III/ GIẢI PHÁP: III.1/Những kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 là các em chưa được học g[r]
(1)TÌM X TRONG ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Khi dạy học môn toán có phần “Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyêt đối” , tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẻ, chưa xét hết các trường hợp xẩy Lí là chưa nắm vững biểu thức giá trị tuyệt đối số, biểu thức, chưa biết vận dụng và chưa nắm phương pháp giải dạng bài tập Các em chưa phân biệt các dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác Mặt khác nội dung kiến thức lớp & dạng này để áp dụng còn hạn chế nên không thể đưa đầy đủ các phương pháp giải cách có hệ thống và phong phú Mặc dù chương trình sách giáo khoa xếp hệ thống và lô gíc, có lợi dạy học đặt vấn đề dạng toán tìm x này Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh sai lầm giải bài toán tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Tôi nghĩ cần phải làm nào đó để học sinh có thể vận dụng tốt định nghĩa, tính chất giá trị tuyệt đối, phân chia các dạng, tìm phương pháp giải bài Từ đó học sinh tự tin gặp dạng toán này Đó là lý Tôi chọn và trình bày kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ” Mục tiêu của đề tài: Nâng cao kỷ giải số dạng bài toán tìm x có chứa dấu tuyệt đối cho học sinh từ đó phát triển tư logic cho học sinh, giúp cho bài giải các em hoàn thiện hơn, chính xác (2) 3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối có học lực khá, giỏi Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo và Internet Phạm vi nghiên cứu: - Các bài toán chương trình toán PHẦN II NỘI DUNG I/ CƠ SỞ CHỌN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Với học sinh lớp thì việc giải bài toán “ Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” gặp nhiều khó khăn học sinh chưa học quy tắc giải phương trình, các phép biến đổi tương đương Chính vì gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tìm hướng giải và giải hay mắc sai lầm Kiến thức toán học lớp & là sở bước đầu bậc trung học sở Nắm vững kiến thức, kỹ toán học lớp là điều kiện thuận lợi để học tốt các lớp trên Cơ sở thực tiễn: Khi dạy học môn toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối Đa số học sinh giải còn thiếu lô gíc ,thiếu chặt chẽ, thiếu trường hợp Chất lượng môn toán học sinh còn hạn chế, học sinh giỏi còn ít Với học sinh lớp gặp bài toán này các em làm ít, làm thì thường mắc sai lầm sau: Ví dụ : Tìm x biết x 3 Học sinh chưa nắm đẳng thức luôn xảy vì (3> ) mà xét hai trường hợp ứng Cách làm này chưa gọn x-4 >0 và x -4 < và giải hai trường hợp tương (3) Ví dụ : Tìm x biết : 2x =1 Nhiều học sinh chưa đưa dạng để giải mà nhanh chóng xét hai trường hợp giống ví dụ Ví dụ : Tìm x biết x -x = (1) Học sinh đã làm sau: Nếu x-1 0 suy x-1 -x =2 Nếu x-1<0 suy 1-x-x=2 Với cách giải này các em không xét tới điều kiện x Có em đã thực (1) suy x =x+ x-1= x+2 x-1= -x-2 Trong trường hợp này các em mắc sai lầm trường hợp không xét điều kiện x+2 Như các cách làm trên các em làm chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện làm bài còn chưa ngắn gọn II/KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT Qua khảo sát chưa áp dụng đề tài, tôi đề cho học sinh lớp trường THCS Hải Thành sau : Tìm x , biết a, x b, 2x c, d, =3 ( 2điểm) =1 ( điểm) x - x= ( điểm) x + x =5 ( điểm) (4) Tôi thấy học sinh còn lúng túng cách giải ,chưa nắm vững phương pháp giải dạng bài, chưa kết hợp kết với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn phương pháp giải nhanh gọn và hợp lí Kết đạt sau : Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém Kết thấp là học sinh còn vướng mắc điều tôi đã nói trên và phần lớn các em chưa làm câu c,d III/ GIẢI PHÁP: III.1/Những kiến thức liên quan đến bài toán tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Điều khó khăn dạy học sinh lớp là các em chưa học giải phương trình , bất phương trình, các phép biến đổi tương đương , đẳng thức ….Nên giải bài toán tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có phương pháp xây dựng thì chưa thể hướng dẫn học sinh vì các em cần nắm vững các kiến thức sau : a, quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế Yêu cầu học sinh nắm vững cách giải bài toán tìm x dạng A(x) = B(x) b, Tìm x đẳng thức: Thực phép tính , chuyển vế dưa dạng ax = b => b x= a 2, Định lí và tính chất giá trị tuyệt đối A A 0 A -A A<0 (5) A = A A , 3, Định lí dấu nhị thức bậc III.2/ Các biện pháp tổ chức thực Để giải bài toán tìm x mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Tôi đã sử dụng các kiến thức quy tắc, tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia dạng bài, phát triển từ dạng sang dạng khác Từ phương pháp giải dạng bản, dựa vào định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác dạng bài, loại bài Biện pháp cụ thể sau: 1/.Một số dạng 1.1 Dạng A x = B với B 0 a, Cách tìm phương pháp giải Đẳng thức có xảy không ? Vì ? Nếu đẳng thức xảy cần áp dụng kiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối hai số đối thì ) b Phương pháp giải Ta xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp c.Ví dụ Ví dụ :( Bài 25 (a) sách giáo khoa trang 16 tập 1) Tìm x , biết x 1,7 = 2,3 GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán : Đẳng thức có xảy không ? vì sao? ( Đẳng thức có xảy vì x 1,7 và 2,3 0 ) Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối hai số đối thì ) (6) Bài giải x 1,7 = 2,3 x-1,7= 2,3; x-1,7 = -2,3 + Xét x-1,7= 2,3 x= 2,3 + 1,7 x= + Xét x-1,7 = -2,3 x = -2,3 +1,7 x=-0,6 Vậy x=4 x=-0,6 Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ví dụ khó dần Ví dụ : ( bài 25b SGK trang 16 tập 1) x Tìm x biết 0 Với bài này tôi đặt câu hỏi ‘Làm để đưa dạng đã học ‘ Từ đó học sinh biến đổi đưa dạng x Bài giải x Ta có: 0 x 3 x +4 =3 x + = - 3 + Xét x + = + Xét x + = - Vậy x = Ví dụ x = x 12 13 = 12 13 12 x = 12 Tìm x biết (7) 2x -17 =16 Làm nào để đưa dạng đã học ? Từ đó học sinh đã biến đổi đưa dạng đã học 2x = 11 Bài giải Ta có: 2x -17 =16 2x = 33 2x = 11 9-2x =11 9-2x = -11 + Xét 9-2x = 11 -2x = x= -1 + Xét 9-2x = -11 -2x = - 20 x= 10 Vậy x = -1 x = 10 1.2 Dạng A(x) = B(x) ( Trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x) a, Cách tìm phương pháp giải Cũng đặt câu hỏi gợi mở trên , học sinh thấy đẳng thức không xảy B(x) <0 Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng đế suy luận tìm cách giải bài toán trên không ? Có thể tìm cách ? b, Phương pháp giải Cách : ( Dựa vào tính chất ) A(x) = B(x) Với điều kiện B(x) 0 ta có A(x) = B(x) A(x) = - B(x) sau đó giải hai trường hợp với điều kiện B(x) 0 Cách : Dựa vào định nghĩa xét các quá trình biến biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối A(x) = B(x) +Xét A(x) 0 x? Ta có A(x) = B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) 0 ) (8) + Xét A(x) < x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0) + Kết luận : x = ? Lưu ý : Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ giống ( chứa A(x) dấu giá trị tuyệt đối ) và khác ( =m 0 dạng đặc biệt dạng hai) Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ phương pháp giải loại đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa dạng A =B (Nếu B 0 đó là dạng đặc biệt,còn B<0 thì đẳng thức không