Đang tải... (xem toàn văn)
- Việc phân tích một đa thức thành nhân tử (hay thừa số) chính là việc biến đổi đa thức đó thành một tích của các đơn thức và đa thức,nó có nhiều ích lợi trong quá trình giải một số bài [r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ: I Lí chọn đề tài:
Khi nhắc đến lĩnh vực giáo dục, Nghị 40/2000 QH X Quốc hội khoá X khẳng định “Mục tiêu việc đối chương trình phổ thơng xây dựng nội dung chương trình, phương pháp giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài góp phần tạo nguồn lực phục vụ nghiệp CNH, HĐH đất nước” Vậy để thực mục tiêu mà Nghị đưa ra, cần phải đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục, đào tạo khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo kĩ phân tích cho người học
Bản thân giáo viên trực tiếp đứng lớp, làm công tác giảng day tơi thường suy ngẫm cần phải làm gì? Làm để đổi phương pháp dạy-học, nâng cao chất lượng giáo dục trường THCS, đặc biệt mơn học (mơn Tốn học)
Cũng môn học khác trường THCS, môn Toán học nằm quỹ đạo chung xu đổi mối phương pháp dạy học Tuy có đặc trưng riêng: Tốn học môn khoa học tảng cho mơn khoa học khác Nó có ứng dụng hầu hết lĩnh vực sống.Toán học giữ vai trò quan trọng học, làm để học sinh học tốn? Đó vấn đề đặt mà lúc giải cách dể dàng Vậy làm thể để nâng cao chất lượng môn Toán học điều trăn trở đổi với giáo viên dạy mơn Tốn nói chung thân tơi nói riêng
II Thực trạng:
Như tốn học mơn trọng tâm, cơng cụ, chìa khóa cho mơn khoa học khác Khi giảng dạy mơn Tốn học có nhiều vấn đề nảy sinh nhiêu phần học cần phải giải quyết, đặc biệt phần rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử
Trong chương trình Đại số lớp việc phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức Phân tích đa thức thành nhân tử sở xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng tốn khác chương trình giải phương trình bậc 2, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị…
Trong trình dạy học phần giáo viên học sinh gặp phải số khó khăn vướng mắc sau:
1 Đối với giáo viên:
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy mơn Tốn đa số thầy giáo trường có lịng nhiệt tình cơng tác kinh nghiệm giảng dạy nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy - học thiếu thốn
Đối với học sinh:
- Qua hai năm công tác trường THCS Đạ M’rông tiếp cận với nhiều đối tượng học sinh Tơi nhận thấy đối tượng học sinh có trình độ tư lĩnh hội kiến thức, chiếm lĩnh kiến thức mức độ trung bình yếu chiếm phần đa số Kỹ phân tích, nhận dạng, định hướng cách giải trình bày làm em cịn yếu
(2)với mặt chung thấp, nhiều bậc cha mẹ cịn chưa hiểu nói rõ tiếng phổ thơng
- Kỹ phân tích trình bày ghi học sinh chưa thành thạo rõ ràng Việc nghiên cứu học tập nắm bắt lí thuyết chưa tốt, nhiều học sinh khơng nhớ kiến thức cũ
Từ lí thực trạng mạnh dạn xây dựng chuyên đề “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử mơn Tốn lớp cho HS trường THCS Đạ M’rơng”, mục đích tơi thơng qua chun đề nhằm giúp học sinh có kĩ năng, phân tích, nhận dạng, phân loại để đưa lời giải cho tốn nhanh chóng hợp lý xác
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I Giải pháp:
Trong q trình học tốn HS gặp nhiều khó khăn trình tìm lời giải cho toán, đặc biệt phân loại định hướng cách giải tốn Đối với tốn phân tích đa thức thành nhân tử việc nhận dạng định hướng cách giải để phối hợp phương pháp tiến hành giải tốn đóng vai trò quan trọng
Bài tập áp dụng cho phương pháp rõ ràng cho học sinh định hướng tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử Từ học sinh tự tin có kĩ thành thạo thực tốn phân tích đa thức thành nhân tử thành kĩ áp dụng việc làm toán sau Khi giảng dạy Phân tích đa thức thành nhân tử phần tập sách giáo khoa, sách tập đại số lớp tương đổi đơn giản học sinh nói chung có phần khó học sinh vùng đồng bào dân tộc, đặc biệt học sinh trường THCS Đạ M’rông Để giải vấn đề giải pháp đưa cho giáo viên học sinh là:
1.Đối với giáo viên:
- Trên sở kiến thức học sinh học, để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử ta thường phải phối hợp phương pháp Khi tiến hành phân tích giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực theo thứ tự sau:
