DE THI VÀO THPT CHUYÊN PTNK QUA CAC NAM

Nguyễn Tăng Vũ NHÌN LẠI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN QUA CÁC NĂM Nguyễn Tăng Vũ - Giáo viên trường Phổ thông Năng khiếu Trường Phổ thông Năng khiếu thức thành lập năm 1996, tiền thân khối chuyên toán tin thuộc Đại học Tổng hợp TPHCM Qua 20 năm hình thành phát triển, môn toán đạt nhiều kết tốt đẹp Ngoài công tác giảng dạy trường, khâu tuyển chọn quan trọng để tìm em có khiếu toán thực Và đề thi vào lớp 10 chuyên toán đón nhận cách hào hứng từ giáo viên học sinh Nay 20 năm thành lập trường, nhìn lại số đề thi, toán dã mục tiêu phấn đấu nhiều học sinh suốt trình học THCS Những năm đầu thành lập, đề chuyên toán sử dụng cho tuyển sinh đầu vào lớp chuyên Toán chuyên Tin, để thi vào chuyên Toán học sinh phải làm đề thi chung cho bạn thi môn KHTN, gọi đề toán AB Trong vài năm gần đề chuyên Toán dùng để tuyển sinh đầu vào cho lớp chuyên Tin, chuyên Lý chuyên Sinh thay đề toán AB, toán CD lại đề toán chung cho khối lớp chuyên Ngoài ra, trường Phổ thông Năng khiếu tuyển sinh khắp miền nam không riêng khu vực TPHCM, bạn nơi có điều kiện học tập tốt bạn nơi khó khăn có hội đỗ vào trường nhau, không cộng điểm ưu tiên lí gì, điều ảnh hưởng đến cách đề Trước tiên ta xem lại đề thi vào chuyên toán năm 1996, năm học đầu tiên: Bài Gọi a, b hai nghiệm phương trình x2 + px + = 0; c, d hai nghiệm phương trình y + qy + = Chứng minh (a − c)(a − d)(b − c)(b − d) = (p − q)2 Bài Cho số x, y, z thỏa x + y + z = 5, x2 + y + z = Chứng minh ≤ x, y, z ≤ Bài a) Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABCD b) Cho tam giác ABC đường thẳng d||BC nằm khác phía A BC Lấy điểm M di động d cho ABM C tứ giác lồi Đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác cắt BM CM N Tìm quỹ tích điểm N Nguyễn Tăng Vũ Bài Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho hữu tỷ Bài √ n−1+ √ n + số a) Chứng minh với N ≥ 3, luôn có N số phương đôi khác cho tổng chúng số phương b) Chứng minh với số nguyên mn ≥ xây bảng chữ nhật gồm m × n số phương đôi khác cho tổng dòng số phương tổng cột số phương Chưa bàn đến độ khó đề, ta thấy cấu trúc đề thi có đầy đủ phần: Đại số, số học, hình học tổ hợp Đó cấu trúc chung đề thi chuyên toán PTNK, định hình từ ngày thành lập trường đến Đến đây, ta tách riêng phần để nhận xét kĩ Trước tiên ta xem qua phần đại số Đại số Đại số toán liên quan đến biến đổi biểu thức, đa thức, áp dụng định lý Viete, phương trình, hệ phương trình, toán lập giải phương trình, Trong phần bất đẳng thức, cực trị chiếm vai trò lớn toán chuyên, nhiều học sinh giỏi đại số dễ dàng đạt điểm cao phần Mặc dù có độ khó ngày tăng theo năm toán đại số đề tuyển sinh PTNK không mẹo mực, đòi hỏi kĩ thuật nhiều Một số biến đổi biểu thức hay: Bài - 1999 a) Chứng minh đẳng thức x + y + |x − y| = max{x, y}, ∀x, y ∈ R b) Chứng minh đẳng thức: a−b a+b a−b a+b + + − + + = max ab ab c ab ab c 1 , , , ∀a, b, c = a b c max kí hiệu