Phương pháp u v t w phân tích nhân tử phương trình vô tỷ bùi thế việt

PHƯƠNG PHÁP U, V, T, W PHÂN TÍCH NHÂN TỬ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ (Bùi Thế Việt - Chun gia Thủ Thuật CASIO) A Giới thiệu Tôi (Bùi Thế Việt) tham gia diễn đàn từ hồi lớp Khi đó, tơi vơ thắc mắc anh chị giải đề thi đại học lại giải toán PTVT, BPT, HPT, cách nhanh gọn đặt ẩn phụ hợp lý, nhóm nhân tử, lấy P T (1) + kP T (2), Từ đó, tơi tự mày mị nghiên cứu có nhiều phương pháp, thủ thuật CASIO hỗ trợ trình giải tốn Ví dụ lớp tơi đăng lên diễn đàn thủ thuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, nhanh chóng CASIO; lớp 10 đăng thủ thuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc vơ nghiệm, giải BĐT CASIO, Cũng nhờ thời chém mưa chém gió diễn đàn, trưởng thành nhiều, kỳ thi THPT Quốc Gia 2015, trọn vẹn 10 điểm mơn tốn (82/900.000 người điểm 10) Giờ sinh viên năm nhất, giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn anh Đặng Thành Nam Vậy mà đến tận bây giờ, quay trở lại diễn đàn Muốn làm mơi mới, muốn giới thiệu cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W để giải phương trình vơ tỷ dạng nhiều thức B Ý tưởng Bạn đọc thắc mắc làm mà phân tích nhân tử thành sau : √ √ √ a)x3 + 3x + − x2 2x2 − x − = x + − 2x2 − x − 2x2 − x − + x2 + x + √ √ √ √ √ √ b) 6x − − (4x − 1) − x − (x + 1) x + = 1−x−2 x+1−1 1−x+ x+1−1 Đối với số người tư tốt, họ hỳ hục ngồi nháp, tách đủ kiểu để có nhân tử chung nhóm nhân liên hợp Tuy nhiên, với người lười tư phần không nhỏ bạn khác, cần cơng cụ hỗ trợ việc phân tích nhân tử Đó máy tính CASIO VINACAL mà hẳn bạn đọc có Để làm điều trên, tơi chia tốn thành giai đoạn : Bước 1: Tìm nhân tử Bước 2: Chia biểu thức Bước 3: Tiếp tục tìm nhân tử (nếu cịn) đánh giá vơ nghiệm Cụ thể chi tiết phần, tơi trình bày Tuy nhiên U, V, T, W mà ? U, V, T, W không phương pháp, mà công thức để thực bước - chia biểu thức Đây mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử CASIO C Yêu cầu Đối với số bạn đọc chưa biết nhiều CASIO, vui lòng xem qua viết xem video tài liệu PDF chi tiết Cụ thể, thứ cần bao gồm : • Rút gọn biểu thức CASIO • Tìm nghiệm CASIO • Kỹ sử dụng CASIO CALC, STO, ENG, • Làm việc với số phức Mode CMPLX D Thực Chúng ta qua giai đoạn Ý Tưởng : Phần 1: Tìm nhân tử : √ Làm để tìm nhân tử ? Làm để biết x3 + x + − x2 x2 − x − có nhân tử √ x + − x2 − x − ??? Phương pháp tìm nhân tử đơn giản sau : Nếu nhân tử có nghiệm x = x0 phương trình ban đầu có nghiệm x = x0 Vậy biết phương trình ban đầu có nghiệm x = x0 tìm nhân tử chứa √ nghiệm x = x0 √ 17 + Ví dụ: Phương trình x3 + x + = x2 x2 − x − có nghiệm x = √ √ √ √ + 17 21 + 17 = = x + suy nhân tử Khi x2 − x − = x2 − x − − x − 2 Vấn đề cần giải gồm : √ + 17 • Làm để tìm nghiệm lẻ x = √ √ 21 + 17 + 17 • Làm biến đổi nhanh chóng = 2 • Làm để tìm nhân tử biết nghiệm hữu tỷ ? Nhờ q trình mày mị, nghiên cứu dựa theo ý tưởng trên, xây dựng thủ thuật tìm nhân tử cho phương trình vơ tỷ sau : • Một thức f (x) + g(x) h(x) = • Nhiều thức U p(x) + V q(x) + T p(x)q(x) + W = Bước 1: Viết biểu thức Ấn Shift + SOLVE, tìm nghiệm (nếu có) lưu vào A, B, C, Bước 2: Xét trường hợp nghiệm  k + k ∈ Q TH1: Phương trình có nghiệm vơ tỷ k1 , k2 cho nghiệm hữu tỷ  k1 k2 ∈ Q k1 , k2 ∈ Q Khi nhân tử :   a = − h(k1 ) − h(k2 ) k1 − k2 h(x) + ax + b với   b = − h(k ) − bk 1 p(x) + a q(x) + b với   a = −   p(k1 ) − q(k1 ) − p(k2 ) q(k2 ) b = − p(k1 ) − a q(k1 ) TH2: Phương trình có nghiệm vơ tỷ k1 có nghiệm hữu tỷ k1 Xét phương trình đổi dấu f (x) − g(x) h(x) = dạng nhiều : • −U • U • −U p(x) + V p(x) − V q(x) − T q(x) − T p(x) − V q(x) + T p(x)q(x) + W = p(x)q(x) + W = p(x)q(x) + W =  k + k ∈ Q Nếu phương trình có thêm nghiệm vô tỷ k2 cho nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q  k1 k2 ∈ Q Khi nhân tử :   a = − h(k1 ) + h(k2 ) k1 − k2 h(x) + ax + b với   b = − h(k ) − ak 1   a = − p(k1 ) + m p(k2 ) q(k1 ) + n q(k2 ) p(x) + a q(x) + b với   b = − p(k1 ) − a q(k1 ) • Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu p(x) m = n = −1 • Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu q(x) m = −1 n = • Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu p(x)q(x) m = n = TH3: Phương trình đổi dấu khơng tìm k2 thỏa mãn điều kiện Chúng ta xem xét phần nâng cao Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình: √ x3 − x2 + = x (x − 2) x2 − √ Bước 1: Nhập x3 − x2 + − x (x − 2) x2 − tìm nghiệm, ta nghiệm k1 = k2 = −1  h(k1 ) − h(k2 )  √ a=− = −1 k1 − k2 Bước 2: Nhân tử x − + ax + b với   b = − h(k ) − ak = −2 1 √ Kết luận: Nhân tử x2 − − x − Ví dụ 2: Giải phương trình: √ √ √ √ (2 x + 5) x − − (3 x − 5) x + − x + x − + x − 11 = √ √ √ √ Bước 1: Nhập (2 x + 5) x − − (3 x − 5) x + − x + x − + x − 11 tìm nghiệm, ta nghiệm k1 = 12.166563 k2 = 1.433436    a = − p(k1 ) − p(k2 ) q(k1 ) − q(k2 ) Bước 2: Nhân tử    b = − p(k1 ) − a q(k1 ) = √ √ Kết luận: Nhân tử x − − x + + √ √ x − + a x + + b với =− Ví dụ 3: Giải phương trình: x3 − x + = x2 + x − Bước 1: Nhập x3 − x + = x2 + x − √ k1 = 3.2247448 k2 = −1.724744 k3 = √ x2 − x2 − tìm nghiệm, ta nghiệm Bước 2: Thành thử thấy k1 + k2 ∈ / Q Tất nghiệm rơi vào TH2 Tìm nghiệm phương trình x3 − x + + x2 + x − √ x2 − = Ta nghiệm là k4 = 0.7247448 k5 = 0.775255 k6 = −1 k + k ∈ Q Thành thử thấy  k2 + k4 ∈ Q   a = − h(k1 ) + h(k5 ) = −2 √ k1 − k5 x − + ax + b với tương Vậy phương trình có nhân tử   b = − h(k ) − ak = 1 tự cho cặp (k2 , k4 ) (k3 , k6) √ √ √ Kết luận: Nhân tử x2 − − 2x + 2 x2 − + 2x − x2 − − x Ví dụ 4: Giải phương trình: √ √ √ √ 11 x − − x + − x − x + + 10 x + √ √ √ √ Bước 1: Nhập 11 x − − x + − x − x + + 10 x + ta nghiệm k1 = k2 = 0.549157 Bước 2: Đổi dấu trước căn: • −11 √ √ √ √ x − − x + + x − x + + 10 x + = có nghiệm k3 = √ √ √ √ • 11 x − + x + + x − x + + 10 x + = vơ nghiệm √ √ √ √ • 11 x − + x + + x − x + + 10 x + = có nghiệm k4 = 2.330842 Vậy áp dụng công thức với (k1 , k3 ) (k2 , k4 ) ta nhân tử dạng •   a = − p(k1 ) + p(k3 ) q(k1 ) − q(k3 )    a = − p(k2 ) + p(k4 )   b = − p(k1 ) − a = −2 q(k1 ) = q(k2 ) + q(k4 ) •    b = − p(k2 ) − a q(k2 ) = =− p(x) + a q(x) + b với Kết luận: Nhân tử √ 2x− 1− √ √ √ x + + 2 x − − x + + Nhận xét: Có lẽ bước tìm nhân tử định tới hướng tốn Chúng ta nhờ nhân tử tìm để nhóm hợp lý phương pháp nhân liên hợp đặt ẩn phụ Bạn đọc tự tìm lời giải cho tốn nhờ nhân tử tìm Nhiều bạn có suy nghĩ "trẻ trâu", bình phương khử thức nên nghĩ tìm nhân tử vừa khó vừa lâu Lâu hay khơng cịn độ phức tạp tốn chứng minh phần cịn lại vơ nghiệm, cịn bình phương khử thức chưa giải toán Bạn đọc xem ví dụ đây: Ví dụ 5: Giải phương trình: x3 − x2 + x − = x2 − x + √ x2 + Cách 1: Bình phương khử thức: Ta có: 2x3 − 4x2 + x − = (x2 − 3x + 1) √ x2 + ⇒ (2x3 − 4x2 + x − 3) = (x2 − 3x + 1) (x2 + 3) ⇔ 3x6 − 10x5 + 6x4 + 4x3 − 9x2 + 12x + = ⇔ (x + 1) (3x2 − 4x − 2) (x3 − 3x2 + 3x − 3) = Tuy nhiên, giải x3 − x2 + x − = ? Bật mí: x3 − x2 + x − = (x − 1)3 − nghiệm khơng thỏa mãn PTVT Đây để tơi lấy ví dụ Vậy điều xảy tơi cho phương trình sau bình phương có thêm nghiệm cực xấu hệ số cực to ? Phương pháp sau tối ưu hơn: Cách 2: Phân tích nhân tử : Ta có: Và √ x2 + + x2 − x ≥ √ PT ⇔ √ x2 + − x + √ x2 + + x2 − x = + x2 − x > Cách làm ngắn "ảo diệu" Vậy làm tìm nhân tử lại biết vài nhân tử tốn ? Tơi giới thiệu cho bạn đọc cơng thức U, V, T, W để chia biểu thức: Phần 2: Chia biểu thức: Dạng 1: Một thức: Xét phép chia hết sau: f (x) + g(x) h(x) p(x) + q(x) h(x) =U +V h(x) Công thức U, V: f (x) + g(x) h(x) f (x) − g(x) h(x) Đặt A = B = Khi đó: p(x) + q(x) h(x) p(x) + −q(x) h(x)  A+B  U= A−B  V = h(x) Áp dụng: Bước 1: Viết biểu thức, CALC cho X = 1000 Ấn Shift + STO + A (gán vào A) Bước 2: Sửa biểu thức, đổi dấu trước căn, CALC cho X = 1000 Ấn Shift + STO + B (gán vào B) Bước 3: Sử dụng công thức U, V để tìm U V theo x Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: √ x5 − x4 − x2 + x + − (6 x3 − x2 − 1) x3 − √ x3 − + − x Bước 1: CALC cho X = 1000 lưu vào A ta A = 8.9397997 · 1010 10 Bước 2: Đổi dấu,  CALC cho X = 1000 lưu vào B ta B = −8.9397995 · 10 A+B   U= = 2001 = 2x + Bước 3: Ta có: A−B  V = √ = 1999000 = 2x2 − x √ 2x − Đáp số: 2x + x2 − x x3 − Dạng 2: Nhiều thức: Xét phép chia hết sau : A1 p(x) + B1 q(x) + C1 p(x)q(x) + D1 A2 p(x) + B2 q(x) + C2 p(x)q(x) + D2 = 1U p(x) + V q(x) + T Cơng thức U, V, T, W: Đặt: • A= • B= • C= • D= A1 p(x) + B1 q(x) + C1 p(x)q(x) + D1 A2 p(x) + B2 q(x) + C2 p(x)q(x) + D2 −A1 −A2 A1 p(x) + B1 p(x) + B2 p(x) − B1 A2 p(x) − B2 −A1 −A2 p(x) − B1 p(x) − B2 q(x) − C1 q(x) − C2 q(x) − C1 q(x) − C2 p(x)q(x) + D1 p(x)q(x) + D2 p(x)q(x) + D1 p(x)q(x) + D2 q(x) + C1 p(x)q(x) + D1 q(x) + C2 p(x)q(x) + D2 Khi đó: • U= • V = • T = • W = A−B+C −D p(x) A+B−C −D q(x) A−B−C +D p(x)q(x) A+B+C +D p(x)q(x) + W Ví dụ minh họa: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức : √ x5 − x4 − x2 + x + − (6 x3 − x2 − 1) x3 − √ x3 − + − x Bài tốn khơng CALC cho X = 1000 khơng thỏa mãn ĐKXĐ Tuy nhiên, CALC cho X = 0.0001 vào MODE CMPLX (complex) CALC cho X = 1000 Bước 1: Vào MODE CMPLX Bước 2: Nhập biểu thức, CALC cho X = 1000 ta lưu vào A ta A = 31604.945 − 1031.605i √ Bước 3: Sửa biểu thức, đổi dấu x + lưu vào B ta B = −31608.945 + 968.392i √ Bước 4: Sửa biểu thức, đổi dấu − x lưu vào C ta C = 31604.945 + 1031.606i √ √ Bước 5: Sửa biểu thức, đổi dấu x + − x lưu vào D ta D = −31608.945 − 968.392i Bước 6: Sử dụng công thức U, V, T, W : • U= A−B+C −D √ = 999 = x − x+1 • V = A+B−C −D √ = −1 1−x • T = A−B−C +D √ = −1 − x2 A+B+C +D = −2 √ √ √ Đáp số: (x − 1) x + − − x − − x2 − • W = Vậy bây giờ, cho phương trình, bạn đọc phân tích nhân tử ? Ví dụ 3: Giải phương trình: √ √ √ x + 79 − (2x + 47) x − − (x + 19) x + + 31 x2 − =   A = 13.16656315    B = 2.4334368 Bước 1: Tìm nghiệm:   17   X= √4 √ Bước 2: Tìm nhân tử x−2+u x+2+v √ √   78 A − − B−2    A+B =  u = −√ √ =− A+2− B+2 801 ⇒    AB =  v = −√A − − u√A + = 25 √ √ √ 3√ Vậy nhân tử là: x−2− x+2+ ⇔ x−2−3 x+2+5 2 Bước 3: Chia biểu thức: √ √ √ √ √ √ x + 79 − (2x + 47) x − − (x + 19) x + + 31 x2 − √ √ = U x − + V x + + T x2 − + W x−2−3 x+2+5 Ta được: • U= A−B+C −D √ = −9 x−2 • V = A+B−C −D √ = −3 x+2 • T = A−B−C +D √ =2 x2 − • W = A+B+C +D = 2x + Vậy: √ √ √ √ √ √ x + 79 − (2x + 47) x − − (x + 19) x + + 31 x2 − √ √ = −9 x − − x + + x2 − + 2x + x−2−3 x+2+5 √ √ √ Bước 4: Tiếp tục tìm nghiệm phương trình −9 x − − x + + x2 − + 2x + = √ √ x−2−4 x+2+7 Bước 5: Tìm nhân tử Bước 6: Chia biểu thức : √ √ √ √ √ −9 x − − x + + x2 − + 2x + = x−2−4 x+2+7 √ √ Kết luận: x − − x + + Ví dụ 4: Giải phương trình: √ √ x−2−4 x+2+7 √ √ − x−2− x+2−1 √ √ − x−2− x+2−1 √ √ x3 − 2x2 + 10x − − (x + 1) x3 − + x2 − 8x + 10 x − =   A = − √6 Bước 1: Tìm nghiệm: √  B =4+ √ √ Bước 2: Gọi nhân tử: x2 + x + + u x − + v ta được:  √ √ +A+1− A B2 + B +   u=− √ √ = −3 A−1− B−1 √ √   v = − A2 + A + − u A − = √ √ Nhân tử là: x2 + x + − x − Bước 3: Chia biểu thức: √ √ √ √ √ x3 − 2x2 + 10x − − (x + 1) x3 − + (x2 − 8x + 10) x − √ = U x2 + x + 1+V x − 1+T x3 − 1+W √ x2 + x + − x − Ta có:                      A−B+C −D √ =x x2 + x + A+B−C −D √ V = = x−2 x−1 A−B−C +D √ T = =1 x3 − A+B+C +D W= = 3x − U= Kết luận: √ √ x3 − 2x2 + 10x − − (x + 1) x3 − + (x2 − 8x + 10) x − = √ √ √ √ √ x2 + x + − x − x x2 + x + + (x − 2) x − + x3 − + 3x − = ⇔ √ √ √ Tiếp tục, ta thấy: x x2 + x + + (x − 2) x − + x3 − + 3x − > nên vơ lý Bài tốn giải Ví dụ 5: Giải phương trình: √ √ √ 15x2 + 19x + + (9x + 10) − x − (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 = Hướng dẫn: 24 25 Bước 1: Tìm nghiệm ta nghiệm là:  A = −0.90383671   • Đổi dấu trước √ X1 = − x ta được: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x − (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2 =   B = 0.663836717 Phương trình có nghiệm là:  C = −0.65218961 • Đổi dấu trước √ + x ta được: 15x2 + 19x + + (9x + 10) √ − x + (3x + 4) √ + x + (5x + 14) √ − x2 = Phương trình vơ nghiệm • Đổi dấu trước √ − x √ + x ta được: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 =   X2 = Phương trình có nghiệm là:  X3 = − 24 25 Thành thử thấy A + B = − ∈ Q √ 25 √ Bước 2: Tìm nhân tử − x + u + x + v chứa nghiệm A cách: √ √ 1−A+ 1−B √ u = −√ =2 1+A− 1+B   v = −√1 − A − u√1 + A = −2    √ 1−x+2 1+x−2 √ √ 24 cách: Bước 3: Tìm nhân tử − x + u + x + v chứa nghiệm X1 = 25     24 24   u = −1 √ √ 1− +u 1+ +v =0 ⇒ 1−x− 1+x+1 25 25 ⇔    −√1 − − u√1 + + v =  v= Vậy nhân tử là: √ Hoặc:     Bước 4:  24 24  u = −1 +u 1+ +v =0 √ √ 25 25 ⇒ 1−x−5 1+x+6 ⇔  v= 24 24 1+ −u 1− +v =0 25 25 1−    − Cách 1: Chia biểu thức: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x− 1+x+1 √ √ √ = U − x + V + x + T − x2 + W Lần lượt CALC cho X = 0.001 lưu:  √ √ √  − x − (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 15x + 19x + + (9x + 10)   √ √ √ √ → A = −0.6002499   − x + 1√+ x − 2 − x √ − 1+x+1   √    15x2 + 19x + − (9x + 10) − x − (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2   √ √ √ √ → B = −2.0035006  − + x + − − x + 1√+ x − −2 − x √ √  15x2 + 19x + + (9x + 10) − x + (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2   √ √ √ √ → C = −4.0034996   − x − 1√+ x − 2 − x √ + 1+x+1   √   15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2    √ √ √ √ → D = −4.003499  − − x − + x − −2 − x + + x + Từ ta được:                      Vậy: A−B+C −D √ = −1 1−X A+B−C −D √ V = =0 1+X A−B−C +D √ T = = −1 − X2 A+B+C +D W= = −4.003 = −4 − 3x U= √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x− 1+x+1 √ √ = − − x − − x2 − − 3x Cách 2: Chia biểu thức: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x−5 1+x+6 √ √ √ = U − x + V + x + T − x2 + W Lần lượt CALC cho X = 0.001 lưu: 10  √ √ √  15x2 + 19x + + (9x + 10) − x − (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2   √ √ √ √ → A = −2.000999   − x + + x − − x − + x +   √ √ √    15x2 + 19x + − (9x + 10) − x − (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2   √ √ √ √ → B = −1.001500  − − x + 1√ + x − −5 − x√− + x + √ 15x2 + 19x + + (9x + 10) − x + (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2    √ √ √ √ → C = −1.000500   − x − + x − − x + + x +   √ √ √   15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2    √ √ √ √ → D = −0.001000  − − x − + x − −5 − x + + x + Từ ta được:                      Vậy: A−B+C −D √ =− 1−X A+B−C −D √ V = =− 1+X A−B−C +D √ =0 T = − X2 A+B+C +D W= = −1.001 = −1 − x U= √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ − x + + x − −5 − x + + x + 1√ 1√ =− 1−x− 1+x−1−x 2 Kết luận: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ √ √ = − 1−x+2 1+x−2 1−x− 1+x+1 − x + − x2 + + 3x √ √ √ √ √ √ =− 1−x+2 1+x−2 1−x−5 1+x+6 1−x+ 1+x+1+x Nhận xét: Vậy với tốn có nghiệm bội ? Tơi có bổ đề ngắn gọn để kiểm tra phương trình có nghiệm bội kép hay bội ba, bội bốn, Bạn đọc quan tâm xem chi tiết phần nâng cao Ví dụ 6: Giải phương trình: √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + = Hướng dẫn: Bước 1: Tìm nghiệm ta nghiệm là: x = Bước 2: Đổi dấu trước ta được: √ √ √ √ • 7x2 + 22 + x − − x + + 6x x − x + = vơ nghiệm √ √ √ √ • 7x2 + 22 − x − + x + + 6x x − x + = vơ nghiệm √ √ √ √ • 7x2 + 22 + x − + x + − 6x x − x + = vô nghiệm 11 Bước 3: Xác định nghiệm bội Ta có: √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + lim =0 x→5 x√ −5 √ √ √ 97 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + = lim x→5 96 (x − 5) Vậy tốn có nghiệm bội kép x = Bước 4: Tìm nhân tử chứa nghiệm bội kép: Ta có: d √ x−1 dx a=− d √ x+4 dx x=5 √ √ x−1+a x+4+b √ √ =− ⇒b= ⇒ x−1−3 x+4+5 2 x=5 Chia biểu thức: √ √ √ √ √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + √ √ =U x−1+V x+4+T x−1 x+4+W x−1−3 x+4+5 Ta CALC cho X = 1000 tính:            3984 4x − 16 A−B+C −D  √ = 796.8 = = U= 5  x−1 A = -36910.33046    9009 A+B−C −D 9x +   B = -84875.59149 √ = −1801.8 = − V = =− 5 x+4 ⇒ A − B − C + D     C = 79676.78400 √ T = √ = −1.2 = −       x − x +    D = 26904.33799  A + B + C + D 19006 19x +   W= = −3801.2 = − =− 5 Kết luận: √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + = √ √ √ √ √ √ ⇔ x − − x + + (x − 4) x − − (x + 1) x + − x − x + − 19x − = √ √ Dễ thấy (x − 4) x − − (x + 1) x + < Vậy tốn giải Chắc bạn đọc sử dụng công thức U, V, T, W để phân tích nhân tử số tốn khó Bạn đọc tơi thực hành tốn sau : Ví dụ 7: Giải bất phương trình: Hướng dẫn: BP T ⇔ √ x2 − x − x−1−1 √ √ √ x − + (x − 2) x + ≥ 3x2 − 9x + x+1−2 √ √ √ 2x + + x x + − x − − x2 − ≥ Ví dụ 8: Giải bất phương trình: (Đề thi thử lần – THPT Chuyên ĐH Vinh - 2016) 12 Hướng dẫn: BP T ⇔ √ √ √ x2 + x + ≤ x + + x2 + x+2+ √ Ví dụ 9: Giải phương trình: √ √ x2 + − x+2+ √ x+2− √ x2 + − ≥ − x − x3 − x2 + 4x + = Hướng dẫn: √ x+2+ √ 3−x−3 √ √ √ √ × (−x2 + 3x + 10) x + + (x2 + 6x + 8) − x + (3x + 6) x + − x + 6x + 14 = PT ⇔ Ví dụ 10: Giải phương trình: √ √ 2x3 + 3x2 + = 2x2 x2 + 3x + 3x2 + 1 √ 3x + − Ví dụ 11: Giải phương trình: Hướng dẫn: P T ⇔ √ √ x2 + 3x − 2x − x−2− √ x+1= √ √ x2 + 3x − 3x2 + + 2x = 3x − 13 Hướng dẫn: PT ⇔ ⇔ √ √ x − − x + = 3x − 13 √ √ √ √ √ √ x − − x + + 13 x − − 22 x + + 16 x − x + − 16x − 19 = Ví dụ 12: Giải phương trình: √ Hướng dẫn: √ x2 + 9x − + x 11 − 3x = 2x + √ P T ⇒ x2 + 9x − = x 11 − 3x − 2x − √ √ √ ⇔ 11 − 3x − 11 − 3x − x2 + + 11 − 3x = Ví dụ 13: Giải phương trình: √ √ 7x2 + 20x − 86 + x −x2 − 4x + 31 = 3x + Hướng dẫn: √ P T ⇒ x −x2 − 4x + 31 − 3x − = 7x2 + 20x − 86 √ √ √ ⇔ −x2 − 4x + 31 − −x2 − 4x + 31 − −x2 − 4x + 31 + x2 + = Ví dụ 14: Giải phương trình: √ √ x + x + + − 2x = 11 13 √ √ x + + − 2x − 18 Ví dụ 15: Giải phương trình: Hướng dẫn: P T ⇔ √ √ x + − − 2x + 27 = √ √ √ x + − − x + − x2 + 15x − 34 = Hướng dẫn: P T ⇔ √ √ x+2−4 2−x Ví dụ 16: Giải bất phương trình: √ x2 − x − Hướng dẫn: BP T ⇔ √ x−1−1 √ √ √ x+2−4 2−x−2 =0 √ x − + (x − 2) x + ≤ 3x2 − 9x + x+1−2 √ √ √ √ x − − x x + + x − x + − 2x − ≥ Chúng ta qua gần cuối đoạn đường phân tích nhân tử Tuy nhiên, số thứ cần phải làm rõ: E Nâng Cao Có thể bạn đọc thấy, việc tìm nghiệm giúp tìm nhân tử Các trường hợp có nghiệm vơ tỷ, nghiệm vơ tỷ, nghiệm hữu tỷ có cơng thức Vậy cịn trường hợp nghiệm hữu tỷ tính ? Liệu phân tích thành nhân tử ? Tôi tạm chia trường hợp nghiệm hữu tỷ k1 ∈ Q thành trường hợp nhỏ sau: a) Sau đổi dấu, tìm nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q Trường hợp có cơng thức Bạn đọc xem lại b)  Sau đổi dấu, khơng tìm nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q tìm nghiệm vơ tỷ k3 , k4 cho k + k ∈ Q Khi đó, nhân tử tốn đổi dấu nhân tử chứa hai nghiệm k3 , k4  k3 k4 ∈ Q √ Ví dụ 1: Giải phương trình x2 − x − − (3 x − 4) x2 − x − = Ta có: √ Phương trình x2 − x − − (3 x − 4) x2 − x − = có nghiệm x = − √ 2 Phương trình x − x − + (3 x − 4) x − x − = có nghiệm k1 = 2.55396793 k2 = −5.22063459 √ Từ ta tìm nhân tử tốn x2 − x − − x + √ √ Kết luận: P T ⇔ x2 − x − − x − x2 − x − − x + = c) Phương trình có nghiệm bội x = k1 Để kiểm tra nghiệm bội, dùng bổ đề đây: f (x) Nếu lim = f (x) có nghiệm x = k bội n + (x − k)n √ Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + x3 + x2 − x − = x3 + x2 − x2 − Ta có: Phương trình x4 + x3 + x2 − x − − x3 + x2 − √ x2 − = có nghiệm x = √ Phương trình x4 + x3 + x2 − x − + x3 + x2 − x2 − = có nghiệm x1 = 0.7178 x2 = −2.3098 Hai nghiệm có tổng, tích khơng phải hữu tỷ nên khơng làm ăn Kiểm tra nghiệm bội : 14 √ x4 + x3 + x2 − x − − (2 x3 + x2 − 1) x2 − Ta có: lim =0 x−1 √ x4 + x3 + x2 − x − − (2 x3 + x2 − 1) x2 − Ta có: lim = −5 (x − 1)2 Kết luận: Phương trình cho có bội kép x = Vậy tìm nhân tử chứa bội kép nào? √ √ Giả sử tốn có nhân tử x2 − + ax + b đạo hàm theo x x2 − + ax + b x = phải Tức a = − d √ 2x − dx = −2 Từ ta tìm b = √ Vậy nhân tử toán x2 − − 2x + x=1 Tiếp theo phân tích thành nhân tử nó, ta đáp án sau: √ PT ⇔ x2 − − x + x2 + x + √ x2 − + x2 = Bài toán giải d) Phương trình dạng thức √ ax + b √ Điều đặc biệt phương trình dạng ln có nhân tử ax + b − ak1 + b √ Ví dụ 3: Giải phương trình x2 + x + − x2 − x + x + = √ Ta có: Phương trình x2 + x + − x2 − x + x + = có nghiệm x = √ Ta có: Phương trình x2 + x + + x2 − x + x + = vô nghiệm Kiểm tra nghiệm bội: Không thỏa mãn √ Tuy nhiên nhờ nghiệm x = nên xác định ln phương trình có nhân tử 2x + − √ √ x + − x2 − x + − 2 x + = Kết luận: P T ⇔ √ √ e) Phương trình dạng nhiều thức A ax + b + B ax + c + C (ax + b)(ax + c) + D = √ √ √ √ Tương tự trên, phương trình ln có nhân tử dạng ax + b − ax + c + p ax + b + ax + c + √ √ Ví dụ 4: Giải phương trình x + + x x − − x2 + = √ √ Phương trình có nghiệm x = nên ln có nhân tử x + − x − − √ √ x+1+ x−2−3 Kết luận: PT ⇔ PT ⇔ − √ √ x+1− x+1+ √ √ √ x−2−1 x−2−3 x + + (x + 3) √ x − + (x + 2) √ √ x + x − + x2 − = √ √ √ √ x + + (x + 1) x − + (x + 2) x + x − − x2 + = √ √ √ √ Ví dụ 5: Giải phương trình 3x x − − (x + 1) x + − x − x + + = Phương trình có nghiệm x = Kết luận: PT ⇔ √ x−1− √ x+2+1 √ √ x x − + (x − 1) x + + 2x = 15 PT ⇔ − √ x+1+ √ √ √ √ √ x + + (x + 1) x − + (x + 2) x + x − − x2 + = x−2−3 √ √ √ √ Ví dụ 6: Giải phương trình x2 − 4x − + 5x x − + x + − (3x − 1) x − x + = Phương trình có nghiệm x = x = 17 16 có nhân tử Kết luận: PT ⇔ PT ⇔ √ x−1− √ √ √ x−1−3 x+2+5 x+2+1 f) Phương trình dạng thức √ √ √ √ 2x x − + x + − (x + 1) x − x + − x2 − = (ax)2 + bx + c Phương trình có nhân tử dạng (ax)2 + bx + c − ax + p g) Phương trình dạng nhiều thức chứa (ax)2 + bx + c Phương trình có nhân tử dạng m m (ax)2 + bx + c + a √ √ x x−1+ x+2 = (ax)2 + bx + c + ax + q (mx)2 + nx + p (ax)2 + bx + c − a (mx)2 + nx + p + u (mx)2 + nx + p + v h) Các dạng cịn lại: Phương trình có bậc lớn bậc hạng tử khơng chứa Vì bậc bé nên khử thức nhân liên hợp phương pháp ưu tiên Ngồi ra, dùng đạo hàm đánh giá để chứng minh Sau qua trường hợp nghiệm vấn đề