+ Trước hết cần xem xét phương pháp đặt nhân tử chung
+ Thực nhóm hạng tử thích hợp để làm xuất nhân tử chung nhóm làm xuất đẳng thức
+ Dùng phương pháp dự đoán nghiệm để tách thêm bớt hạng tử + Dùng phương pháp đặt biến phụ
+ Đối với đa thức mà biến có vai trị áp dụng phương pháp xét giá trị riêng
- Giáo viên cung cấp cho học sinh phương pháp giải cho thể loại tập cụ thể
2 Đối với học sinh
- Khi giải toán học sinh chưa nhận dạng để định hướng cách giải Nên để giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần phải trang bị kiến thức kĩ sau:
(3)- Việc phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) việc biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức,nó có nhiều ích lợi q trình giải số toán như: rút gọn dạng phân thức, giải phương trình bậc cao, thực phép tính phân thức v.v…
Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Sau số phương pháp thường gặp
1 Phương pháp đặt nhân tử chung
- Khi hạng tử đa thức có chung nhân tử, ta đặt nhân tử chung ngồi dấu ngoặc theo cơng thức:
A.B + A.C = A.(B + C)
- Nhân tử chung đa thức gồm:
+ Hệ số UCLN hệ số hạng tử;
+ Các chữ có mặt hạng tử với số mũ nhỏ chữ Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
12x3y2 - 36x2y + 60x4y3z
Giải:
ƯCLN (12; 36; 60) = 12;
Các chữ x,y có mặt ba hạng tử; số mũ nhỏ x 2, số mũ nhỏ y Do đó, nhân tử chung đa thức 12x2y Ta có:
12x3y2 - 36x2y + 60x4y3z = 12x2y(xy - + 5x2y2z).
Chú ý:
Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Ví dụ:
3x2(y - 2x) - 21x(2x - y)= 3x2(y - 2x) + 21x(y - 2x)= 3x(y - 2x)(x + 7).
(Để làm xuất nhân tử chung y-2x ta biến đổi -21x(2x - y) thành +21x(y -2x)
2 Phương pháp dùng đẳng thức:
Nếu đa thức chứa vế đẳng thức đáng nhớ ta dùng hằnh đẳng thức để viết đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1:
Phân tích đa thức thành nhân tử: 8x3 - 12x2 + 6x - 1
Giải: Sử dụng đẳng thức
A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3
Ta có: 8x3 - 12x2 + 6x - = (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13
= (2x - 1)3
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 36x4 -
25 y6
Giải : Sử dụng đẳng thức A2 - B2 = (A + B)(A - B)
Ta có : 36x4 -
25 y6 = (6x2)2 - ( y3)2
= (6x2 +
5 y3).(6x2 - y3)
(4)Ví dụ :
-8x3 -
27 = -(8x3 +
27 ) = -[(2x)3 + ( )3]
= -(2x + 13 )(4x2 -
3 x + )
3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Căn vào đặc điểm hạng tử, ta nhóm hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng đẳng thức nhân tử chung nhóm
Ví dụ 1:
a2 - x2 + 2bx - b2 = a2 - (x2 - 2bx + b2) = a2 - (x - b)2
= (a + x + b)(a - x - b) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
xy + x + y + Giải:
Đối với đa thức nhóm hạng tử theo hai cách sau: Cách 1:
xy + x + y + = (xy + x) + (y + 1)
= x(y + 1) + (y + 1) = (y + 1)(x + 1) Cách :
xy + x + y + = (xy + y) + (x + 1) = y(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(y + 1) 4 Phương pháp tách hạng tử:
Trong nhiều trường hợp, ta phải tách hạng tử thành hai hạng tử để làm xuất dạng đẳng thức để áp dụng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Có nhiều cách tách hạng tử thành hai hạng tử khác Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
x2 + 6x + 8
Giải:
Bằng cách tách hạng tử thành hai hạng tử khác, ta phân tích sau: Cách 1:
x2 + 6x + = x2 +2x + 4x + 8
= x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 2)(x + 4) Cách 2:
x2 + 6x + = x2 + 6x + - = (x + 3)2 -
= (x + + 1)(x + - 1) = (x + 4)(x + 2) Ngoài cịn có số cách khác
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b) Giải:
Với nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) ta phân tích sau: bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b)
(5)= bc(b + c) + ac(b + c) - ac(a + b) - ab(a + b) = c(b + c)(b + a) - a(a + b) (c + b)
= (a + b) (b + c) (c - a)
5.Phương pháp thêm bớt hạng tử:
Ta thêm bớt hạng tử thích hợp để áp dụng phương pháp nêu trên, thường nhằm làm xuất hiệu hai bình phương làm xuất nhân tử chung
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử : x5 + x + 1.