số lớn số kèm Bài 4-2002 Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + 1 =b+ =c+ b c a a) Cho a = 1, tìm b, c b) Chứng minh a, b, c đôi khác a2 b2 c2 = c) Chứng minh a, b, c dương a = b = c Nguyễn Tăng Vũ Cùng với thời gian phần biến đổi trở nên dễ xuất đề thi, tập trung cho phần khác Ta xem số phương trình, hệ phương trình: Bài 1-2006 2x2 + xy = a) Giải hệ phương trình 2y + xy = √ b) Giải bất phương trình 3x − 5x2 ≤ 5x − Bài 1-2008 1) Cho phương trình x2 − mx + 2m − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm âm b) Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (1) Chứng minh biểu thức x21 − 2x1 + x22 − 2x2 + không phụ thuộc vào giá trị m x21 + x22 2) Giải hệ phương trình   x = y2 + z2 y = z + x2  z = x2 + y Bài 1-2016 (x − 2y)(x + my) = m2 − 2m − m = −3 tìm m để hệ co (y − 2x)(y + mx) = m2 − 2m − nghiệm (xo , yo ) thỏa xo > 0, yo > a) Giải hệ b) Tìm a ≥ để phương trình ax2 + (1 − 2a)x + − a = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x22 − ax1 = a2 − a − Nhìn chung phương trình, hệ phương trình khác dễ lấy điểm Tuy có năm 2016, hệ phương trình có tham số nên trở thành toán phức tạp, học sinh giải trọn vẹn toán Tiếp theo ta nhìn qua số bất đẳng thức Bất đẳng thức kì thi đầu vào PTNK toán biến đổi tương đương áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số Có thể mục tiêu ban đề nhằm tránh cho bạn sa đà vào kĩ thuật chứng minh bđt mà bỏ quên phần khác Bài 4-1998 Cho x, y, z, p, q, r số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = p + q + r = pqr ≤ Nguyễn Tăng Vũ a) Chứng minh x ≤ y ≤ z px + qy + rz ≥ x+y b) Chứng minh px + qy + rz ≥ 8xyz Bài 5-2000 2 a) Cho ab, c số không âm thỏa √ điều kiện √ a +√b + c ≤ 2(ab + bc + ac) (1) Chứng minh a + b + c ≤ 2( ab + bc + ac) (2) Hỏi từ (2) suy (1) không? Vì sao? b) Cho a, b, c số không âm thỏa điều kiện (1) p, q, r số thỏa điều kiện p + q + r = Chứng minh apq + bqr + crp ≤ Bài 3-2016 Biết x ≥ y ≥ z, x + y + z = x2 + y + z = a) Tính S = (x − y)2 + (x − y)(y − z) + (y − z)2 b) Tìm giá trị lớn P = |(x − y)(y − z)(z − x)| Hình học Hình học toán hay đề thi PTNK, năm học vừa qua PTNK có học sinh giỏi hình học Hồ Quốc Đăng Hưng, Nguyễn Huy Hoàng, tinh thần chung đề thi PTNK, hình học toán quen thuộc phát biểu với dạng khác Ta xem qua số toán mà thấy hay: Bài 3-1999 Cho tam giác ABC có diện tích S điểm P nằm tam giác a) Gọi S1 , S2 , S3 diện tích tam giác P BC, P CA, P AB Hãy tìm giá trị nhỏ S12 + S22 + S32 b) Gọi P1 , P2 , P3 điểm đối xứng P qua BC, CA AB Đường thẳng qua P1 song song với BC cắt AB AC B1 C1 Đường thẳng qua P2 song song với AC cắt BC, BA C2 , A2 , đường thẳng qua P3 song song với AB cắt CA, CB A3 , B3 Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1 B1 , CAA2 C2 ABB3 A3 đạt giá trị nhỏ tính giá trị Bài 3-2006 Cho tam giác ABC P điểm nằm tam giác Gọi x, y, z kkhoảng cách từ P đến cạnh BC, CA, AB tương ứng a) Biết x = 1, y = 2, z = Hãy tính diện