Chuyen de bat dang thuc

Đã có rất nhiều tác giả, nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn khổ của một buổi sinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một số bất đẳng [r]

THAM LUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH Bất đẳng thức là mảng kiến thức khó toán học phổ thông, nó thường xuyên xuất các đề thi HSG thi tuyển sinh CĐ - ĐH Đã có nhiều tác giả, nhiều tài liệu đề cập bất đẳng thức; hôm nay, khuôn khổ buổi sinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin phép giới thiệu lại số bất đẳng thức và bài toán GTLN & GTNN số biểu thức đại số đã thi tương tự với các dạng đề thi CĐ - ĐH năm vừa qua I Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho số : a+b  ab  a, b  : ; đẳng thức xảy và : a = b 1 + + =4 b c Ví dụ : Cho a, b, c là các số dương thỏa : a 1 + +  a + 2b + c a + b + 2c Chứng minh : 2a + b + c (TSĐH - Khối A - Năm 2005) x+y 1 1     +  x+y 4xy x+y 4 x y  Nhận xét : Với x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)2  Dấu (=) xảy  a = b  Áp dụng kết trên, ta có : 1 1  1 11  1 1    + +  +  =  + +     2a + b + c  2a b +c  2a 4 b c  8 a 2b 2c  (1) 1 1    + +   2a b 2c  (2) Tương tự : a + 2b + c 1 1 1   + +  a + b + 2c  2a 2b c (3) 1 11 1 + +   + +  =1 a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c  Từ (1), (2) và (3) suy : 2a + b + c a = b = c   1  a=b=c= 1  a + b + c = Dấu (=) xảy + + =1 y z Ví dụ : Cho x, y, z là các số dương thỏa : x Tìm GTNN biểu thức : P=x+y+z 1 9 +   + x y z  Ta có :P = x + y + z = (x + y + z)   4x y   9x z   9y 4z  14 +  +  + +  + +  x  z x  z y   y =  14 + 4x y 9x z 9y 4z +2 +2 y x z x z y = 14 + + + 12 = 36 1 x + y + z = x =     y = 12  4x = y , 9x = z , 9y = 4z y x z x z y  z = 18  Dấu (=) xảy    Vậy : Pmin = 36 x = 6, y = 12, z = 18  Bài tập tương tự : Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh : 4a 9b 16c + +  26 b+c-a c+a-b a+b-c Cho x, y, z > và thỏa : xyz = Tìm GTNN biểu thức : yz zx xy P= + + 2 x y+x z y z+y x z x + z2 y  Hướng dẫn : y+z z+x x+y  a= ,b= ,c= 2 1. Đặt : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0) Khi đó : 4(y + z) 9(z + x) 16(x + y)  4y 9x   4z 16x   9z 16y  + + = + + +  +   + x y z x y x z y z       2(VT) = Áp dụng bđt Cosi ,  (đpcm) 2. Đặt : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > và abc = 1)  P= a2 b2 c2 + + b+c c+a a+b a2 b+c a2 b + c + 2 =a b+c  Áp dụng bđt Cosi , ta có : b + c , 2 b c+a c a+b + b , + c a+b tương tự : c + a 3 P   Kết luận : MinP =  x = y = z =  Cộng bđt trên vế theo vế, suy : II Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho số : a+b+c  abc  a, b, c  : ; đẳng thức xảy và : a = b = c Ví dụ : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1 + a + b3 + b + c3 + c3 + a + + 3 ab bc ca Chứng minh : (TSĐH - Khối D - Năm 2005) + a + b3 + a + b3  3 1.a b3 = 3ab  + a + b3  ab   ab ab Tacó : + b3 + c3  bc + c3 + a  ca bc Tương tự : ,  Cộng bất đẳng thức trên vế theo vế , ta có : ca + a + b3 + ab + ab  Lại có : + b3 + c3 + c3 + a + bc ca 1 +  33 bc ca (abc) =   3 +  ab 1  +  bc ca  =3 abc , vì abc = a = b = c =1  Từ (1) và (2) suy : (đpcm) Dấu (=) xảy  (1) (2) Ví dụ : Cho x, y, z là các số dương thay đổi Tìm GTNN biểu thức : x z    y P = x +  + y +   + z + yz  zx  xy  2 2 2 x2 y2 z2 x + y2 + z P= + + + 2 xyz  Ta có :  x2   y2   z2 1 x2 y2 z2 xy + yz + zx + + + +  + + +     + x  y  z 2 xyz ≥ =  x2 x2 1 x2 1 + = + +  33 = x 2x 2x 2x 2x  Ngoài : y2 z2 +  ; +  y 2 z Tương tự : Suy : P ≥ Dấu (=) xảy  x = y = z =  Vậy : Pmin = x = y = z =  Bài tập tương tự : Cho