Phửụng phaựp chửựng minh phaõn soỏ toỏi giaỷnNguyeón Baự Phuực _ GV: Trửụứng THCS Maừ Thaứnh Trong chơng trình toán 6 các em đã đợc học về phân số tối giản, nhng đó chỉ là những kiến th
Trang 1Phửụng phaựp chửựng minh phaõn soỏ toỏi giaỷn
Nguyeón Baự Phuực _ GV: Trửụứng THCS Maừ Thaứnh
Trong chơng trình toán 6 các em đã đợc học về phân số tối giản, nhng đó chỉ là những kiến thức ban đầu, còn sơ sài và đơn giản Lên lớp 8 các em một lần nữa, đợc gặp lại bài toán này nhng ở một mức độ cao hơn(đợc giới thiệu trên một số sách tham khảo) Vậy bản chất của bài toán này là gì? Phơng pháp chứng minh nh thế nào? Bài viết này với mong muốn giúp các em trả lời đợc các câu hỏi này
A Lí thuyết.
1) Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
- Phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn đợc nữa) là phân số mà “tử” và
“mẩu” chỉ có Ước chung là 1 và - 1
- Hay nói cách khác phân số tối giản ⇔ (a ; b) = ±1
b) Tính chất liên quan
- Nếu a M d và b M d thì a ±b M d
- Nếu 1 M d thì d = ±1
2) Phơng pháp chứng minh một phân số là phân số tối giản
a) Nguyên tắc
Để chứng minh phân số tối giản ta cần phải chứng minh Ước chung của a và b bằng 1 hoặc bằng – 1
b) Cách làm :
Bớc 1 Đặt d = (a ; b)
Bớc 2 Tìm 2 số tự nhiên n và m sao cho: n.a ±m.b = 1
Bớc 3 Lập luận để có: n.a ±m.b M d hay 1 M d rồi từ đó suy ra d = ±1
B BàI tập áp dụng.
Bài 1 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n ∈ Z.
a) 3
2
n n
+ + b)
2 3
n n
−
−
Giải
a) Gọi d là Ước chung của (n + 3) và (n + 2)
Ta có: (n + 3) M d và (n + 2) M d ⇒ (n + 3) – (n + 2) M d hay 1 M d ⇒ d = ±1
⇒ “tử” và “mẩu” của phân số 3
2
n n
+ + chỉ có Ước chung là 1 và - 1 ⇒ phân số 3
2
n
n
+
+ là phân số tối giản.
1
Trang 2b) Gọi d là Ước chung của (2 – 3n) và (3n - 1).
Ta có: (2 – 3n) M d và (3n - 1) M d ⇒ (2 – 3n) + (3n - 1) M d hay 1 M d ⇒ d = ±
1
⇒ “tử” và “mẩu” của phân số 2 3
n n
−
− chỉ có Ước chung là 1 và - 1 ⇒ phân số
2 3
n
n
−
− là phân số tối giản.
Bài 2 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n.
a) 3 1
n n
+ + b)
n n
+ +
(Sách Nâng cao và phát triển Toán 8)
Phân tích tìm lời giải:
Rỏ ràng bài Toán này không còn dể dàng nh bài Toán 1 nửa Vì ở đây (3n +1) + (5n +2) và (3n +1) - (5n +2) đều không bằng 1 hoặc bằng - 1 Vậy làm thế nào để có đợc lời giải của bài Toán này? Các em thử suy nghỉ rộng ra một chút nhé!!! Để có tổng hoặc hiệu của “tử” và “mẩu” bằng 1 hoặc – 1 thì ta phải làm mất n đi Muốn vậy, ta chỉ cần nhân “tử” với 5 và nhân “mẩu” với 3, từ đó sẻ có ngay lời giải cho bài Toán
Giải:
a) Gọi d là Ước chung của (3n +1) và (5n +2)
Ta có: (3n +1) M d và (5n + 2) M d ⇒ 5(3n +1) M d và 3(5n + 2) M d
⇒ 5(3n +1) – 3(5n +2) M d ⇒ - 1 M d ⇒ d = ±1
⇒ 3 1
n n
+ + là phân số tối giản.
b) Tơng tự:
Gọi d là Ước chung của (12n +1) và (30n +2)
Ta có: (12n +1) M d và (30n + 2) M d ⇒ 5(12n +1) M d và 2(30n + 2) M d
⇒ 5(12n +1) – 2(30n +2) M d ⇒ 1 M d ⇒ d = ±1
⇒ 12 1
n n
+ + là phân số tối giản.
Bài 3 Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi n ∈ Z.
Phân tích tìm lời giải:
Đến bài Toán này lại không còn dể dàng nh bài Toán 2 nửa Vì ở đây ta không thể làm mất “n” bằng cách nhân “tử” và “mẩu” với một số nào đó! Vậy làm thế nào đây?
Ta lại thấy rằng : “tử” của phân số có n3, còn “mẩu” của phân số có n4 (tử và mẩu có bậc khác nhau) Từ đó, ta thử làm mất n4 đi Muốn vậy, ta chỉ cần nhân “tử” với n là xong
Giải:
Gọi d là Ước chung của (n3 + 2n) và (n4 + 3n2 + 1)
Ta có: (n3 + 2n) M d ⇒ n.(n3 + 2n) M d hay n4 + 2n2 M d (1)
Mặt khác ta lại có: n.(n3 + 2n)M d và (n4 + 3n2 + 1)M d
⇒ n(n3 + 2n) - (n4 + 3n2 +1)M d
⇒ n2 + 1M d
2
Trang 3⇒ (n2 + 1)2 M d hay n4 + 2n2 + 1 M d (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (n4 + 2n2 + 1) - (n4 + 2n2)M d ⇒ 1 M d ⇒ d = ±1
là phân số tối giản
C BàI tập về nhà.
Bài 4 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n, m∈ Z.
a) 11 4
3 1
n n
+ + b)
m m
+ +
Bài 5 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n ∈ Z.
a) 21 4
n n
+ + b)
2 1
2 ( 1)
n
n n
+ +
Bài 6 Chứng minh rằng tổng và hiệu của một số nguyên và một phân số tối giản là
một phân số tối giản
Bài 7 Tổng của một số hửu tỉ và một số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ đợc không?
Tổng của hai số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ đợc không?
Bài 8 Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi n ∈ Z.
3
Trang 44