Giải: Cách 1:
x5 + x + = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 - x2 + x + 1
= (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) - x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
=(x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
Cách 2:
x5 + x + = x5 - x2 + x2 + x + 1
= x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
6 Phương pháp dự đoán nghiệm đa thức:
Nếu a nghiệm đa thức f(x) phân tích f(x) thành nhân tử, f(x) có chứa nhân tử (x - a) Do dự đốn để nhẩm nghiệm đa thức f(x)thì áp dụng kết để phân tích f(x) thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x + thành nhân tử.
Giải: Ta nhận thấy -1 nghiệm f(x) vì: f (- 1) = (-1)3 + 3(-1) + =
Do f(x) phải chứa nhân tử (x + 1) Bằng cách chia f(x) cho (x + 1) dùng sơ đồ hoocnơ, ta tìm thấy nhân tử cịn lại Ta phân tích đa thức f(x) theo hướng làm xuất nhân tử chung (x + 1)
Ta có : x3 + 3x + = x3 + x2 - x2 - x + 4x + 4
= x2(x + 1) - x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x - 1)(x2 - x + 4)
Việc dự đốn nghiệm ngun (nếu có) đa thức thuận lợi ta áp dụng kết sau :
a) Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số đa thức có nghiệm x = tức f(x) có chứa nhân tử (x - 1)
Ví dụ : Đa thức x3 - 5x2 + 8x - có tổng hệ số là
1 +(-5) + + (-4) =
Do đa thức có chứa nhân tử x - x3 - 5x2 + 8x - = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x -
= x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 4x + 4)
(6)b) Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ đa thức có nghiệm x= -1 tức f(x) có chứa nhân tử (x+1)
Ví dụ :
Đa thức x3 + 3x2 +6x + có tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn : + =
7, có tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ + = Nên đa thức có chứa nhân tử (x + 1)
Ta làm xuất nhân tử chung (x + 1)
x3 + 3x2 + 6x + = x3 + x2 + 2x2 + 2x + 4x + 4
= x2(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 2x + 4)
c) Nếu đa thức với hệ số nguyên f(x) = anxn + an - xn - + … + a1x + a0
Có nghiệm ngun nghiệm phải ước hạng tử tự a0
Thật vậy, giả sử đa thức f(x) nói có nghiệm x = a (a z) Ta có: anxn + an -1 xn-1 + … + a1x + a0
= (x - a)(bn-1 xn-1 + bn-2 xn -2 + … + b0)
Trong b0, b1, …, bn-1 hệ số nguyên Hạng tử bậc thấp tích
ở vế phải -ab0, hạng tử thấp vế trái a0, -ab0 = a0 tức a
là ước a0
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân thử: f(x) = x3 + 3x2 + 3x +2
Giải:
Ta dự đoán nghiệm f(x)
Nghiệm nguyên (nếu có) f(x) phải có ước
Ta có Ư(2) ={ ± 1, ± 2} Lần lượt thử với x= ± 1, ± 2 ta thấy.
f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + = -8 + 12 - + = 0
Do f(x) có nghiệm x = -2 phải chứa nhân tử (x +2) Ta phân tích theo hướng xuất nhân tử chung (x + 2):
x3 + 3x2 + 3x + = x + + 2x2 + x2 + 2x + x + 2
= x2(x + 2) + x(x + 2) + (x + 2)
= (x + 2) (x2 + x + 1)
7 Phương pháp đặt biến phụ.
Trong só trường hợp, việc đặt biến phụ thay cho nhóm hạng tử làm cho đa thức có bậc thấp việc phân tích thành nhân tử trở nên thuận tiện
Ví dụ 1: phân tích thành nhân tử:
f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + Giải:
(7)= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + 1
Đặt x2 + 5x + = y, đa thức trở thành:
(y – 1)(y + 1) = y2 – + = y2 = (x2 + 5x + 5)2
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
Giải:
Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z Ta có: x + y + z = (a – b) + (b – c) + (c – a) = Suy ra: z = -(x + y) Do đó:
x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3
= x3 + y3 - x3 – y3 – 3xy(x + y) = 3xyz.
(Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B))
Vậy (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
8 Phương pháp xét giá trị riêng.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng, ta sử dụng hệ định lý Bêdu để xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, sau gán cho gia trị cụ thể để xác định nhân tử lại
Ví dụ:Phân tích thành nhân tử: P = (x + y + z)3 – x3 - y3 - z3.
Giải:
Coi P đa thức biến x, thay x –y ta P = Vậy –y nghiệm đa thức P nên P chứa nhân tử (x + y) Do x, y, z có vai trị đa thức P nên lí luận tương tự, ta suy P chứa nhân tử
(y + z) (z + x) P đa thức bậc tập hợp biến
Do P có dạng k(x + y)(y + z)(z + x) với k số Cho x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = y = 1, z = ta tính được:
(1 + + 0)3 = k(1 + 1)(1 + 0)(0 + 1)
= 2k ⇒ k = Vậy P = 3(x + y)(y + z)(z + x)
9 Phối hợp phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta thường phải phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Khi tiến hành phân tích nên theo thứ tự sau:
- Trước hết cần xem xét phương pháp đặt nhân tử chung;
- Thực nhóm hạng tử thích hợp để làm xuất đẳng thức;
(8)- Dùng phương pháp đặt biến phụ
- Đối với đa thức mà biến có vai trị áp dụng phương pháp xét giá trị riêng
II Tổ chức thực hiện:
Sau xin thực tiết soạn giảng để chứng minh cho lí do, thực trạng, giải pháp mà tơi đưa ra:
Tuần 07 Ngày soạn: 20/09/2009
Tiết 14 Ngày dạy: 25/09/2009
LUYỆN TẬP I Mục tiêu:
1 Kiến thức:
Rèn luyện kỹ giải phân tích đa thức thành nhân tử Kĩ năng:
- HS giải thành thạo loại tập phân tích đa thức thành nhân tử - Giới thiệu cho hs phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử Thái độ:
II Phương tiện:
- GV: Máy chiếu, ghi bảng nội dung phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học
- HS: - đẳng thức đáng nhớ
- Các phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử - Quy tắc dấu ngoặc
III Tiến trình dạy học: 1) Ổn định tổ chức: 8A1: 8A2:
2) Kiểm tra kiến thức:
- Hãy nhắc lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học? 3) Bài
Hoạt động Thầy - Trò Ghi bảng
HĐ1: Nhắc lại nội dung phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học
GV: Sử dụng máy chiếu HĐ2 Luyện tập
GV: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x2 - x
GV: Gọi hai học sinh lên bảng thực HS lên bảng làm
GV: Gọi học sinh khác nhận xét
I Ôn lại số dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử
1 Đặt nhân tử chung
Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x2 - x = 2.x.x - x.1
(9)GV: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 + 4x + 4
GV: Đa thức có hạng tử? HS: Đa thức có ba hạng tử
GV: Đa thức có ba hạng tử, em nghĩ xem áp dụng HĐT để biến đổi thành tích?
