Kỹ thuật liên hợp giải phương trình chứa căn nguyễn tiến chinh

Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP KỸ THUẬT LIÊN HỢP - CƠNG PHÁ MƠN TỐN 2016 ( Bản full) NGUYỄN TIẾN CHINH Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP KỸ THUẬT LIÊN HỢP  Dự đoán nghiệm x  x o máy tính bỏ túi SHIFT  SOLVE hay ALPHA  CALC  Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp xuất nhân tử chung x  x o  bội x  x  phương trình nhằm đưa phương trình tích số: x  x .g x   o o  Các công thức thường dùng nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích A B A B AB A3B A2  AB  B2 AB A3B A2  AB  B2 AB Chú ý : - Khi dùng nhân liên hợp em ý bậc x biểu thức cần liên hợp,bậc cao - bậc thấp - Điểm nhấn phương pháp liên hợp biểu thức cịn lại móc vng ln dương - ln âm ta làm để chứng minh điều viết để thể điều này(có thể dùng Đạo hàm - đánh giá) Kĩ Thuật (bài toán chứa hai căn): A , B lấy A - B xem có xuất nhân tử chung hay khơng: BT Mẫu 1: Giải bất Phương trình x    4x  3x  Đề thi thử Đại học lần khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay  Nhận xét: Sử dụng máy tính, ta tìm nghiệm x  ,vậy ta đốn nhân tử chung x - ½ 2x 3x    x  1  2x  -1 ta có:  nên ta có lời giải sau: 4x   2x  12x  1  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x    4x   1   3x  x    2x  12x  1  2x  1 3x  x   2x  12x  1  0  3x  x   3x  x  3x  x       2x  1 2x    3x  x   0 1 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1 ● Ta có: x   2x    nên 1  2x    x  3x  x  ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 2: Giải bất Phương trình: 2x   x  2x   Đề thi Đại học khối A năm 2007 Nhẩm nghiệm x = ta đoán x - la nhân tử chung 2x  3  x  x    Nhận thấy rằng:  nên ta có lời giải sau: 2x   x  3  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x     x3 2x   x    x  3  x     2   2x   x x    x  3   2   2x   x  1 3  2x   x  1 1 2 2x   x 2x   x  VN ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 3: Giải bất Phương trình 10x   3x   9x   2x   Đề dự bị Đại học khối B năm 2008 Nhẩm x = nghiệm nên đoán x - nhân tử chung  Nhận thấy: 10x  1  9x  4  3x  5  2x  2  x  nên ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x        10x   9x   10x   9x  4 10x   9x    3x   2x   3x   2x  2 3x   2x  0 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN   1     x  3    10x   9x  3x   2x   Vì  x  KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1    nên 1  x  10x   9x  3x   2x  ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  : BT Mẫu 4: Giải bất Phương trình 3x2  5x   x2   x2  x  1  x2  3x   Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008 Nhẩm nghiệm x = nên suy đoán nhân tử chung x -       3x  5x   3x  3x   2 x    Nên ta có lời giải sau:   Nhận thấy  2  x   x  3x   x  2     Bài giải tham khảo        3x  5x   3x  3x   2x  2 3x  5x   3x  3x   x   x  3x   3x  2 x   x  3x  0   2    x  2     2  3x  5x   3x  3x  x   x  3x    x      2 3x  5x   3x  3x   ● Ta có: 3x2  5x   3x  3x  3 x   x  3x    1 x   x  3x   0, x xác định ● Thay x  vào phương trình    thỏa Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 5:Giải bất phương trình: 10 x   3x   x   x  (Đề dự bị khối B năm 2008) Phân tích: 10x + - (9x +4) = 3x - - (2x - 2) = x - nên ta có lời giải sau: ĐK: x    lúc BPT   10 x   x    3x   x    x 3 x3  0 10 x   x  3x   x  1     x  3   0 x3  3x   x    10 x   x  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 1   Vì :     0x   3x   x    10 x   x  KỸ THUẬT LIÊN HỢP So sánh với điều kiện ta có S =  3;   BT Mẫu Giải Phương trình:   x   3x   x  (Đề HSG HN - 2010) Phân tích: ( 4x + 1) - ( 3x - 2) = x + ĐK: x  ta có lời giải Phương trình cho tương đương:  x  3( L) x3    x   9    x   3x    x   x    Bình phương hai vế (*) ta có x    x  1 x    81   x  1 x    82  x 82  x   x  (TMĐK)  4  x  1 3x     82  x 2  BT Mẫu 7: Giải Phương trình sau: 3x   x   x  x   x     x  1  x  Phân tích :  2 x  x    x  3 x  1 Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào để tìm lượng liên hợp Nếu phương trình có nghiệm mà nghiệm nguyên - thay nghiệm vào ta số a ghép  a làm cặp liên hợp BT Mẫu 8:Giải phương trình:  x    x  2x  5x   Nhận xét: Nhẩm thấy x = nghiệm pt, thay x = vào hai ta thu hai số giống a = Bài giải tham khảo ● Điều kiện:  x       x  1      x   2x  5x   Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN x3 3x    x  32x  1  x 2 1 4x 1 KỸ THUẬT LIÊN HỢP   1   x  3   2x  1   x    4x 1 x     1   2x   x    x   1 ● Xét hàm số f  x   2x  x  2; 4 thấy f  x   2x   ● Xét hàm số g x   g ' x   x 2 x 2 1  1   x 2 1 x 1  4x  x  2; 4  4x 1  g x  nghịch biến max g  x   g 2   2;4    2 1  0, x  2; 4    3 ● Từ 2, 3  hàm số f  x , g  x  có đồ thị khơng thể cắt Do 1 vơ nghiệm ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 9:Giải phương trình: 3x    x  3x2  14x    Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x  SHIFT  SOLVE hay ALPHA  CALC,   khoảng điều kiện: x   ; 6 Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp cho xuất     nhân tử chung x  5 bội nó.Thay x = vào thứ 4,căn thứ Nên ta có lời giải sau: ● Điều kiện:       x     3x      x  3x  14x    x  5 3x    x5 1 6x  3x  1 x  5  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN     x  5    3x  1    3x     x   ● Ta có x   ; 6      3x    1 6x KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1  3x   Do 1  x  ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 10:Giải phương trình: 2x  11x  21  3 4x    Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x  SHIFT  SOLVE hay ALPHA  CALC, đó, ta cần phải tách ghép để sau nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung x  3 bội nó.thay x = vào ta phải ghép với để biểu thức liên hợp       4x    2x  11x  15  4x   8  4x  4  2x  5x  3   4x       12   x  3   2x  5   4x  42  4x       x    2x      12 4x  4 0 1  4x   ● Với x   2x   1, đặt t  4x    t2  2t   12  12  tức 2 vô nghiệm t  2t  ● Với x   2x   1, đặt t  4x     t2  2t   12  12  tức 2 vô nghiệm t  2t  ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 11: Giải Phương trình: x  x   x  x   7( x  0) Nhẩm x = nghiệm phương trình,thay vào ;lkmczb x  x   3, x  x   Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN Ta có giải sau: KỸ THUẬT LIÊN HỢP x2  x  x  x 3 3 x  x     x2  x    x  x  12 x2  x   0 x   0  x2 x4  2   0(VN ) x  x3 3 x  x44 2  x  x   x  x4 4  x  3 x   x2 Vì  x  3 x    x  x3 3 x4  0x  x  x4 4 BT Mẫu 12: Giải Phương trình x    x  x  x  (HSG Hà Nội - 2012) Phân tích : Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x = 1,thây vào x   2vs  x  nên ta có lời giải sau : ĐK : x  ( x   2)   viết lại phương trình dạng   x   x  3x   BT Mẫu 13 :Giải Phương trình  x  1 5x 1  1 x  9  x  23  x    x  1 x   x   x   (ĐH 2000D) Phân tích: ta nhẩm nghiệm phương trình x = đem thay vào phương trình dạng sau: x   5; x   ta viết lại ĐK:x   Viết lại phương trình: 6x 1   x      x  4 6( x  4)  0 6x 1  2x 1  x       2x 1   x   Nhận xét: x   18 x   x   x    x   (*) vơ nghiệm PT cho có nghiệm x = BT Mẫu 14 :Giải Phương trình x  3x  3 3x    x Viết lại phương