Xác định giao tuyến của SBD và α Hướng dẫn tóm tắt: a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và α b.BD AC và BD SA nên BD SAC suy ra BD SC c.giao tuyến là đt qua J và s[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I Hai đường thẳng vuông góc với A Phương pháp chứng minh: C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết mặt phẳng o C2 : a b góc (a;b) 90 C3: Dùng hệ quả: a a (P ) a b b (P ) b P C4: Dùng hệ quả: b a b // c , a b a c c C5 : Dùng hệ quả: a b a song song (P ) a b b (P ) P C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc C7: Dùng hệ quả: Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại tam giác AB BC AC B A C8:a C b vtcp đt đó vuông góc Chú ý:Đlí hàm số cosin cos A= AB 2+ AC2 −BC BA 2+ BC2 − AC ; cos B= AB AC BA BC B Bài tập áp dụng Bài : Cho tứ diện ABCD CM: AB vuông góc với CD Hướng dẫn tóm tắt: dùng tích vô hướng ⃗ AB ⃗ CD=0 C2:Gọi M là tđ AB ,CM cho AB (MCD) Bài : Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB M là trung điểm BC C/M a AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC b SA vuông góc với BC Hướng dẫn tóm tắt: a, Δ ABC cân ⇒ AM BC b, Δ SAB= Δ SAC(cgc) ⇒ SB=SC ⇒ SM BC Bài :Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD a CM: AO CD b Tính góc đt AB và CD (2) a, AO ⊥( BCD)⇒ AO⊥ CD b.Gọi M là trđ CD ⇒ AM CD ,lại có AO Hướng dẫn tóm tắt: CD ⇒ CD (AMB) ⇒ CD AB Bài : Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC = a √2 a Tính góc đt SA và BC b.Tính góc hai đường thẳng AB và SC Hướng dẫn tóm tắt: a Gọi M là trđ BC là 900 ⇒ SM ⊥ BC ; và có AM BC ⇒ BC BS ⃗ BC − ⃗¿ ¿ BA b ⃗ SC ; ⃗¿ ¿ ⃗ SC ⃗ BA=¿ Bài :Cho tứ diện ABCD đó AB AC, AB AB và CD Chứng minh AB PQ (SAM) ⇒ góc SA và BC BD Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm Hướng dẫn tóm tắt: Bài : ⃗ PQ =⃗ BD+ ⃗ AC⇒⃗ AB ⃗ PQ=0 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600 Chứng minh a.AB CD b.Nếu M,N là trung điểm AB và CD thì MN AB, MN CD Hướng dẫn tóm tắt: Bài : Δ ABC , Δ ABD là đều.Gọi M là tr đ AB ⇒ CM a.Từ g thiết ⇒ AB;DM AB ⇒ AB CD b.Theo a *có AB MN *Xét Δ MCD có MC=MD ⇒ Δ MCD cân tai M,N là tr đ CD ⇒ MN CD 2a Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác cạnh 2a, AB= AC= AD = a.CMR AD vuông góc BC b,Gọi I là trung điểm CD Tính góc AB và CD Hướng dẫn tóm tắt: a.Gọi E là tr đ CB ⇒ AE BC Δ DBC ⇒ DE BC AD BC ⇒ BC ED ⃗ AE+ ¿⃗ ¿ ⃗ BC ⃗ AD=⃗ BC ¿ b I là trung điểm CD ⇒ BI cách 2: ⇒ BC CD;AI AD CD ⇒ CD AB Bài :Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc AB và CD Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a , CD= 2a a.Tính góc đt AB và CD b.Tính góc đt AD và BC Hướng dẫn tóm tắt: a.(AB,CD)= 900 Bài : (AED) ⇒ (3) AD ⃗ ⃗ b BC , ¿ ¿ cos ¿ Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC, SAD a 2 Tính góc SC và AD vuông, SA= Hướng dẫn tóm tắt: AD ⃗ SC ; ⃗¿ ¿ ⃗ ⃗ SC AD=a ⇒ cos ¿ II Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Phương pháp chứng minh C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng a b , c cắt , b,c (P ) , a b, a c a (P ) b c P C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng b a a // b , b (P ) a (P ) P C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng Q a b (P ) (Q) b a (P ) a (Q),a b P