Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm
(1)PHÒNG GD ĐT HUYỆN AN PHÚ ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh: Phịng:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019
Khóa ngày 19-01-2019 MƠN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
Chứng minh + + − = 10 Câu 2: (4,0 điểm)
Tìm số 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓; 𝑔 bảy đỉnh hình vẽ bên cho tổng số ghi hai đỉnh liền kề số ghi cạnh tương ứng
Câu 3: (4,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho ba điểm
𝐴 𝑚; ; 𝐵 0; 𝑛 với 𝑚 > 0; 𝑛 > 0 𝐶(3; 2)
a Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝐴𝐵
b Tìm hệ thức liên hệ 𝑚, 𝑛 cho ba điểm 𝐴; 𝐵; 𝐶 thẳng hàng c Tìm 𝑚; 𝑛 cho diện tích tam giác 𝑂𝐴𝐵 có diện tích nhỏ Câu 4: (4,0 điểm)
Cho hai số 𝑎 > 𝑏 > 0 thỏa 𝑎2 + 𝑏2 =
2𝑎𝑏 Hãy tính
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 Câu 5: (4,0 điểm)
Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐶 = 20; 𝐵𝐴𝐷 = 600. 𝑁 là điểm nằm cạnh
𝐶𝐷; gọi 𝑃; 𝑄 hình chiếu vng góc 𝑁 lên 𝐵𝐷 𝐴𝐶 a Tính diện tích hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷
b Tính độ dài nhỏ đoạn 𝑃𝑄
- Hết -
(2)PHÒNG GD ĐT
AN PHÚ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Khóa ngày 19/01/2019 MƠN: TỐN
HƯỚNG DẪN CHẤM I- YÊU CẦU
- Tổ chấm q trình thảo luận đáp án phân điểm chi tiết câu đến 0,25 đ
- Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa II- NỘI DUNG CHI TIẾT
Câu Nội dung gợi ý Điểm
Câu
4,0 đ + + − =
+ + − =
2 + + + − + =
2 +
+ − =
2 + + − = 10
Vậy + + − = 10
4,0 đ
Câu Theo đề ta có hệ
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑐 = −8
𝑐 + 𝑑 = 13 𝑑 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑓 = −5 𝑓 + 𝑔 = −9 𝑔 + 𝑎 = −4
Cộng trừ hai vế phương trình ta
𝑎 + 𝑏 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑑 + 𝑒 + 𝑒 + 𝑓 − 𝑓 + 𝑔 + 𝑔 + 𝑎 = + + 13 − − + −
⟺ 2𝑎 = 16 ⟹ 𝑎 =
Khi 𝑏 = −6; 𝑐 = −2; 𝑑 = 15; 𝑒 = −8; 𝑓 = 3; 𝑔 = −12
Các số cần tìm (8; −6; −2; 15; −8; 3; −12)
4,0 đ
Câu 3a 𝐴 𝑚; ; 𝐵 0; 𝑛 với 𝑚 > 0; 𝑛 > 𝐶(3; 2) Phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 đường thẳng qua 𝐴 𝑚; ⟹ = 𝑎 𝑚 + 𝑏
đường thẳng qua 𝐵 0; 𝑛 ⟹ 𝑛 = 𝑎 + 𝑏 ⟹ 𝑏 = 𝑛; 𝑎 = − 𝑏
𝑚 = − 𝑛 𝑚
Vậy phương trình đường thẳng 𝐴𝐵: 𝑦 = − 𝑛
𝑚𝑥 + 𝑛 ⟺ 𝑦𝑛 = −𝑚𝑥 + ⟺ 𝑚𝑥 +𝑦𝑛 =
(3)Câu 3b
𝐴; 𝐵; 𝐶 thẳng hàng đường thẳng 𝐴𝐵 qua 𝐶(3; 2)
⟹
𝑚+
𝑛 = ⟺ 3𝑛 + 2𝑚 = 𝑛𝑚
Vế trái số dương nên 𝑚 > 3; 𝑛 >
1,0 điểm
Câu 3c Diện tích tam giác 𝑂𝐴𝐵 𝑆 =1
2𝑚 𝑛
Mặt khác =
𝑚 +
𝑛 ≥ 𝑚
2
𝑛 =
𝑚𝑛 ⟺ 𝑚𝑛 ≥ ⟺ 𝑚𝑛 ≥ 24
Vậy 𝑆 =1
2𝑚𝑛 ≥ 12 dấu xảy 𝑚 = 𝑛; 𝑚+
𝑛 = ⟹ 𝑚 = 6; 𝑛 =
diện tích nhỏ tam giác 𝑂𝐴𝐵 12 𝑚 = 6; 𝑛 =
1,0 điểm
Câu Cho hai số 𝑎 > 𝑏 > thỏa 𝑎2 + 𝑏2 =5
2𝑎𝑏 Hãy tính 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 =𝑎
2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 =
5
2 𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏
2 𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 =9
1
Do 𝑎 > 𝑏 > nên 𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
= ⟹ 𝑎+𝑏𝑎−𝑏 =
4,0 đ
Câu 4,0 đ
Tam giác 𝐴𝐵𝐷 có đường cao
𝐴𝑂 =1
2𝐴𝐶 = 10
Độ dài cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 2𝐴𝑂 =
20 3=
20 3
Vậy diện tích hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑆 =1
2𝐴𝐶 𝐵𝐷 =
20.20
3 =
200 3
2,0 đ
Dễ thấy 𝑂𝑃𝑁𝑄 hình chữ nhật nên 𝑂𝑁 = 𝑃𝑄 Do 𝑂 𝐶𝐷 cố định,
𝑃𝑄 ngắn 𝑂𝑁 ngắn nhất, 𝑂𝑁 vng góc 𝐶𝐷 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông 𝑂𝐶𝐷 ta
1 𝑂𝑁2 =
1 𝑂𝐷2 +
1 𝑂𝐶2 =
1 10
2 + 102 =
4 100=
1
25⟹ 𝑂𝑁 =
Vậy độ dài ngắn đoạn 𝑃𝑄