xảy Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng hai và giải cách ) ta xét các trường hợp xảy biểu thức giá trị tuyệt đối c, Ví dụ Ví dụ Tìm x biết: 3x = x- * Cách : Với x-7 0 x 7 ta có 9-3x = x-7 9-3x = -( x-7 ) + Nếu 9-3x = x-7 -4x = -16 x = (Thoả mãn) + Nếu - 3x = -( x-7) 9- 3x = -x +7 x= (Thoả mãn) Vậy x = x = * Cách :+ Xét 9-3x x ta có 9-3x= x-7 x= 4(Thoả mãn) + Xét 9-3x< x > ta có -(9-3x)= x-7 x= (Thoả mãn) Vậy x = x = Ví dụ Tìm x biết *Cách : x x -x = -x = (9) x = x+7 Với x+7 x -7 ta có x-3 = x+7 x-3 =-( x+7) + Nếu x-3 = x+7 0x = 10 ( loại ) + Nếu x-3 =-( x+7) x-3 = -x-7 2x= -4 x=-2 ( Thoả mãn) Vậy x = -2 *Cách : x -x = + Xét x-3 0 x ta có x-3 -x= 0x= 10 ( loại ) + Xét x-3<0 x< ta có -(x-3) -x = -x+3 -x=7 2x= -4 x=-2 ( Thoả mãn) Vậy x= -2 1.3 Dạng A x + B x =0 a, Cách tìm phương pháp giải Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức đặc điểm giá trị tuyệt đối số (giá trị tuyệt đối số là số không âm ) Vậy tổng hai số không âm không nào? (Cả hai số không ) Vậy bài này tổng trên không nào ? [A(x) =0 và B(x)=0 ] Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) =0 và B(x)=0 b, Phương pháp giải Tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0 c, Ví dụ Tìm x , biết 1, 2, x2 x2 x + + x 2x =0 x 1 x 2 =0 Bài giải (10) x2 1, x2 + Xét + Xét + x 2x x 2x =0 và x2 =0 =0 x 2x =0 x+2=0 x=-2 =0 x2 +2x=0 (1) x(x+2) =0 x=0 x+2 =0 x=-2 (2) Kết hợp (1)và (2) x=-2 x2 x 2, + x 1 x 2 =0 x x =0 và x 1 x 2 =0 + Xét + Xét x2 x =0 x2 + x=0 x(x+1) =0 x=0 x+1 =0 x=-1 (1) x 1 x 2 =0 ( x+1)(x-2) =0 x+1=0 x-2 =0 x=-1 x=2 (2) Kết hợp (1) và (2) ta x= -1 Lưu ý : Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải ghi kết luận giá trị tìm thì giá trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức 1.4 Dạng A x = B x hay A x A x - =0 và B x B x =0 =0 a, Cách tìm phương pháp giải Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt ( vì đẳng thức luôn xảy vì hai vế không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải Cần áp dụng kiến thức nào giá trị tuyệt đối để bỏ đấu giá trị tuyệt đối và cần tìm phương pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải: Xét các trường hợp xảy A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất hai số đối có giá trị tuyệt đối để suy A(x) =B(x); A(x) =-B(x) (vì đây hai vế không âm A x B x và 0) Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi giải toán và ghi nhớ (11) b, Phương pháp giải *Cách : Xét các trường hợp xảy của A(x) và B(x) để phá giá tị tuyệt đối *Cách : Dựa vào tính chất hai số đối có giá trị tuyệt đối ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) =B(x) A(x) =-B(x) c, Ví dụ Ví dụ : Tìm x biết x 3 = 2x x+3 = 2x-1 x+3 =-(2x-1) + Xét x+3 = 2x-1 x=4 + Xét x+3 =-(2x-1) x+3 = -2x +1 x=- Vậy x= x=4 Ví dụ 2: Tìm x biết x + x4 = Bước : Lập bảng xét dấu : Trước hết cần xác định nghiệm nhị thức : x-2=0 x=2 và x+4 =0 x=-4 Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị x phải từ nhỏ đến lớn Ta có bảng sau: x x-2 -4 - - X+4 + + + Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy theo các khoảng giá trị biến Khi xét các trường hợp xảy không bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ -4 x<2) Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau : + Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0 (12) nên x x4 = 2-x và Đẳng thức trở thành = -x-4 2-x -x-4 = -2x = 10 x=-5 ( thoả mãn x< -4) x + Nếu -4 x<2 ta có Đẳng thức trở thành = 2-x và x4 = x+4 2-x +x+ = 0x= (vôlí ) x + Nếu x 2 ta có Đẳng thức trở thành =x-2 và x4 = x+4 x-2 + x+4 = 2x = x = (thoả mãn x 2 ) Vậy x=-5 ; x=3 Lưu ý: Qua hai cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy lợi cách giải Ở cách giải 2, thao tác giải nhanh , dễ dàng xét dấu các khoảng giá trị , là các dạng chứa ; dấu giá trị tuyệt đối ( nên ý thức lựa chọn cách giải) Ví dụ : Tìm x ,biết x x x 8 (1) Nếu giải cách phải xét nhiều trường hợp xảy ,dài và nhiều thời gian Còn giải cách hai (lập bảng xét dấu ) x x-1 + - + + x-3 + - x-6 - - + + (13) + Nếu x<1 thì (1) 1-x +3x-9 +30 -5x =8 x=14/3 (loại) + Nếu x<3 thì (1) x-1 +3x-9 +30 -5x =8 x=6 (loại) + Nếu x<6 thì (1) x-1 -3x+9 +30 -5x =8 x=30/7 (thoả mãn ) + Nếu x 6 thì (1) x-1 -3x +9 +5x -30 =8 x=10 (thoả mãn ) Vậy x= 30/7 ; x=10 Tuy nhiên với cách hai dể mắc sai sót dấu lập bảng ,nên xét dấu các biểu thức dấu giá trị tuyệt đối cần phải lưu ý và tuân theo đúng quy tắc lập bảng Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp trong xét các trường hợp xảy để thoả mãn biểu thức 0 (tôi đưa ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ) Ví dụ : Tìm x biết x x 5 Lập bảng xét dấu x x-4 x-9 - + + - + + Xét các trường hợp xảy , đó với x 9 thì đẳng thức trở thành x-4 + x-9 =5 x = thoả mãn x , không kết hợp với x = để x-9 = mà xét tớí x > để x-9 > thì bỏ qua giá trị x = Từ dạng đó đưa các dạng bài tập mở rộng khác loại toán này: dạng lồng dấu ,dạng chứa từ ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên + Xét x <9 ta có x-4 +9-x = 0x = thoả mãn với x cho x<9 + Xét x < ta có 4-x+9-x = x = (loại) (14) Vậy x 9 3.phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải Sau giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh : *Phương pháp giải : tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp : Nếu A =B ( B 0) thì suy A=B A=-B không cần xét tới điều kiện biến x Phương pháp :Sử dụng tính chất A A và A để giải dạng A A Và A x = B x , A x =B(x) Phương pháp : Xét khoảng giá trị biến ( dựa vào định nghĩa ) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối , thường để giải với dạng A x =B(x) hay A x = B x +C *Cách tìm tòi phương pháp giải : Cốt lõi việc giải bài toán tìm x đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối đó là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối + Trước hết xem bài có rơi vào dạng đặc biệt không ? ( có đưa dạng đặc biệt không) Nếu là dạng đặc biệt A =B ( B 0) hay A = B thì áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối (giải phương pháp đã nêu ) không cần xét tới điều kiện biến + Khi đã xác định dạng cụ thể ta nên suy nghĩ cách nào làm nhanh hơn, gọn thì lựa chọn C KẾT LUẬN Khi áp dụng đề tài nghiên cứa này vào giảng dạy cho học sinh lớp tôi dạy Tôi thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn.Học sinh không còn lúng gặp dạng toán này Cụ thể làm phiếu kiểm tra với đề bài sau: Tìm x, biết : (15) a, 3x = 5(3đ) b, 5x +8 = 26 (3đ) c, - 4x = x+3 (4đ) Kết nhận sau : - học sinh không còn lúng túng phương pháp giải cho loại bài - Biết lựa chọn cách giải nhanh , gọn ,hợp lí - Hầu hết đã trình bày lời giải chặt chẽ Kết cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 2.Kiến nghị:Trên đây là số kinh nghiệm tôi việc dạy học sinh giải dạng toán Tôi nghĩ, kinh nghiệm thì không thể không tránh khỏi thiếu sót và cần chia sẻ Nên tôi mong có ủng hộ, đóng góp ý kiến các trưởng đầu ngành, đồng nghiệp, để tôi có nhiều kinh nghiệm việc giảng dạy các em học sinh giải toán Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo 1, Sách giáo khoa toán – NXB giáo dục -2007 2, Nâng cao và phát trỉên toán - NXB giáo dục 2003 Vũ Hữu Bình 3, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7- NXB giáo dục 2006 Vũ Hữu Bình (16) , Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán 7- NXB giáo dục 2005 Bùi văn Tuyên (17)