C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến hai mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó ( ) P ( ) ( ) ( ) (P ) ( ) (P ),( ) (P ) (4) Lưu ý các kiến thức thường gặp: - Tam giác ABC cân đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A là đường cao - Tam giác thì đường trung tuyến là đường cao - Hình thoi, hình vuông có đường chéo vuông góc với B.Bài tập ứng dụng Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC Gọi I là trung điểm BC a chứng minh BC vuông góc AD b kẻ AH là đường cao tam giác ADI Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD) Hướng dẫn tóm tắt: a.BC DI và BC AI nên BC AD b.AH DI và AH BC nên AH (BCD) Bài 12 : Cho hình chop SABC SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông B a cm BC SB b.Từ A kẻ đường cao AH, AK tam giác SAB và SAC Cm: AH (SBC), SC ( AHK) Hướng dẫn tóm tắt: a BC AB và BC SA nên BC SB b AH SB và AH BC nên AH (SBC) AH SC và AK SC nên SC (AHK) Bài 13 : Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD Chứng minh a.SO vuông góc với (ABCD) b.AC vuông góc SD, BD SA c.Gọi I, J là trung điểm cạnh BA, BC cm IJ (SBD) d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH cm: AD (SOH) Hướng dẫn tóm tắt: a.SO AC và SO BD nên SO (ABCD) b.AC BD và AC SO nên AC (SBD) suy AC SD c.IJ //AC mà AC (SBD) nên IJ//(SBD) d.AD SH và AD SO nên AD (SOH) Bài : Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD Gọi H là trực tâm tam giác BCD a.cm AH (BCD) b.cm AD CD Hướng dẫn tóm tắt: a.CD AH và BD AH nên AH (BCD) b.BC AH và BC DH nên BC AD Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy Đáy ABCD là hình thang vuông A AD = 2AB = 2BC a.cm BC (SAB) b.cm SC CD Hướng dẫn tóm tắt: a.BC SA và BC AB nên BC (SAB) b.MAC cân M nên góc MAC = 45 tương tự góc MCD= 45 đó CD SA và CD AC nên CD SC (5) Bài 16 : Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân A Gọi M là trung điểm BC CM: a.BC (SAM) b.Vẽ AH SM H cm AH SB Hướng dẫn tóm tắt: a.BC AM và BC SA nên BC (SAM) b.AH SM và AH BC nên AH (SBC) Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có SA = cm: a.BC b.SI SA (ABC) a √6 và các cạnh còn lại a Gọi I là trung điểm BC (6) Hướng dẫn tóm tắt: a.BC AI và BC SI nên BC SA b AI 2+SI 2=SA nên SI AI I SI BC và SI AI nên SI (ABC) Bài : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a và SA (ABCD) a.Gọi I là trung điểm SD cm AI (SCD) b.Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD Tìm tập hợp các hình chiếu O trên CM Hướng dẫn tóm tắt: a.AI SD và AI CD nên AI (SCD) Bài 19 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB, CD a Tính các cạnh tam giác SIJ, suy tam giác SIJ vuông b cm SI (SCD); SJ (SAB) c Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên IJ cm SH AC Hướng dẫn tóm tắt: a SI= a √3 a ;SJ= tam giác SIJ vuông S 2 b.IS SJ và SI CD nên SI (SCD) c.SH IJ và SH AB nên SH (ABCD) suy SH AC Bài 20 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA (ABCD) a.cm các mặt bên h/c là các tam giác vuông b.cm (SAC) là mp trung trực BD Hướng dẫn tóm tắt: III Liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc đường thẳng và mặt phẳng A Các định lý b // b ⇒ b ⊥(α ) {aa⊥(α ) ¿ ( β) // (α ) a⊥α ⇒ a ⊥(β ) ¿{ ¿ ¿ (α )≠(β) a⊥(α ) ¿ { { ¿ ¿ a⊥( β) ⇒(α ) // ( β ) P a (7) a≠b α ¿ ¿ a ⊥(b ⊥( α) ¿)⇒ a // b ¿{{ ¿ a ⊥b (α )⊥ b ⇒ a ⊂(α ) ¿ a // ( α ) ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ B Bài tập ứng dụng Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD) Gọi α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, α cắt SC I a Xác định giao điểm SO và ( α ) b Cm: BD vuông góc SC Xét vị trí tương đối BD và ( α ) c Xác định giao tuyến (SBD) và ( α ) Hướng dẫn tóm tắt: a.J là giao điểm AI và SO thì J là giao điểm SO và( α ) b.BD AC và BD SA nên BD (SAC) suy BD SC c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD Bài 22 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA = AB Gọi H và M là trung điểm SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD) Hướng dẫn tóm tắt: OM //SB mà SB (AHD) suy OM (AHD) Bài 23 : Cho tam giác ABC cân A, I và H là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH (ABC) Trên đoạn CI và SA lấy điểm M, N cho MC = 2MI, NA = 2NS Chứng minh MN (ABC) Hướng dẫn tóm tắt:M là trọng tâm tam giác ABC nên AM=2MH,lại có AN=2NS nên MN//SH mà SH (ABC) suy đpcm Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, SA (ABC) a Kẻ đ/cao AH tam giác SAB cm BC (SAB) và AH b Kẻ đường cao AK tam giác SAC cm SC (AHK) c Kẻ đường cao BM tam giác SBC cm BM //(AHK) Hướng dẫn tóm tắt: (SBC) (8) a.AH SB và AH BC nên AH (SBC) AK và SC AH nên SC (AHK) SC mà (AHK) SC nên BM//(AHK) b.SC c.BM IV Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng A Phương pháp chứng minh C1 : Chứng minh góc chúng là vuông ( ) ( ) , Ox ( ),Ox , Oy ( ),Oy Khi đó: O x o góc (( );( )) góc (Ox;Oy) xOy : 90 y o ( ) ( ) 90 C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với có đường thẳng nằm mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng a ( ) ( ) ( ) a ( ) a B Bài tập ứng dụng: Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác SBD cân S Gọi O là tâm hình thoi a.cm SO (ABCD) b cm (SAC) (SBD) Hướng dẫn tóm tắt: Bài 26 : Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B SA đáy a cm: (SAB) (SBC) b.Gọi M là trung điểm AC cm (SAC) (SBM) Hướng dẫn tóm tắt: a.Trong (SBC) có BC (SAB) nên(SBC) (SAB) b.Trong (SBM)có BM (SAC) nên (SBM) (SAC) Bài 27 : Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Tam giác ABC vuông B a cm: (SAC) (ABC) b.Gọi H là hình chiếu A lên SC K là hình chiếu A lên SB cm (AHK) (SBC) Hướng dẫn tóm tắt: a.Trong (SAC) có SA (ABC) suy đpcm b.Trong (AHK) có AK (SBC) suy đpcm Bài 28 : Cho tam giác ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng A qua I dựng đoạn SD = a √6 a.(SBC) (SAD) Hướng dẫn tóm tắt: vuông góc với (ABC) cm b.(SAB) (SAC) (9) a.Trong tam giác (SBC) có BC b Δ SAB= Δ SAC.Trong (SAD) suy đpcm Δ SAC kẻ đg cao CK SA,Trong tam giác SAB kẻ đg SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng dạng ⇒ cao BK IK IA a = ⇒IK= suy SD SA tam giác BKC vuông K Bài 29 : Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông C, mặt bên SAC là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) a cm: (SBC) (SAC) b.Gọi I là trung điểm SC CMR (ABI) (SBC) Hướng dẫn tóm tắt: a.H là tr điểmAC.SH AC nên SH (ABC).BC CA và BC SH nên BC (SAC)suy đpcm b.SC là giao tuyến (SAC) và (SBC).tam giác SAC nên AI SC suy AI (SBC) Bài 30 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, I, K