PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện những số hạng mà ta có thể phân tích thành[r]
(1)TRƯỜNG THCS PHÚ TÚC Chuyên đề 16 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Tiết 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG & DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức từ dạng tổng các đơn thức thành dạng tích nhiều đơn thức và đa thức khác Phương pháp đặt nhân tử chung: Vận dụng cách tìm BSCNN các hệ số và luỹ thừa nhỏ các đơn thức có cùng biến để tìm nhân tử chung VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a6-a4+2a3+2a2 = a2 ( a4-a2+2a+2) b) 16a4b6+24a5b5+9a6b4= a4b4 ( 4b+3a)2 Phương pháp dùng đẳng thức: Vận dụng tốt đẳng thức vào giải bài tập để tìm đẳng thức VD: a) 25x4-10x2y+y2 = ( 5x+y)2 b) 8m3+36m2m+54m.n2+27n3 = (2m)3+ 3(2m)2.3n+3.2m.(3n)2+ (3n)3 = (2m+3n)3 Bài tập áp dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x ( x-7 ) + ( 7-x )2 b) 3x ( x-9 )2 – (9-x)3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: c) x4 – x4y4z8 d) ( 4x2 – 4x +1 ) – ( x+1)2 e) a2b2( b-a) + b2c2 (c-b) –a2c2( c-a) f) ( x2-x+2)2+(x-2)2 g) ( a+b)3- (a-b)3 Hướng dẫn giải 1) a) (x-7)(2x-7) b) 3x(x-9)2 –(9-x)3 =3x(x-9)2+ (x-9)3 (2) = (x-9)2 (4x-9) 2) a) x4 –x4y4z8 = x4 (1- y4z8) = x4 (1 –y2z4)(1+y2z4) = x4 (1 –yz2 )(1+yz2 )(1 +y2z4 ) b) (4x2–4x+1)–(x+1)2 =(2x-1)2 -(x+1)2 = [(2x-1)-(x+1)][(2x-1)+(x+1)] = 3x(x-2) 2 c) a b ( b-a) + b2c2 (c-b) –a2c2( c-a) = a2b2( b-a) + b2c3 – b3c2 - a2c3 + a3c2 = a2b2( b-a) + c3 (b2 – a2 )- c2 (b3– a3) = ( b-a) [a2b2 + c3b +c3a -b2c2 -c2 (b2ab +a2)] = ( b-a) (a2b2 + c3b +c3a -b2c2 -c2ab - a2c2) = ( b-a) [c2b(c-b)+c2a(c-b)-a2(c2-b2)] = (b-a)(c-b)[c2b2+c2a-a2(c+b)] = (b-a)(c-b)(c2b2+c2a-a2c-a2b) = (b-a)(c-b)[ac(c-a)+b(c2-a2)] = (b-a)(c-b)(c-a)(ac+bc+ca) d) ( x -x+2)2+(x-2)2 = (x2-2x+2+x)2+(x-2)2 = (x2-2x+2)2+2x(x2-2x+2)+x2+(x-2)2 = (x2-2x+2)2+2x(x2-2x+2)+2(x2-2x+2) = (x2-2x+2)(x2-2x+2+2x+2) = (x2-2x+2)(x2+4) e) ( a+b)3- (a-b)3 =2b(3a2+b2) (3) Tiết 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng, ta kết hợp hạng tử đa thức thành các nhóm thích hợp áp dụng các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử nhóm Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3z+x2yz-x2z2-xyz2 Cách 1: = (x3z-x2z2)+(x2yz-xyz2) = x2z(x-z)+xy2(x-z) = (x-z)(x2z+xyz) = xz(x+y)(x-z) Cách 2: P = (x3z+x2yz)-(x2z2+xyz2) = x2z(x+y)-xz2(x+y) = (x+y)(x2z-xz2) = xz(x+y)(x-z) m+2 b) p q-pm+1q3-p2qn+1+pqn+3 = pm+1q(p-q2)-pqn+1(p-q2) = (p-q2)(pm+1q-pqn+1) = pq(p-q2)(pm-qn) Bài tập áp dụng: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) A=x2-2xy+y2-9 b) B=3x3y-6x2y-3xy3-6xy2z-3xyz2+3xy c) C=x2y2(y-x)+y2z2(z-y)-z2x2(z-x) d) D=x5+x4+x3+x2+x+1 2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) E=a2-b2+x2-y2+2(ax-by) b) F=a5-ax4+a4x-x5 3) Giải phương trình: a) x2-2x+x-2=0 b) 5x(x-3)-x+3=0 (4) Hướng dẫn giải: 1) a) A = (x-y-3)(x-y+3) b) B = 3x3y-6x2y-3xy3-6xy2z-3xyz2+3xy = 3xy(x2-2x-y2-2yz-z2+1) = 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2yz+z2)] = 3xy[(x-1)2-(y+z)2] = 3xy(x+y+z-1)(x-y-z-1) c) C =x2y3-x3y2+y2z3-y3z2-z2x2(z-x) = y3(z3-x3)-y3(z2-x2)-z2x2(x-z) = y2(z-x)(z2+zx+x2)-y3(z-x)(z+x)-z2x2(z-x) = (z-x)(y2z2+y2zx+x2y2-y3z-y3x-z2x2) = (z-x)[y2z(z-y)-x2(z-y)(z+y)+y2x(z-y)] = (z-x)(z-y)(y2z-x2z-x2y+y2x) = (z-x)(z-y)[z(y-x)(y+x)+xy(y-x)] = (z-x)(z-y)(y-x)(xy+xz+yz) d) D = x3(x3+x+1)+x2+x+1 = (x2+x+1)(x3+1) = (x2+x+1)(x+1)(x2-x+1) 2) a)E = a2+x2+2ax-(b2+y2+2by) = (a+x)2-(b+y)2 = (a+x+b+y)(a+x-b-y) b) F = a5+a4x-(ax4+x5) = a4(a+x)-x4(a+x) = (a+x)(a4-x4) = (a+x)2(a-x)(a2+x2) 3) a) Giải x=2 hoặcx=-1 b) Giải x=3 x= Tiết 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP (5) Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã nêu tiết và tiết để phân tích đa thức thành nhân tử gọi chung là phối hợp nhiều phương pháp VD: Phân tích thành nhân tử các đa thức sau: a6-a4+2a3+2a2 = a2(a4-a2+2a+2) = a2[(a4-a2)+(2a+2)] = a2[a2(a2-1)+2(a+1)] = a2(a-1)[a2(a+1)+2] = a2(a-1)(a3-a2+2) 2.(a+b)3-(a-b)3 = [(a+b)-(a-b)] [(a+b)2+a2-b2+(a-b)2] =2b (a2+2ab+b2+a2-b2+a2-2ab+b2) =2b (3a2+b2) 3.(x+y+x)3-x3-y3-z3 = [( x+y+z)3 – x3]-(y3+z3) =(x+y+z-x).[(x+y+z)2+(x+y+z)x+x2] (y+z) (y2-yz+z2) =(y+z).(3x2+3xy+3xz+3z) =3(y+z).[x(x+y)+z(x+y) =+(x+y).(y+z)(x+z) Bài tập áp dụng 1./ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) A= (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 b) B= x(y2 - z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) c) C= a3(b - c) + b3(c – a) + c3(a - b) d) D= – b3 + 6ab2 – 12a2b + 8a3 2./ Chứng minh rằng: n4 + 6n3 +11n2 + 6n ⋮ 24 với n 3./ Chứng minh với n Z thì n5 – 5n3 + 4n ⋮ 120 N HƯỚNG DẪN GIẢI 1./ a) A= (x - y) + (y - z) + (z - x)3 = (x – y + y – z) [(x - y)2 – (x –y)(y - z) + (y – z)2 – (z - x)2 ] = (x - z) [(x - y)2 – (x - y)(y - z) + (y –z)2 – (z – x)2 ] = (x - z) [(x - y) (x - y – y + z) + (y – z + z - x) (y –z – z + x) ] = (x – z) (x – y)(x – 2y + z - y +2z – x) = 3(x – z)(x – y)(z – y) b) B= x(y2 - z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x(y2 - x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x(y2 - x2) + x(x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 3 (6) = (x2 - y2) (z – x) + (x2 – z2) + (x– y) = (x - y) (y – z) (z– x) c) C= a3(b - c) + b3(c – a) + c3(a - b) = a3b - a3c + b3c – a b3 + c3(a - b) = ab(a2 – b2) - c(a3 - b3) + c3(a - b) = (a - b) [ab(a + b) – c(a2 + ab + b2) + c3] = (a - b) [a2 (b - c) + ab(b – c) - c(b2 – c2] = (a - b) (b - c) [a2 + ab – c (b + c] = (a - b) (b - c)(a – c) (a + b + c] d) D= – b3 + 6ab2 – 12a2b + 8a3 = 13 - (b – 2a)3 = (1 – b + 2a)(1 + b – 2a +b2 - 4ab + 4a3) 2./ n4 + 6n3 +11n2 + 6n = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6) = n [(n2(n +1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1) (n2 + 5n + 6) = n(n + 1) (n2 + 2n + 3n + 6) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) Vì n N nên n + 6n +11n2 + 6n là tích số tự nhiên liên tiếp đó chia heat cho và chia hết cho nên chia hết cho 24 3./ n5 – 5n3 + 4n = n(n4 – 5n2 + 4) = n[(n4 – n2) – (4 n2 – 4)] = n[(n2 ( n2 - 1) – (n2 – 1)] = n(n2 - 1)(n2 – 4) = n(n – 1) (n + 1) (n – 2) (n + 2) ⇒ Vì là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, 5, ⇒ chia hết 3.5.8 = 120 (7) Tiết 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Ta