Đang tải... (xem toàn văn)
c Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiÖm?[r]
(1)Chuyên đề: hệ Thức vi ét C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) §Þnh lÝ Vi Ðt: Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a≠0) NÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 th×: b x x a x x c a x1 x a Lu ý: Khi đó ta có: 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: c x1 1; x a - NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm c x1 1; x a - NÕu a – b + c = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 3) T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch: Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P th× hai sè x; y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 – SX + P = §iÒu kiÖn S 4P Bµi tËp D¹ng thø nhÊt: LËp ph¬ng tr×nh biÕt hai nghiÖm: Bµi 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 x1 3; x x1 5; x d) x1=0,1; x2=0,2 e) f) 1 1 x1 ; x 3 x1 1 ; x 0,9 x1 ; x 3 g) h) i) x1 2; x 3 j) x1 1 2; x 1 k) l) x1 5 6; x1 ; n) x 5 x2 m) x1 3 2; 2 1 x1 ; x2 10 72 10 72 o) q) x1 3 11; x 3 11 p) x1 4 5; x 4 r) x1 3 5; x 3 x1 ; t) x 3 2 s) x1 4; x 2 x 1 u) x1 1,9; x 5,1 Bµi 2: Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 2x 7x 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: 1 a) 3x vµ 3x b) -2x vµ -2x c) x1 vµ x 2 (2) 1 2 d) x1 vµ x x1 x2 1 g) x vµ x1 x2 x1 e) x1 vµ x x1 x2 h) x vµ x1 x1 x2 1 f) x1 vµ x 1 x1 x2 x vµ x1 i) 1 j) x vµ x1 2 Bài 3: Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x px 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: 1 x1 x2 a) -x1 vµ -x2 b) 4x1 vµ 4x2 c) vµ 1 x2 x1 x1 x2 d) x1 vµ x e) x1 vµ x f) x1 vµ x x1 x2 x1 g) x vµ x1 x2 h) x vµ x1 1 x1 x2 x vµ x1 k) 2 j) x1 vµ x x1 i) 1 x2 x vµ x1 l) x12x2 vµ x1x22 Bµi 4: Gäi p; q lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3x 7x 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh p q H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: q vµ p Bµi 5: T¬ng tù: 2 a) x 4x 0 b) x 5x 0 c) 2x 6x 0 Bµi 6: a) Chøng minh r»ng nÕu a ; a lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x px 0 , b ; b lµ hai 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x qx 0 th×: a1 b1 a b a1 b1 a b q p 2 b) Chứng minh tích nghiệm pt: x ax 0 với mộ nghiệm nào đó pt x bx 0 lµ nghiÖm pt th×: 1 2 2 a b a b c) Cho pt x px q 0 Chứng minh 2p 9q 0 thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm D¹ng thø hai: T×m tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: x 5x 0 Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh: 2 3 2 a) x1 x b) x1 x c) x1 x d) x1 x (3) 1 e) x x f) x1 x 1 x1 x x x x x1 2 i) j) x1 x 2 x x1 x x x x 2 m) n) 3 1 x1 x x x x x2 g) h) 1 x1 x x1 x x x 2x 2x 2 k) l) 2 Bµi 2: T¬ng tù: 2x 5x 0 ; 3x 4x 0 ; 3x 2x 0 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x 4x 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh: a) Tæng b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm c) Tæng lËp ph¬ng c¸c nghiÖm d) B×nh ph¬ng tæng c¸c nghiÖm e) HiÖu c¸c nghiÖm f) HiÖu b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm Bµi 4: Cho pt: x 3x 0 cã hai nghiÖm x1; x2 Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh: 6x12 10x1x 6x 2 A 5x1x 23 5x13 x D¹ng thø ba: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch: Bµi 1: a) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 27, tÝch cña chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 1, tÝch cña chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 33 , tÝch cña chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 4, tÝch cña chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng , tÝch cña chóng b»ng -315 Bµi T×m hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 2 k) u + v = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 m) u2 + v2 = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 D¹ng thø bèn: TÝnh gi¸ trÞ cña tham sè biÕt mèi liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm: Bµi 1: Cho pt x 6x m 0 TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: 1 1 2 2 a) x1 x 36 b) x1 x c) x1 x d) x1 x 4 Bài 2: Cho pt x 8x m 0 Tìm các giá trị m để pt có hai nghiệm x 1; x2 thoả c¸c hÖ thøc sau: 2 a) x1 x 50 b) x1 7x c) 2x1 3x 26 d) x1 x 2 Bài 3: Cho pt x (m 3)x 2(m 2) 0 Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bµi 4: 2 a) Tìm k để pt: x (k 2)x k 0 có hai nghiệm x ; x thoả x1 x 10 2 2 b) Tìm m để pt: x 2(m 2)x 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x 18 c) Tìm k để pt: (k 1)x 2(k 2)x k 0 có hai nghiệm x ; x thoả (4) (4x1 1)(4x 1) 18 d) Tìm m để pt: 5x mx 28 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả 5x1 2x 1 Bµi Gäi x ; x lµ hai nghiÖm kh¸c cña pt: mx (m 1)x 3(m 1) 0 Chøng minh: 1 x1 x D¹ng thø n¨m: C¸c bµi to¸n tæng hîp 2 Bµi 1: Cho pt: x (2m 3)x m 3m 0 a) Gi¶i pt trªn m = b) Định m để pt có nghiệm là Khi đó pt còn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm pt Tìm m để x1 x 1 e) Định m để pt có nghiệm này ba nghiệm kia? Bµi 2: Cho pt x 2(m 1)x m 0 a) CMR pt lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 víi mäi m 1 y1 x1 y x x vµ x1 b) Víi m ≠ H·y lËp pt Èn y cã nghiÖm lµ: c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x 3 Bµi 3: Cho pt x 2(k 3)x 2k 0 a) Gi¶i pt b) Tìm k để pt có nghiệm là 3, đó pt còn nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi k d) CMR gi÷a tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cã mét sù liªn hÖ kh«ng phô thuéc k? 1 2 x x x x 2 e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả f) Tìm k để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ Bµi 4: Cho pt (m 1)x 2mx m 0 k a) CMR pt lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt m ≠ b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ đó hãy tính các nghiệm pt c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña pt kh«ng phô thuéc m? x1 x 0 x d) Tìm m để pt có hai nghiệm x ; x thoả x1 2 Bµi 5: Cho pt x 2(m 1)x 2m 10 0 a) Gi¶i vµ biÖn luËn pt trªn b) Tim giá trị m để pt có nghiệm m đó hãy tìm nghiệm còn lại? 2 c) Tìm m cho hai nghiệm x1; x2 pt thoả 10x1x x1 x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bµi 6: Cho pt x 2mx 2m 0 a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m (5) 2 b) §Æt A 2(x1 x ) 5x1x 2 +) Chøng minh A 8m 18m +) T×m m cho A = 27 c) Tìm m để pt có nghiệm này hai nghiệm Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy? Bµi 7: Cho pt x 2(m 1)x m 0 a) Gi¶i pt m = -5 b) CMR pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng e) CMR biÓu thøc A x1 (1 x ) x (1 x1 ) kh«ng phô thuéc m f) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x1 x 2 Bµi 8: Cho pt x 2(m 2)x m 0 a) Gi¶i pt trªn b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm? m d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm pt Tìm m để x1 (1 2x ) x (1 2x1 ) m 2 Bµi 9: Cho pt x 2(m 1)x m 4m 0 (x lµ Èn) a) Gi¶i vµ biÖn luËn pt b) Tìm m để pt nhận là nghiệm Với giá trị m vừa tìm đợc hãy tìm nghiệm còn l¹i cña pt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bµi 10: Cho pt (m 4)x 2mx m 0 a) Tìm m để pt có nghiệm x Tìm nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm 2 c) TÝnh x1 x theo m 3 d) TÝnh x1 x theo m e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo các nghiệm Bµi 11: a) Pt x 2px 0 cã nghiÖm x1 2 T×m p vµ tÝnh nghiÖm b) Pt x 5x q 0 cã mét nghiÖm b»ng T×m q vµ tÝnh nghiÖm c) BiÕt hiÖu hai nghiÖm cña pt x 7x q 0 b»ng 11 T×m q vµ hai nghiÖm cña d) T×m q vµ hai nghiÖm cña pt x qx 50 0 , biÕt pt cã hai nghiÖm vµ nghiÖm này gấp đôi nghiệm 2 