là trung điểm AB, BC a cm SI (ABCD) b cm SAD, SBC là tam giác vuông c cm (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB) d cm (SDK) (SIC) Hướng dẫn tóm tắt: c.Trong (SAC)có DA (SAB) nên (SAD) (SAB) d.cm DK IC ta có DK IC và DK SI nên DK (SIC) Bài 31 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA (ABCD) Gọi E, F là hình chiếu A lên SB, SD a cm (SAB) (SBC); (SAD) (SCD) b cm (AEF) (SBC); (AEF) ((SCD) Hướng dẫn tóm tắt: Bài 32 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SO I, J là trung điểm AD và BC a cm: (SBD) (SAC) b cm (SIJ) mp(ABCD) SO = a/2 Gọi (SBC) Hướng dẫn tóm tắt: Bài 33 : Cho tứ diện ABCD có SA (ABC) Gọi H, K là trực tâm tam giác ABC và SBC cm a AH, SK, BC đồng quy b.SC (BHK); (SAC) (BHK) Hướng dẫn tóm tắt: a.AH BC=M SM BC đó SM là đg cao tam giác SBC ⇒ K ∈SM SK,BC,AH đồng quy M b.SC BK và SC BH nên SC (BHK) từ đó suy (SAC) (BHK) V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC A Lý thuyết1 Góc A a' a = O b' b hai đường thẳng B Chọn điểm O tuỳ ý Dựng qua O : a’ // a; b’ // b Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB Thường chọn điểm O a O b (10) Góc hai mặt phẳng Δ giao tuyến và OA ( ) OB OA và OB Dựng: Góc ( , ) = Góc (OA,OB ) = O B ( ) AOB o * 90 o o * Nếu 90 thi chọn góc ( ; ) 180 Chú ý: A Góc đường thẳng và mặt phẳng Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc đường thẳng đó và hình chiếu nó trên mặt phẳngA a Gọi a’ là hình chiếu a trên ( α ¿ Khi đó: Góc (a;( )) = Góc(a,a’) = AOB 0 ≤ AOB 90 O B B Bài tập Bài 34 : Cho tứ diện ABCD Tính các góc sau: Góc AB và (BCD) Hướng dẫn tóm tắt: a √3 Góc AB và (BCD)=góc AB và BG.; cos ABG=1/ √ ⇒gócABG=54❑ 44' Bài 35 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = Tính các góc giữa: a √6 a SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC) b (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD) G là trọng tâm Δ BCD.BG= Hướng dẫn tóm tắt: a Góc SC và (ABCD)=góc SC &AC=góc SCA;góc SCA= 600 Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=69017’ Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=15030’(kẻ BH AC thì BH (SAC) ) gócAC&(SBC)=góc (AC;CK)=40053’ vói K là hc A lên SB góc (SBC)&(ABCD) là góc SBA=67047’ góc (SBD)&(ABCD)là góc SOA=73053’ góc (SAB)&(SCD)=góc DSA=22012’ Bài 36 : Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam giác cạnh a Tính các góc SB, (ABC) và góc SC, (SAB) Hướng dẫn tóm tắt: Góc SB&(ABC)=(SB;AB)=góc SBA=63026’ Góc SC&(SAB)=(SC;AC)=góc SCA=63026’ (11) Bài 37 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA a CMR: BC (ABCD) (SAB) b Biết góc tạo SC và (ABCD) là 45 Tính SA Hướng dẫn tóm tắt: b.SA=AC= a √ Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= SB= SC =SD = a a CMR (SAC) (SBD) b Tính góc mp (ABCD) và (SAB) Hướng dẫn tóm tắt: a.Trong (SAC) có AC SO và AC BD nên AC (SBD) suy đpcm b.Gọi M là tr điểm AB.Góc (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)= a a a SM= √ ; OM= ; SO= √ ⇒ Δ SOM vuông M;góc SMO=20042’ góc SMO 2 Bài 39 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông A và D, có AB = 2a, AD=DC=a, SA mp(ABCD) và SA = a a CMR BC (SAC) b Xác định góc SB và (ABCD); SB và (SAC) c CMR mp(SAD) mp(SDC), mp(SAC) mp(SCB) d Tính tan góc mp(SBC) và (ABCD) e Goi ( α ) là mp chứa SD và vuông góc với mp(SAC) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với ( α ) Hướng dẫn tóm tắt: a.Gọi M là tr điểm AB.tính góc BCA=90 nên BC AC và BC SA đó BC (SAC) b (SB;(ABCD))=(SB;AB)=góc SBA=26033’ Góc SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vuông C nên góc BSC=32018’ c.Trong (SDC) có DC DA và DC SA nên DC (SAC) hay (SCD) (SAC) d.Trong (SBC)có SC BC và (SAC) có AC BC nên góc mp này =góc (SC;AC)=35015’ e.Gọi M là tđiểm AB có DM (SAC) nên thiết diện là tam giác SMD Bài 40 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA = SB a √3 = SD = a CMR: (SAC) (ABCD) b CMR SB BC c Tính góc hai mp(SBD) và (ABCD) Hướng dẫn tóm tắt: c.Trong (SBD) có SO BD;trong (ABCD) có AC BD nên góc a a √7 (SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA Tính SO= ;AC= a √ ;SC= ; √2 cos SOA= √ Bài 41 : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm hai mp vuông góc, ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB Gọi M,N là trung điểm AB và DC a Chứng minh DC (SMN) (12) b Tính góc đường thẳng SN với mp(ABCD) c Tính góc 2mp(SMC) và (ABCD) Hướng dẫn tóm tắt:SM AB và (SAB) (ABCD) nên SM (ABCD) a.DC SM và DC MN nên DC (SMN) b.góc (SN;(ABCD))=(SN;MN)=góc SNM=40053’ C,SM (ABCD) nên (SMC) (ABCD) Bài 42 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân A, AB= AC= a, SA (ABC), SA = a a Tính góc mp (SBC) và (ABC) b Tính góc mp (SAC) và (SBC) Hướng dẫn tóm tắt: a.Gọi H là t điểm BC Góc (SBC)&(ABC)=(SH;AH)=góc SHA=54044’ b.Có BA (SAC).(1) Trong (SAH) kẻ AN SH thì AN (SBC) (2) Từ (1) &(2) có góc (SAC)&(SBC) =góc (BA;AN)=góc BAN=54044’ Bài 43 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a Tính góc 2mp a (SBC) và (ABCD) b (SBC) và (SCD) Hướng dẫn tóm tắt: a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=450 b.Trong tam giác SDC kẻ DK SC; tam giác SBC kẻ BK SC Góc (SBC)& (SDC) (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD= a √ ;SC (BDK) nên SC KO đó tam a √6 giác CKO vuông K KO= và góc DKO =600suy góc DKB=1200.Vậy góc (SBC)&(SDC)=600 = VI.KHOẢNG CÁCH A Lý thuyết Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến M mặt phẳng M // Khoảng cách hai đường thẳng song song H 1 M MH : d(M, ) = MH Dùng Khoảng cách mặt H phẳng và đường thẳng // M song song Dùng: MH ( ), H thuéc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH // ( ) 2 H Chän ®iÓm M trªn 1, dùng MH ( H thuéc ) ta cã d( 1, 2) = MH H Chän ®iÓm M thuéc , dùng MH ( H thuéc ( )), ta cã d(,( )) = MH (13) Khoảng cách hai Đường thẳng chéo Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cách1 M A a ( ) // (), chøa ( ) M a' H B H Ta cã: d(( ),()) = d( ,( )) = MH (M thuéc , MH ( ), H thuéc ) b Dùng mÆt ph¼ng ( ) chøa b & ( ) // a Dùng MH ( ), M thuéc a, H thuéc ( ) Dùng a' mÆt ph¼ng ( ), a' // a ® êng th¼ng a' c¾t ® êng th¼ng b t¹i B Dùng qua B vµ // MH, c¾t a t¹i A Khi đó: d(a,b) = d(a,( )) = d(M,( )) = MH = AB a vµ b chÐo Cách a b - d ựng ho ặc tìm mp( α ) ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A - α , dựng đoạn AB b B - đoạn AB là đoạn vuông góc chung a và b B Bài tập Bài 44 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân B và AC = 2a, cạnh SA (ABC) và SA = a a CM: (SAB) (SBC) b Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC) c Tính khoảng cách từ trung điểm O AC đến mp(SBC) d Gọi D , E là trung điểm BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ E đến AB Hướng dẫn tóm tắt: a.BC (SAB) nên (SBC) (SAB) b.*Trong tam giác SAB kẻ AH *d(C;(SAB))=CB=a √2 SB , ⇒ AH (SBC) ⇒ d ( A ; (SBC))=AH= a √6 ;d(B;(SAC))=BO=a với O là t điểm AC a ⇒ d (O ;(SBC))= d ( A ;( SBC))= √ a √ 35 d.tam giác SDA vuông A,kẻ AK SD thì AK=d(A;SD)= a √3 Bài 45 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác cạnh a; SA = SB = SD = Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH c.Gọi I là tđ AB ⇒ IO // BC ⇒ IO // (SBC) a Tính khoảng cách từ S đến (ABC) b Tính khoảng cách từ S đến BC c Tính khoảng cách từ I đến BC Hướng dẫn tóm tắt: Bài 46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA & SA = Tính các khoảng cách từ: (ABCD) (14) a A đến (SBD) Hướng dẫn tóm tắt: a Kẻ AI (SBD).;AH.SI=AB.AI AI=12/5;SI= b.d(A;(SBC))= BD b.A đến (SBC) ⇒ BD √ 7695 15 √34 ;AH= c.O đến (SBC) SI,trong (SAI) kẻAH SI ⇒ AH 60 √ 769 c.M là t đ AB ⇒ OM//(SBC) nê n d(O;(SBC))=d(M;(SBC))=1/2d(A;(SBC))= Bài 47 : Cho hình chop S.ABCD có đáy SA AD B AB = BC = 15 √ 34 (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông A và = a, SA = a a CM các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b Tính k/c từ A đến mp(SBC) c Tính khoảng cách từ B đến đt SD Hướng dẫn tóm tắt: b.d(A;(SBC))= a / √ c.tam giác SBD cân D;I là tđ SB; DI= a √ 2/2 ; S SBD = a2 /2 ⇒ d (b ; SD )=3 a/ √ Bài 48 : Cho tứ diện ABCD có mp(ABC) và (ADC) nằm mp vuông góc với Tam giác ABC vuông A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông D và DC = a a CMR các tam giác BAD và BDC vuông b Gọi I, J là trung điểmcủa AD và BC CM: ỊJ là đương vuông góc chung AD và BC Hướng dẫn tóm tắt: a.tam giác BAD vuông A.;tam giác BCD vuông tai D b.BC= √ a2 +b2 ; AD=√ b2 −a ;DJ=1/2BC;AJ=1/2BC suy tam giác AJD cân J ⇒ IJ ⊥ AD (1) IC= √3 a 2+b 2 ;JC= √a 2+ b2 2 ;IJ= a tam giác IJC vuông J ⇒ IJ ⊥ JC (2) √2 Từ (1) & (2) IJ là đường vuông góc chung AD&BC Bài 49 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA = h Gọi I là trung điểm SC a Tính khoảng cách từ I đến (ABCD) b Tính k/c từ I đến AB c CMR (SBC) (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD) d Tính k/c các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD e Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC & AB Hướng dẫn tóm tắt: a.Gọi H là tđ AC ;IH=d(I;(ABCD))=h/2 b.Gọi K là tđ AB ;thì AB c.)d(A;(SBC))= ah √ a + h2 ;kẻ AE KH nên AB SH thì AE (KHI) ⇒ d(I;AB)=KI= √ a + h2 ah √ (SBD) ⇒ d ( A ; (SBD))=AE= √ h2 +2 a2 d.)d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(A;(SBC)) d(SA;CD)=AD=a (15) e * đoạn vuông góc chung SB&CD là CB=a * đoạn vuông góc chung SC& BD là HM với HM SC * đoạn vuông góc chung củaSC&AB là AF với AF SC Bài 50 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là h/vuông tâm O, cạnh a SA= SB =SC =SD = a Gọi I, J là trung điểm AD và BC a Tính k/c từ S đến (ABCD) b CM (SIJ) (SBC) c Tính k/c từ O đến (SBC) d Tính k/c đt AD và SB e Tính k/c từ S đến CI Hướng dẫn tóm tắt: a,d(S;(ABCD))=SO= a √ 6/2 b.d(O;(SBC))=OH= a √ 42/ 14 ,vớiOH SJ c.