Lên lớp 8 các em một lần nữa, đợc gặp lại bài toán này nhng ở một mức độ cao hơnđợc giới thiệu trên một số sách tham kh¶o.. VËy b¶n chÊt cña bµi to¸n nµy lµ g×?[r]
(1)Phương pháp chứng minh phaân soá toái giaûn Equation Chapter Section Trong chơng trình toán các em đã đợc học phân số tối giản, nhng đó là kiến thức ban đầu, còn sơ sài và đơn giản Lên lớp các em lần nữa, đợc gặp lại bài toán này nhng mức độ cao hơn(đợc giới thiệu trên số sách tham kh¶o) VËy b¶n chÊt cña bµi to¸n nµy lµ g×? Ph¬ng ph¸p chøng minh nh thÕ nµo? Bµi viết này với mong muốn giúp các em trả lời đợc các câu hỏi này A LÝ thuyÕt 1) KiÕn thøc cÇn nhí a) §Þnh nghÜa - Phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn đợc nữa) là phân số mà “tử” và “mÈu” chØ cã ¦íc chung lµ vµ - - Hay nãi c¸ch kh¸c ph©n sè tèi gi¶n (a ; b) = 1 b) TÝnh chÊt liªn quan - NÕu a d vµ b d th× a b d - NÕu d th× d = 1 2) Ph¬ng ph¸p chøng minh mét ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n a) Nguyªn t¾c §Ó chøng minh ph©n sè tèi gi¶n ta cÇn ph¶i chøng minh ¦íc chung cña a vµ b b»ng hoÆc b»ng – b) C¸ch lµm: Bíc §Æt d = (a ; b) Bíc T×m sè tù nhiªn n vµ m cho: n.a m.b = Bớc Lập luận để có: n.a m.b d hay d từ đó suy d = 1 B BµI tËp ¸p dông Bµi Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n Z n 3 3n a) n b) 3n Gi¶i a) Gäi d lµ ¦íc chung cña (n + 3) vµ (n + 2) Ta cã: (n + 3) d vµ (n + 2) d (n + 3) – (n + 2) d hay d d = 1 n 3 “tö” vµ “mÈu” cña ph©n sè n chØ cã ¦íc chung lµ vµ - ph©n sè n 3 n lµ ph©n sè tèi gi¶n b) Gäi d lµ ¦íc chung cña (2 – 3n) vµ (3n - 1) Ta cã: (2 – 3n) d vµ (3n - 1) d (2 – 3n) + (3n - 1) d hay d d = (2) 3n “tö” vµ “mÈu” cña ph©n sè 3n chØ cã ¦íc chung lµ vµ - ph©n sè 3n 3n lµ ph©n sè tèi gi¶n Bµi Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n 3n 12n a) 5n b) 30n (S¸ch N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 8) Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: Rá rµng bµi To¸n nµy kh«ng cßn dÓ dµng nh bµi To¸n nöa V× ë ®©y (3n +1) + (5n +2) và (3n +1) - (5n +2) không - Vậy làm nào để có đợc lêi gi¶i cña bµi To¸n nµy? C¸c em thö suy nghØ réng mét chót nhÐ!!! §Ó cã tæng hoÆc hiÖu cña “tö” vµ “mÈu” b»ng hoÆc – th× ta ph¶i lµm mÊt n ®i Muèn vËy, ta cần nhân “tử” với và nhân “mẩu” với 3, từ đó sẻ có lời giải cho bài Toán Gi¶i: a) Gäi d lµ ¦íc chung cña (3n +1) vµ (5n +2) Ta cã: (3n +1) d vµ (5n + 2) d 5(3n +1) d vµ 3(5n + 2) d 5(3n +1) – 3(5n +2) d - d d = 1 3n 5n lµ ph©n sè tèi gi¶n b) T¬ng tù: Gäi d lµ ¦íc chung cña (12n +1) vµ (30n +2) Ta cã: (12n +1) d vµ (30n + 2) d 5(12n +1) d vµ 2(30n + 2) d 5(12n +1) – 2(30n +2) d d d = 1 12n 30n lµ ph©n sè tèi gi¶n Bµi Chøng minh r»ng ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n Z Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: §Õn bµi To¸n nµy l¹i kh«ng cßn dÓ dµng nh bµi To¸n nöa V× ë ®©y ta kh«ng thÓ làm “n” cách nhân “tử” và “mẩu” với số nào đó! Vậy làm nào đây? Ta l¹i thÊy r»ng : “tö” cña ph©n sè cã n3, cßn “mÈu” cña ph©n sè cã n4 (tö vµ mÈu cã bậc khác nhau) Từ đó, ta thử làm n4 Muốn vậy, ta cần nhân “tử” với n là xong Gi¶i: Gäi d lµ ¦íc chung cña (n3 + 2n) vµ (n4 + 3n2 + 1) Ta cã: (n3 + 2n) d n.(n3 + 2n) d hay n4 + 2n2 d (1) MÆt kh¸c ta l¹i cã: n.(n + 2n) d vµ (n + 3n + 1) d n(n3 + 2n) - (n4 + 3n2 +1) d n2 + d (n2 + 1)2 d hay n4 + 2n2 + d (2) 4 Tõ (1) vµ (2) (n + 2n + 1) - (n + 2n ) d d d = 1 C BµI tËp vÒ nhµ lµ ph©n sè tèi gi¶n (3) Bµi Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n, m Z 21m 25 11n a) 3n b) 14m 17 Bµi Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n Z 2n 21n a) 14n b) 2n(n 1) Bµi Chøng minh r»ng tæng vµ hiÖu cña mét sè nguyªn vµ mét ph©n sè tèi gi¶n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n Bài Tổng số hửu tỉ và số vô tỉ có thể là số hửu tỉ đợc không? Tổng hai số vô tỉ có thể là số hửu tỉ đợc không? Bµi Chøng minh r»ng ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n Z (4)