Tôi (Bùi Thế Việt) tham gia diễn đàn từ hồi lớp 8. Khi đó, tôi vô cùng thắc mắc vì sao các anh chị giải đề thi đại học lại có thể giải quyết những bài toán về PTVT, BPT, HPT, ... một cách nhanh gọn như đặt ẩn phụ hợp lý, nhóm nhân tử, lấy P T ( 1 ) + k P T ( 2 ) , ... Từ đó, tôi tự mày mò nghiên cứu và đã có nhiều phương pháp, thủ thuật CASIO hỗ trợ quá trình giải toán. Ví dụ như lớp 9 tôi đăng lên diễn đàn thủ thuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, ... nhanh chóng bằng CASIO; lớp 10 đăng thủ thuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, giải BĐT bằng CASIO, ... Cũng nhờ một thời chém mưa chém gió trên diễn đàn, tôi đã trưởng thành hơn nhiều, và trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2015, tôi đã được trọn vẹn 10 điểm môn toán (82900.000 người được điểm 10). Giờ tôi đã là sinh viên năm nhất, và cũng là giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn của anh Đặng Thành Nam. Vậy mà đến tận bây giờ, tôi mới quay trở lại diễn đàn. Muốn làm một gì đó mơi mới, tôi muốn giới thiệu cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W để giải phương trình vô tỷ dạng một căn và nhiều căn thức ...
9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Diễn đà n T oá n h ọc → T oá n T r u n g h ọc Ph ổ t h ôn g v T h i Đại h ọc → Ch u y ên đề t oá n T HPT Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt Bắt đầu nthoangcute, -06 -2 01 - 04 :4 phương trình vô tỷ, vted.vn , cas io , nthoangcute , thpt quốc gia , uvtw , thủ thuật cas io , tài liệu , phương pháp , bùi việt, Trang / Đã g ửi -0 -2 - :4 nthoangcute T ham khảo, chia sẻ xin ghi rõ nguồn Bùi T hế Việt (nthoangcute) Xin cảm ơn Ph ổ b i ến PHƯƠNG PHÁP U, V, T, W PHÂN TÍCH NHÂN TỬ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ (Bùi T hế Việt (https://www.facebook.com/viet.alexander.7) - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO (https://youtube.com/nthoangcute/) ) A Giới T hiệu : Tôi (Bùi Thế Việt) tham gia diễn đàn từ hồi lớp Khi đó, tơi vơ thắc mắc anh chị giải đề thi đại học lại giải tốn PTVT, BPT, HPT, cách nhanh gọn đặt ẩn phụ hợp lý, nhóm nhân tử, lấy P T (1) + kP T (2), Từ đó, tơi tự mày mị nghiên cứu có nhiều phương pháp, thủ thuật CASIO hỗ trợ q trình giải tốn Ví dụ lớp tơi đăng lên diễn đàn thủ thuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, nhanh chóng CASIO; lớp 10 đăng thủ thuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc vô nghiệm, giải BĐT CASIO, Cũng nhờ thời chém mưa chém gió diễn đàn, tơi trưởng thành nhiều, kỳ thi THPT Quốc Gia 2015, trọn vẹn 10 điểm mơn tốn (82/900.000 người điểm 10) Giờ sinh viên năm nhất, giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn anh Đặng Thành Nam Vậy mà đến tận bây giờ, tôi mới quay trở lại diễn đàn Muốn làm mơi mới, tơi muốn giới thiệu cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W để giải phương trình vơ tỷ dạng nhiều thức B Ý T ưởng : Bạn đọc thắc mắc làm mà phân tích nhân tử thành sau : a) x3 2 + x + − x √2 x − x − = (x + − √2 x b) x − − (4 x − 1) √1 − x − 2 − x − 1) ( √2 x − x − + x + x + 1) (x + 1) √x + = (√1 − x − √x + − 1) (√1 − x + √x + − 1) Đối với số người tư tốt, họ hỳ hục ngồi nháp, tách đủ kiểu để có nhân tử chung nhóm nhân liên hợp Tuy nhiên, với người lười tư phần không nhỏ bạn khác, cần công cụ hỗ trợ việc phân tích nhân tử Đó máy tính CASIO VINACAL mà hẳn bạn đọc có Để làm điều trên, chia toán thành giai đoạn : Bước : Tìm nhân tử Bước : Chia biểu thức Bước : Tiếp tục tìm nhân tử (nếu cịn) đánh giá vô nghiệm Cụ thể chi tiết phần, tơi trình bày Tuy nhiên U, V, T, W mà ? U, V, T, W không phương pháp, mà công thức để thực bước - chia biểu thức Đây mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử CASIO C Yêu Cầu : Đối với số bạn đọc chưa biết nhiều CASIO, vui lòng xem qua viết (http://diendantoanhoc.net/topic/86459-th%E1%BB%A7-thu%E1%BA%ADt-gi%E1%BA%A3i-to%C3%A1nb%E1%BA%B1ng-casio/) hoặc xem video (https://youtube.com/nthoangcute/) hoặc tài liệu PDF chi tiết (https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLcmhGaFI2SVl5emc/view?usp=sharing) Cụ thể, thứ cần bao gồm : Rút gọn biểu thức CASIO (https://www.youtube.com/watch?v=mw_oxW5O9jU) Tìm nghiệm CASIO (https://www.youtube.com/watch?v=AX3Ka76QaVw) Kỹ sử dụng CASIO (https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLcmhGaFI2SVl5emc/view? usp=sharing) như CALC, STO, ENG, Làm việc với số phức Mode CMPLX D T hực Hiện : Chúng ta qua giai đoạn Ý Tưởng : https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 1/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Phần : T ìm nhân tử : Làm để tìm nhân tử ? Làm để biết x3 (x + − √2 x − x − 1) 2 + x + − x √2 x − x − có nhân tử ??? Phương pháp tìm nhân tử đơn giản sau : Nếu nhân tử có nghiệm x = x0 phương trình ban đầu có nghiệm x phương trình ban đầu có nghiệm x Ví dụ : Phương trình x Khi √2 x2 2 + x + = x √2 x − x − = √ = x0 tìm nhân tử chứa nghiệm x = x0 − x − có nghiệm x + √17 21 + 5√17 = = x + + √17 = Vậy biết = x0 ấy. suy nhân tử (√2 x2 − x − − x − 1) Vấn đề cần giải gồm : Làm để tìm nghiệm lẻ x + √17 = ? Làm biến đổi nhanh chóng √ + √17 21 + 5√17 ? = 2 Làm để tìm nhân tử biết nghiệm hữu tỷ ? Nhờ q trình mày mị, nghiên cứu dựa theo ý tưởng trên, xây dựng thủ thuật tìm nhân tử cho phương trình vơ tỷ sau : Một thức f (x) + g(x)√h(x) = Nhiều thức U √p(x) + V √q(x) + T √p(x)q(x) + W = Bước : Viết biểu thức. Ấn Shift + SOLVE, tìm nghiệm (nếu có) lưu vào A, B, C, Bước : Xét trường hợp nghiệm : T H : Phương trình có nghiệm vơ tỷ k1 , k2 cho { k1 , k2 ∈ Q k1 + k2 ∈ Q nghiệm hữu tỷ k1 k2 ∈ Q Khi nhân tử : (√h(x) + ax + b) với √h(k1 ) − √h(k2 ) ⎧ ⎪ ⎪ a = − k1 − k2 ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ b = −√h(k1 ) − bk1 √p(k1 ) − √p(k2 ) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪a = − (√p(x) + a√q(x) + b) với ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ √q(k1 ) − √q(k2 ) b = −√p(k1 ) − a√q(k1 ) T H : Phương trình có nghiệm vơ tỷ k1 có nghiệm hữu tỷ k1 Xét phương trình đổi dấu f (x) − g(x)√h(x) = dạng nhiều : −U √p(x) + V √q(x) − T √p(x)q(x) + W = U √p(x) − V √q(x) − T √p(x)q(x) + W = −U √p(x) − V √q(x) + T √p(x)q(x) + W = Nếu phương trình có thêm nghiệm vô tỷ k2 cho { k1 + k2 ∈ Q nghiệm hữu tỷ k2 k1 k2 ∈ Q ∈ Q Khi nhân tử : (√h(x) + ax + b) √h(k1 ) + √h(k2 ) ⎧ ⎪ ⎪ a = − k1 − k2 với ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ b = −√h(k1 ) − ak1 √p(k1 ) + m√p(k2 ) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ a = − (√p(x) + a√q(x) + b) với ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ √q(k1 ) + n√q(k2 ) b = −√p(k1 ) − a√q(k1 ) Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu √p(x) m = Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu √q(x) m = −1 Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu √p(x)q(x) m n = −1 n = = n = T H : Phương trình đổi dấu khơng tìm k2 thỏa mãn điều kiện Chúng ta xem xét phần nâng cao Ví dụ minh họa : Ví dụ : Giải phương trình : x − x + = x (x − 2) √2 x https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ − 2/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Bước : Nhập x3 − x + − x (x − 2) √2 x Bước : Nhân tử (√2 x với − + ax + b) − ⎪ ⎩ ⎪ Kết luận : Nhân tử (√2 x tìm nghiệm, ta nghiệm k1 √h(k1 ) − √h(k2 ) ⎧ ⎪ ⎪ a = − k1 − k2 ⎨ − − x − 2) = −1 = k2 = −1 b = −√h(k1 ) − ak1 = −2 Ví dụ : Giải phương trình : (2 x + 5) √x − − (3 x − 5) √x + − √x + 3√x − + x − 11 = Bước : Nhập (2 x + 5) √x − − (3 x − 5) √x + − √x + 3√x − + x − 11 tìm nghiệm, ta nghiệm k1 = 12.166563 k2 = 1.433436 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ a = − ⎪ Bước : Nhân tử (√x − + a√x + + b) với ⎨ √p(k1 ) − √p(k2 ) = − √q(k1 ) − √q(k2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b = −√p(k ) − a√q(k ) = ⎪ 1 Kết luận : Nhân tử (2√x − − 3√x + + 5) Ví dụ : Giải phương trình : 4x − x + = (2 x + x − 4) √2 x − Bước : Nhập x3 k1 = 3.2247448 − x + − (2 x k2 = −1.724744 Bước : Thành thử thấy k1 + x − 4) √2 x k3 + k2 ∉ Q − tìm nghiệm, ta nghiệm = Tất nghiệm rơi vào TH Tìm nghiệm phương trình 4x − x + + (2 x + x − 4) √2 x − = Ta nghiệm k4 Thành thử thấy { = 0.7247448 k1 + k5 ∈ Q k5 = 0.775255 k6 = −1 k2 + k4 ∈ Q Vậy phương trình có nhân tử (√2 x − + ax + b) ⎧ √h(k1 ) + √h(k5 ) ⎪ ⎪ a = − k1 − k5 với ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ = −2 tương tự b = −√h(k1 ) − ak1 = cho cặp (k2 , k4 ) (k3 , k6 ) Kết luận : Nhân tử (√2 x2 − − 2x + 2) (2√2 x2 − + 2x − 1) (√2 x2 − − x) Ví dụ : Giải phương trình : 11 √2 x − − √3 x + − √2 x − 1√3 x + + 10 x + Bước : Nhập 11 √2 x − − √3 x + − √2 x − 1√3 x + + 10 x + ta nghiệm k1 = k2 = 0.549157 Bước : Đổi dấu trước : −11 √2 x − − √3 x + + √2 x − 1√3 x + + 10 x + = có nghiệm k3 11 √2 x − + √3 x + + √2 x − 1√3 x + + 10 x + = vô nghiệm 11 √2 x − + √3 x + + √2 x − 1√3 x + + 10 x + = có nghiệm k4 = = 2.330842 Vậy áp dụng công thức với (k1 , k3 ) (k2 , k4 ) ta nhân tử dạng (√p(x) + a√q(x) + b) với √p(k1 ) + √p(k3 ) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪a = − ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b = −√p(k1 ) − a√q(k1 ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ a = − ⎪ ⎨ = −2 √q(k1 ) − √q(k3 ) √p(k2 ) + √p(k4 ) = − √q(k2 ) + √q(k4 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b = −√p(k ) − a√q(k ) = 2 2 Kết luận : Nhân tử (√2 x − − √3 x + + 5) (2 √2 x − − √3 x + + 1) Nhận xét : Có lẽ bước tìm nhân tử định tới hướng tốn Chúng ta nhờ nhân tử tìm để nhóm hợp lý phương pháp nhân liên hợp đặt ẩn phụ Bạn đọc tự tìm lời giải cho tốn nhờ nhân tử tìm Nhiều bạn có suy nghĩ "trẻ trâu", bình phương khử thức nên nghĩ tìm nhân tử vừa khó vừa https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 3/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học lâu Lâu hay khơng cịn độ phức tạp tốn chứng minh phần cịn lại vơ nghiệm, cịn bình phương khử thức chưa giải tốn Bạn đọc xem ví dụ : Ví dụ : Giải phương trình : 2x − 4x + x − = (x − x + 1) √x + Cách : Bình phương khử thức : Ta có : 2x − 4x ⇒ (2 x ⇔ 3x + x − = (x − 4x − x + 1) √x + x − 3) − 10 x + 6x ⇔ (x + 1) (3 x = (x − x + 1) + 4x + 2 (x + 3) − 9x + 12 x + = − x − 2) (x − 3x + x − 3) = Tuy nhiên, giải x Bật mí : x − 3x − 3x + 3x − = + x − = (x − 1) − ? nghiệm khơng thỏa mãn PTVT Đây để tơi lấy ví dụ Vậy điều xảy tơi cho phương trình sau bình phương có thêm nghiệm cực xấu hệ số cực to ? Phương pháp sau tối ưu : Cách : Phân tích nhân tử : Ta có : P T ⇔ ( √x + − x + 1) ( √x + + x − x) = Và √x2 + + x − x ≥ √3 + x − x > Cách làm ngắn "ảo diệu" Vậy làm tìm nhân tử cịn lại biết vài nhân tử toán ? Tôi giới thiệu cho bạn đọc công thức U, V, T, W để chia biểu thức : Phần : Chia biểu thức : Dạng : Một thức : f (x) + g(x)√h(x) Xét phép chia hết sau : = U + V √h(x) p(x) + q(x)√h(x) Công thức U, V: Đặt A f (x) + g(x)√h(x) f (x) − g(x)√h(x) B = = p(x) + q(x)√h(x) Khi : p(x) + −q(x)√h(x) ⎧ ⎪ ⎪ U = ⎪ ⎪ ⎨ A + B A − B ⎪ V = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ 2√h(x) Áp dụng : Bước : Viết biểu thức, CALC cho X Ấn Shift + STO + A (gán vào A) = 1000 Bước : Sửa biểu thức, đổi dấu trước căn, CALC cho X Ấn Shift + STO + B (gán vào B) = 1000 Bước : Sử dụng cơng thức U, V để tìm U V theo x Ví dụ minh họa : Ví dụ : Rút gọn biểu thức : 4x − 2x − 8x + x + − (6 x − 7x − 1) √2 x − √2 x3 − + − x Bước : CALC cho X lưu vào A, ta A = 1000 Bước : Đổi dấu, CALC cho X = 1000 = 8.9397997 ⋅ 10 lưu vào B, ta B = −8.9397995 ⋅ 10 A + B ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ U = Bước : Ta có : ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩V = A − B = 1999000 = 2x 2√2x Đáp số : 2x + (2 x = 2001 = 2x + − x − − x) √2 x − Dạng : Nhiều thức : Xét phép chia hết sau : A1 √p(x) + B1 √q(x) + C √p(x)q(x) + D1 A2 √p(x) + B2 √q(x) + C √p(x)q(x) + D2 = U √p(x) + V √q(x) + T √p(x)q(x) + W https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 4/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Công thức U, V, T , W: Đặt : A1 √p(x) + B1 √q(x) + C √p(x)q(x) + D1 A = A2 √p(x) + B2 √q(x) + C √p(x)q(x) + D2 −A1 √p(x) + B1 √q(x) − C √p(x)q(x) + D1 B = −A2 √p(x) + B2 √q(x) − C √p(x)q(x) + D2 A1 √p(x) − B1 √q(x) − C √p(x)q(x) + D1 C = A2 √p(x) − B2 √q(x) − C √p(x)q(x) + D2 −A1 √p(x) − B1 √q(x) + C √p(x)q(x) + D1 D = −A2 √p(x) − B2 √q(x) + C √p(x)q(x) + D2 Khi : A − B + C − D U = 4√p(x) A + B − C − D V = 4√q(x) A − B − C + D T = 4√p(x)q(x) A + B + C + D W = Ví dụ minh họa : Ví dụ : Rút gọn biểu thức : x − x − − (x − 2) √1 − x − (x + 1) √x + − x√1 − x2 √x + − √1 − x + Bài toán không CALC cho X X = 0.001 = 1000 khơng thỏa mãn ĐKXĐ Tuy nhiên, CALC cho vào MODE CMPLX (complex) CALC cho X = 1000 Bước : Vào MODE CMPLX Bước : Nhập biểu thức, CALC cho X = 1000 lưu vào A ta A Bước : Sửa biểu thức, đổi dấu √x + 1, lưu vào B ta B = Bước : Sửa biểu thức, đổi dấu √1 − x, lưu vào C ta C = 31604.945 − 1031.605i −31608.945 + 968.392i = 31604.945 + 1031.606i Bước : Sửa biểu thức, đổi dấu √x + và √1 − x, lưu vào D ta D = −31608.945 − 968.392i Bước : Sử dụng công thức U, V, T, W : A − B + C − D U = = 999 = x − 4√x + A + B − C − D V = = −1 4√1 − x A − B − C + D T = = −1 4√1 − x A + B + C + D W = = −2 Đáp số : (x − 1) √x + − √1 − x − √1 − x2 − Vậy bây giờ, cho phương trình, bạn đọc phân tích nhân tử ? Ví dụ : Giải phương trình: x + 79 − (2x + 47) √x − − (x + 19) √x + + 31 √x − = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ A = 13.16656315 Bước : Tìm nghiệm : ⎨ B = 2.4334368 17 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ X = Bước : Tìm nhân tử (√x − + u√x + + v) ⎧ ⎪ ⎪ 78 A + B = ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 801 AB = 25 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ √A − − √B − u = − ⇒ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ Vậy nhân tử : (√x − − = − √A + − √B + 2 v = −√A − − u√A + = √x + + ) ⇔ (2√x − − 3√x + + 5) Bước : Chia biểu thức : https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 5/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học x + 79 − (2x + 47) √x − − (x + 19) √x + + 31√x − = U √x − + V √x + + T √x − + W 2√x − − 3√x + + Ta : A − B + C − D U = = −9 4√x − A + B − C − D V = = −3 4√x + A − B − C + D T = = 2 4√x − A + B + C + D W = = 2x + Vậy x + 79 − (2x + 47) √x − − (x + 19) √x + + 31√x − = −9√x − − 3√x + + 2√x − + 2x 2√x − − 3√x + + + Bước : Tiếp tục tìm nghiệm phương trình −9√x − − 3√x + + 2√x − + 2x + = Bước : Tìm nhân tử (√x − − 4√x + + 7) Bước : Chia biểu thức : −9√x − − 3√x + + 2√x − + 2x + = (√x − − 4√x + + 7) (−√x − − √x + − 1) Kết luận : (2√x − − 3√x + + 5) (√x − − 4√x + + 7) (−√x − − √x + − 1) Ví dụ : Giải phương trình : x + 10x − − (x + 1) √x − 2x − + (x − 8x + 10) √x − = A = − √6 Bước : Tìm nghiệm : { B = + √6 Bước : Gọi nhân tử : (√x + x + + u√x − + v) ⎧ ⎪ ⎪ ta : + A + − √B + B + √A u = − = −3 ⎨ √A − − √B − ⎪ ⎩ ⎪ v = − √A + A + − u√A − = Nhân tử : (√x2 + x + − 3√x − 1) Bước : Chia biểu thức : x − 2x + 10x − − (x + 1) √x − + (x − 8x + 10) √x − = U √x √x + T √x + x + + V √x − + x + − 3√x − − + W Ta có : A − B + C − D U = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B − C − D V = = x − 4√x − ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ = x 4√x2 + x + A − B − C + D T = = 4√x3 − A + B + C + D W = = 3x − Kết luận : x ⇔ (√x − 2x + 10x − − (x + 1) √x + x + − 3√x − 1) (x√x − + (x − 8x + 10) √x − = + x + + (x − 2) √x − + √x − + 3x − 3) = Tiếp tục, ta thấy : x√x2 + x + + (x − 2) √x − + √x https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ − + 3x − > nên vô lý 6/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Bài toán giải Ví dụ : Giải phương trình : 15x + 19x + + (9x + 10) √1 − x − (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x = Hướng dẫn : 24 ⎧ X1 = Bước : Tìm nghiệm ta nghiệm : ⎨ ⎩ 25 A = −0.90383671 Đổi dấu trước √1 − x ta : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x − (3x + 4) √1 + x + (5x + 14) √1 − x = = = B = 0.663836717 Phương trình có nghiệm : { C = −0.65218961 Đổi dấu trước √1 + x ta : 15x + 19x + + (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x + (5x + 14) √1 − x Phương trình vô nghiệm Đổi dấu trước √1 − x √1 + x ta : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x X2 = ⎧ Phương trình có nghiệm : ⎨ 24 ⎩ Thành thử thấy A + B = − ∈ Q X3 = − 25 25 Bước : Tìm nhân tử (√1 − x + u√1 + x + v) chứa nghiệm A cách : √1 − A + √1 − B ⎧ ⎪ ⎪ u = − ⎨ = √1 + A − √1 + B ⎪ ⎩ ⎪ v = −√1 − A − u√1 + A = −2 Vậy nhân tử : (√1 − x + 2√1 + x − 2) Bước : Tìm nhân tử (√1 − x + u√1 + x + v) chứa nghiệm X1 ⎧ ⎪ ⎨ √1 − 24 + u√1 + 