0 x 2 x (VN ) - Vậy nghiệm phương trình là: x Giải hệ phương trình: x x xy y x y x y x x 3 (1) (2) - Điều kiện: x, y 0; x, y (1) x y (1) ( x y ) x y 0 xy x y x y 0 - Trường hợp 1: x y , (2) x 3 (3) (4) x x x 3 (5) - Đặt u x 0, v x 0 thay vào (5) ta được: u v uv 3 (u v)(u 1)(v 1) 0 2 u v 3 u v u v 1 (6) - Với u v, (5) 3 vô lí - Với u 1 x 1 x loại - Với v 1 x 1 x 1 thỏa mãn x, y - Trường hợp 2: Vì x y (4) xy vô nghiệm x 1 - Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là: y 1 Câu (1.0 điểm) Giải phương trình trên tập số nguyên: x 2015 y ( y 1)( y 2)( y 3) (1) (2) (3) (4) - Điều kiện: y x 1, y x, y y 0 - Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì y ( y 1)( y 2)( y 3) 0 phải là số chính phương 4 2 2 - Ta có: y ( y 1)( y 2)( y 3) y y 11 y y y y (3 y 1) (3 y 1) ( y y 1) là số chính phương, mà tập số nguyên không thể có đồng thời số nguyên dương liên tiếp là số chính phương - Do đó: y ( y 1)( y 2)( y 3) không phải là số chính phương - Phương trình (1) có nghiệm nguyên y ( y 1)( y 2)( y 3) 0 - Tứ đó suy ra: y 0 2015 1 x y 2015 1 x y 0 , x 1 y 2015 1 x y , x 1 y , x 1 y 2015 1 x - Vậy có cặp nghiệm nguyên thỏa mãn phương trình đã cho là: ( x; y ) (1; 3), (1; 2), (1; 1), (1;0) Câu (3.0 điểm) A O H B P M N Q J C y , x 1 (5) I G Gọi N là điểm đối xứng với H qua AC , G là giao điểm AO với đường tròn tâm O, Q là giao điểm OM với NG P là giao BC và HN - Vì N là điểm đối xứng với H qua AC nên N thuộc đường tròn tâm O, đó: ANG 900 NG // BC , BC OM OM NG QM HP PN , PM NQ QG HPM MIG MHP IMG (là hai góc đồng vị) H , M , G thẳng hàng - Mà OA OG, AH // OM AH 2OM (đường trung bình tam giác) Vì AHIO là hình bình hành nên OA IH 2OM BC là trung trực OI ICO cân OIC (1) C IOC - Mặt khác ta lại có J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC OJC cân J JOC JCO (2) - Từ (1) và (2) suy ra: JO OC IOC OIC JOC JCO JOC IOC IO.JO OC R OC IO A Y H O B K E M N C (6) - Gọi Y là giao điểm BH và DK , Ta chứng minh Y các điểm đối xứng với trực tâm H qua cạnh AC suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC hay AC là trung trực HY - Vì D và E đối xứng qua AC nên DE // BY , KD KE KHY KED, KYH KDE (so le) - Suy ra; KHY KED KH KY Mà HY AC AC là trung trực HY và H O HC HY ACH ADY ACX ACH ADK Câu (1.0 điểm) Ta có: a b 1 ab a b ab 1 ab ab ( a b ) 0 luôn đúng a, b Cách 1: - Ta có: a b ab a b a 1 , a và 1 b a a b 1 ab ab 1 1 b a - Do đó: a 2a b 2b a(a 2) b(b 2) b(a 2) a (b 2) 1 a 2 b2 1 1 16 15 b( a 2) a(b 2) a b 4 ab a b ab ab 1 - Mà ta lại có: a b 0 a b 2ab a b a 2b 1 2ab a 2b a b ab a b 1 ab 2 - Từ 1 và suy ra: P ab ab - Dấu “=” xãy khi: - Vậy P 2 16 11 16 11 11 21 2 ab 8 ab ab 4 16 ab 4 ab 21 a b 2 ab 4 a b 2 a b ab (7) Cách 2: P a2 2a b2 2b ab (a b)2 2ab 2(a b) ab a 2b ab ab ab 7ab 1 7ab 7ab 3.3 1 16 16 8 a2b2 16 16 - Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab a b 2 ab ab 4 7.4 21 21 P P a b 2 4 - Do đó Lưu ý: - Ta có thể chứng minh các điểm đối xứng với trực tâm tam giác qua các cạnh thuộc đường tròn ngoại tiếp dựa vào góc nội tiếp - Bài làm Phan Lâm sơ sài và quá trình đánh máy còn nhiều lỗi mong bạn đọc thông cảm Lời giải giáo viên: Phan Lâm Trường: THCS & THPT Tân Tiến Tân Tiến – Bù Đốp – Bình Phước (8)