Chuyên đề hệ thức Viet

Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Phần Mở Đầu Lý chọn đề tài: Cùng với phát triển lịch sử, Toán học đợc mênh danh Nữ hoàng khoa học, Toán học chứa đựng đặc điểm lí trí, lập luận trừu tợng hớng tới hoàn thiện thẩm mỹ Trong suốt trình học Toán từ năm Phổ thông, thân bị lôi toán tìm cực trị Đại số ứng dụng định lí Viét Cho đến bây giờ, sau hai năm học Trờng ĐH Quảng Bình, nhận thấy hai dạng toán hấp dẫn nhng không phần hóc búa, đòi hỏi học sinh nắm đợc phơng pháp chung cha đủ mà cần phải có khả t để từ định hớng giải toán Vì thế, hai dạng toán thờng hay gặp kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 kỳ thi học sinh giỏi Tuy nhiên, hai dạng toán đợc đa sách giáo khoa lớp khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho ỏi nên học sinh thờng lúng túng gặp phải học sinh giỏi Xuất phát từ tính thiết đó, thân sinh viên năm cuối, chuyên ngành CĐSP Toán Tin, tự ý thức đợc việc tích lũy kiến thức, kinh nghiệm để phục vụ cho công tác giảng dạy nói chung bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng sau trờng Vì vậy, dới hớng dẫn thầy giáo.Ths.NCS Nguyễn Quang Hoè, mạnh dạn xây dựng đề tài phơng pháp tìm cực trị đại số - định lí Viét ứng dụng Đề tài gồm hai chuyên đề: - Chuyên đề 1: Ph ơng pháp tìm cực trị đại số - Chuyên đề 2: Định lí vi ét ứng dụng Mục đích nghiên cứu: - Đa phơng pháp để tìm cực trị Đại số - Hệ thống ứng dụng định lí Viét phục vụ cho công tác dạy học bậc THCS Đối tợng nghiên cứu: - Học sinh lớp - Phơng pháp để tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu: - Cung cấp sở lý thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, kiến thức thờng dùng để giải toán cực trị; định lí Viét - Trình bày số phơng pháp để tìm cực trị biểu thức Đại số; ứng dụng định lí Viét - Trình bày số sai lầm học sinh thờng mắc phải gải toán cực trị Phơng pháp nghiên cứu: - Tham khảo sách, báo, tài liệu có liên quan - Thực nghiệm thực tế qua trình dạy thêm - Đúc rút kinh nghiệm thân Phạm vi nghiên cứu: - Giới hạn chơng trình THCS Phần Nội Dung Chuyên đề 1: Ph ơng pháp tìm cực trị đại số Chơng I: sở lý thuyết I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1.Định nghĩa1: Cho biểu thức f(x,y,) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x,y,) D hai điều kiện sau đợc thoả mãn: - Với (x, y,) thuộc D f(x,y,) M với M số - Tồn (x0, y0 ,) thuộc D cho f(x0, y0 ,) = M Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y,) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x,y,) D hai điều kiện sau đợc thoả mãn: - Với (x, y,) thuộc D f(x,y,) m với m số - Tồn (x0, y0 ,) thuộc D cho f(x0, y0 ,) = m II Các kiến thức thờng dùng Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),Ta ký hiệu giá trị lớn biểu thức P tập xác định D biến GTLN(P) hay maxP, giá trị nhỏ P GTNN(P) hay minP 1) Cho P = A + B maxP = maxA + maxB P = A + minB Trong A B biểu thức chứa biến độc lập với nhau, A B chứa biến đạt GTLN (GTNN) giá trị xác định x = x0, tức maxA = A(x0), maxB = B(x0) maxP = P(x0) 1 với A maxP = A A 2n a) P(x,y) = [Q(x,y)] + a a với a số, n N* Cho P = 2) 3) Nếu có (x0, y0) cho Q(x0, y0) = P(x,y) = a với x, y thuộc D b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b b với b số, n N* Nếu có (x0, y0) cho Q(x0, y0) = maxP(x,y) = b với x, y thuộc D 4) A max(A2) = (maxA)2 min(A2) = (minA)2 5) Các dạng bất đẳng thức Cô-si: a) a + b ab ( a 0, b 0) Đẳng thức xảy a = b b) a b + b a (ab 0) Đẳng thức xảy a = b 6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) Đẳng thức xảy ay = bx 7) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a + b a+b Đẳng thức xảy ab 8) Định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c ( a 0) Khi đó: Nếu < f(x) luôn dấu với a, x R Nếu = f(x) luôn dấu với a, x R , x b 2a Nếu > f(x) dấu với a x nằm khoảng nghiệm trái dấu với a x nằm khoảng nghiệm Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị Các toán cực trị toán khó Do nhiều học sinh việc giải toán cực trị không đơn giản phơng pháp giải Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng kinh nghiệm Nó đòi hỏi ngời làm toán phải nhìn toán theo góc độ khác nhau, biết vận dụng kiến thức phù hợp với tình Sau đây, tác giả xin đợc đa số phơng pháp giải toán cực trị đợc đúc rút từ kinh nghiệm giải toán : Phơng pháp dùng bất đẳng thức Phơng