25 ⎧ ⎪ ⎪ 24 + v = 25 24 = u = − ⇔ ⎨ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −√1 − − u√1 + + v = cách : 25 v = ⇒ (2√1 − x − √1 + x + 1) Hoặc ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ √1 − 24 + u√1 + 25 24 + v = 25 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − √1 + 24 − u√1 − 25 ⎧ ⇔ ⎨ ⎩ ⎨ 24 + v = u = −1 ⇒ (5√1 − x − 5√1 + x + 6) v = 25 Bước : Cách : Chia biểu thức : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x2 (√1 − x + 2√1 + x − 2) (2√1 − x − √1 + x + 1) = U √1 − x + V √1 + x + T √1 − x + W Lần lượt CALC cho X = 0.001 lưu : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 15x + 19x + + (9x + 10) √1 − x − (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x2 → A = −0.6002499 (√1 − x + 2√1 + x − 2) (2√1 − x − √1 + x + 1) 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x − (3x + 4) √1 + x + (5x + 14) √1 − x2 → B = −2.0035006 (−√1 − x + 2√1 + x − 2) (−2√1 − x − √1 + x + 1) 15x + 19x + + (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x + (5x + 14) √1 − x2 → C = −4.0034996 (√1 − x − 2√1 + x − 2) (2√1 − x + √1 + x + 1) 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x2 → D = −4.003499 (−√1 − x − 2√1 + x − 2) (−2√1 − x + √1 + x + 1) https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 7/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Tốn học Từ ta : A − B + C − D ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U = = −1 4√1 − X A + B − C − D V = = 4√1 + X ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ A − B − C + D T = = −1 4√1 − X A + B + C + D W = = −4.003 = −4 − 3x Vậy : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x (√1 − x + 2√1 + x − 2) (2√1 − x − √1 + x + 1) = −√1 − x − √1 − x2 − − 3x Cách : Chia biểu thức : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x (√1 − x + 2√1 + x − 2) (5√1 − x − 5√1 + x + 6) = U √1 − x + V √1 + x + T √1 − x2 + W Lần lượt CALC cho X = 0.001 lưu : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 15x → A = −2.000999 (√1 − x + 2√1 + x − 2) (5√1 − x − 5√1 + x + 6) 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x − (3x + 4) √1 + x + (5x + 14) √1 − x → B = −1.001500 (−√1 − x + 2√1 + x − 2) (−5√1 − x − 5√1 + x + 6) ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ + 19x + + (9x + 10) √1 − x − (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x 2 + 19x + + (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x + (5x + 14) √1 − x 15x → C = −1.000500 (√1 − x − 2√1 + x − 2) (5√1 − x + 5√1 + x + 6) 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x → D = −0.001000 (−√1 − x − 2√1 + x − 2) (−5√1 − x + 5√1 + x + 6) Từ ta : A − B + C − D ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U = A + B − C − D V = = − 4√1 + X ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ = − 4√1 − X A − B − C + D T = = 4√1 − X A + B + C + D W = = −1.001 = −1 − x Vậy : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x (√1 − x + 2√1 + x − 2) (−5√1 − x + 5√1 + x + 6) = − √1 − x − √1 + x − − x Kết luận : 15x + 19x + − (9x + 10) √1 − x + (3x + 4) √1 + x − (5x + 14) √1 − x2 = − (√1 − x + 2√1 + x − 2) (2√1 − x − √1 + x + 1) (√1 − x + √1 − x + + 3x) = − (√1 − x + 2√1 + x − 2) (5√1 − x − 5√1 + x + 6) (√1 − x + √1 + x + + x) https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 8/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Nhận xét : Vậy với tốn có nghiệm bội ? Tơi có bổ đề ngắn gọn để kiểm tra phương trình có nghiệm bội kép hay bội ba, bội bốn, Bạn đọc quan tâm xem chi tiết phần nâng cao Ví dụ : Giải phương trình : 7x + 22 − 4√x − − 3√x + − 6x√x − 1√x + = Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm ta nghiệm : x = Bước : Đổi dấu trước ta : 7x 7x 7x + 22 + 4√x − − 3√x + + 6x√x − 1√x + = vô nghiệm + 22 − 4√x − + 3√x + + 6x√x − 1√x + = vô nghiệm + 22 + 4√x − + 3√x + − 6x√x − 1√x + = vô nghiệm Bước : Xác định nghiệm bội : Ta có : 7x + 22 − 4√x − − 3√x + − 6x√x − 1√x + lim = x − x→5 7x + 22 − 4√x − − 3√x + − 6x√x − 1√x + lim 97 = x→5 96 (x − 5) Vậy tốn có nghiệm bội kép x = Bước : Tìm nhân tử chứa nghiệm bội kép : (√x − + a√x + + b) Ta có : d a = − dx d dx (√x − 1)∣ ∣ x=5 = − (√x + 4)∣ ∣ ⇒ b = ⇒ (2√x − − 3√x + + 5) x=5 Chia biểu thức : 7x + 22 − 4√x − − 3√x + − 6x√x − 1√x + = U √x − + V √x + + T √x − 1√x + + W 2√x − − 3√x + + Ta CALC cho X = 1000 tính : 3984 A − B + C − D U = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ A = -36910.33046 B = -84875.59149 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ C = 79676.78400 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 796.8 = A + B − C − D V = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 9009 = −1801.8 = − A − B − C + D T = = −1.2 = − 4√x − 1√x + A + B + C + D W = 9x + = − 4√x + ⎨ D = 26904.33799 4x − 16 = 4√x − 19006 = −3801.2 = − 19x + = − 5 Kết luận : 7x ⇔ + 22 − 4√x − − 3√x + − 6x√x − 1√x + = (2√x − − 3√x + + 5) (4 (x − 4) √x − − (x + 1) √x + − 6√x − 1√x + − 19x − 6) = Dễ thấy :4 (x − 4) √x − − (x + 1) √x + < Vậy toán giải Chắc bạn đọc sử dụng cơng thức U, V, T, W để phân tích nhân tử số tốn khó Bạn đọc tơi thực hành tốn sau : Ví dụ : Giải bất phương trình : (x − x − 6) √x − + (x − 2) √x + ≥ 3x − 9x + Hướng dẫn : BP T ⇔ (√x − − 1) (√x + − 2) (2x + + x√x + − 3√x − − 2√x − 1) ≥ Ví dụ : Giải bất phương trình : (Đề thi thử lần – THPT Chuyên ĐH Vinh - 2016) https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 9/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học x + 4√x + ≤ x + (1 + √x + 3) Hướng dẫn : BP T ⇔ (√x + + √x + − 3) (√x + − √x + − 1) ≥ Ví dụ : Giải phương trình : √x + + √3 − x − x − x + 4x + = Hướng dẫn : PT 2 ⇔ (√x + + √3 − x − 3) ((−x + 3x + 10) √x + + (x + 6x + 8) √3 − x + (3x + 6) √x + 2√3 − x + 6x + 14) = Ví dụ 10 : Giải phương trình 2x + 3x 2 + = 2x √x + 3x + √3x + Hướng dẫn : PT ⇔ (√3x2 + − 1) (2√x2 + 3x − 2x − 3) (2√x2 + 3x − 3√3x2 + + 2x) = Ví dụ 11 : Giải phương trình : 3x − 13 √x − − √x + = √ Hướng dẫn : P T ⇔ 4(√x − − √x + 1) = 3x − 13 ⇔ (√x − − 2√x + + 3) (13√x − − 22√x + + 16√x − 2√x + − Ví dụ 12 : Giải phương trình : √x + 9x − + x√11 − 3x = 2x + Hướng dẫn : PT ⇒ x + 9x − = (x√11 − 3x − 2x − 3) ⇔ (√11 − 3x − 1) (√11 − 3x − 3) (x + + 2√11 − 3x) = Ví dụ 13 : Giải phương trình : √7x + 20x − 86 + x√−x − 4x + 31 = 3x + Hướng dẫn : 2 P T ⇒ (x√−x − 4x + 31 − 3x − 2) = 7x + 20x − 86 ⇔ (√−x2 − 4x + 31 − 4) (√−x2 − 4x + 31 − 1) (√−x2 − 4x + 31 + x + 7) = Ví dụ 14 : Giải phương trình : x + 4√x + + 2√3 − 2x = 11 Hướng dẫn : PT ⇔ (4√x + + √3 − 2x − 9) (4√x + − √3 − 2x + 27) = 18 Ví dụ 15 : Giải phương trình : 2√x + − 8√2 − x + 8√4 − x + 15x − 34 = Hướng dẫn : P T ⇔ (√x + − 4√2 − x) (√x + − 4√2 − x − 2) = Ví dụ 16 : Giải bất phương trình : (x − x − 6) √x − + (x − 2) √x + ≤ 3x − 9x + Hướng dẫn : BP T ⇔ (√x − − 1) (√x + − 2) (3√x − − x√x + + 2√x − 1√x + − 2x − 1) ≥ Chúng ta qua gần cuối đoạn đường phân tích nhân tử Tuy nhiên, cịn số thứ cần phải làm rõ : E Nâng Cao Có thể bạn đọc thấy, việc tìm nghiệm giúp tìm nhân tử Các trường hợp có nghiệm vô tỷ, nghiệm vô tỷ, nghiệm hữu tỷ có cơng thức Vậy cịn trường hợp nghiệm hữu tỷ tính ? Liệu phân tích thành nhân tử ? Tơi tạm chia trường hợp nghiệm hữu tỷ k1 a) Sau đổi dấu, tìm nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q ∈ Q thành trường hợp nhỏ sau : Trường hợp có cơng thức Bạn đọc xem lại https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 10/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học b) Sau đổi dấu, khơng tìm nghiệm hữu tỷ k2 { k3 + k4 ∈ Q ∈ Q tìm nghiệm vơ tỷ k3 , k4 cho k3 k4 ∈ Q Khi đó, nhân tử toán đổi dấu nhân tử chứa hai nghiệm k3 , k4 Ví dụ : Giải phương trình x 2 − x − − (3 x − 4) √x − x − = Ta có : Phương trình x2 − x − − (3 x − 4) √x − x − = có nghiệm x = − Phương trình x 2 − x − + (3 x − 4) √x − x − = Từ ta tìm nhân tử toán (2√x Kết luận : P T ⇔ ( √x = k1 = 2.55396793 k2 = −5.22063459 − x − − x − 1) (2 √x c) Phương trình có nghiệm bội x có nghiệm k1 − x − − x + 6) − x − − x + 6) = Để kiểm tra nghiệm bội, dùng bổ đề : f (x) Nếu lim n = f (x) có nghiệm x bội n + = k (x − k) Ví dụ : Giải phương trình x + 2x + 2x − x − = (2 x + 2x − 1) √2 x − Ta có : Phương trình x4 Phương trình x + 2x + 2x + 2x − x − − (2 x + 2x − x − + (2 x − 1) √2 x − 1) √2 x + 2x + 2x 2 − = có nghiệm