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))IK=2OH ,với IK SJ e.d(S;CI)=SE = SSCI =¿ ;tam giác SCI CI Bài 51 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA (ABCD) và SA = a a.CMR (SAE) (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A tam giác ABD b.Tính k/c từ A đến (SBD) c.Tính k/c các đt AD và SB; AB và SC Hướng dẫn tóm tắt: b.trong tam giác SAE kẻ AH SE d(A;(SBD))=AH=2a/3 c.trong tam giác SAB kẻ AK SB thì AK=d(SB;AD)= a √ 22 Bài 52 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông A và B với AB= BC= a; AD= 2a, SA (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách a SB và CD; b.SD và AC Hướng dẫn tóm tắt: a b.Từ A kẻ AE//=CD,suy ACDE là hcn.Từ A hạ AH SE thì AH DE đó AH (SED) D(AC;SD)=d(AC;(SED))=d(A;(SED))=AH= a √ 6/3 Bài 53 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, góc BAD = 60 SO (ABCD), SO = a a.Tính k/c từ O đến (SBC) b.Tính k/c đt chéo AD và SB Hướng dẫn tóm tắt: a,d(O;(SBC))=OH= a √ 57/19 với OH SC b.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=2.OH Bài 54 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tam giác SAD và nằm mp (ABCD) Gọi I, J là trung điểm AD và BC a.CMR (SIJ) (SBC) b.Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) c.Tính khoảng cách đt AD và SB; SA và BD Hướng dẫn tóm tắt: a.BC IJ và BC SI nên BC (SIJ) ,do đó (SIJ) (SBC) b.d(S;(ABCD))=SI= a √ 3/2 c d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=IH = a √ 21/7 ,với IH SJ d(SA;DB)= |[⃗ BD ; ⃗ SA ] ⃗ AD| a √ 21 = |[⃗ BD ; ⃗ SA ]| (16) Bài 55 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cacsc cạnh a a.CM (BĐ’B’) (ACD’) b.Tính khoảng cách mp (ACD’) và (BA’C’) c.Tính khoảng cách đt BC’ và CD’; BB’ và AC’ Hướng dẫn tóm tắt: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT 67/ Hình chóp tam giác Hình chóp tam giác đều: S Đáy là tam giác Các mặt bên là tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện có: Đáy là tam giác Các mặt bên là tam giác h Cách vẽ: A C Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI H Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC) I Ta có: B SH là chiều cao hình chóp SAH Góc cạnh bên và mặt đáy là: Góc mặt bên và mặt đáy là: SI H 68/ Hình chóp tứ giác Hình chóp tứ giác đều: Đáy là hình vuông Các mặt bên là tam giác cân Cách vẽ: Vẽ đáy ABCD Dựng giao điểm H hai đường chéo AC & BD Vẽ SH (ABCD) S A D B Ta có: SH là chiều cao hình chóp I H C Góc cạnh bên và mặt đáy là: SAH Góc mặt bên và mặt đáy là: SI H 69/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy (17) S SA (ABC) A C Góc cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA Góc cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA B S A B C D SA (ABCD) Góc cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA Góc cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA Góc cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA * Chú ý: a/ Đường chéo hình vuông cạnh a là d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a là d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là d = a a b2 c2 , b/ Đường cao tam giác cạnh a là h = c/ Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các cạnh bên ( có đáy là đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) d/ Lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác (18)