pháp xét biểu thức phụ Phơng pháp đổi biến tìm cực trị biến Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị Phơng pháp dùng tam thức bậc hai Phơng pháp tham biến Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu Phơng pháp giải toán cực trị với biến có điều kiện I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị VD1: Tìm GTNN A = x + x + x 12 x + Giải: A = (1 x) + (2 x 3) = 2x + x x + x = Đẳng thức xảy (1 2x)(2x 3) Lập bảng xét dấu: x 2x 2x - (1 2x)(2x 3) + - 0 Từ ta có (1 2x)(2x 3) Vậy GTNN A với + 0 + - x 2 x 2 VD2: Tìm GTNN hàm số f(x) = x + x + 3x + x 16 + x 25 Giải: Ta có: f(x) = ( x + x + 3x + x + 25 5x ) + x ( x 1) + (2 x 4) + (3 x 9) + (4 x) + (25 x) + x = 15 + x 15 Mặt khác ta có f(4) = 15 suy minf(x) = 15 VD3: Tìm GTNN S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2 + c2 0).Giá trị đạt đợc nào? Giải: Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski ta có: ( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) (ax + by + cz)2 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Do S = x + y2 + z P a + b2 + c2 S có giá trị bé xảy dấu = tức x y z = = , hay nói cách a b c P a + b2 + c2 aP bP cP x= 2 ; y = 2 ; z = 2 a +b +c a +b +c a +b +c khác Smin = Khi VD4: Tìm GTLN của: a) A = x + y biết x + y = b) y2 x x + x B= Giải: Điều kiện x 1, y Ta có x = 1.( x 1) y2 = 2.( y 2) 1.( x 1) + x 1 x = = x x 2x 2 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.( x 1) + x 1 x = = x x 2x y2 2.( y 2) + y 2 = = = y y 2y 2 Max B = 2 + x = x = + = 4 y = y = VD5: Tìm GTLN, GTNN A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 Giải: Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: A2 = ( 2 x + 3 y ) x ( 2) +( ) ( x ) + ( y ) 2 = (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25 x = y x y x = y =1 = x= y x + y = Do A2 25 nên -5 A x = y x = y = MinA = -5 x + y = A2 = 25 x = y x = y =1 x + y = MaxA = Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng VD6: Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức (a + x)(b + x) x Khi đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: ( a + x )(b + x ) ab( a + b) x + x ab = = +a+b+ x x x x Đối với hai số dơng ab x, ta có bất đẳng thức Cô-si: x ab ab +x2 x = ab x x Khi đó: ( a + x )(b + x ) a + b + ab = ( a + b ) x Vậy giá trị nhỏ biểu thức ( a + b ) đạt đợc x = ab VD7: Tìm giá trị lớn của: a) f ( x) = (2 x 1)(3 x) ; b) f ( x) = (1 + x) (1 x) ; x ; x +2 x2 d) f ( x) = ( x + 3) c) f ( x) = Giải: a) Do ab (a + b) , nên ta có: 2 1 f ( x ) = ( x 1)(3 x ) = (5 x )(3 x ) x + (3 x ) = = 5 4 40 1 Vậy f(x) lớn x = 40 20 b) f ( x ) = (1 + x ) (1 x ) *) Nêú x < -1 x > f(x) *) Nếu -1 < x < 4 1 3x + + x + + x + + x f ( x ) = (3 x )(1 + x )(1 + x )(1 + x ) = 3 27 Vậy f(x) lớn x = 16 x x c) f ( x ) = Ta có: + x 2 x 2 x suy x +2 2 x +2 Vậy f(x) lớn x = 2 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng x2 Ta có: x + + 33 x ( x + 2) 27 x f ( x ) ( x + 2) 27 Vậy f(x) đạt giá trị lớn , x = 27 d) f(x) = VD8: Tìm giá trị dơng nhỏ f ( x) = Giải: 2x + x Do f(x) > nên x > ta có: f ( x ) = x + 2 x = x x Vậy f(x) dơng bé x = VD9: Cho số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức f ( x, y , z ) = x + y + z Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có: (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) ( x + y + z ) (x 2 + y + z )( y + z + x ) ( xy + yz + zx ) Từ suy 3( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) 16 Suy f ( x, y , z ) 16 f ( x, y , z ) Vậy f ( x, y, z ) bé 16 , x = y = z = 3 Bài tập đề nghị: Bài Tìm GTLN, GTNN của: A = x + y x + y = Bài Tìm GTNN của: A = x2 + + x2 2x + Bài Tìm GTLN, GTNN của: A = 2x + x2 Bài Tìm GTNN của: A = x + y biết x , y số dơng thoả mãn a b + = (a b số dơng) x y Bài Tìm GTLN của: A = x y biết x + y = II.phơng pháp xét biểu thức phụ VD1: Tìm GTLN, GTNN Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng A= x2 Giải: Điều kiện: x Dễ thấy A Ta xét biểu thức: B= = x2 A Ta có: x2 x2 x2 MinB = = x x = MaxA = = 2+ 3 MaxB = x = x = Khi minA = Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm cực trị A, A nên ta xét biểu thức phụ Các biểu thức phụ thờng xét -A, A2, A Trong ví dụ dới đây, ta xét A biểu thức phụ B sai khác với A số VD2: Tìm GTNN của: A= với < x nên A > Xét A2 = ( x + x + 12 x + x + 3) Hiển nhiên A2 nhng dấu = không xảy ( A > ) Ta biến đổi A2 dới dạng khác: A2 = ( x + 2)(6 x ) + ( x + 1)(3 x) ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) = ( x + 1)(6 x) + (6 x) + ( x + 2)(3 x) (3 x) ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) = ( x + 1)(6 x) + ( x + 2)(3 x) ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) + A2 Do A > nên minA = với x = Bài tập đề nghị: Bài TìmGTLN, GTNN của: ( A = x 99 + 101 x ) Bài TìmGTLN, GTNN của: A = 2x + x2 Bài Tìm GTNN của: A = x2 + x + + x2 x + Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng III Phơng pháp đổi biến tìm cực trị biến VD1: Tìm GTLN, GTNN A= (x4 + 1) (y4 + 1) biết x, y > 0, x + y = 10 Giải: A= (x4 + 1) (y4 + 1) = x4 + y4 + x4y4 + Ta có x + y = 10 x2+ y2 = 10 2xy x4 + y4 + x2y2 = 100 40xy + 4x2y2 x + y4 = 100 40xy + 2x2y2 Đặt xy = t x + y4 = 100 40t + 2t2 Do A = 100 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101 a) Tìm GTNN A = t4 8t2 + 16 + 10t2 40t + 40 +45 = (t2 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 1 y = x = x = 45 4 MinA = 45 t = Khi xy = , x + y = 10 nên x y nghiệm phơng trình X2 - 10 X + =0 Tức x = 10 + , y = 10 2 Hoặc x = 10 , y = 10 + 2 b) Tìm GTLN 2 x + y 10 5 Ta có xy (1) = t ữ ữ = 2 ữ Viết A dới dạng: A = t(t3 + 2t 40 ) + 101 125 , 2t 125 t3 + 2t 40 + 40 < t > nên A 101 Do (1) nên t3 Max A = 101 t = tức x = , y= 10 x = 10 , y = VD2: Tìm GTNN của: A = x x + x + x Giải: Đặt x = y A = y y +1 y + y = Suy minA = y x VD3: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Tìm GTLN, GTNN của: A = x x + y y biết x + y = Giải: Đặt x = a, y = b , ta có a, b 0, a + b = ( ) A = a + b3 = ( a + b ) a ab + b = a ab + b = ( a + b ) 3ab = 3ab Do ab nên A MaxA = a = b = x = 0, y = x = 1, y = Ta có: ab ( a + b ) 1 ab 3ab 4 4 1 A = a = b = x = y = 4 = Bài tập đề nghị: Bài Tìm GTLN, GTNN của: x2 y x y M = + ữ + ữ+ 10 x y x y với x, y Bài Tìm GTNN của: A= 3x x2 Bài Tìm GTLN, GTNN của: A= x xy + y x + xy + y IV phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị VD1 Tìm GTLN A = x2 (3 x) với x Giải: a) Xét x Viết A dới dạng: A=4 x x (3 x) 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm x x , , x ta đợc: 2 x x + +3 x ữ xx (3 x ) ữ =1 22 ữ Do A (1) b) Xét x > 3, A (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận: x = x MaxA = x=2 x Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 10 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm âm phân biệt c) Có nghiệm dơng Bài Xác định m để phơng trình sau có hai nghiệm âm phân biệt: ( m 1) x + 2mx + m + = Bài Cho phơng trình: ( m 1) x + ( m + ) x + m = Xác định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dơng c) Có hai nghiệm dấu Bài toán Tìm điều kiện tham số để nghiệm phơng trình thoả mãn điều kiện k I phơng pháp Ta thực theo bớc sau: Bớc 1.Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm x1, x2 a ' (I) áp dụng định lí Viét, ta đợc: Bớc x1 + x2 = f ( m ) x1 x2 = g ( m ) (I) Bớc 3.Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) II Ví dụ minh họa VD1: Cho phơng trình: x 2kx ( k 1) ( k 3) = CMR với k, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, thỏa mãn: Giải: Ta có: ( x1 + x2 ) + x1 x2 ( x1 + x2 ) + = ' = + ( k 1) ( k 3) = k 4k + = ( k + ) 0, k Suy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, thỏa mãn: x1 + x2 = 2k x1 x2 = ( k 1) ( k 3) Khi đó: 1 2 ( x1 + x2 ) + x1 x2 ( x1 + x2 ) + = ( 2k ) ( k 1) ( k 3) 2.2k + = (đpcm) 4 VD2: Cho phơng trình: ( m + 1) x ( m 1) x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: ( x1 + x2 ) = x1 x2 Giải: Phơng trình hai nghiệm x1, x2: a m + ' m 3 m Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai (*) Lớp: CĐSP Toán Tin K48 38 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Khi phơng trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: Suy ( m 1) x1 + x2 = m +1 x x = m 2 m +1 ( x1 + x2 ) = x1 x2 ( m 1) m +1 =7 m2 m = thỏa mãn (*) m +1 Vậy với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu VD3: Xác định m để phơng trình mx ( m + 1) x + m + = có hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: x12 + x22 = Giải: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 là: a m m ' m + Khi phơng trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: ( m + 1) x1 + x2 = m x x = m +1 m Ta có: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = ( m +2 1) ( m + 1) = m = 2 m