phân tích hạng tử thành nhiều hạng tử thích hợp để xuất nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử dùng đẳng thức và đặt nhân tử chung VD : Phân tích thành nhân tử: Cách 1: x2-6x+8 = (x2-2x) - 4x+8 = x(x-2)-4 (x-2) = (x-2) (x-4) Cách 2: x2-6x+8 = (x2-6x+9) -1 = (x-3)2-1 = (x-3+1) (x-3-1) = (x-2) (x-4) Cách 3: x2-6x+8 = (x2-4)-(6x-12) =(x-2)(x+2)-6(x-2) =(x-2)(x+2-6) =(x-2)(x-4) Cách 4: x2-6x+8 =(x2-16)- 6x+24 =(x-4)(x+4)-6(x-4) =(x-4)(x+4-6) =(x-4)(x-2) Cách 5: x2-6x+8 = (x2-4x+4)-2x+4 =(x-2)2-2(x-2) =(x-2)(x-2-2) =(x-2)(x-4) Bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a) x2- 4x+ 3y2 b) x2- 8x+ 12 c) x8+ x4+ (8) d) x12+ x6+ Bài 2: chứng minh rằng: n5-5n3+ 4n 120 với số nguyên n Bài 3: Phân tích thành nhân tử: a) x3-19x-30 b) x4+x2+1 c) x4+4x2-5 d) xy(x+y)+yz (y+z)+zx(z+x)+2xyz Hướng dẫn giải: a) (x+y)(x+3y) b) (x-2)(x-6) c) x8+ x4+ = (x8+ 2x4+ ) -x4 = (x4+1)2 – (x2)2 = (x4-x2+1)(x4+x2+1) d) x12+ x6+ = (x6+1)2 –x6 = (x6+x3+1)(x6-x3+1) Ta có: n5-5n3+ 4n = n5-n3-4n3+4n =n3(n2-1)-4n (n2-1) =n(n2-1)(n2-4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) Là tích số tự nhiên liên tiếp Trong số tự nhiên liên tiếp có ít hai số là bội ( đó số là bội 4, số là bội 3, số là bội 5) Vậy tích cỉa số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8.3.5=120 a) x3-19x-30 = x3+8-19x-38 =(x+2)(x2-2x+4)-19(x+2) =(x+2)(x2-2x-15) =(x+2)[(x-1)2-16] =(x+2)(x-5)(x+3) b) x4+x2+1 =(x2+x+1)(x2-x+1) c) x4+4x2-5= (x-1)(x+1)(x2+5) d) xy(x+y)+yz (y+z)+zx(z+x)+2xyz (9) =[xy(x+y)+xyz] + [yz(y+z)+xyz] + zx (z+x) =xy ( x+y+z) + yz (x+y+z)+ zx(x+y+z) =(x+y+z) y(z+x)+zx(z+x) =(z+x)[y(x+y+z)+zx] =(z+x)[x(y+z)+y(y+z)] =(x+y)(y+z)(z+x) (10) Tiết 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Ta thêm hay bớt cùng hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức VD: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1./ a4 + 64 = (a2)2 + 82 + 2.8 a2 - 2.8 a2 = (a2 + 8)2 – (4a) = (a2 + + 4a)( a2 + - 4a) = (a2 + 4a + 8)( a2 - 4a +8) 2./ a4 + 4b4 = (a2)2 +(2b2)2 + 2(a2) (2b)2 - 2(a2) (2b)2 = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2 = (a2 + 2b2 + 2ab)( a2 + 2b2 – 2ab 3./ A = x2 + x + = (x8 – x2) + (x2 + x + 1) = x2(x6 – 1) + (x2 + x + 1) Mà (x6 – 1) = (x3 + 1) (x3 - 1) = (x3 + 1) (x - 1) (x2 + x + 1) ⇒ A = x2(x3 + 1) (x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1) [x2 (x3+ 1) (x – 1) + 1] = (x2 + x + 1) (x6 – x5 + x3 – x2 + 1) (11) Bài tập áp dụng 1./ Phân tích thành nhân tử: a) x8 + b) x5 + x + c) x10 + x5 + d) x8 + x7 + 2./ Phân tích thành nhân tử: a) a8 + a + b) a3 + b3 + c3 – 3abc Hướng dẫn giải: 1./ a) x8 + = (x4)2 + 4x4 + 22 - 4x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 – 2x2 + 2)(x4 + 2x2 + 2) b)x5 + x + = x5 - x2 + x2 + x + = x2 (x3 - 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1) [x2 (x - 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1) c) Ta thêm vào các số hạng x9 , x8 , x7 , x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x và bớt các số hạng Sau đó nhóm các hạng tử thích hợp ta kết quả: x10 + x5 + = (x2 + x + 1)(x8 – x7 + x5 – x4 + x3 - x + 1) d) Ta thêm vào