tích tam giác ABC Nguyễn Tăng Vũ b) Tìm quỹ tích điểm P tam giác cho x + y = z Từ suy tập hợp điểm P tam giác cho x, y, z lập thành cạnh tam giác Bài √ 4-2010 Cho đường tròn tâm O, bán kính R, dây cung BC cố định có độ dài R A điểm thay đổi cung lớn BC Gọi E điểm đối xứng C qua AB; F điểm đối xứng B qua AC Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K = A) a) Chứng minh K thuộc đường tròn cố định b) Xác định vị trí K để tam giác KBC có diện tích lớn tính diện tích theo R c) Gọi H giao điểm BE CF Chứng minh tam giác ABH dạng với tam giác ACK AK qua điểm cố định Bài 4Cho điểm C thay đổi nửa đường tròn đường kính AB = 2R (C = A, C = B) Gọi H hình chiếu vuông góc C lên AB; I J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACH BCH Các đường thẳng CI, CJ cắt AB M, N a) Chứng minh AN = AC, BM = BC b) Chứng minh điểm M, N, I, J nằm đường tròn đường thẳng M J, N I CH đồng quy c) Tìm giá trị lớn MN giá trị lớn diện tích tam giác CMN theo R Số học Một điểm khác biệt đề thi vào PTNK toán số học Bài toán số học chiếm vị trí đề thi ngày trọng, độ khó tăng rõ rệt Những năm đầu tiên, dùng chung với đề tuyển sinh chuyên tin nên toán số học phát biểu dạng mệnh đề đúng, mệnh đề sai: Bài 2-1998 Cho hai số nguyên dương a b Biết bốn mệnh đề P, Q, R, S có mệnh đề sai: P = "a = 2b + 5" Q = "(a + 1) chia hết cho b" R = "(a + b) chia hết cho 3" S = "(a + 7b) số nguyên tố" Nguyễn Tăng Vũ a) Hãy mệnh đề sai bốn meệnh đề (có giải thích) b) Hãy tìm tất cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề lại Bài toán số học liên quan đến chia hết, số nguyên tố, phương trình nghiệm nguyên phát biểu cách nhẹ nhàng có ý đơn giản cho em học sinh làm Và ngày trọng nên độ khó ngày nâng lên Bài 3-2010 a) Hãy số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số chúng số nguyên tố b) Chứng minh không tồn số nguyên phân biệt mà tổng số bầt kỳ chúng số nguyên tố Câu b dạng phát biểu toán: Chứng minh số nguyên dương phân biệt có số có tổng chia hết cho Và toán dễ Tuy nhiên, vài năm gần độ khó tăng lên, ta xem toán số học năm gần 1 Bài 3-2014 Cho số nguyên dương a, b thỏa + = a b c a) Chứng minh a + b số nguyên tố b) Chứng minh c > a + c b + c đồng thời số nguyên tố Bài 2-2015 a) Tìm số nguyên a, b, c cho a + b + c = ab + bc + ac + = b) Cho m số nguyên Chứng minh tồn số nguyên a, b, c khác cho a + b + c = ab + bc + ac + 4m = tồn số nguyên a , b , c cho a + b + c = a b + b c + a c + m = c) Với k số nguyên dương, chứng minh không tồn số nguyên a, b, c khác cho a + b + c = ab + bc + ac + 2k = Bài 2-2016 Cho x, y hai số nguyên dương mà x2 + y + 10 chia hết cho xy a) Chứng minh x, y hai số lẻ nguyên tố x2 + y + 10 b) Chứng minh k = chia hết cho k ≥ 12 xy Nguyễn Tăng Vũ Tôi thích toán số học này, từ cách phát biểu đến kiến thức cần sử dụng Tuy khó nhiều so với năm đầu, nhiên toán có ý học sinh làm phân loại tốt Tổ hợp Tổ hợp có lẽ phần quan trọng đề tuyển sinh vào PTNK, thầy đề