Vậy với m = m thoả mãn điều kiện đầu VD4: Giả sử phơng trình: ax + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 CMR hệ thức: b3 + a 2c + ac = 3abc điều kiện cần đủ để phơng trình có nghiệm bình phơng nghiệm lại Giải: Theo giả thiết, ta đợc: b S = x1 + x2 = a P = x x = c a Xét biểu thức: ( P = x1 x22 )(x ) ( x12 = x1 x2 + x12 x22 x13 + x23 ) = x1 x2 + x12 x22 ( x1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 2 c c b c b b + a c + ac 3abc = + + = a a a a a a3 Vậy b3 + a 2c + ac = 3abc hai thừa sốcủa P phải ngợc lại (đpcm) VD5: Giả sử phơng trình: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 39 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng ax + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 CMR hệ thức: ( k + 1) ac kb2 = ( k ) điều kiện cần đủ để phơng trình có nghiệm k lần nghiệm lại Giải: Theo giả thiết, ta đợc: b S = x1 + x2 = a P = x x = c a Xét biểu thức: ( ) P = ( x1 kx2 ) ( x2 kx1 ) = x1 x2 k x12 + x22 + k x1 x2 = x1 x2 k ( x1 + x2 ) x1 x2 + k x1 x2 b2 c c c ( k + 1) ac kb = k + k2 = a a a a2 a Vậy ( k + 1) ac kb2 = hai thừa số P phảibằng ngợc lại (đpcm) III.Bài tập đề nghị: Bài Cho phơng trình: x ( m 1) x + m 3m + = Xác định m để phơng trình: a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m c) Xác định m để x12 + x22 = 20 Bài Cho phơng trình: x ( m 1) x + m 3m + = Xác định m để: a) Phơng trình có hai nghiệm b) Tổng bình phơng nghiệm phơng trình c) Phơng trình có hai nghiệm trị tuyệt đối d) Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 = Bài Cho phơng trình: ( m + ) x ( m 1) x + m = Xác định m để: a) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu b) Tổng bình phơng nghiệm phơng trình c) Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 = Bài Tìm m để phơng trình x + 2mx + = có hai nghiệm x1, x2 Khi a) Tính theo m giá trị biểu thức: E = x1 + x2 F = x1 + x2 b) Xác định m cho x14 + x24 32 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 40 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng 2 Xác định m cho x1 ữ + x2 ữ x2 x1 Bài Cho phơng trình ax + bx + c = Tìm hệ thức liên hệ a b để phơng trình có nghiệm k lần nghiệm lại c) Bài toán Giải số toán hàm số I phơng pháp Dạng 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A ( x A , y A ) , B ( xB , yB ) thuộc Parabol ( P ) : y = ax + bx + c cho trớc, ta thực theo bớc: Bớc Giả sử phơng trình đờng thẳng ( AB ) : y = kx + m Bớc Phơng trình hoành độ giao điểm ( AB ) ( P ) là: ax + bx + c = kx + m ax + ( b k ) x + c m = Bớc Ta có xA xB nghiệm phơng trình theo định lí Viét, ta đợc: k b x A + xB = a k phơng trình (d) m x x = c m A B a Dạng 2: Lập phơng trình tiếp tuyến Parabol ( P ) điểm M ( xM , yM ) đợc thực nh cách thay xA = xB = xM II Ví dụ minh họa VD1: Cho Parabol ( P ) có phơng trình: ( P ) : y = x Gọi A B hai điểm thuộc ( P ) có hoành độ lần lợt -1, Lập phơng trình đờng thẳng AB Giải: Cách 1: Cách giải thông thờng Từ giả thiết, ta đợc A ( 1;1) , B ( 2; ) Phơng trình đờng thẳng AB đợc cho bởi: quaA(1;1) x +1 y ( AB ) : = ( AB ) : x y + = + 11 quaB(2; 4) ( AB ) : Cách 2: áp dụng định lí Viét Giả sử phơng trình đờng thẳng ( AB ) : y = ax + b Phơng trình hoành độ giao điểm ( AB ) ( P ) là: x = ax + b x ax b = Ta có xA = xB = nghiệm phơng trình theo định lí Viét, ta đợc: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 41 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng x A + xB = a a = b = x A xB = b Vậy phơng trình ( AB ) : y = x + 2 VD2: Cho Parabol ( P ) có phơng trình: ( P ) : y = x A điểm thuộc ( P ) có hoành độ Lập phơng trình tiếp tuyến với ( P ) A Giải: Cách 1: Cách giải thông thờng Từ giả thiết, ta đợc A ( 2;1) Giả sử phơng trình tiếp tuyến với ( P ) A ( d ) : y = ax + b (1) A ( d ) 2a + b = b = a Phơng trình hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) là: x2 = ax + b x 4ax 4b = Ta có, ( d ) tiếp xúc với ( P ) (2) có nghiệm kép (2) ' = 4a + 4b = (3) Từ (2) (3) ta đợc a = b = -1 Vậy, phơng trình tiếp tuyến ( d ) : y = x Cách 2: áp dụng định lí Viét Giả sử phơng trình tiếp tuyến với ( P ) A ( d ) : y = ax + b Phơng trình hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) là: x2 (*) = ax + b x 4ax 4b = Ta có xA = nghiệm kép (*) ( x1 = x2 = ) theo định lí Viét, ta đợc: x1 + x2 = 4a a = b = x1 x2 = 4b Vậy, phơng trình tiếp tuyến ( d ) : y = x III Bài tập đề nghị: Bài Cho Parabol ( P ) có phơng trình: ( P ) : y = x + x + Gọi A B hai điểm thuộc Parabol ( P ) có hoành độ lần lợt a) Lập phơng trình đờng thẳng AB b) Lập phơng trình tiếp tuyến với ( P ) A Lập phơng trình tiếp tuyến với ( P ) B Bài Cho Parabol ( P ) có phơng trình: ( P ) : y = x + x c) Gọi A B hai điểm thuộc Parabol ( P ) có hoành độ lần lợt -2 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 42 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng a) b) Lập phơng trình đờng thẳng AB Lập phơng trình tiếp tuyến với ( P ) A c) Lập phơng trình tiếp tuyến với ( P ) B Bài toán Định lí Viét cho phơng trình bậc ba bậc bốn ứng dụng I Hệ thức viét Hệ thức viét cho phơng trình bậc ba Giả sử phơng trình ax3 + bx + cx + d = ( a ) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 Khi đó: b b b b x1 + x2 + x3 = a x2 = a x2 = 3a x1 + x2 + x3 = a c c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a a d d x1 x2 x3 = a x1 x2 x3 = a Hệ thức viét cho phơng trình bậc bốn Giả sử phơng trình ax + bx3 + cx + dx + e = ( a ) có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Khi đó: b x1 + x2 + x3 + x4 = a x x + x x + x x + x x + x x + x x = c 4 a x x x + x x x + x x x + x x x = d 4 a e x1 x2 x3 x4 = a II ứng dụng Giải phơng trình biết tính chất nghiệm Ta thực bớc: Bớc 1: Dựa vào định lí Viét ta xác định đợc nghiệm x0 phơng trình Bớc 2: Lựa chon hai hớng: Hớng 1: Nếu phơng trình không chứa tham số, biến đổi phơng trình dạng ( x x0 ) g ( x ) = nghiệm Hớng 2: phơng trình chứa tham số, thay x = x0 vào phơng trình tham số Bớc Thử lại kết luận VD1: Giải phơng trình 12 x3 + x 17 x + = Biết số nghiệm có hai nghiệm có tích -1 Giải: Giả sử phơng trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 x1.x3 = Khi đó: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 43 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng x1 x2 x3 = 1 x2 = x2 = 2 Viết lại phơng trình dạng: x = x = 2 x = ( x 1) x + x = x + x = x = 2 Vậy phơng trình có ba nghiệm phân biệt x = , x = , x = 3 VD2: Xác định m để phơng trình : x ( m + 1) x x + 2m = ( ) (1) Có ba nghiệm phân biệt, biết số nghiệm có hai nghiệm đối Giải: Giả sử phơng trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 x1 + x3 = Khi đó: x1 + x2 + x3 = m + x2 = m + thay vào (1), ta đợc: ( m + 1) ( m + 1) x ( m + 1) + 2m = m = thay vào (1), ta đợc: x1 = x x x + = ( x 1) x x = x2 = thỏa mãn x1 + x3 = x3 = ( ) Vậy m = thỏa mãn điều kiện đầu Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Ta thực bớc: Bớc 1: Thiết lập hệ thức Viét nghiệm phơng trình (I) Bớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) Chú ý: Biểu thức đối xứng nghiệm phơng trình biểu thức có giá trị không thay đổi ta hoán vị nghiệm x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = b 2ac a2 1 x1 + x2 + x3 b + + = = x1 x2 x3 x1 x2 x3 d VD: Giả sử phơng trình: x3 x m = có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Tính tổng x12 + x22 + x32 Giải: Theo giả thiết, ta có: x1 + x2 + x3 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = m x1 x2 x3 = Khi đó: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 44 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = Tìm tham số để phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K Bài toán thờng đợc giải phơng pháp điều kiện cần đủ Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm, ta có đợc hệ thức Viét nghiệm (I) Bớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) điều kiện cho tham số Bớc 3: Điều kiện đủ: VD: Xác định m để phơng trình : x 3mx x + 3m + = Có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15 Giải: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ,khi đó: Khi đó: x1 + x2 + x3 = 3m x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = x x x = 3m 15 < x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 9m + m2 > m > Điều kiện đủ: Viết lại phơng trình dạng x = ( x 1) x ( 3m 1) x 3m = g ( x ) = x ( 3m 1) x 3m Ta phải chứng minh với m > g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức chứng minh: g > 9m + 6m + > với m > g m ( ) Vậy, m > thỏa mãn điều kiện đầu Phơng trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Để tìm điều kiện tham số cho phơng trình ax + bx + cx + d = ( a ) (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, ta thực theo