các số hạng x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x và bớt các số hạng Sau đó nhóm các hạng tử thích hợp ta kết quả: x8 + x7 + = (x2 + x + 1)(x6 – x4 + x3 - x + 1) 2./ a) a8 + a + = a8 – a2 + a2 + a + = (a2 + a + 1)( a6 – a5 + a3 - a2 + 1) b) a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 – 3abc - 3a2b - 3ab2 = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b) c + c2 – 3ab] (12) Tiết 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Trong số trường hợp để phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài các phương pháp đã nêu các tiết trước ta có thể đặt biến phụ để việc phân tích thuận lợi VD: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1./ A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 đặt y = x2 + x ta A = y2 + 4y – 12 = y2 + 4y + – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + + 4)(y + – 4) = (y + 6)(y – 2) Vậy A = (x2 + x + 6) (x2 + x - 2) 2./ B = (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 đặt y = x2 + 4x + B = y2 + 3xy + 2x2 = (y2 + 2xy + x2) + (xy + x2) = (y + x)2 + x(y + x) = (y + x)(y + 2x) Vậy B = ( x2 + 5x + 8)( x2 + 6x + 8) = (x2 + 5x + 8)( x + 2)(x + 4) Bài tập áp dụng 1./ Phânt ích đa thức thành nhân tử bằmg cách đặt ẩn phụ: a) (x2 – x) – 14(x2 – x) + 24 c) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 2 b) (x + 3x + 2) (x - 3x – 6) + 12 d) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 2./ Giải các phương trình: a) (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 = b) (x + 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) – 24 = Hướng dẫn giải: 1./ a) Đặt t= x2 – x ta có: t2 – 14t + 24 = (t2 – 2t) – (12t – 24) = t(t -2) – 12(t – 2) = (t – 2)(t – 12) đó đa thức là: (x2 - x - 2) (x2 - x - 12) = (x + 1) (x – 2)(x + 3)(x – 4) b) Đặt t= x2 – 3x + Phânt ích đa thức là: x(x - 3) (x + 1)(x – 4) c) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x) (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt y = x2 + 10x + 12 ta có: (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 16 = (y – 4) (y + 4) = (x2 + 10x + 16) (x2 + 10x + 8) (13) e) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + = x2(x2 + 6x + - x = (x + 2) (x + 2) (x2 + 10x + 8) + x ) = x2[(x2 + x 2 ) + 6(x - ) + 7] x Đặt y = x - x thì x2 + x = y2 + ) + 3x] = (x2 + 3x – 1) x (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 = ⇔ t(t – 1) – 12 = ⇔ t2 – t + 12 = ⇔ (t – 4)(t – 3) = ⇔ (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = ⇔ (x2 + x - 2) = (do x2 + x + Nên: x2(x2 + 6x + 7) = x2 (y + 3) = (xy + 3x) = [x(x 2./a) Đặt t= x2 + x + ta có: 5>0) ⇔ (x – 1)(x + 2) = ⇔ x = x = -2 b) (x + 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) – 24 = ⇔ (x2 + 4x + x + 4)( x2 + 3x + 2x + 6) – 24 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 24 = ⇔ t2 + 2t – 24 Đặt t= x2 + 5x + ta được: t(t – 2) – 24 = =0 ⇔ t - 4t + 6t -24 =0 ⇔ t(t – 4) + 6(t – 4) =0 ⇔ (t -4) (t + 6) =0 ⇔ t = t = -6 Với t = ta được: x2 + 5x + = ⇔ x2 + 5x = ⇔ x = x = -5 Với t = -6 ta được: x2 + 5x + = -6 ⇔ x2 + 5x + 10 = ⇔ ⇔ (x + ) + 15 = PTVN Vậy PT có nghiệm là:x=0 x = -5 (14)