a, b, c > và thỏa a + b + c = Chứng minh : 1 1 + + +  30 2 a +b +c ab bc ca Cho x, y, z > và thỏa : x + y + z ≥ Tìm GTNN biểu thức : x3 y3 z3 P= + + y+z z+x x+y  Hướng dẫn : 1 1 + + +  + 2 2 ab bc ca a +b +c ab.bc.ca Ta có : (VT) = a + b + c  + 2 a +b +c ab + bc + ca = 1   = + +  + 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca a +b +c  21 + (a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) 21 30  +   30 2 (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) 2 2 x3 y+z + +  3x 2  Áp dụng bđt Cosi , ta có : y + z , y3 z+x z3 x+y + +  3y , + +  3z z+x x+y  Cộng bđt trên vế theo vế, suy : P  2(x + y + z) -  2.6 - = Kết luận : MinP =  x = y = z = III Dạng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) : 2 2 ac + bd  a, b, c, d  R : (ac + bd)  (a + b ).(c + d ) hay a = đẳng thức xảy và : c Ví dụ : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1 1 P= + + a (b + c) b (c + a) c (a + b) Chứng minh :  (a + b ).(c + d ) ; b d  1 Cách 1: Đặt x = a , y = b , z = c thì x, y, z > và xyz = x y z    BĐT cần chứng minh tương đương: y  z z  x x  y ( BĐT Nesbit)  1  ( x  y  z)       yz zx x y   1     9  yz zx xz  ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )     y  z BĐT BCS ta có :9 = (1 + + 1) =   zx yz  x y zx xy     1   ( y  z )  ( z  x )  ( x  y )       yz zx xy Dấu (=) xảy  x = y = z =  a = b = c = 2 1 1   1 b+c + c+a + a+b  + +  = a b c a b + c b c + a c a + b     Cách 2: Ta có   1  + +   b + c + c + a + a + b b (c + a) c (a + b)   a (b + c) = 2(a + b + c).P 1 1 1  + +  b c Suy P ≥ a + b + c  a 1 1 a+b+c   + + =   = a + b + c  ab bc ca  a + b + c abc  Dấu (=) xảy  a = b = c = Ví dụ : Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = Tìm GTNN biểu thức : x (y + z) y (z + x) z (x + y) P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y (TSĐH - Khối A - Năm 2007) x (vì xyz = 1)  Nhận xét  y, z > : x (y + z) 2x x  y y + 2z z  x (y + z)  2x x  y y + 2z z Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu   y y x x z z P  2 + +   y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y   y + z  yz =  Đặt a=x x ,b=y y ,c=z z  a, b, c > và abc = b c   a P  2 + +  = 2S c + 2a a + 2b   b + 2c Khi đó :  a + b + c  Ta có :  a b c  =  a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)  b + 2c c + 2a a + 2b   b c   a   a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)  + +  c + 2a a + 2b   b + 2c S   (a + b + c) ≤ 3(ab + bc + ca).S Suy Dấu (=) xảy  a = b = c =  x = y = z =  Vậy : Pmin = x = y = z =  a + b + c 3(ab + bc + ca) 1 Do đó : P ≥  Bài tập tương tự : Cho a, b, c > và thỏa : a + b + c + 2abc ≥ 10 Chứng minh : 9b c2a + + + a2 9c a b2 9a b 2c + + + + + 6 b2 c2 3x 4y 5z P= + + y+z z+x x+y Cho x, y, z > Tìm GTNN biểu thức :  Hướng dẫn : 1. Áp dụng bđt BCS, ta có : 9b c2 a 2 3b ca + 18 + + +  + + = + 9b + ca a a a 24 9c a 2b2 + +  + 9c + ab , b b  Cộng bđt trên vế theo vế, suy : 4    + a + a   a + a 9a c2b2 + +  + 9a + bc c c 1 1 24.(VT)   + +  + 9(a + b + c) + ab + bc + ca b c a 24 4  4   + b  +  + c  + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) b  c  4 b + c + 2abc + 2abc + 2abc + 6(a + b + c) b c 72 =6 24 = 12 + 6(a + b + c + 2abc)  12 + 6.10 = 72  (VT)   3x   4y    5z P=  + 3 +  + 4 + +  - 12  x+y  y+z  z+x  2. Ta có :   =  x + y + z  + +  - 12 z+x x+y  y+z =  x+y  +  y+x  + z+x       +      y + z   z+x      +     x+y   - 12   ( + + 5) - 12 y+z z+x x+y = = ( + + 5) - 12  Kết luận : MinP =  IV Dạng sử dụng tính chất hàm số - phương pháp hàm số :  Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn nửa khoảng) Hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K :  x1, x2  K , x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K :  x1, x2  K , x1 < x2  f(x1) > f(x2) ’ ’  Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K Nếu f (x) ≥ , x  K (hoặc f (x) ≤ , x  ’ K ) và f (x) = số hữu hạn điểm K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K Lưu ý : Khoảng K kết này thay đoạn nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số f(x) này liên tục trên đoạn nửa khoảng đó”  Ví dụ : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : < a < b < 2 Chứng minh : a lnb - b lna > lna - lnb (TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009) lna lnb (1 + b ).lna < (1 + a ).lnb  < 2 a +1 b +1  Ta có : (đpcm)  x + - 2x lnx lnx ' f (x) = > ,  x  (0; 1) f(x) = 2 x(x + 1) x +  Xét hàm số : với < x <   f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0; 1) lna lnb  < 2 a +1 b +1  Khi đó : < a < b <  f(a) < f(b)   a 2 + a   Ví dụ : Cho a ≥ b > Chứng minh :   Ta có : (đpcm)  4 a + 1 b   b + 1 a  b a     2b + b    (TSĐH - Khối D- Năm 2007) a ln(4 + 1) ln(4b + 1)  a b ln(1 + 4x ) f(x) = x  Xét hàm số : với x > x x x ln4 - (1 + ).ln(1 + x ) f ' (x) = < ,  x  (0; +) x x (1 + )   f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0; + ) ln(4a + 1) ln(4b + 1)   a b  Khi đó : a ≥ b >  f(a) ≤ f(b) a+b a-b > lna - lnb Ví dụ : Cho a > b > Chứng minh :  Vì : a > b >  lna > lnb  lna - lnb > a -1 a-b a b lna - lnb >  ln - >0 a a+b b +1 b Ta có : (đpcm)  2(x - 1) f(x) = lnx x + với x >  Xét hàm số : f ' (x) = (x - 1) = > ,  x  (1; +) x (x + 1)2 x(x + 1)   f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1; + ) a -1 a b  ln - >0 a a a b +1 b  Khi đó : a > b >  b >  f( b ) > f(1) = Ví dụ 10 : Cho hai số thực x, y thay đổi cho : 2(x2 + y2) - xy = x + y4 P= 2xy + Tìm GTNN và GTLN biểu thức :  Nhận xét : = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy  xy ≤  = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy  xy ≥  xy +  2   - 2x y x + y4 (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy +  P= = =  = 2xy + 2xy + 2xy + 8xy + Và :  1 t   ;   3  Khi đó, đặt : t = xy , đk :  1 -7t + 2t + t   ;   3 8t + Bài toán đưa tìm GTNN và GTLN hàm số : với  t = -1 (loai)  56t - 56t f ' (t) = ; f ' (t) =   56t - 56t =   (8t + 4) t = 2 f(- ) = , f( ) = , f(0) = 15 15  2 x + y = Max P = Max f(t) =     1 ;   xy =    Vậy : f(t) = 2   x + y2 = x + y2 =     Min P = Min f(t) =      1 15  1 ;     xy = xy =    Bài tập tương tự : ln a(b - 4) <a-b b(4 - a) Cho a, b thỏa mãn : < a < b < Chứng minh : b a Cho a, b thỏa mãn : a > b ≥ e Chứng minh : a < b Cho a, b thỏa mãn : a > b > Chứng minh : 5.lna - 4.lnb > ln(5a - 4b) Cho x, y ≥ thỏa : x + y = Tìm GTNN và GTLN biểu thức : P = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy (TSĐH - Khối D- Năm 2009)  Hướng dẫn : a b ln - a < ln -b 4- a 4- b  Với : < a < b < Ta có : (đpcm)  (x - 2) x ' f (x) =  ,  x  (0; 4) f(x) = ln -x x(4 x) x  Xét hàm số: với < x <  và f’(x) = x =  f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0; 4)  Khi đó : < a < b <  f(a) < f(b)  (đpcm) b.lna < a.lnb  lna lnb < a b  Với : a > b ≥ e Ta có : (đpcm)  lnx - lnx f(x) = f ' (x) = < ,  x  (e; + ) x với x ≥ e  x2  Xét hàm số: mà f(x) liên tục trên [e; +)  f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng [e; +)  Khi đó : a > b ≥ e  f(a) < f(b)  (đpcm)  Với : a > b > Ta có : (đpcm)  a5 a5 a a ln > ln(5a - 4b)  > 5a - 4b    - + > b b b  b a x= b , x > Xét hàm số: f(x) = x - 5x + với x >  Đặt : Lập BBT, dễ dàng kết luận : f(x) > với x > , suy : (đpcm)  Biến đổi : P = 16(xy)2 - 2xy + 12  1 t   0;  4   Khi đó, đặt : t = xy , đk :  1 t   0;  4  Bài toán đưa tìm GTNN và GTLN hàm số : f(t) = 16t - 2t + 12 với f ' (t) = 32t - ; f ' (t) =  t = 16 25 191 f(0) = 12 , f( ) = , f( ) = 16 16 Max P = Max f(t) =  1  0;   Vậy : 25   x + y =    xy = ; x + y =    xy =    16   4 V Dạng sử dụng miền giá trị để tìm GTLN & GTNN : 191 Min P = Min f(t) =  16  1 0; 2sin x  cos x Ví dụ 11 : Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số : y = sin x  cos x  HD: TXĐ: D = R 2sin x  cos x y = sin x  cos x   (y – 2)sinx + (2y + 1)cosx = – 3y (1) 5 Phương trình (1) có nghiệm và khi: 9y (y – 2) + (2y + 1)  – y  5 Suy : maxy = và miny = – Ví dụ 12 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y2 = 2(x + y) + Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức x ( x  2)  y ( y  2) P=  x  y 2( x  y )  3 x( x  2)  y( y  2) m HD: Gọi T là tập giá trị P Ta có m  T  Hệ sau có nghiệm  (I) + Đặt u = x( x  2) ,v= y ( y  2) , ta có u = ( x  1)   , tương tự v –  m3  uv  u  v 7 (u  v)3  3uv(u  v) 7 3m      u  v m u  v m  u  v m (II) +Hệ (I) trở thành  m3  t  mt  0 3m u, v là hai nghiệm phương trình (1)  +Hệ (I) có nghiệm Hệ (II) có nghiệm (u, v) thỏa u – 1và v –  Phương trình (1) có nghiệm t , t thỏa – t1 t2  4(m  7) 0 m  m  0  m  28   0 m  0    m3   m  (t1  1)  (t2  1) 0   m      (t1  1)(t2  1) 0   3m   m   m 1  m  28 3 Do đó T = [1, 28 ] Vậy minP = và maxP = 28 Ví dụ 13 : Cho x,y là các số thực thỏa mãn 3x2 + 2xy + y2 = 11 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = x2 + 2xy + 3y2 3x  xy  y 11  x  xy  y m   HD:Gọi T là tập giá trị P Ta có m T Hệ sau có nghiệm  (I)  y  11  y 11   y m  m 33 +Nếu x = thì hệ trở thành   x (3  2t  t ) 11  x (1  2t  3t ) m  +Xét trường hợp x Đặt y = tx ta có hệ  (m  33)t  2(m  11)t  3m  11 0   m(3  2t  t ) 11(1  2t  3t )  11  x  2  t  2t    x (3  2t  t ) 11   (II) Hệ (I) có nghiệm  Hệ (II) có nghiệm x 0  (m – 33)t2 + 2(m – 11)t + 3m – 11 = (1) có ngh  +Nếu m = 33 thì (1) có nghiệm t = +Xét m 33, đó (1) có nghiệm   't 0  (m – 11)2 – (m – 33)(3m – 11) 0  – 2m2 + 88m – 242 0  m  [22  11 3, 22 11 3] \  33 + Kết hợp các trường hợp trên ta các giá trị để hệ có nghiệm là m  [22  11 3, 22  11 3] Do đó T = [22  11 3, 22  11 3] Vậy minT = 22 – 11 , maxT = 22 + 11  Bài tập tương tự : 1: Cho hai số thực thay đổi x 0, y 0 thỏa mãn xy(x + y) = x2 – xy + y2 Tìm giá trị lớn biểu thức: 1  3 y A= x ( ĐH khối A – 2006) 2: Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn x + y + x2 + y2 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P = xy(x + 1)(y + 1)  Hướng dẫn :  T là tập giá trị A Ta có m  A  Hệ sau có nghiệm x 0, y 0  xy ( x  y ) x  xy  y  xy ( x  y )  x  xy  y  xy ( x  y ) x  xy  y    1  ( x  y )( x  xy  y )  ( x  y )2   m  m  y3   2 m x3 y  x     x y (I)  SP S  3P  S  m Đặt S = x + y, P = xy, S2 4P ta có hệ  P (II)  (0;16] \  1 Hệ (I) có nghiệm x 0, y 0  Hệ (II) có nghiệm (S,P) thỏa mãn S2 4P  m Vậy maxA = 16  x  y  x  y 8  xy ( x  1)( y  1) m  T là tập giá trị P Ta có m  T  Hệ sau có nghiệm  Hệ trở thành + Đặt u = x + x2 , v = y + y2 , điều kiện u, v Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình t – 8t + m = (1)  t1 t2 + Hệ có nghiệm  (1) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn  u  v 8  uv m  ' 0 33   (t1  1/ 4)(t2  1/ 4) 0   m 16 16 (t  1/ 4)  (t  1/ 4) 0  33  Vậy minP = 16 , maxP = 16 Tam Kỳ, ngày 10 tháng 03 năm 2011 TỔ TOÁN - TIN THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM