de thi HSG toan 7

a So sánh AB với EB bChứng minh Δ AIE là tam giác vuông cân.. 5điểm Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC.[r]

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH NHAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN Năm học : 2013-2014 (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (2điểm) Thực phép tính a) A 5.415.99  4.320.89 5.210.619  7.2 29.27 2 2 B     1.3 3.5 5.7 2013.2015 b) Câu (3điểm) Tìm các số x, y, z biết a) b) x y z = = và x – 3y + 4z = 62 x y z = = và x2 + y2 + z2 = 116 Câu (2điểm) Chứng minh a) (817 – 279 – 913 ) ⋮ b) 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105 Câu 4.(3điểm) Tìm x, biết: a 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16 21 b :|2 x −1| = 22 213 Câu (2 điểm) Ba phân số có tổng 70 , các tử chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu chúng tỉ lệ vối 5;1;2 Tìm ba phân số đó  ^ Tia phân Câu (3điểm) Cho Δ ABC, Â > 900, đường cao AH, BAH =2 C giác góc B cắt AC E, tia phân giác góc BAH cắt BE I a) So sánh AB với EB b)Chứng minh Δ AIE là tam giác vuông cân Câu (5điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K là trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D, cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H là trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh: Δ HMN cân Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN Năm học : 2013-2014 Đáp án Câu 1a 1b 5.22.15.32.9  22.320.23.9 5.415.99  4.320.89  A 5.210.619  7.229.27 5.210.219.319  7.2 29.33.6 229 18 ( −3 2) ¿ 29 18 ( 3− ) 10    15  2 2 B     1.3 3.5 5.7 2013.2015 1 1 1 1         3 5 2013 2015 2014 1   2015 2015 x y z x y 4z = = = = ⇒ 9 36 x y 4z x −3 y +4 z = = ⇒ = 36 −9+36 ⇒ x= 8, y = 6, z = 18 có 2a x y z = = 2b = 62 = (vì x – 3y + 4z = 62) 31 4a 4b 0,5đ 0.5đ 0,5đ 0,5đ và x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒ x y z x 2+ y 2+ z 116 = = = = =4 16 4+ 9+16 29 3b 0,5đ 0,5đ Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) 3a Biểu điểm 0,5đ 13 817 – 279 – 913 = ( 34 ) – ( 33 ) – ( 32 ) = 326( 32 – – 1) = 326 Do đó (817 – 279 – 913) ⋮ = 328 – 327 – 326 52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5) = 52011(125 – 25 + 5) = 52011.105 chia hết cho 105 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16 2x – – 6x – – 8x – 12 = 16 -12x – 20 = 16 -12x = 16 + 20 = 36 x = 36 : (-12) = -3 21 :|2 x −1| = 22 21 2x   : 22 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 22 11 2x    21 11 11 2x   => 2x = *) 14 14 + = => x = : = 11 8 11 x    => 2x = - + = => x = - : =- *) Vậy x= ; x=- 0,5đ 0,5đ 0,5đ 213 Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 70 5 Và a : b : c = : : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a  b  c 213 71     :  5 70 10   5 12 Suy a = 35 ; b= 15 ; c = 14 0,5đ 0,5đ 1đ B H I 0,5đ 32 1 A C E a) Δ ABE, Â > 900 nên Ê1 nhọn, A tù ⇒ AB < EB (Quan hệ góc - đối diện tam giác) 0,5đ  b) Có Â1 + C = 900 1 BAH Â2 = Â3 = (AI là phân giác) (1)   BAH  C => (2) ^ Từ (1) và (2) => Â2 = Â3 = C ^ C  Theo gt BAH =2  Mà Â1 + C = 900 ⇒ Â1 + Â2 = 900 ⇒ AI AC ⇒ 1đ  Ê1 + I1 = 900 (3)   Mà Ê1 = B1  C (Ê1 là góc ngoài Δ BEC), Vì   I  A3  B ( I là góc ngoài  B  B (BE là phân giác) Δ ABI )      Nên từ (3) ⇒ Ê1 + I1 = B1  C + A3  B   = B1 + C = 900  C  B = 450 hay Ê1 = 450 ⇒ Do đó B Δ 1đ AIE là tam giác vuông cân A D K 1đ N M A C H a/ Chứng minh CD song song với AB Xét tam giác: ABK và DCK có: BK = CK (gt)   BKA CKD (đối đỉnh) AK = DK (gt)  ABK = DCK (c-g-c) 0         DCK  ABK ; mà ABC  ACB 90  ACD  ACB  BCD 90    ACD 90 BAC  AB // CD (AB  AC và CD  AC) b Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét tam giác vuông: ABH và CDH có: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt)  ABH = CDH (c-g-c) c Chứng minh: Δ HMN cân Xét tam giác vuông: ABC và CDA có: 0,5đ 0,5đ 1đ   AB = CD; ACD 90 BAC ; AC cạnh chungABC =CDA (c-g-c)    ACB CAD   mà: AH = CH (gt) và MHA NHC (vì ABH = CDH)  AMH = CNH (g-c-g)  MH = NH Vậy HMN cân H 1đ 1đ Tổng 20đ