Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.. Tìm quĩ tích của các điểm E và G[r]
(1)Một số đề ôn thi vào chuyên toán §Ò sè Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho parabol (P) : y= x ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm A(2; 1) Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m Với giá trị nào m thì đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M và N, đó tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến parabol (P) và hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi x y xy 19 Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x y xy Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BC§Ò SÈ vµ ACFG Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyến nửa đờng tròn Chứng minh C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn qua điểm cố định và đờng thẳng FG luôn qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích các điểm E và G C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho Tìm quĩ tích các điểm D và F C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho §Ò sè Bµi 1: (7 ®iÓm) 4 x 1 x x x 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã: 1 a b b c c a Bµi 2: (6 ®iÓm) x 3x y x2 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x y 3xy x y 0 Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc víi E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N OM ON Chøng minh r»ng tÝch AM DN lµ mét h»ng sè Suy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng OM ON AM DN , đó cho biết vị trí điểm E ? Gọi GH là dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam giác GHK lớn §Ò sè 2 Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh x 2mx m 0 (1) Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt (2) Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn x13 x23 hÖ thøc Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị m để nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn 2 Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 4 x x (2) Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc ABC = 600, BC= a, AB = c ( a, c là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q trên cạnh BC đợc gọi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp tam gi¸c ABC Tìm vị trí M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa TÝnh diện tích hình vuông đó §Ò sè Bµi 1: (7 ®iÓm) x 4 y Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: y 4 x Chứng minh a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức: a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a th× | a | | b | | c | Bµi 2: (6 ®iÓm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên gồm chữ số, đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống A, B, C là nhóm ba ngời thân thuộc Cha A thuộc nhóm đó, gái B và ngời song sinh C nhóm đó Biết C và ngời song sinh cña C lµ hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ cña B Hái ba ngêi A, B, C lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi ? Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với §êng trßn (O1) néi tiÕp tam gi¸c ACD §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi c¹nh OB vµ OD tam giác OBD và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB và OC tam giác OBC và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R §Ò sè Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng) và Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x x 0 x2 A x 1 Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ (3) Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình: ¿ x 2+3 y =1 x2 −2 y=2 ¿{ ¿ Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ - Số các bạn bạn nam, các bạn nữ chia vào các tổ - Số người tổ không quá 15 người không ít chín người Em hãy tính xem cô giáo có thể xếp nào và có tất tổ ? Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển đâu ? Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào? §Ò sè A= + x +1 x x +1 x - x +1 Bµi ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A y= -4 x có đồ thị là (H) Bài ( điểm ) Cho hàm số y = - 2x + có đồ thị là (d) và hàm số a) Tìm toạ độ giao điểm (d) và (H) b) T×m trªn (H) ®iÓm A(xA, yA) vµ trªn (d) ®iÓm B(xB , yB) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn : xA+ xB = vµ 2yA - yB = 15 x2 2x y 2 x Bµi ( ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x , y) cho: Bµi (4 ®iÓm) Cho (O , R) vµ ®iÓm A víi OA = 2R Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn AE vµ AF víi (O) (E, F lµ tiÕp ®iÓm ) §êng th¼ng OA c¾t (O) t¹i C vµ D (O n»m gi÷a A vµ C) a) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AECF theo R b) Từ O vẽ đờng thẳng vuông góc với OE cắt AF M Tính tỉ số diện tích hai tam gi¸c OAM vµ OFM c) Đờng thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC Q Chứng minh các đờng thẳng AC, EF và QM đồng quy đề số Bài (4đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 x2 x 2x A x x x 10 x Bài (4đ) Cho biÓu thøc a) Rút gọn A (4) b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x 3 x b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (7) ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vuông góc với AB B và đường thẳng vuông góc với AC C cắt G a) Chứng minh : GH qua trung điểm M BC b) Chứng minh : ∆ABC ~ ∆AEF ^ F=C ^ DE c) Chứng minh : B D d) Chứng minh : H cách các cạnh tam giác DEF Bài (1) Giải bất phương trình 2007 <2008 −x §Ò sè Bài 1: a) Giải phương trình: x - x + x - 11x +10 = b) Tìm x, y thoả mãn: x - x - =- y + y - A= Bài Rút gọn 3- 2- +2 + +3 2+ - 2 Bài Tìm GTNN (nếu có) các biểu thức sau: P = x +12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng qua O M là điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D và K Gọi H là trung điểm FG a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp b) Chứng minh CE là tiếp tuyến đường tròn (O) §Ò sè Bµi (2 ®iÓm): Cho biÓu thøc A=3 y −10 √ x y 2+31 xy −10 x √3 x a) Ph©n tÝch A thµnh nh©n tö b) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x = đồng thời A = Bµi (2 ®iÓm): (5) Cho biÓu thøc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 víi x, y, z, t lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m T×m c¸c gi¸ trÞ cña x, y, z, tõ biÓu thøc M cã GTNN tho¶ m·n : Bµi (2 ®iÓm): Cho hµm sè f(x) = x −2 x+1 x −2 x+2 ¿ 2x2 - 2y + 5t 2= 30 x 2+ 8y + 9z2= 168 ¿{ ¿ (x R) a) Chøng minh r»ng víi gi¸ trÞ x1, x2 tuú ý cña x cho 1≤ x1< x2 th× f(x1) < f(x2) b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× < f (x)< Bài (4 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M và E cho ME = BC (BM < BE) Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt AB D Qua E kẻ đờng thẳng vuông góc với DEF cắt đờng thẳng AH N a) Chøng minh: BM BH = MD HN b) Chứng tỏ N là điểm cố định c) Biết AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC §Ò sè 10 Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức x2 y x x2 y y x2 y2 với x > 0, y > Bài 2: (4 điểm) x x x x a Xác định m để phương trình sau vô nghiệm m b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt b Người biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp c Người biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người và người d Người không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người Hỏi người biết các thứ tiếng nào ? Bài 4: (4 điểm) a Cho a b, x y Chứng minh (a + b) (x + y) 2(ax + by) (1) b Cho a + b Chứng minh a2006 + b2006 a2007 + b2007 (2) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a a Nêu cách dựng và dựng ABC cho gãc BAC = 600 và trực tâm H ABC là trung điểm đường cao BD (2 điểm) b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK BC (2 điểm) c Chứng minh AOH cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC theo a d Tính diện tích tam giác ABC theo a (2 điểm) (6) §Ò sè 11 3 9 125 27 3 9 Câu 1:(1đ) Cho x = Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > NÕu xy y yt t 125 27 CMR : x là số nguyên xt x th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 Chứng minh : Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức f(x)= ax + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + n 2 Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng đó Câu 5/(4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) B và C Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ? §Ò sè 12 Bài 1: (3 điểm) 1 1 + 1 + n n+1 n n+1 a Cho n là số nguyên dương Hãy so sánh: và 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + + 3 4 20052 20062 b Tính: n 1 + + + + n n -1 Bài 2: (3 điểm) CMR : ( với n N và n > ) Bài 3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và CD vuông góc với Gọi M và N là trung điểm OA và OB Đường thẳng CN cắt (O) I Chứng minh : gãc CMI < 900 (7)