bớc: Bớc 1: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, đó: x1 + x3 = x2 x1 + x2 + x3 = b b b thay vào (1), ta đợc: x2 = x2 = a a 3a Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 45 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng b b b a ữ + b ữ + c ữ+ d = 3a 3a 3a (2) 2b 9abc + 27 a d = Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Bớc 2: Điều kiện đủ: b Khi đó: 3a b b b 2b x1 + x2 + x3 = x1 + x3 = x1 + x3 = = x2 a 3a a 3a x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Từ (2) suy phơng trình có nghiệm x2 = Vậy điều kiện cần đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng 2b3 9abc + 27 a d = Chú ý: Với toán tham số m, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể phơng trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định phơng trình cho có nghiệm phân biệt VD: Xác định m để phơng trình (1) x3 3x x + m = có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Giải: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, đó: x1 + x3 = x2 (*) x1 + x2 + x3 = 3x2 = x2 = thay vào (1), ta đợc: 11 m = m = 11 Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Điều kiện đủ: Với m = 11, ta đợc: x1 = 12 x x x + 11 = ( x 1) x x 11 = x2 = x3 = + 12 ( ) thỏa mãn ( *) Vậy với m = 11 thỏa điều kiện đầu Phơng trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Để tìm điều kiện tham số cho phơng trình ax + bx + cx + d = ( a ) (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân, ta thực theo bớc: Bớc 1: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 = x22 x1 + x2 + x3 = b a c c x1 x2 + x2 x3 + x22 = a a c c x2 ( x1 + x2 + x3 ) = x2 = thay vào (1), ta đợc: a b x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 46 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng c c c a ữ + b ữ + c ữ+ d = ac = b 3d b b b (2) Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Bớc 2: Điều kiện đủ: c b Từ (2) suy phơng trình có nghiệm x2 = Khi đó: c b c x2 ( x1 + x2 + x3 ) = ữ ữ = = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 b a a x2 x3 = x2 Vậy điều kiện cần đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ac = b3 d Chú ý: Với toán tham số m, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể phơng trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định phơng trình cho có nghiệm phân biệt VD: Xác định m để phơng trình x + x + ( m + 1) x + ( m + 1) = (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Giải: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 = x22 x1 + x2 + x3 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = m + x1 x2 + x2 x3 + x22 = m + x2 ( x1 + x2 + x3 ) = m + x2 = Thay vào (1), ta đợc: m +1 2 m +1 m +1 m +1 ữ + ữ + ( m + 1) ữ+ ( m + 1) = m = ( m + 1) m + 2m 15 = m = m = ( ) Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: Với m = -1 ta đợc: x = x = ( 1) x3 + x = Với m = 3, ta đợc: không thỏa mãn ( ) ( ) x + x x + = ( x + ) x + = , không thỏa mãn Với m = -5, ta đợc: x + x x = ( x ) x + = , không thỏa mãn Vậy không tồn m thỏa mãn điều kiện đầu Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 47 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng ứng dụng giải hệ phơng trình Đây ứng dụng để giải phơng trình ẩn, cách sử dụng định lí Viét, việc chuyển hệ cho hai dạng: x + y + z = A Dạng 1: xy + yz + zx = B xyz = C (I) Khi x, y, z nghiệm phơng trình: (1) u Au + Bu C = áp dụng phơng pháp biết phơng trình bậc ba để giải (1) x + y + z + t = A xy + xz + xt + yz + yt + zt = B Dạng 2: xyz + xyt + xzt + yzt = C xyzt = D Khi x, y, z, t nghiệm phơng trình: (2) u Au + Bu Cu + D = áp dụng phơng pháp biết phơng trình bậc bốn để giải (2) VD1: Giải hệ phơng trình: x + y + z = xy + yz + zx = xyz = (I) Giải: Ta có x, y, z nghiệm phơng trình: ( ) u + 2u u = ( u 1) u + 3u + = ( u 1) ( u + 1) ( u + ) = x = 1& y = 1& z = x = 1& y = & z = u = x = 1& y = 1& z = u = x = 1& y = & z = u = x = & y = 1& z = x = & y = 1& z = Vậy hệ có nghiệm VD2: Giải hệ phơng trình: x + y + z + t = xy + xz + xt + yz + zt = xyz + xyt + xzt + yzt = xyzt = (I) Giải: Ta có x, y, z nghiệm phơng trình: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 48 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng u + u 7u u + = ( u 1) ( u ) ( u + 1) ( u + 3) = u = u = u = u = Vậy hệ có 24 nghiệm III Bài tập đề nghị: Bài CMR