Giáo án bồi dưỡng HSG Toán 6 phần phân số tối giản

Giáo án bồi dưỡng HSG Toán 6 phần phân số tối giản

Giáo án BDHSG Toán 6 Thanh Mỹ, ngày tháng năm 2014 Chuyên đề : Sử dụng tính chất: +) Nếu a M d và b M d thì ma ± nb M d với m, n ∈ Z +) Nếu a M m thì a ± md M d . với m ∈ Z +) a b là tối giản khi (a, b) = 1 Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. a) 7n +10 và 5n + 7 b) 2n +3 và 4n +8. Hướng dẫn a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d ⇒ 7n + 10 M d và 5n + 7 M d ⇒ 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1 M d ⇒ d = 1 Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d ⇒ 2n + 3 M d và 4n + 8 M d ⇒ (4n + 8) – 2(2n + 3) = 2 M d Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ ⇒ d là số lẻ ⇒ d = 1 Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để 19 2 n n + − là phân số tối giản Hướng dẫn Ta có: 19 2 n n + − = 2 21 21 1 2 2 n n n − + = + − − Để 19 2 n n + − tối giản thì 21 2n − tối giản Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7. ⇒ n – 2 ≠ 3k (k ∈ N) và n – 2 ≠ 7p (p ∈ N) ⇒ n ≠ 3k + 2 (k ∈ N) và n ≠ 7p + 2 (p ∈ N) Vậy với n ≠ 3k + 2 (k ∈ N) và n ≠ 7p + 2 (p ∈ N) thì 19 2 n n + − tối giản Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để 4 5 5 4 n n + + có thể rút gọn được. Hướng dẫn Để 4 5 5 4 n n + + có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1 ⇒ 4n + 5 M d và 5n + 4 M d ⇒ 5(4n + 5) – 4(5n + 4) M d hay 9 M d ⇒ 4n + 5 M 3 và 5n + 4 M 3 ⇒ n – 1 M 3 ⇒ n – 1 = 3k ⇒ n = 3k + 1 (k ∈ N) Vậy với n = 3k + 1 (k ∈ N) thì 4 5 5 4 n n + + có thể rút gọn được Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để 3 2 2 3 2 n n n − + − là số tự nhiên Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1 Giáo án BDHSG Toán 6 Hướng dẫn Ta có: 3 2 2 3 2 n n n − + − = 2 3 2 n n + − Vì n ∈ N nên n 2 ∈ N ⇒ Để 3 2 2 3 2 n n n − + − là số tự nhiên thì n – 2 ∈ Ư(3) ⇒ n – 2 ∈ { } 1; 3 ⇒ n ∈ { } 3; 5 Vậy với n ∈ { } 3; 5 thì 3 2 2 3 2 n n n − + − là số tự nhiên Bài 5: Chứng tỏ rằng 230 112 + + n n là phân số tối giản. Hướng dẫn Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 ⇒ 12n + 1 M d và 30n + 2 M d ⇒ 5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 M d Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau Do đó 230 112 + + n n là phân số tối giản Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số 34 1938 + + = n n A a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Hướng dẫn Ta cú: 34 187 2 34 187)34(2 34 1938 + += + ++ = + + = nn n n n A a) Để A ∈ N thì 187 M 4n + 3 ⇒ 4n +3 ∈ { } 1; 17; 11; 187 +) 4n + 3 = 1 ⇒ không có n ∈ N +) 4n + 3 = 11 ⇒ n = 2 +) 4n +3 = 187 ⇒ n = 46 +) 4n + 3 = 17 ⇒ 4n = 14 ⇒ không có n ∈ N Vậy n ∈ { } 2; 46 b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1 ⇒ 4n + 3 ≠ 11k (k ∈ N) và 4n + 3 ≠ 17m (m ∈ N) ⇒ 4n + 3 - 11 ≠ 11k (k ∈ N) và 4n + 3 - 51 ≠ 17m (m ∈ N) ⇒ 4(n – 2) ≠ 11k (k ∈ N) và 4(n – 12) ≠ 17m (m ∈ N) ⇒ n ≠ 11k + 2 (k ∈ N) và n ≠ 17m +12 (m ∈ N) c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12 Vỡ 150 < n < 170 ⇒ n ∈ { } 156; 165 Bài 7: Cho phân số A 3 1 − + = n n ( ;zn ∈ 3≠n ) a) Tìm n để A có giá trị nguyên. b) Tìm n để A là phân số tối giản. Hướng dẫn a) Ta cú: 3 4 1 3 43 3 1 − += − +− = − + = nn n n n A Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 2 Giáo án BDHSG Toán 6 ⇒ A có gá trị nguyên ⇔ n-3 ∈ { } 1; 2; 4± ± ± n - 3 1 -1 2 -2 4 -4 n 4 2 5 1 7 -1 Vậy n ∈ { } 4; 2; 5; 1; 7; 1− b) Muốn cho 3 1 − + n n là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1 Ta có : (n+1; n-3) = 1 ⇔ (n-3; 4) = 1 ⇔ n-3 / M 2 ⇔ n là số chẵn Bài 8: Cho phân số: 314 421 + + n n . Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên Hướng dẫn Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3) Khi đó 21n + 4 M d và 14n + 3 M d Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1 M d ⇒ d = 1 Vậy 314 421 + + n n là phõn số tối giản Bài 9: Cho biểu thức 122 12 23 23 +++ −+ = aaa aa A a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là một phân số tối giản. Hướng dẫn a) Ta có: 122 12 23 23 +++ −+ = aaa aa A = 1 1 )1)(1( )1)(1( 2 2 2 2 ++ −+ = +++ −++ aa aa aaa aaa (a ≠ -1) b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a 2 + a – 1 và a 2 +a +1 Vì a 2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác: 2 = [a 2 +a +1 – (a 2 + a – 1)] M d Nên d = 1 tức là a 2 + a + 1 và a 2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. Vậy biểu thức A là phân số tối giản. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 3 . Giáo án BDHSG Toán 6 Thanh Mỹ, ngày tháng năm 2014 Chuyên đề : Sử dụng tính chất: +) Nếu. n n − + − là số tự nhiên Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1 Giáo án BDHSG Toán 6 Hướng dẫn Ta có: 3 2 2 3 2 n n n − + − = 2 3 2 n n + − Vì n ∈ N