e) Tìm giá trị m để pt x 2(m 2)x 2m 0 có nghiệm x1 = đó h·y t×m nghiÖm cßn l¹i f) Định giá trị k để pt x k(k 1)x 5k 20 0 có nghiệm x = -5 Tìm nghiÖm g) Cho pt: 5x mx 28 0 Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x1 2x 1 (6) h) Tìm tất các giá trị a để pt x ax a 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 x 2 10 Bµi 12: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m 0 a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 1 1 x1 x ; x1 x x12 x 2 2 ; d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1 x ) 5x1x 2 Bµi 13: Cho pt x 2(m 1)x 2m 10 0 a) Tìm m để pt có nghiệm 2 b) Cho P 6x1x x1 x ( x1; x2 là hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá trÞ nhá nhÊt, t×m GTNN Êy Bài 14: Tìm các giá trị m; n để pt x 2(m 1)x n 0 có hai nghiệm x1 1; x 2 ? Bài 15: Tìm các giá rị m để pt x mx m 0 có nghiệm x1; x2 thoả mãn hai ®iÒu: a) x1x 2(x1 x ) 19 0 b) x1; x2 âm Bµi 16: Cho pt x 2(m 1)x m 0 a) CMR pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối và trái dấu Bµi 17: Cho pt x mx 0 a) Giải và biện luận pt Từ đó hãy cho biết với giá trị nào m thì pt có hai nghiÖm? b) Xác định các giá trị m để pt có hai nghiệm dơng c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt nh¹n lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 18: Cho pt x 8x m 0 a) Xác định m để pt có nghiệm b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm kia? TÝnh c¸c nghiÖm trêng hîp nµy Bµi 19: Cho pt x mx m 0 a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m TÝnh nghiÖm kÐp (nÕu cã) cña pt vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña m 2 b) §Æt A x1 x 6x1x 2 +) Chøng minh A m 8m +) Tính giá trị m để A = +) T×m cña A Bµi 20: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m 0 a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dơng? trái dấu? (7) 2 Bµi 21: Cho pt x (2m 3)x m 3m 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn các điều: 2 2 +) x1 x 9 +) x1 x x1x Bµi 22: Cho pt kx 18x 0 a) Với giá trị nào k thì pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 x x x x 6 2 c) Tìm k để pt có hai nghiệm x ; x thoả 2 Bµi 23: Cho pt x 10x m 20 0 a) Gi¶i pt m = 4? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng x 2(m 2)x m 0 Bµi 24: Cho pt a) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x ; x là hai nghiệm pt tìm m để: x1 (1 2x ) x (1 2x1 ) m 2 Bµi 25: Cho pt 2x 6x m 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghiÖm b) Với giá trị nào m thì pt có nghiệm dơng x1 x 3 x x c) Gọi x ; x là hai nghiệm pt tìm m để 2 Bµi 26: Cho pt x 2(a 1)x 2(a 5) 0 a) Gi¶i pt a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả x1 2x 3 d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng Bµi 27: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m 0 a) Xác định m để pt có nghiệm 1 x x b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm Bài 28: Xác định m để pt x (5 m)x m 0 có hai nghiệm thoả mãn các ®iÒu kiÖn sau: a) Nghiệm này lớn nghiệm đơn vị b) Cã hai nghiÖm tho¶ 2x1 3x 13 2 Bài 29: Tìm giá trị m để x1 x đạt giá trị nhỏ nhất: 2 a) x (2m 1)x m 0 b) x 2(m 2)x (2m 7) 0 Bµi 30: Cho pt x 2(m 1)x m 0 a) Gi¶i pt m = b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt nhËn x = lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m (8) 2 d) Tìm m để pt có nghiệm thoả x1 x 5 e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm? Bµi 31: Cho pt x 2(m 1)x 2m 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña pt T×m GTLN cña Y x1 x c) Tìm m để Y = 4; Y = 2 Bµi 32: Cho pt 5x mx 28 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả: 1 142 x12 x 2 25 +) x1 x +) d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1 2x 1 Bµi 33: Cho pt 2x (2m 1)x m 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc m (9)