x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm phơng trình : ax + bx + c = x1 + x2 + x3 + x4 = c x1 x2 x3 x4 = a Bài Xác định a, b để phơng trình: x + ax + b = có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Bài Cho phơng trình x + ax + bx + c = có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 CMR nghiệm lập thành cấp số cộng khi: 2a3 9ab + 27c = Bài Giải phơng trình: x x3 + 19 x + 3mx + = Biết phơng trình có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 + x2 = x3 + x4 Bài Giải phơng trình: x x + x + x 10 = Biết phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng giá trị tuyệt đối Bài Giải hệ phơng trình: a) x + y + z = 2 x + y + z = xyz = x > b) x + y + z = 2 x + y + z = 3 x + y + z = z Phần kết Trong thời gian không dài, với nỗ lực thân với giúp đỡ nhiệt tình quý thầy cô, bạn bè, thân xây Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 49 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng dựng đợc đề tài phơng pháp tìm cực trị đại số - định lí Viét ứng dụng mang tính ứng dụng khả thi Mặc dù cố gắng song lần nghiên cứu đề tài, kinh nghiệm giảng dạy thân cha có nên tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để đề tài đợc hoàn chỉnh Dạy học nghệ thuật, đòi hỏi ngời giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, mang đến cho em niềm say mê Toán học, tạo cho em có thói quen t khả lập luận Bây ngồi giảng đờng Đại học nhng ngày đứng bục giảng không xa xăm, ớc mơ trở thành ngời giáo viên trở thành thực Qua đây, cho phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giáo khoa Toán - Tin, bạn lớp đặc biệt thầy giáo.Ths.NCS Nguyễn Quang Hoè trực tiếp hớng dẫn hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhận xét, đánh giá: Đồng Hới, ngày 13 tháng 12 năm 2008 Sinh viên thực Lê Thị Mai Một số tài liệu tham khảo Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ NXB Giáo dục Năm 2007 Toán nâng cao chuyên đề Đại Số 9.Vũ Dơng Thuỵ NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Năm 2006 Một số vấn đề phát triển Đại Số 9.Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm 2005 Nâng cao phát triển Toán Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm 2006 Tuyển chọn đề Toán thi vào lớp 10 Huỳnh Quang Lâu.NXB Đại Học S Phạm Năm 2008 Tuyển chọn đề Toán thi vào lớp 10 Nguyễn Thuý Mùi.NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Năm 2008 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 50 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Tài liệu hội thảo bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán cấp THCS Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Bình năm 2005 Giáo trình Đại số sơ cấp thực hành giải toán Hoàng Kỳ Hoàng Thanh Hà NXB Đại họ s phạm Năm 2005 Mục lục Phần Mở Đầu Phần Nội Dung Chuyên đề 1: Phơng pháp tìm cực trị đại số .1 Chơng I: sở lý thuyết I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức II Các kiến thức thờng dùng Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị .3 II.phơng pháp xét biểu thức phụ III Phơng pháp đổi biến tìm cực trị biến IV phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị .10 V Phơng pháp dùng tam thức bậc hai .11 VI Phơng pháp tham biến để tìm cực trị biểu thức 15 VII.phơng pháp giải toán cực trị biểu thức chứa dấu 18 VIII.phơng pháp giải toán cực trị đại số với biến có 20 điều kiện 20 chơng III Một số sai lầm giải toán cực trị 23 Chuyên đề 2: Định lí vi ét ứng dụng 29 Bài toán 29 Tìm hai số biết tổng tích chúng 29 Bài toán 31 Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm 31 Bài toán 33 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm 33 không phụ thuộc vào tham số 33 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 51 Phơng pháp tìm cực trị Đại số - Định lí Viét ứng dụng Bài toán 35 xét dấu nghiệm .35 Bài toán 38 Tìm điều kiện tham số để nghiệm phơng trình thoả mãn điều kiện k 38 Bài toán 41 Giải số toán hàm số 41 Bài toán .43 Định lí Viét cho phơng trình bậc ba 43 bậc bốn ứng dụng 43 Phần kết 49 Một số tài liệu tham khảo 50 Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 52 [...]