GV: Phân tích đa thức sau thành nhân tử xy - 5y + 2x - 10
GV: Yêu cầu hs tìm cách nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử
(yêu cầu hs hoạt động nhóm (4 phút)) GV: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x - 2y - x2 + 2xy - y2
GV: Để phân tích đa thức thành nhân tử ta phải làm gì?
HS: …………
GV: Yêu cầu hs lên bảng làm Sau yêu cầu học sinh nhận xét làm bạn
GV:
Phân tích đa thức x2 - 4x + thành nhân
tử
GV: Ta phân tích đa thức phương pháp học không
HS trả lời………
GV: Thầy hướng dẫn em phân tích đa thức phương pháp khác
GV: Đa thức x2 - 4x + tam thức
bậc hai có dạng ax2 + bx + c với a = 1, b
= -4, c =
- Đầu tiên ta lập tích a.c = 1.3 =
- Sau tìm xem 2… Tích cặp số ngun
HS: = 1.3 = (-1)(-3)
- Trong hai cặp ta thấy có
2 Dùng đẳng thức.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 + 4x + 4
= x2 + 2.x.2 + 22
= (x + 2)2
3 Nhóm hạng tử.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử xy - 5y + 2x - 10
= (xy - 5y) + (2x - 10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)
4 Phối hợp phương pháp trên Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x - 2y - x2 + 2xy - y2
= (2x - 2y) - (x2 - 2xy + y2)
= 2(x - y) - (x - y)2
= (x - y)[2 - (x - y)] = (x - y)(2 - x + y)
II Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác.
1 Phương pháp tách hạng tử. Bài tập 57:
a) x2 - 4x + 3
= x2 - x - 3x + = (x2 - x) - (3x - 3)
(10)(-1) + (-3) = -4 hệ số b Ta tách -4x = -x - 3x
Vậy đa thức x2 - 4x + biến đổi
thành
x2 - x - 3x + đến phương pháp
tích tiếp đa thức thành nhân tử GV:
Giới thiệu cách tách (để tách hạng tử tự do) (MC)
x2 - 4x + = x2 - - 4x + 4
= (x2- 1) - (4x - 4)
= (x - 1)(x + 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x + - 4)
= (x - 1)(x - 3) GV: Tổng quát ax2 + bx + c
= ax2 + b
1x + b2x + c
Phải có b1 + b2 = b b1.b2 = a.c
GV: Yêu cầu hs làm tập 57d/SGK GV: Ta dùng phương pháp tách hạng tử để phân tích đa thức khơng? HS: …………
GV:
Để làm ta phải dùng phương pháp thêm bớt hạng tử
Ta thấy x4 = (x2)2
= 22
GV: Để làm xuất đẳng thức bình phương tổng ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 phải bớt 4x2 để giá trị
của đa thức không thay đổi
2 Phương pháp thêm bớt hạng tử Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + 4
= x4 + 4x2 + - 4x2
= (x2 + 2)2 - (2x)2
= [(x2 + 2) - 2x][(x2 + 2) + 2x]
= (x2 + - 2x)(x2 + + 2x)
Hoạt động3: Hướng dẫn nhà (máy chiếu)
+ Ôn lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Bài tập nhà: 54(a,c); 55; 56; 57c/tr25 sgk
35; 36; 37; 38/tr7sbt
+ Ôn lại quy tắc chia hai lũy thừa số
(11)Trong trình giảng dạy mơn tốn lớp trường THCS Đạ M’rơng mạnh dạn xây dựng chuyên đề để giúp em tháo gỡ khó khăn, hình thành nhiều kỹ việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Chúng xây dựng chuyên để ý tưởng hiểu biết chủ quan cá nhân, trình tổ chức thực khơng tránh khỏi thiếu sót, chưa hợp lí, khoa học Vì mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến giúp đỡ chân thành lãnh đạo phòng giáo dục, phận chun mơn phịng bạn bè đồng nghiệp tham dự chuyên đề
Xin chân thành cảm ơn!
Duyệt tổ chuyên môn Duyệt nhà trường Nhóm thực hiện
Nhóm trưởng