x − = có nghiệm x1 = = 0.7178 x2 = −2.3098 Hai nghiệm có tổng, tích khơng phải hữu tỷ nên khơng làm ăn Kiểm tra nghiệm bội : Ta có : lim 2x + 2x + 2x − x − − (2 x + 2x − 1) √2 x2 − = x − Ta có : lim 2x + 2x + 2x − x − − (2 x + 2x − 1) √2 x − = −5 (x − 1) Kết luận : Phương trình cho có bội kép x = Vậy tìm nhân tử chứa bội kép ? Giả sử tốn có nhân tử (√2 x − + ax + b) đạo hàm theo x √2 x x − + ax + b = phải Tức a d ∣ − 1) ∣ ∣ ( √2x = − dx Từ ta tìm b = −2 = x=1 Vậy nhân tử toán (√2 x2 − − 2x + 1) Tiếp theo phân tích thành nhân tử nó, ta đáp án sau : P T ⇔ (√2 x − − x + 1) ((x + x + 1) √2 x − + x ) = Bài tốn giải d) Phương trình dạng thức √ax + b Điều đặc biệt phương trình dạng ln có nhân tử (√ax + b − √ak1 Ví dụ : Giải phương trình x 2 + x + − (x Ta có : Phương trình x + x + − (x Ta có : Phương trình x + x + + (x 2 2 − x + 9) √2 x + = + b) − x + 9) √2 x + = có nghiệm x − x + 9) √2 x + = vô nghiệm = Kiểm tra nghiệm bội : Không thỏa mãn Tuy nhiên nhờ nghiệm x Kết luận : P T = nên xác định ln phương trình có nhân tử (√2x + − 1) ⇔ (√2 x + − 1) (x − x + − √2 x + 1) = e) Phương trình dạng nhiều thức A√ax + b + B√ax + c + C √(ax + b)(ax + c) + D = Tương tự trên, phương trình ln có nhân tử dạng (√ax + b − √ax + c + p) ( √ax + b + √ax + c + q) Ví dụ : Giải phương trình √x + + x√x − − x Phương trình có nghiệm x = + = nên ln có nhân tử (√x + − √x − − 1) (√x + + √x − − 3) Kết luận : PT ⇔ (√x + − √x − − 1) (√x + + (x + 3) √x − + (x + 2) √x + 1√x − + x − 1) = PT ⇔ − (√x + + √x − − 3) (3 √x + + (x + 1) √x − + (x + 2) √x + 1√x − − x + 7) = Ví dụ : Giải phương trình 3x√x − − (x + 1) √x + − √x − 1√x + + Phương trình có nghiệm x = = Kết luận : P T ⇔ (√x − − √x + + 1) (x√x − + (x − 1) √x + + 2x) = https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 11/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học PT ⇔ − (√x − + √x + − 3) (2x√x − − 2x√x + − √x − 1√x + − 2x + 2) = Ví dụ : Giải phương trình x2 Phương trình có nghiệm x − 4x − + 5x√x − + 5√x + − (3x − 1) √x − 1√x + = = 17 x = có nhân tử 16 Kết luận : P T ⇔ (√x − − 3√x + + 5) (x√x − + √x + 2) = P T ⇔ (√x − − √x + + 1) (2x√x − + 2√x + − (x + 1) √x − 1√x + − x f) Phương trình dạng thức √(ax) + bx + c Phương trình có nhân tử dạng (√(ax)2 g) Phương trình dạng nhiều thức chứa √(ax) + bx + c − ax + p) + bx + c Phương trình có nhân tử dạng (m√(ax)2 (m√(ax) + bx + c + a√(mx) − 2) = + nx + p + v) √(mx) (√(ax)2 + bx + c + ax + q) + nx + p + bx + c − a√(mx) + nx + p + u) h) Các dạng cịn lại : Phương trình có bậc lớn bậc hạng tử khơng chứa Vì bậc bé nên khử thức nhân liên hợp phương pháp ưu tiên Ngoài ra, dùng đạo hàm đánh giá để chứng minh Sau qua trường hợp nghiệm vấn đề đau đầu mà mắc phải chứng minh phần cịn lại (sau phân tích nhân tử) vơ nghiệm Bạn đọc tham khảo cách sử dụng S.O.S tơi để giải Ví dụ : Giải phương trình 3 − x + (x − 2x − 1) √2 − x = Lời giải vô ngắn gọn sau : Ta có : PT ⇔ (√2 − x + x − 2) (x 2 + x − x − + (x + x − 1) √2 − x ) = Ta có : x − 2 + x − x − + (x 2 ((3x + + 3√2 − x ) (√2 − x − ) + x − 1) √2 − x2 = + (√2 − x x − ) + (x − ) 13 + ) < 36 Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Làm để tơi có lời giải ? Ta kiếm cách chứng minh f (x) = x + x 2 + x − 1) √2 − x − x − + (x < Đây toán siêu chặt nên điểm rơi phải lấy gần … Bước : Tìm điểm rơi f ′ (x) = ⇔ x = 1.3692 Bước : Tìm nhân tử chứa điểm rơi : x = 1.3692 ⇒ √2 − x = 0.3537 ⇒ √2 − x ≈ ⇒ (√2 − x − ) Bước : Chia biểu thức : x + x − x − + (x + x − 1) √2 − x g (x) = (√2 − x − ) Vào Mode 2, nhập biểu thức CALC cho x = 1000 ta : g (x) = −1001.66799 − 1000.33233I ⇒ 3g (x) = −3005.0039 − 3000.9969I ⇒ 3g (x) ≈ −3x − − 3√2 − x Bước : Tìm dư : https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ 12/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học 3 (x + x 2 + x − 1) √2 − x ) + (√2 − x − x − + (x − ) (3x + + 3√2 − x ) 10 49 = + x√2 − x2 x − 10 Bước : Chứng minh h (x) = 49 x − Bước 5.1 : Điểm rơi x + x√2 − x < Cách làm gần tương tự … = 1.3344 Bước 5.2 : Mối liên hệ x √2 − x √2 − x 2 x = 0.4683 ≈ Bước 5.3 : Khử BĐT cauchy S.O.S : 49 10 x − + x√2 − x + ( √2 − x x − ) = − x 10 + 22 x − = − (x − ) 13 − < 36 Đó lý tơi có lời giải S.O.S đẹp … −3 (x 2 + x − x − + (x 2 (3x + + 3√2 − x ) (√2 − x − + x − 1) √2 − x ) = ) + x (√2 − x − ) + (x − ) 13 + 36 Đây cách làm tổng quát cho toán siêu chặt, cịn tốn “lỏng lẻo” tí khơng cần phải lấy gần … Ví dụ ta lấy điểm rơi x = nhân tử nghiệm kép : (√2 − x + x − 2) Khi : x + x − x − + (x 2 = (√2 − x 2 + 2x − √2 − x ) + 3x − − 3√2 − x + x − 2) (x = (√2 − x + x − 1) √2 − x2 2 − − 3√2 − x ) + (2x − 3) √2 − x + x − 2) (x Tiếc khơng phải lúc âm tốn q chặt Cịn với lỏng làm sau : Ví dụ : Giải phương trình : 3x3 + 6x − + (8x + 1) √x + = Ta có : P T ⇔ − (√x + − 2x − 1) (2x + x + + (x + 4) √x + 1) Do đó, ta cần chứng minh f (x) = 2x + x + + (x + 4) √x Ta tìm điểm rơi cách lấy đạo hàm, ta x0 + > = −0.2675918 2 (√x + + x + a) Ta cần lấy f (x) − để Thế điểm rơi vào, ta a ≈ −0.76759187 ⇒ a = −1 (√x2 + + x − 1) Tóm lại ta f (x) − = x + 2x + + 5√x + > Ví dụ : Giải phương trình : x + x + 10x − 19 + (x − 7x + 13) √x + x − = Ta có : P T ⇔ (√x + x − − 1) (√x + x − + 2) (x − 2x + + (x − 2) √x + x − 1) Do đó, ta cần chứng minh f (x) = x − 2x + + (x − 2) √x Ta tìm điểm rơi cách lấy đạo hàm, ta x0 + x − > = 1.0845346 2 (√x + x − + x + a) Ta cần lấy f (x) − để Thế điểm rơi vào, ta a ≈ −2.207366 ⇒ a = −2 2 (√x Tóm lại ta f (x) − + x − + x − 2) 11 − x = Tuy nhiên, chưa giải Lấy điểm rơi chặt với a https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ = − ta : 13/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học f (x) − 2 (√x + x − + x − √x2 + x − 35 ) = + > Ví dụ : Giải phương trình x2 37 − 6x + + (x − 4) √x + = Ngoài cách làm trên, viết dạng tổng bình phương cách đặ t , = √x + viết phương trình theo t đưa phương trình bậc Cách phân tích phương trình bậc thành tổng bình phương S.O.S tơi giới thiệu qua Kết luận : 2 x √x + 37 − 6x + + (x − 4) √x + = (x + 16 3 − ) + (√x + − 20 ) 47 + > 75 Vẫn nhiều vấn đề để nói phương pháp Nhưng có lẽ tơi khơng thể trình bày hết topic Ví dụ : Ví dụ : Giải phương trình (x − 1) √x 2 − 2x + = x (x + 3x + + 4√x + 1) + Cách : PT (√x − 2x + − 2√x + 1) 2 2 2 (2(x + 1) √x + + (x + 1) √x − 2x + + 2√x + 1√x − 2x + + 7x ⇔ − 4x + 5) 3x − = Cách : PT ⇔ − (√x2 − 2x + − 2√x2 + − x − 1) (U √x 2 − 2x + + V √x + + T √x + 1√x − 2x + + W ) = Với ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U = x V = x − x − 2x ⎨ + 2x − + 3x − T = −x + x − ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ W = −x + 2x − 5x − 2x − Hy vọng post này, bạn đọc sử dụng máy tính bỏ túi để giải tốn liên quan đến phân tích thành nhân tử. Chuyên đề viết 11 (từ 18h đến 5h) nên khơng khỏi sai sót Mọi góp ý, thắc mắc vui lịng liên hệ tới SĐT : 096.573.48.93 Facebook : Bùi Thế Việt (https://www.facebook.com/viet.alexander.7) Dưới số tập tự luyện để bạn đọc tham khảo Phần : https://drive.google iew?usp=sharing (https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLNXQ2S2E4ai1HNzA/view?usp=sharing) Phần : https://drive.google iew?usp=sharing (https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLQVZ4Z3dNbXVHcG8/view?usp=sharing) Bài v iết chỉnh sửa nội dung nt hoangcut e: -06 -2 01 - :55 Đã g ửi -0 -2 - :2 caobo171 Anh cho em hỏi anh có pdf khơng , cho em xin với , em khơng có điều kiện để online thường xun nên bất tiện anh ạ Đã g ửi -0 -2 - :3 nthoangcute Đây chuyên đề anh viết riêng cho Diễn Đàn Toán Học lamgiaovien2 https://diendantoanhoc.org/topic/160650-phương-pháp-u-v-t-w-giải-ptvt-bằng-casio-bùi-thế-việt/ Đã g ửi -0 -2 - :0 14/17 ... https://diendantoanhoc.org/topic/160650 -phương- pháp- u-v-t -w- giải- ptvt- bằng- casio- bùi- thế- việt/ 3/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học lâu Lâu hay... https://diendantoanhoc.org/topic/160650 -phương- pháp- u-v-t -w- giải- ptvt- bằng- casio- bùi- thế- việt/ 5/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học x + 79 − (2x... https://diendantoanhoc.org/topic/160650 -phương- pháp- u-v-t -w- giải- ptvt- bằng- casio- bùi- thế- việt/ 7/17 9/6/2021 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT CASIO - Bùi Thế Việt - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Từ ta : A −