Một số chuyên đề Toán - Chuyên đề Bất đẳng thức

Từ 1 và 2 suy ra để bất phương trình có nghiệm, dấu đẳng thức phải xảy ra ở bất đẳng thức 2, lúc đó:... Tương tự ta có:.[r]

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1: a) Chứng minh 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2 với a, b a  b  2ab  b > a, với a > b > b) Chứng minh Bài giải: a) Ta có 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2  4(a4 + b4) > 2ab3 + 2a3b + 4a2b2  ( b4 – 2ab3 + a2b2) + (a4 – 2a3b + a2b2) + (3a4 + 3b4 – 6a2b2)   (b2 – ab)2 + (a2 – ab)2 + 3(a2 – b2)2  (đúng) Vậy bất đẳng thức đã cho đúng 2 a  b  2ab  b > a b) Với a > b > thì  (a2 - b2) + (2ab – b2) +  2b(a - b) + a a   b 2ab  b   c(a  c) +  b 2ab  b >  > a2 (đúng) Vậy bất đẳng thức đã cho đúng Câu 2: a) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh: b) Cho a > 0, b > Chứng minh: c(b  c)  ab ab  a b Bài giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: c(a  c) c(b  c) c  ac  c bc         ab ab b a  a b  1 c ac  1 c bc         1 2b a  2a b  Điều phải chứng minh Dấu “=” xảy  bc  a bc b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: Lop8.net ab a b  a  b 2 Suy a b  a b a b ab  a b  a  b  a b a b ab Câu 3: x a) Cho x> 0, y > và x + y  Chứng minh: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =  xy  y  xy  2  2x  x  Bài giải: a) Nhận xét a, b là số dương thì Từ đó ta có: x  xy  y  xy  Từ (*) suy ra: x  xy  x  y  y  xy  x  xy  y  xy  x  y  2 Vì x, y > và x + y  nên 1   a b a  b   b) Điều kiện:  x  x     2  x   2 Lop8.net * x 1   2 Ta có:  x  x    Do đó: A= 2  2x  x     1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A là   1 , đạt x = Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c a  b8  c 1    (a > 0, b > 0, c > 0) b) 3 a b c a b c a  b2  c  d  e2  a b  c  d  e  c) Bài giải: với a, b, c, d, e a) a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca   2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca       a  b  2ab  b  c  2bc  a  c  2ca   a  b   b  c   c  a   2 2 Do đó a  b  c  ab  bc  ca là bất đẳng thức đúng b) Áp dụng câu a) ta có: a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c + c4a4 = (a2b2)2 + (b2c 2)2 + (c2a2)2   (a2b2) (b2c 2) + (b2c 2)(c2a2) + (c2a2)(a2b2) = a2b2c 2(a2 + b2 + c2)  a2b2c 2(ab +bc + ca) Do đó 2 a8  b8  c8 a 2b 2c (ab  bc  ca)   a3b3c3 a3b3c3 a  b8  c 1    a 3b c a b c c) a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d +e)  a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d +e)  Lop8.net  a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae   a2   a2   a2   a2     b  ab     c  ac     d  ad     e  ae   4  4  4  4  a    b 2  a   c 2  a   d  2  2 a     e  2  (Bất đẳng thức đúng) Do đó a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng Câu 5: Cho n là số nguyên dương Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức: n     n  3 3 Bài giải: m  0, m  1, m   m Với m nguyên dương, ta có: m 1 m 2.3 2.3 Thay m 1; 2; ; m Ta có: 1, 2,   2.3 2, 3,   32 2.3 2.32 n n  0, n  1,   3n 2.3n 1 2.3n Do đó: n 1, n  1, 1,     n     n 3 3 2.3 Câu 6: Tìm tất các số thực x thỏa: x  4  x   x    4  x   x Bài giải: Lop8.net 3x  x3  30 x  4  x    x20    x   Điều kiện:  4 x   x0 Áp dung bất đẳng thức Cối cho số không âm, ta có: x24 x 1 x  1 1 x   x 1 x2      x  2.1  2 4  x 1 1  x 1 x  4  x   x    2 4 x  4  x   x  4  x   x 3x  x3 27  x3  27 Do đó: x  4  x   x    4  x   x 3x  x3  30 2 x4 Vậy là giá trị cần tìm Câu 7: Với a > 0, b> 0, c > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: a) c) ab bc   2b c a b) ab bc ca    abc c a b a  b3 b3  c c  a    abc 2ab 2bc 2ca Bài giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: ab bc ab bc ab bc  2    2b c a c a c a b) ab bc   2b (theo câu a) c a Lop8.net Chứng minh tương tự câu a) ta có: Do đó:  ab ca   2a ; c b bc ca   2c a b ab bc ab ca bc ca       2a  2b  2c c a c b a b ab bc ca    abc c a b c)Với a, b > Ta có: a  b a  b      a  b  a  ab  b  ab    a  b3  ab(a  b)   a  b3  ab(a  b) a  b3 a  b   2ab b3  c b  c c  a c  a  ;  Tương tự ta có: 2ab 2ca Do đó: a  b3 b3  c c  a a  b b  c c  a      2ab 2bc 2ca 2 a  b3 b3  c c  a     a  b  c 2ab 2bc 2ca Câu 8: Chứng minh A a  B b BbC c C c  A a   A a  B bc  d B bC c  a  d C c  A a b d Trong đó A, a, B, b, C, c, d là các số dương Bài giải: xz x  Bài toán phụ: Cho < x < y, z > Chứng minh rằng: yz y Vì < x < y, z >  zy  zx  xy  yz  xz  xy xz x  y ( x  z )  x( y  z )   yz y Lop8.net A a  B b A a  Áp dụng bài toán phụ ta có: A a  B bc  d A a c  d BbC c C c  Tương tự: BbC cad C cad Mà A a C c A a C c    A a c  d C c  a  d C c  A a b d C c A a b d Do đó: A a  B b BbC c C c  A a   A a  B bc  d B bC c  a  d C c  A a b d Câu 9: Giải bất phương trình: 3 25 x(2 x  9)  x  x Bài giải: Điều kiện x # - Với x > Nhân vế bất phương trình với x ta được: 25 x (2 x  9)  x  (1) Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: x  x  (2 x  9)  3 25 x (2 x  9) (2)  x   25 x (2 x  9) Từ (1) và (2) suy để bất phương trình có nghiệm, dấu đẳng thức phải xảy bất đẳng thức (2), lúc đó: 5x2  x2   x  25 x (2 x  9) - Với x < Nhân vế với x ta có: Bất phương trình trên đúng với x < Câu 10: Cho x, y là số thực khác Chứng minh:  x y x2 y       y x2  y x Bài giải: Đặt t x y x y x y  t     y x y x y x Lop8.net  4x2  x y   (bất đẳng thức Côsi) y x Mà t   t  2hayt  Suy x2 y t    Bất đẳng thức đã cho tương đương với: y x Khi đó t   3t  t  1t    ( *) (*) đúng vì t  2hayt  Vậy bất đẳng thức đã cho đúng(đpcm) Câu 11: Chứng minh  3 2  3 3 2 3 2 Bài giải: Đặt a = x + y với x =  2 , Dễ thấy: x3 + y3 = và x.y =  y=  a  x  y  xy ( x  y )   3a Suy ra: Do đó Vậy : (Vì x > 1, y > nên a > 1)  3(1   a )  3(3 1.1.a ) a  (32 )3 a  a8  36  3  3 2 3 Câu 12: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn: Bài giải: Theo giả thiết a, b, c nguyên nên suy ra: a  b  c  ab  3b  2c  a  ab  b  3b   c  2c   2 b  b    a      1  c  1  2  2  b b a  ;  1; c  Suy Hay a = 1; b = 2; c = 2 Câu 13: Chứng minh a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: Lop8.net 1    a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c 16 Bài giải: 1 Từ điều kiện abc = ab + bc + ca, ta có:    (1) a b c Mặt khác với x, y > 0, ta có: Dấu “=” xảy  Áp dụng (2) ta có: x  y 11 1     (2) x y 4 x y 1   a  2b  3c a  c   b  c   1 1 1       16a 16c 32b 32c 16a 32b 32c Dấu “=” xảy  (trái với giả thiết) Vậy  1 1     a  c  b  c   a  c  2(b  c), a  c, b  c, tức là và c = 1    a  2b  3c 16a 32b 32c Tương tự ta có: 1    2a  3b  c 32a 32b 16c 1    3a  b  2c 32a 32b 32c Từ các bất đẳng thức trên và kết hợp với (1) ta được: 1  1  1             a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c  16 32 32  a b c  16 Câu 14: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Lop8.net a b   b 1 c 1 c  12 a 1 a b   b 1 c 1 c  33 a 1 a b c b 1 c 1 a 1 Nhận xét rằng: Với x > ta có: 33 a b c  3 4.4.4  12 b 1 c 1 a 1 Đẳng thức xảy a = b = c =4 Câu 15: Cho số dương x, y, z có tổng Chứng minh rằng: x  yz  y  zx  z  xy   xy  yz  zx Bài giải: Ta chứng minh x  yz  x  yz (1)  x  yz  x  x yz  yz   x  yz (1)  x  y  z  x  yz  y  z  yz   y z   Do đó (1) đúng y  zx  y  Tương tự ta có: zx z  xy  z  xy (1) (2) x  yz  y  zx  z  xy   xy  yz  zx Dấu “=” xảy và x = y =z = Từ (1), (2), (3) suy ra: Câu 16: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  Bài giải: Nhận xét rằng: 4(2 x  xy  y )  x  y   x  y   x  y  Vì x, y > suy x  xy  y  Lop8.net x  y  2 Tương tự ta có:  y  z  z  zx  x  z  x  2 y  yz  z  Cộng ba bất đẳng thức trên ta được: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  x  y  z  Do x + y + z = Suy ra: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  Câu 17: Cho hai số dương a, b Chứng minh rằng: a  b  2  ab  a b  b a Khi nào xảy đẳng thức? Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: a  b  2  ab ab 1 ab 1 1   a  b   a   b   ab a  b         2  4   Xét hiệu:   1    ab  a  b    a b  b a  ab  a  b   a  b  2    2  1  1   ab  a     b     2     a  b   a  b  a b  b a 1  ab a  b   a b  b a    Suy ra: 2  a  b   Dấu “=” xảy a  b   Bài 18: Với số a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện a2 + b2 = và (a – d)(b – c) = Chứng minh rằng: c  d Khi nào dấu “=” xảy ra? Bài giải: 2  2ad  2bc  2ab  2 Lop8.net c  d  2ad  2bc  2ab  2 (1) (1)  c  d  2ad  2bc  2ab   2  b  c   a  d   2ab  b  c a  d   2ab   2ab 2  b  c   a  d   2ab  a  b  2ab  a  b   (2) 2 Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng  a  b2   a  b2   2 a  d b  c     a  d   b  c    Dấu “=” xảy  ad  bc  cd   ab Câu 19: Cho a, b, c là các số thực lớn hay chứng minh rằng: 1   a)  a  b  ab 1    b)  a  b  c  abc Bài giải: 1   a)  a  b  ab   1         1 b 0  a  ab  ab     b  a b a  b    0 1  a 1  ab  1  b 1  ab  a Lop8.net b  a    b  a  ab  b  a     0  1  b 1  a 1  ab  b  a   ab  1   0 1  b 1  a 1  ab  Vì a, b  nên tử số  (đpcm) b) Áp dụng kết trên ta có: 1    a  b  ab 1    c  abc  abc   1 3         a  b  c  abc  ab  abc   4    12 a 4b c  abc Do đó: 1        a  b  c  abc  abc  abc  abc (đpcm) Câu 20: Chứng minh: 1   2  a  b  ab a  1; b  Bài giải: Lop8.net Xét hiệu 1   1              a  b  ab   a  ab    b  ab     a b  a   b  b a  b   a ab  a ab  b     a 1  ab   b 1  ab   a  b 1  ab       b  a  ab  1   1  a 1  b2 1  ab  Vì ( a  1; b  ) Lop8.net   