trọng tới phần Tổ hợp dạng tập khó dùng để phân loại học sinh có khiếu Nhìn chung toán liên quan đến phương pháp chứng minh: Phương pháp phản chứng Bài 5- 2006 Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng số chúng nhỏ tổng số lại Chứng minh tất số cho dương Quy nạp Các năm đầu, phương pháp quy nạp sử dụng nhiều toán tổ hợp Và toán tổ hợp khó, nhớ toán tổ hợp năm thi vào PTNK: Bài 4-1999 Người ta lát nhà hình vuông kích thước n × n ô viên gạch hình vẽ cho chừa lại ô không lát a) Hãy cách lát với nhà kích thước × × b) Hãy chứng minh tồn cách lát nhà có kích thước 2k × 2k (k nguyên dương) với ô trống lại nằm vị trí (i, j) Bài 5-1998 a) Hãy cách số nguyên dương 1, 2, , thành dãy a1 , a2 , , a8 cho số , aj (i < j) số dãy nằm ai + aj aj khác b) Chứng minh với N số nguyên dương 1, 2, , N tìm cách thành dãy a1 , a2 , , aN cho dãy thỏa mãn điều kiện câu a) Cùng với quy nạp, toán bất biến xuất nhiều toán tổ hợp: Bài 5-2003 a) Cho bảng vuông × Trên ô hình vuông này, ban đầu người ta ghi số số cách tùy ý (mỗi ô số) Với phép biến đổi bảng, cho phép hàng cột hàng cột chọn đổi Nguyễn Tăng Vũ đồng thời số thành số 1, số thành số Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi vậy, ta đưa bảng ban đầu bảng toàn số b) Ở vương quốc "Sắc màu kỳ ảo" có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác gặp tóc họ đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng hai đổi sang tóc xanh) Hỏi xảy trường hợp sau số hữu hạn lần gặp "Sắc màu kỳ ảo" tất hiệp sĩ có màu tóc không? Vì sao? Và nguyên lí Dirichlet xuất nhiều, số có sử dụng nguyên lí này: Bài 5-2005 Xét 81 chữ số trongg có chữ số , chữ số 2, , chữ số Hỏi xếp 81 chữ số thành dãy số cho với k = 1, 2, , hai chữ số k liên tiếp có k chữ số Bài 5-2011 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, AD = a) Chứng minh từ điểm hình chữ nhật √ ABCD tìm hai điểm mà khoảng cách chúng không lớn b) Chứng minh khẳng định câu a) với điểm nằm hình chữ nhật ABCD Bài 5-2015 Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chứng đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có học sinh chọn để trao giải Sau tổ chứng xong đợt thi, người ta nhận thấy với hai đợt thi có học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng: a) Có học sinh trao giải bốn lần b) Có học sinh trao giải đợt thi Ngoài phương pháp chứng minh trên, toán tổ hợp phong phú nội dung, mang màu sắc tin học năm 1999 số sau: Bài 5-1996 a) Chứng minh với N ≥ 3, luôn có N số phương đôi khác cho tổng chúng số phương b) Chứng minh với số nguyên mn ≥ xây bảng chữ nhật gồm m × n số phương đôi khác cho tổng dòng số phương tổng cột số phương Nguyễn Tăng Vũ Bài 5-2012 Cho đa giác n cạnh Dùng màu xanh , đỏ, vàng tô màu đỉnh đa giác cách tùy ý ( đỉnh tô màu tất đỉnh tô màu) Cho phép thực thao tác sau : chọn hai đỉnh kề ( nghĩa hai đỉnh liên tiếp) khác màu thay màu hai đỉnh màu lại a) Chứng minh cách thực thao tác số lần ta luôn làm cho