... x1 + x2 ) 2 + ( x1 x2 ) 2 = 1 là hệ thức cần tìm III Bài tập đề nghị: Bài 1 Cho phơng trình x 2 2 ( m + 1) x m + 1 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình không phụ thuộc m Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 34 Phơng pháp cơ bản tìm cực trị Đại số - Định lí Viét và ứng dụng Bài 2 Cho phơng trình mx 2 2mx + 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình... của hệ: 3 ( xy ( x+3 y =4 x + y + 33 ) =4 y ) = 64 3 x+3 y 3 x+3 3 3 x + y = 28 Vậy hệ có dạng: x + y = 28 xy = 27 Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình t = 1 t 2 28t + 27 = 0 1 t2 = 27 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (1, 27) và (27, 1) III Bài tập đề nghị: Bài 1 Giải hệ phơng trình: x + y = 4 2 2 3 3 x + y x + y = 280 ( )( ) Bài 2 Giải hệ phơng trình: 2 x + 2 y = 5 x + y = 2 Bài 3 Giải hệ phơng... m từ hệ (I) ta đợc hệ thức cần tìm II Ví dụ minh họa VD1: Cho phơng trình ( m 1) x 2 2 ( m 4 ) x + m 5 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình không phụ thuộc m Giải: Điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 là: a 0 m 1 0 11 1 m ' 2 2m 11 0 0 Khi đó phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: 2 ( m 4) x1 + x2 = m 1 x x = m 5 1 2 m 1 (I) Khử m từ hệ (I)... dụng điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đã dùng Chẳng hạn: a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si: +) a + b 2 ab ( a 0, b 0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b +) a b + 2 b a (ab 0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a + b a+b Sinh viên thực... là hệ thức cần tìm VD2: Cho phơng trình ( m 2 + 1) x 2 2mx + 1 m 2 = 0 a) CMR với mọi m > 1 phơng trình luôn có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình không phụ thuộc m Giải: a) Ta có: ' = m 2 ( 1 + m 2 ) ( 1 m 2 ) = m 4 + m 2 1 > 0, m > 1 Vậy với mọi m > 1 phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: 2m x1 + x2 = 1 + m 2 2 x x = 1 m 1 2 1 + m2 b) Khử m từ hệ. .. Có hai nghịêm x1 , x2 Khi đó hãy lập phơng trình có nghiệm nh sau: a) -3 x1 và -3 x2 b) 2 x1 và 2 x2 c) x12 và x22 d) x12 + x22 và x12 x22 Bài toán 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số I phơng pháp Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham số là m), ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm... Lớp: CĐSP Toán Tin K48 19 Phơng pháp cơ bản tìm cực trị Đại số - Định lí Viét và ứng dụng Bài tập đề nghị: Bài 1 Tìm GTLN của biểu thức: A= 2 x 6 x + 13 Bài 2 Tìm GTLN của biểu thức: B= x + 2 x + 37 2 ( ) x +1 Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức: C= 3x 3x 3 + 2x x2 3 + 2x x2 2 2 Bài 4 Tìm GTLN của biểu thức: D= 1 2 2 x + + 2 x 2+ x x4 VIII.phơng pháp giải toán cực trị đại số với các biến có điều kiện... biểu thức a b c P = 1 + ữ1 + ữ 1 + ữ 5b 5c 5a Một bạn đã giải nh sau: áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1+ a a 2 5b 5b 1+ b b 2 5c 5c 1+ c c 2 5a 5a Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta có: P8 a b c 8 5 = 5b 5c 5a 25 Do đó minP = 8 5 25 Thế nào? Lời giải gọn nhỉ! Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP Toán Tin K48 28 Phơng pháp cơ bản tìm cực trị Đại số - Định lí Viét và ứng dụng Chuyên. .. phơng trình bậc hai X2 SX + P = 0 (với điều kịên S 2 4P 0) II Các ứng dụng Định lí Viét đợc sử dụng để: 1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 2 Tính giá trị cuả các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số 4 Xét dấu các nghiệm 5 Tìm điều kiện tham số để các nghiệm của phơng trình thoả mãn điều kiện K 6 Giải một số bài toán hàm số Bài... cực trị của một biểu thức Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x) Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f ( x ) = Q ( x ) t Nếu f ( x ) 0 hoặc f ( x ) 0 với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị t0 để f ( x ) = 0 thì t0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x) VD1: Sinh viên thực hiện: Lê Thị Mai Lớp: CĐSP ... b) x1 x2 c) x12 x22 d) x12 + x22 x12 x22 Bài toán Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số I phơng pháp Để tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham số... ) x1.x2 = g ( m ) (I) Bớc 3: Khử m từ hệ (I) ta đợc hệ thức cần tìm II Ví dụ minh họa VD1: Cho phơng trình ( m 1) x ( m ) x + m = Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình không phụ thuộc m... m (I) Khử m từ hệ (I) ta đợc: ( x1 + x2 ) x1 x2 = Đó hệ thức cần tìm VD2: Cho phơng trình ( m + 1) x 2mx + m = a) CMR với m > phơng trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình