aChứng minh ACO BDO g.g2đ bXét tứ giác ABDC có CA // BD Suy ra ABDC là hình thang Gọi I là trung điểm của CD mà O là trung điểm của AB Suy ra OI là đường trung bình của hình thang A[r]
(1)THCS TAM HƯNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2013-2014 Câu 1: Tìm x(6đ) a)x4 + 2014x2 + 2013x + 2014 =0 b) 2x = 4x + 18 Câu 2:(5đ) Cho P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +6 a)Cho x N* chứng minh P(x) b)Giải phương trình P(x) = Câu 3(2đ) Cho a, b, c 1 thỏa mãn a +b +c =0 Tìm Giá trị lớn biểu thức A = a2 + b2 +c2 Câu 4(7đ) Cho đoạn thẳng AB Gọi O là trung điểm AB vẽ phía AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB.Lấy điểm C trên Ax,điểm D trên tia By cho COD 90 a)Chứng minh ACO BDO b)Chứng minh CD = AC + BD c)Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O đến CD Xác định vị trí CD để OM nhỏ - Hết- (2) Đáp án Câu Tìm x : a) x4 + 2014 x2 +2013 x + 2014 = (1) (x4 – x) + 2014(x2 +x +1) = (0,5đ) x(x3 – 1) + 2014(x2 +x +1) = (0,5đ) (x2 +x +1)(x2 – x +2014) =0 (0,5đ) Vì (x2 +x +1) >0 với x (0,5đ) (x2 – x +2014) >0 với x(0,5đ) Kết luận phương trình (1)vô nghiệm (0,5đ) b) 2x = 4x + 18 (2) Với x<0 thì – 2x >0 suy 2x = - 2x (0,5đ) Pt (2) - 2x = 4x +18 x=-3 (0,5đ) Với x>0 thì – 2x <0 suy 2x = 2x (0,5đ) Pt (2) 2x = 4x +18 x=9 (0,5đ) Kết luận pt (2) có tập nghiệm là S = 3;9 (1đ) Câu a) P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +6 = x4 – x3 – 2x3+ 3x2 +2x2 – 3x – 6x +6 =x3(x – 1) – 2x2(x – 1) + 3x(x – 1) – 6(x – 1) = (x – 1)(x3 – 2x2 +3x – 6) =(x – 1)(x – 2)(x2+3) (1đ) Vì x N* nên (x – 1)(x – 2) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên đó có bội Suy (x – 1)(x – 2) Suy (x – 1)(x – 2)(x2 + 3) (1đ) (3) Nếu x = 3k thì x2 + = 9k2 +3 3 nên P(x) 3 Nếu x = 3k +1 thì x - = 3k +1 – = 3k 3 nên P(x) 3 Nếu x = 3k +2 thì x - = 3k +2 – = 3k 3 nên P(x) 3 Suy P(x) 3 mà(2,3) = Kết luận P(x) 6 (1đ) (x – 1)(x – 2)(x2 + 3) = b)Để P(x) = thì mà x2 với x Suy x2 + > với x (1đ) P(x) = Kết luận x = x = (1đ) 3)(2đ) Vì a 1 a a 1 a 1 0 (a 2)(a 1) 0 a a 0 (1) b 1 b b 1 b 0 (b 2)(b 1) 0 b b 0 (2) c 1 c c 1 c 0 (c 2)(c 1) 0 c c 0 (3) Cộng vế (1),(2),(3) ta có a2 + b2 + c2 a + b +c + Mà a + b +c = Suy a2 + b2 + c2 Vậy Max A = Hoặc a = b = - 1,c = Hoặc b = c = - 1,a = Hoặc a = c = - 1,b = Câu 4: (4) Vẽ hình đúng (0,5đ) a)Chứng minh ACO BDO (g.g)(2đ) b)Xét tứ giác ABDC có CA // BD Suy ABDC là hình thang Gọi I là trung điểm CD mà O là trung điểm AB Suy OI là đường trung bình hình thang ACDB Suy 2OI = AC + DB (1đ) Xét tam giác COD có OI là trung tuyến ,suy 2OI = CD Suy CD = AC + DB (1đ) c)Xét COI cân I suy ICD ICD mà IOC AOC đó AOC OCM (1đ) CAO CMO CM CA, BD MD (1đ) Ta có CD AB Để CD bé thì CD =AB (0,5đ) Mà OM vuông góc vói CD Từ đó M là trung điểm CD(1đ) (5)