đỉnh đa giác tô hai màu b) Chứng minh với n = n = 8, cách thực thao tác số lần ta làm cho đỉnh đa giác tô màu Bài số - 2012 có lẽ toán tổ hợp khó năm gần đây, học sinh làm trọn vẹn Tôi nhớ năm điểm cao 7.75, năm mà đề thi khó Tổ hợp toán quan tâm từ lúc đề đến vào học, lí học sinh PTNK mạnh phần này, điển hình Phạm Tuấn Huy - HCV IMO liên tiếp vào năm 2013, 2014 Các toán bóng đá Có lẽ đề tài thú vị đề thi vào PTNK Các toán bóng đá xuất thường xuyên cách năm, năm xảy Worldcup hay Euro có liên quan đến bóng đá, bó hẹp phạm vi bóng đá, nhiên đề lại phong phú đa dạng, đòi hỏi suy luận chặc chẽ cẩn thận Một số liên quan đến lập giải phương trình: Bài 5-2002 Trong giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (hai đội gặp lần) Sau trận đấu, thắng điểm, đội thua không điểm nào, trận đấu có kết hòa đội điểm Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm Trong trường hợp số đội có tổng điểm đội xếp hạng theo số phụ Kết hức giải người ta nhận thấy trận đấu kết thúc với tỉ số hòa; đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm 15, 12, 12 tất đội xếp có tổng điểm đôi khác a) Chứng minh N ≥ b) Tìm N tổng điểm đội tham gia giải Bài 5-2008 Trong giải vô địch bóng đá có đội tham gia Theo điều lệ giải, hai đội thi đấu với trận, đội thắng điểm, đội Nguyễn Tăng Vũ hòa điểm đội thua điểm Kết thúc giải, số điểm đội D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 (D1 ≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6 ) Biết đội bóng với số điểm D1 thua trận D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6 Hãy tìm D1 D6 Đây hai toán khó đề tài bóng đá, năm 2008 khó đòi hỏi nhiều suy luận xét trường hợp cách cẩn thận Một số toán khác không liên quan đến điểm liên quan đồ thị: Bài 5-2010 Trong giải bóng đá có 12 đấu vòng tròn lượt (2 đội đấu với trận) a) Chứng minh sau vòng đấu (mỗi đội đấu trận) tìm đội bóng đôi chưa đấu với b) Khẳng định không đội thi đấu trận Đây toán bóng đá cuối xuất đề thi PTNK, có lẽ đem lại chút tiếc nuối cho học sinh, nhiên bóng đá đề tài hấp dẫn, trở lại vào ngày không xa Lời kết Trên ngược dòng lịch sử, điểm lại số đặc điểm đề thi tuyển sinh vào PTNK 20 năm qua để bạn có nhìn bao quát nhất, từ ta thấy cách tuyển chọn học sinh khiếu toán trường Một lí mang lại thành công cho học sinh cựu học sinh trường đường học thuật sau 10 ... hay đề thi PTNK, năm học vừa qua PTNK có học sinh giỏi hình học Hồ Quốc Đăng Hưng, Nguyễn Huy Hoàng, tinh thần chung đề thi PTNK, hình học toán quen thuộc phát biểu với dạng khác Ta xem qua số... đề thi khó Tổ hợp toán quan tâm từ lúc đề đến vào học, lí học sinh PTNK mạnh phần này, điển hình Phạm Tuấn Huy - HCV IMO liên tiếp vào năm 2013, 2014 Các toán bóng đá Có lẽ đề tài thú vị đề thi. .. học Một điểm khác biệt đề thi vào PTNK toán số học Bài toán số học chiếm vị trí đề thi ngày trọng, độ khó tăng rõ rệt Những năm đầu tiên, dùng chung với đề tuyển sinh chuyên tin nên toán số học