Giáo án bồi dưỡng HSG Toán 6 phần phân số tối giản
Trang 1Thanh Mỹ, ngày tháng năm 2014 Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a d và b d thì ma nb d với m, n Z
+) Nếu a m thì a md d
với m Z
+) a
b là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8
Hướng dẫn
a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d 7n + 10d và 5n + 7d
5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1d d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d 2n + 3d và 4n + 8d
(4n + 8) – 2(2n + 3) = 2d
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ d là số lẻ d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để 19
2
n n
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có: 19
2
n
n
n
Để 19
2
n
n
tối giản thì 21
2
n tối giản
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7
n – 2 3k (kN) và n – 2 7p (pN)
n 3k + 2 (kN) và n 7p + 2 (pN)
Vậy với n 3k + 2 (kN) và n 7p + 2 (pN) thì 19
2
n n
tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để 4 5
n n
có thể rút gọn được
Hướng dẫn
Để 4 5
n
n
có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1
4n + 5 d và 5n + 4 d 5(4n + 5) – 4(5n + 4) d hay 9 d
4n + 5 3 và 5n + 4 3 n – 1 3 n – 1 = 3k n = 3k + 1 (kN) Vậy với n = 3k + 1 (kN) thì 4 5
n n
có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để 3 2 2 3
2
n
là số tự nhiên
Trang 2Hướng dẫn
Ta có: 3 2 2 3
2
n
2
n n
Vì n N nên n2 N Để 3 2 2 3
2
n
là số tự nhiên thì n – 2 Ư(3)
n – 21; 3 n3; 5
Vậy với n3; 5 thì 3 2 2 3
2
n
là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng
2 30
1 12
n
n
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 12n + 1 d và 30n + 2 d
5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 d
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó
2 30
1 12
n
n
là phân số tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số
3 4
193 8
n
n A
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được
Hướng dẫn
Ta cú:
3 4
187 2
3 4
187 ) 3 4 ( 2 3 4
193 8
n n
n n
n A
a) Để A N thì 187 4n + 3 4n +3 1; 17; 11; 187
+) 4n + 3 = 1 không có n N
+) 4n + 3 = 11 n = 2
+) 4n +3 = 187 n = 46
+) 4n + 3 = 17 4n = 14 không có n N
Vậy n 2; 46
b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
4n + 3 11k (k N) và 4n + 3 17m (m N)
4n + 3 - 11 11k (k N) và 4n + 3 - 51 17m (m N)
4(n – 2) 11k (k N) và 4(n – 12) 17m (m N)
n11k + 2 (k N) và n17m +12 (m N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12
Vỡ 150 < n < 170 n 156; 165
Bài 7: Cho phân số A
3
1
n
n
(n z; n 3) a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A là phân số tối giản
Hướng dẫn
a) Ta cú:
3
4 1 3
4 3 3
1
n n
n n
n A
Trang 3 A có gá trị nguyên n-3 1; 2; 4
Vậy n4; 2; 5; 1; 7; 1
b) Muốn cho
3
1
n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1
Ta có : (n+1; n-3) = 1 (n-3; 4) = 1 n-32 n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số:
3 14
4 21
n
n
Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4d và 14n + 3d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1d d = 1
Vậy
3
14
4
21
n
n
là phõn số tối giản
Bài 9: Cho biểu thức
1 2 2
1 2
2 3
2 3
a a a
a a A
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a
là một phân số tối giản
Hướng dẫn
a) Ta có:
1 2 2
1 2
2 3
2 3
a a a
a a
1
1 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
2
2 2
2
a a
a a a
a a
a a a
(a ≠ -1) b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau
Vậy biểu thức A là phân số tối giản
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *