Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá đinh xuân hùng

CHUN ĐỀ Giải Phương Trình Vơ Tỷ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình WWW.TOANMATH.COM I.LỜI NĨI ĐẦU Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.Đây phần quan trọng đại số.Nó thường xuyên xuất kì thi tuyển sinh Đại Học (THPT QG) hay kì thi HSG.Ta cần có phương trình,hệ phương trình để dự đốn điểm rơi BĐT hay trình sáng tác Bất đăng thức nảy sinh nhu câu tìm nghiệm Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức.Qua nói việc giải tốt PT-HPT quan trọng.Nhiều toán PT-HPT-BĐT che dấu BĐT đó.Chúng ta cần phải linh hoạt sử dụng BĐT vào giải PT-HPT.Vì khơng dùng dẫn đến kết không mong muốn.Giải PT phương pháp đánh giá kết hợp tuyệt vời BĐT PT Đã có nhiều tài liệu,sách viết PT.Tuy vậy,những viết Giải PT phương pháp đánh giá chưa đề cập toàn diện cách giải phương pháp sáng tác.Vì vậy,trong tài liệu đề sau vào cách giải PT phương pháp đánh giá (Một phương pháp hay khó GPT) Hy vọng tài liệu hay giúp cho bạn hiểu rõ Phương pháp Trong tài liệu có ba mục: Mục 1:Nhắc lại số BĐT hay dùng giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ phương pháp đánh giá Mục 2:Một số ví dụ cách sáng tác phương trình phương pháp đánh giá Mục 3:Tổng hợp tập Sai sót điều khơng thể tránh khỏi viết này,vì xin trân trọng đón nhận góp ý nhận xét bạn thầy cô Mọi ý kiến thắc mắc gửi vào gmail:xuanhung312000@gmail.com Các thành viên tham gia viết chuyên đề Chủ biên:Đinh Xuân Hùng (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Các thành viên tham gia viết chuyên đề: 1.Nguyễn Khánh Trường (Toán K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 2.Hồng Trung Hiếu (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 3.Vũ Minh Hạnh (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 4.Tống Đức Khải (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 5.Nguyễn Thị Thu Trang(Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 6.Bùi Thị Thùy Linh (Tốn K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 7.Phạm Thị Phương Loan (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 8.Đào Thị Thanh Huyền (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 9.Lê Anh Quang (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Xin cảm ơn Ngơ Thị Hoa (Cơ giáo chủ nhiệm Tốn K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) hướng dẫn ví dụ Phương Pháp Giải PT đánh giá.Cơ người khởi xướng việc viết chun đề ♥ Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥ II Nhắc lại số BĐT hay dùng giải phương trình,phương pháp giải PT vơ tỷ phương pháp đánh giá Các BĐT hay dùng [1].Bất đẳng thức AM-GM Cho n số thực dương a1 , a2 , , an ta ln có BĐT a1  a2   an  n.n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1  a2   an [2].Bất đẳng thức Cauchy-Schwar (C-S) Cho số a1 ; a2 ; ; an  b1 ; b2 ; ; bn  ta ln có BĐT (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 )  a1b1  a2 b2   an bn  a a a Dấu “=” xảy    n b1 b2 bn Một hệ bất đẳng thức Cauchy-Schwar hay dùng: an2 a1  a2   a n  a22     b2 bn b1  b2   bn b1 a1 2 Với điều kiện b1 ; b2 ; ; bn số dương Dấu “=” xảy a a1 a2    n b1 b2 bn [3].Bất đẳng thức Minkowski (Hay gọi phương pháp tọa độ) Cho số a1 ; a2 ; ; an  b1 ; b2 ; ; bn  ta ln có BĐT a12  a 22   a n2  b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy a1  b1 2  a2  b2 2   an  bn 2 a a1 a2    n b1 b2 bn [4].Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương a1,1 ; a1, ; ; a1,n , a 2,1 ; a 2, ; ; a 2,n , , a m,1 ; a m, ; ; a m.n  ta có m  n   n , j     m  , j      j 1   i 1 i 1     m Dấu “=” xảy m dãy tương ứng tỉ lệ.Bất đẳng thức Cauchy-Schwar hệ trực tiếp bất đẳng thức Holder với m=2 Với a,b,c,x,y,z,m,n,p số thực dương ta có: a  b  c x  y  z m  n  p   axm  byn  czp 3 Đây hệ hay dùng BĐT Holder m=3 Phương pháp giải  f ( x)  g ( x) Thông thường ta đánh sau  f ( x)  C ( C )  f ( x)  g ( x)  C  g ( x )  C ( C )  Hoặc đánh giá trực tiếp f ( x)  g ( x); f ( x)  g ( x) Từ tìm dấu “=” xảy đẳng thức (tức giá trị biến để thỏa mãn điều kiện xảy dấu bằng) Ngoài số ta sử dụng điều kiện nghiệm để đánh giá Đôi muốn hét to với giới may mắn làm bạn với bạn, muốn im lặng, sợ đem bạn rời khỏi tơi -Khuyết danh Ở có người mơ nụ cười bạn, có người cảm thấy có mặt bạn đáng giá, bạn đơn, buồn rầu ủ rũ, nhớ ràng có đó, nghĩ bạn Somewhere there's someone who dreams of your smile, somewhere there's someone who finds your presence worthwhile, so when you are lonely, sad and blue, remember there is someone, somewhere thinking of you Khuyết danh ♥ Toán K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥ III Một số ví dụ phát triển phương trình vơ tỷ phương pháp đánh giá Ví dụ 1.Giải phương trình: x    x  (1) Tập xác định 4;6 Bình luận: Đây tốn có nhiều cách giải (Bình phương vế,liến hợp,…) ta thử trình bày tốn qua phương pháp đánh giá xem sao?  Bài làm Áp dụng BĐT C-S cho số    x ; x  (1;1) ta có: (1  1)(6  x  x  4)  (  x  x  ) Đẳng thức xảy  x  x   x   x   x  5(TM )   6 x  x4 Từ (1)(2)  x    mà  x  x     x  x   Dấu xảy x=5(2) Vậy x=5 Nhận xét: Tại lại đưa tốn làm ví dụ đầu tiên?Vì muốn nói đến ưu điểm,nhược điểm phương pháp đánh giá Ưu điểm:Cách giải nhanh,gọn nhẹ,khơng phải tính tốn vất vả Nhược điểm:Không phương pháp giải PT vô tỷ khác phương pháp đánh giá khơng phải dùng được.Bạn không tỉnh táo để sử dụng chắn dễn đến việc thiếu nghiệm không dẫn đến kết mong đợi.“Trăm nghe không thấy” thử làm PT tương tự Ví dụ Giải phương trình:  x  x   TXĐ  1;4 Áp dụng BĐT C-S cho số   x ; x   (1;1) ta có: Dấu xảy  x  x   x  3(TM )      x  x   (4  x  x  1)(1  1)   x  x   10    x  x   10 ?? Đến tiếp nhỉ?Vì vế nhỏ 10 phương trình cịn xót nghiêm x=0 Đúng dạng mà nếu dùng phương pháp đánh giá để giải dẫn đến việc không giải thiếu nghiệm Chú ý:Dạng phương trình: a x  m  b n  x  P (với a,b,m,n số bất kì).P số P=f(x) -Đầu tiên dùng máy tính Casio (cách nhẩm bạn biết  ) để nhẩm nghiệm -Nếu PT có nghiệm sử dụng phương pháp đánh giá cịn khơng khun bạn đừng sử dụng nhé! -Cách làm:Tương tự VD1 Ví dụ 2.Giải phương trình:  x  x   x  10 x  27 (1) TXĐ 4;6 Bình luận VD2 với VD1 có đặc điểm chung có (  x  x  ) vế trái có nghiệm 5.Nhưng dùng phương pháp bình phương liên hợp PT VD2 chắn khó xử lí so với VD1.Tại không dùng phương pháp đánh giá nhỉ?(Dạng PT vừa nêu mà) Thử nhé! Bài làm Áp dụng BĐT C-S cho số    x ; x  (1;1) ta có: (1  1)(6  x  x  4)  (  x  x  ) Đẳng thức xảy  x  x   x   x   x  5(TM )   6 x  x4   mà  x  x     x  x   Dấu xảy x=5(2) Xét hiệu: x  10 x  27   ( x  5)   x  10 x  27  Dấu xảy x=5(3) Từ (1)(2)(3)  x  Vậy x=5 Nhận xét:Đó ưu điểm sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình Vơ tỷ Ví dụ 3.Giải phương trình: x  11x  36 x  18   27 x  54 (1) ĐKXĐ: x  Bình luận Phương trình có số mũ vế to.Nhưng phương trình có nghiệm bên vế trái tách thành  3.3.3.( x  2) Sao không thử sử dụng BĐT AM-GM nhỉ? Bài làm Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm 3;3;3 (x-2) ta được:  3.3.3.( x  2)  x      x  Dấu “=” xảy khi  x   x  5(TM )  x    27 x  54 Dấu “=” xảy x=5 (2) Xét hiệu: x  11x  36 x  18  x   ( x  5) ( x  1)  0x  TXĐ  x  11x  36 x  18  x  (3) Dấu “=” xảy x=5 Từ (1)(2)(3)  x  Chú ý:Cách sáng tác PT dạng này: Ta xét hai BĐT có dấu “=” xảy chẳng hạn x=3 x  1 ta có:    (4 x  4) 2 (4 x  4)   x  13 (1) Và x  3x  x  27  ( x  3) ( x  3)  0(2) 4 4 Với x  1 dấu “=” (1) (2) xảy x=3 Từ (1)(2) x  3x  x  27  ( x  13)  x  3x  8x  40 ta tốn sau: Ví dụ 3.1.Giải phương trình sau: x  3x  8x  40   4 x  (1) ĐKXĐ: x  1 Lời giải: Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm ;2 ;2 ; (4 x  4) ta được: 4    (4 x  4)  x  13 (2) Dấu “=” xảy x   16  x  3(TM ) 4.2 4.2 4.(4 x  4)  Xét hiệu: x  3x  x  27  ( x  13)  x  3x  8x  40  ( x  3) ( x  3)   x  3x  x  27  x  13 Dấu “=” xảy x=3(3) Từ (1)(2)  x  Vậy x=3 Nhận xét:Với cách sáng tác bạn sáng tác nhiều PT dạng  Ví dụ 4.Giải phương trình: 4x   x   (1) ĐKXĐ: x  Lời giải: nghiệm PT (1)  4x   1 Với x    x   x   1( KTM ) 2   4x   Vậy x= Ta thấy x  Nhận xét Đây dạng PT hay gặp.Và cách giải chung dự đốn nghiệm sau sử dụng phương pháp đánh giá để giải Tổng quát: x  x0 nghiệm ta cần chứng minh với x  x0 x  x0 khơng thỏa mãn.Để Ta đưa kết luận x  x0 nghiệm Ví dụ tương tự: Ví dụ 4.1.Giải phương trình: x   x   x   TXĐ:D=R Lời giải: Ta thấy x=-2 nghiệm phương trình Thật vậy: VT            VP  x   1 Với x>-2   x    x   x   x   1    0( KTM ) x     x   1 Với x2 VT  3x  x   x   3x  x   x   3( x  2)  VP( KTM ) Với x0 x Nên từ (1)  x> Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: 16 x4 + = 3 2.4 x(4 x  1)   x  x  16 x4 + - 4x -4x -3    0 16 x4 - 4x -4x +2   (2 x  1)2 (2 x  x  1)  2x -1 =  x = (thỏa mãn x> 0) 3) ĐKXĐ : x  Ta thấy x =2 nghiệm phương trình (1) Ta chứng minh nghiệm (thỏa mãn ĐKXĐ)   x2  x  x 1 2 * Nếu x >2 x 1  1 8  8 x 1  VT   (2) x  x   2.22  2.2     VP   (3) Từ (2) (3)  Vô lý * Nếu  x  VT   ; VP < Pt (1)  1   Vô lý Vậy x = nghiệm phương trình cho 4)  x  x2   x  x2   x  1  x2  x  1 (1) ĐKXĐ:  x  2 Đặt t =  x  1   t  Phương trình (1) trở thành:   t    t  2t  2t  1 Từ (2)  2t    t  (2) Bình phương vế (2) ta được:      t    t    t   t  4t  2t  1  t   2t  2t  1 1    2t  1 t t t 1 Vì t  nên   t tt Ta có:  t 1   2t 1    2t  1  (3)  (4)   2t  1  2 Từ(3), (4), (5) 5) (5)  t 1   x  1  x2 (thỏa mãn ĐKXĐ) 3x   x  x  x x   2 (7 x  x  4) (1)  x 1 ĐKXĐ  x    Áp dụng bất đăng thức Bunhiacopxki ta có: ( 3x2 1  x2  x  x x2  )2  (2 + x2)(3x2-1+x2-x+x2+1) = ( 2+ x2)(5x2-x) VT2   VT <   x  5x  x  (2)  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (7 x  x  4) = (5x2 – x +(x2+2).2)   (7 x  x  4)   VP    x  5x 2   x 5x 2   x  2.5x 2  x  x  x  (3)  x2  2  3x   x  x  Từ (2) (3)  VT = VP   x 2   5x  x   2( x  2)   x = -1 Vậy x = -1 nghiệm phương trình cho 6) ĐKXĐ x  1  x3  3x  x  40 = 4 x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 x  = 4 4.4.4( x  1)  x      x  13  x3  3x  8x 40  x  13   x3  3x  x  27   (x-3)2(x-3)   (x-3)2  ( x+3> x  1 )  x -3 =  x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x =3 nghiệm phương trình cho 7) 27 x  24 x  28 27 28 27  x60)  1 x  (điều kiện : 27 x  24 x  3  24 81x  72 x  28 3(9 x  4)  1 (9 x  4)2 3(9 x  4) 2   1 Điều kiện: x    x   Đặt x   y  Khi (1) trở thành; 24 y2 3y y2 3y   1 2   1  6y 3 Sử dụng bất đẳng thức cô si ta được: 6 y y2 y2 ( y  6) 4   y   4(  4)  ( y  2)  0 3 Ta lại có ( y  6)2  nên y    y  y4  thỏa mãn điều kiện ban đầu Từ x  9 Thử lại x  nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x  6y  8) x y 1  y x 1  y 1 x  xy ĐK   x y 1  y x 1  3xy  xy  x y   xy  y x     x     x y  y 1  y x  x 1  Do  y 1 1  y  y   y  x   1 x 1 x    x 1 1  y    Dấu “=” xảy y = 2  Dấu xảy x = Vậy nghiệm PT x=y=2 9) x2  x 1   x2  x   x2  x  2 1   x  x 1   x  x    x    2  (1) 2  x  x   Ta có ĐK:    x  x   Khi áp dụng: Ta có: a a 1 "  " a  x2  x    x2  x   x2  x 1  x2  x   2  x2  x 1   x2  x   x  Mặt khác: x  x    x  1  x  x    x  1   x  1  x  Vậy x2  x    x2  x   x2  x   x   x2  x      x  x    1  x  1  x 1 Vậy x=1 nghiệm phương trình 10) x2 x    x3  x  x  2 x2 x     ( x  x  1)(2 x  1) 2 (1) Ta có x2 - x + > với x suy ĐK x  1 Áp dụng BĐT cho hai số x2 – x + > 0; 2x + > Ta có: ( x  x  1)(2 x  1)  x2  x   x  x2 x   1 2 Dấu “=” xảy  x2 – x + = 2x +1  x2 – 3x =  x = ™ x=3 ™ Vậy S = 0;3 11) x2 (ĐK : x4  2) (x  0)  x   x  x3  x2   2 x   x  1 x4   x4  x   x2 x 1 Ta cã:  x  Dấu xảy  x  x x 4 (1)  x2    x  x  (1  )  x  x    x  x     x  x   4.2   x  x   16  Mặt khác: 4  4 2 2 x  x  Dấu “=” xảy x = 4 16  2 2 4 (2) Từ (1)(2)  x  12) x 1  x   x3  Giải: Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình +Nếu x0 VP1 nên phương trình vơ nghiệm Vậy x=0 nghiệm phương trình 13) x  28  23 x  23  x   x   Hướng dẫn: TXĐ: x  Nhận thấy x=2 nghiệm Dễ thấy:1  x2 phương trình vơ nghiệm Vậy x=2 nghiệm PT 14) Giải phương trình:  x2  3x   x   HD:ĐK: x  1;2 (1) PT   x2  3x    x  (2) Từ (2) ta có:  x 1   x 1   x 1   x  (3) 15) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn Vậy x = HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = Ta cần chứng minh nghiệm nghiệm phương trình  4  3 x 2x Tương tự với < x < 2:  6 3 x 2x Thật vậy:Với x < : Vậy x=3/2 nghiệm phương trình  6 3 x 2x 16) HD:ĐK: x  (1) 1  1 x 1 4 x 5   x  x  (*) Ta có: VP(*) = x    x  (2) Ta có:  Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm 17) HD: ĐKXĐ: x  x  Giả sử x nghiệm phương trình.Khi đó: x      x   Do đó: x   Mũ hai vế PT ta được: x  x  x  12 x  x   VT  x  x (6 x  1)  12  x    VP(x   )  PTVN 19) HD: ĐKXĐ:x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4x 11  2x 8x     8x    2x  x 1  8x   x  4x4 – 3x2 +5x  4x  4x4 – 3x2 +x   x( x  1)(2 x  1)2  4x 1   (2x-1)2  (do x(x+1) > x   2x – 1=  x= Vậy phương trình cho có nghiệm x = 20) Ta có: x2  x   x2  x   x2  6x   x2  16x  64   x 1  x   x   x   Có: x   x   x   x   -x-1-x-2+x+3+x+8=8  x    x  1  x    x  2  Dấu”=” xảy    x    x  3  x    x  8  -3  x  -2 Vậy nghiệm phương trình : S={x -3  x  -2 } 21)   x  (ĐKXĐ: x  ) 22) +Dễ thấy x=1 nghiệm phương trình +xét x>1 Ta có x   x >   x  +xét x0) x 8x2   x 8x2  8x2  1 1 1 1  8x2     x x x x x  8x 4 23) 1 1 23 2 5 x  x x x x x x  x  x      1   x 8 x  32 x  x  x  45 x  Thử lại thấy x  thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x  4 x   x (điều kiện : x  ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: 1    8x  2x  2 4x Dấu “=”xảy x    1x 16 8 x  Thử lại: x  thỏa mãn 16 Vậy phương trình cho có nghiệm x  16 24) x2  2x   x3  x (điều kiện x  ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: 1 x  x2  x2  x  4 x( x  4)   2 2 x  2x  x  4x  Suy ra:   ( x  2)2  Ta lại có ( x  2)  0, x nên x    x  Thử lại x  nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x  x3  3x  25)  x6  3x4   1(điều kiện: 3x    x  )   x  3x   x  +dễ thấy với x   (thỏa mãn điều kiện ẩn)  x  1 +nếu x    x6     x6  Và 3x4    3x4   Do đó:  x6  3x4   +nếu x   x6    x6  Và  3x4     3x4   Do đó:  x6  3x4   Vậy phương trình cho có nghiệm x1  x2  1 26) x2  x   x2  x   x2  (điều kiện: x  R ) Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có:  x2  x  9  x2  4x   x2  4x   x   Dấu “=” xảy khi: x  x      x  4 9( x  x  9)   x2  x  Tương tự ta có: x  x   x  Dấu”=” xảy khi: x  x     x  x2 Do đó: x  x   x  x    Dấu”=” xảy x  2 Vậy phương trình cho có nghiệm x  27)  x2  4x  12   x2  2x    x2 (điều kiện:  x  x  12   x  x   ) Ta thấy:  x2  x  12  ( x2  x  3)  x   Nên (  x  x  12   x  x  3)2   x  x  12  ( x  x  3)  ( x  x  12)( x  x  3)  ( x  2)( x  6)  (3  x)( x  1)  (3  x)( x  1)( x  2)(6  x)  ( x  1)(6  x)  ( x  2)(3  x)  (3  x)( x  1)( x  2)(6  x)   ( ( x  1)(6  x)  ( x  2)(3  x))     x  x  12   x  x   Lại có:  x  Do đó; x2  4x  12   x2  2x    x2 ( ( x  1)(6  x)  ( x  2)(3  x))    x   x0 Vậy phương trình cho có nghiệm x  28) x2  x  x  x2  x  (điều kiện: x  x  x  x  hay  x  ) Áp dụng bất đẳng thức cô- si ta được:  x2  x 1.( x  x)   x  x2 ( x  x ).1  2 Suy ra: x2  x  x  x2  x   x  x  Dấu “=” xảy khi:  hệ vô nghiệm  x  x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm 29)   x    2 x  x  x 1  3x  x  (điều kiện:   x  2 )   x    x  1     x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars(hay bu-nhi-a) ta được: x x   x 1  ( x  1)(( x  2)  x 1)  x x   x 1  ( x  1)(3x  1)  x x   x 1  ( x  1)(3x  1)  1 x  Dấu”=”xảy : x x   x   x  x  x     1 x   1 thỏa mãn phương trình cho 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ta thấy x  30) 3 25 x(2 x  9)  x  (điều kiện: x  ) x  25 x (2 x  9)  x   3 25 x (2 x  9)  x  x  x  Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: x  x  (2 x  9)  3 25 x (2 x  9) 31) Dấu”=”xảy khi: 5x2  x2   x   Thử lại thấy x   nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x1  x2    x  2x2   x (điều kiện:  x  x  ) Ta có  x  x   ( x  1)(1  x)   1  x  Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: x x   x  2x2  1 x  2x     x2  2 2 Dấu”=” xảy x  Thử lại x  nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x=0 32) x   x2    x2 (điều kiện : x  1) Từ điều kiện ẩn ta thấy: x   x2  1    x2 Dấu đẳng thức xảy x  1 33) x2 1  x x 1  x2 ( điều kiện : x  ) ta thấy x  khơng nghiệm phương trình chia hai vế cho x ta lại có x2  x 1  2 x x x2 1  dấu đẳng thức xảy x  x2 2x 1  dấu đẳng thức xảy x  x x2 1 2x 1   dấu đẳng thức xảy x  x x Ta thấy x  thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x  Dó đõ 34) x  x2  x   x3  3x   (điều kiện: x )    x  ( x  x  1) x  x  x 1 ( x  1)2 x  x  x 1 ( x  1)2 x  x  x 1  ( x  1)2 ( x  1)   ( x  1)2 ( x  1)   ( x  1)2 ( x  1)  Từ điều kiện xác định suy ra: ( x  1)2 x  x  x 1 Dấu đẳng thức xảy x  35)  ( x  1) ( x  1)  Ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x  x   x2  x   x  x  (điều kiện x  1 )  x   2x   2x  x2  x  1 x x2  x2  x   x   2x  2x  x2  x  1 x ( x  1)(3 x  2)   x   2x  2x  x2  x  1 Từ điều kiện ẩn x  ta có 2x  x2  x    Ta xét trường hợp : 1 x ( x  1)(3x  2) 1  x  ta có : 0 x   2x 1 2x  x2  x  Th2: x  thay vào phương trình cho thỏa mãn 1 x ( x  1)(3 x  2) 0 Th3: x  ta có: x   2x 1 2x  x2  x  Th1: Vậy phương trình cho có nghiệm x  Hãy thử làm ý tương tự x   x   3x  x 36) 2 x  x   x (điều kiện:  x  )  1 x 2 x   x  1 x  1 x Dấu đẳng thức xảy x  (thỏa mãn phương trình cho) Vậy phương trình cho có nghiệm x  Dễ dàng chứng minh được: 37)  x2   1   ( x  ) (điều kiện:  x    ) x x x Dùng bất đẳng thức bunhiacopski dễ dàng chứng minh được: x   x2  1  2  x x 1  x   x2     x x Và  x   x2  Dấu”=” xảy khi:  1  x  1(thỏa mãn phương trình cho)   2 x x Vậy phương trình cho có nghiệm x  Mời bạn tự giải tập sau: x3 11x2  25x 12  x2  x 1 13 x   x   16 x x2  x   x   2( x  0) x2  x    x  x x  2x  x2   x x  x   x3  x x  x2   x4   x4  x( x    x )  x  “Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void.” _Pam Brown _ Sự mát khiến trống rỗng - học cách không để đau khổ đóng lại trái tim tâm hồn Hãy để đời đổ đầy lại bạn Dưới đáy u sầu, dường điều khơng thể - niềm vui chờ đợi để lấp đầy khoảng trống Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, kết thúc giọt nước mắt Khuyết danh _ "Các giảng giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức thân giáo viên đến đâu, thực chất, mà nói, chẳng qua chương trình, lời dẫn để điều chỉnh trật tự nhận thức sinh viên Người biết ngồi nghe giáo sư giảng thân lịng khơng cảm thấy khát khao đọc sách, nói tất điều người nghe giảng trường đại học tòa nhà xây cát mà thơi." - I.A Gontcharov - ♥Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy ♥ V.Lời Kết Lần xin cảm ơn bạn thầy cô giáo đọc tài liệu này.Hy vọng tài liệu hay phương pháp sử dụng kĩ thuật đánh giúp người có thêm cho phương pháp mạnh giải phương trình Mặc dù dành nhiều thời gian trau truốt chuyên đề Tuy vậy,tài liệu gặp sai sót ví dụ,bài tập,lời giải.Mong người thơng cảm góp ý vào gmail nhóm Chúc người mạnh khỏe thành công Thay mặt, ĐINH XUÂN HÙNG CHÚC MỌI NGƯỜI MỘT NĂM MỚI 2016 HẠNH PHÚC VUI VẺ,AN KHANG,THỊNH VƯỢNG Happy New Year-2016 Cấm hình thức lưu tài liệu chưa có cho phép Một số tài liệu tham khảo: [1].Chinh phục phương trình-Bất phương trình-Lovebook [2].Sáng tạo phương trình,bất phương trình,hệ phương trình [3].Tạp chí tốn học tuổi trẻ Một số trang web học tập hay [1].Diễn đàn Toán học: http://diendantoanhoc.net/forum/index [2].Diễn đàn K2pi: http://k2pi.net.vn/ [3].Diễn đàn BoxMath: http://boxmath.vn/forum/ [4].Diễn đàn THPT: http://diendanthpt.16mb.com/index.php Và công cụ tốt cho bạn nhẩm nghiệm phương trình https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html Mình xin kết thúc chuyên đề đây.Mong nhận nhiều ủng hộ bạn  TRY YOUR BEST AND YOU WILL SUCCEED ♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy ♥ ... thắc mắc gửi vào gmail:xuanhung312000@gmail.com Các thành viên tham gia viết chuyên đề Chủ biên :Đinh Xuân Hùng (Tốn K57-THPT Chun Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Các thành viên tham gia viết chuyên đề:... tập,lời giải.Mong người thơng cảm góp ý vào gmail nhóm Chúc người ln mạnh khỏe thành công Thay mặt, ĐINH XUÂN HÙNG CHÚC MỌI NGƯỜI MỘT NĂM MỚI 2016 HẠNH PHÚC VUI VẺ,AN KHANG,THỊNH VƯỢNG Happy New Year-2016