đau đầu mà mắc phải chứng minh phần cịn lại (sau phân tích nhân tử) vơ nghiệm Bạn đọc tham khảo cách sử dụng S.O.S tơi để giải Ví dụ 1: Giải phương trình − x3 + x3 − 2x − √ − x2 = Lời giải vô ngắn gọn sau: Ta có: PT ⇔ √ − x2 + x − 2 x3 + x2 − x − + (x2 + x − 1) √ − x2 = Ta có: − √ x3 + x2 − x − + (x2 + x − 1) − x2 = √ √ √ x 2 3x + + − x 2−x − + − x2 − + x− 3 Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Làm để tơi có lời giải ? Ta kiếm cách chứng minh f (x) = x3 + x2 − x − + x2 + x − 16 √ − x2 < + 13 36 Tóm lại ta f (x) − Ví dụ 3: Giải phương trình x4 + x2 + 10x − 19 + x3 − 7x + 13 √ x2 + x − = Ta có: PT ⇔ √ x2 + x − − √ x2 + x − + √ x2 − 2x + + (x − 2) x2 + x − √ Do đó, ta cần chứng minh f (x) = x2 − 2x + + (x − 2) x2 + x − > Ta tìm điểm rơi cách lấy đạo hàm, ta x0 = 1.0845346 √ x2 + x − + x + a Ta cần lấy: f (x) − để Thế điểm rơi vào, ta a ≈ −2.207366 ⇒ a = −2 √ x2 + x − + x − 11 − x Tóm lại ta f (x) − = 2 Tuy nhiên, chưa giải Lấy điểm rơi chặt với a = − ta được: √ √ 35 x2 + x − f (x) − + >0 x +x−1+x− = 2 Ví dụ 4: Giải phương trình x2 − 6x + √ 37 + (x − 4) x + = Ngoài cách làm trên, viết dạng tổng bình phương cách đặt √ t = x + viết phương trình theo t đưa phương trình bậc Cách phân tích phương trình bậc thành tổng bình phương S.O.S giới thiệu qua Kết luận: √ 37 x − 6x + + (x − 4) x + = x+ √ x + 16 − + √ x+1− 20 + 47 >0 75 Vẫn nhiều vấn đề để nói phương pháp Nhưng có lẽ tơi khơng thể trình bày hết topic Ví dụ : Ví dụ 5: Giải phương trình (x − 1) √ √ x2 − 2x + = x x2 + 3x + + x2 + + Cách 1: 18 ( PT ⇔ √ √ x2 −2x+5−2 x2 +1) 3x−1 √ × 2(x + 1)2 x2 √ √ √ + + (x + 1)2 x2 − 2x + + x2 + x2 − 2x + + 7x2 − 4x + = Cách 2: √ x2 − 2x + − x2 + − x − √ √ √ √ × U x2 − 2x + + V x2 + + T x2 + x2 − 2x + + W = P T ⇔ − 41 Với √        U = x3 − x2 + 2x − V = x3 − 2x2 + 3x −   T = −x2 + x −     W = −x4 + 2x3 − 5x2 − 2x − Hy vọng post này, bạn đọc sử dụng máy tính bỏ túi để giải tốn liên quan đến phân tích thành nhân tử Chuyên đề viết 11 (từ 18h đến 5h) nên khơng khỏi sai sót Mọi góp ý, thắc mắc vui lịng liên hệ tới SĐT: 096.573.48.93 Facebook: Bùi Thế Việt Dưới số tập tự luyện để bạn đọc tham khảo https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLNXQ2S2E4ai1HNzA/view https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLQVZ4Z3dNbXVHcG8/view Tham khảo, chia sẻ xin ghi rõ nguồn Bùi Thế Việt (nthoangcute) Xin cảm ơn 19 ... trên, t? ?i xây dựng thủ thu? ?t tìm nhân t? ?? cho phương trình v? ? t? ?? sau : • M? ?t thức f (x) + g(x) h(x) = • Nhi? ?u thức U p(x) + V q(x) + T p(x)q(x) + W = Bước 1: Vi? ?t bi? ?u thức Ấn Shift + SOLVE, t? ?m... v? ? t? ??, nghiệm h? ?u t? ?? có cơng thức V? ??y cịn trường hợp nghiệm h? ?u t? ?? t? ?nh ? Li? ?u phân t? ?ch thành nhân t? ?? ? T? ?i t? ??m chia trường hợp nghiệm h? ?u t? ?? k1 ∈ Q thành trường hợp nhỏ sau: a) Sau đổi d? ?u, t? ?m... bi? ?t v? ?i nhân t? ?? t? ??n ? T? ?i giới thi? ?u cho bạn đọc công thức U, V, T, W để chia bi? ?u thức: Phần 2: Chia bi? ?u thức: Dạng 1: M? ?t thức: X? ?t phép chia h? ?t sau: f (x) + g(x) h(x) p(x) + q(x) h(x) =U