trình:  x  1  3 x   Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP Nhẩm x = nghiệm phương trình,thay vào ta ta viết lại pt sau:  x  1   3 3x     x  1  x  1   x  1       x 1     x    3    x    3       ( 3x   1)  3     Lại có:  x    3        x  1  3x  5  3x   x    3     x   3x    3  dấu “=” xảy   x  2   3x     Vậy x = x = -2 nghiệm phương trình BT Mẫu 15 :Giải Phương trình  x      x  4x  1  x  x  1  Nhận xét: ĐK để phương trình có nghiệm (2 + x)x   2  x  ,phương trình có nghiệm x = -1,từ ta viết lại phương trình cho sau:  x  2 (    x  x   2)   x ( x   2)    x2  4x    x2 1    x  2   x      x  1       x x x      x  1   x   x  3  x  x  1    x  1    6    x2  x  x  x  1 2      x 3 2   x  4x    x  x   x2   PT (*) vơ nghiệm vì:    x  5x   x2  x  x2  4x    x  x   x2  x2    0x Kỹ Thuật - Hệ số bất Định Kiểu 1: Dùng hệ số bất định cho hai vế không nhẩm nghiệm BT Mẫu 16: phương trình: x  1 x  2x   x   Bài giải tham khảo Cách giải Nhân lượng liên hợp ● Vì x  1 khơng nghiệm phương trình nên x2    x  2x   x  x2   x  2x   x  1   (x  1) x 1 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 2   x 1 x  2x   x   KỸ THUẬT LIÊN HỢP    x  2x    ● Vậy nghiệm phương trình x    Nhận xét:   Vấn đề đặt nhận nhân tử chung x  2x  để điền số x  vào hai vế ??? Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số  cho x2  x  2x   x     x  ,   0 x 1   x  2x   (x  )2 x  2x   x    x   (x  ) x  1  x 1 (1   )x2  2(1  )x   2 x  2x      (1   )x  (  )x  1   x 1 Đến đây, ta việc xác định  ,  cho  1      2  2        1,   1   3  2     BT Mẫu17 Giải phương trình: 3x  1 x   3x  2x   Bài giải tham khảo Do x   1 khơng nghiệm phương trình, nên với x   , ta được: 3 3x  2x  3x  2x   x   2x   2x 3x  3x  x   4x 3x  2x   6x  2x   3x  x2   2x    x2     x2  3x   3x  x   2x    x2 x   2x  1     x   0  x   2x 3x  1  1   x   2x  3x      x2  3x    x  1   1   3x   x   2x 1 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN x      x2  x   x  x  x     KỸ THUẬT LIÊN HỢP Kỹ Thuật 3:Đốn nhân tử chung nhờ máy tính (dành cho pt có nghiệm vơ tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm lẻ ta tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm xem có đẹp khơng,nếu đẹp pt có nhân tử chung x  Sx  p vấn đề làm tìm biểu thức liên hợp: Giả sử nghiệm x1 , x2 ,biểu thức liên hợp cần tìm ax + b + Thay x1 vào kết C,thay x2 vào ta kết D a.x  b  C +Giải hệ phương trình   a, b xong em có biểu thức liên hợp a.x2  b  D BT Mẫu 21:Giải phương trình sau: x  x    x Giải: ĐK: x  x   Dùng máy tính dị nghiệm ta nghiệm x1  1, 618033989 x2  0, 6180339887 Tổng hai nghiệm 1,tích -1 nên dự đoán nhân tử chung x  x  thay hai nghiệm vào phương trình, ta có C = 0,381966;D = 2,618033989 a.x  b  C Giải hệ   a, b ta có a = -1,b = biể thức liên hợp - x a.x2  b  D Ta viết lại pt sau:  x  x  1    x    3x    x   x  x   3 4  x  x  1  3x   x     x  x  1  x     đến em tự giải tiếp toán có hai nghiệm  x   x   Ví dụ tiếp : x  x    x   x  x  ĐK :  x  x  1  x    Dùng máy tình nhẩm hai nghiệm x1   2, x2   2 ,thay hai ngiệm vào ta số C = D = 3(dự đốn biểu thức liên hợp số 3) Có tổng tích -7 ta dự đốn pt có nhân tử chung  x  x   Tìm biểu thức liên hợp cách giải hệ sau nháp Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP a.x1  b  C  a, b giải có a = 0,b=3 tới rõ biểu thức liên hợp số - làm  a.x2  b  D em pt  x  x   3( x  2)   x   ( x  x   3) x  x    x  2 x2  x  x2  2x   0  x2  x     x2   x  x   1  0  x2  2x     x  x   x   tới em tự giải tiếp nhé,pt có hai nghiệm Kỹ thuật : Nếu phương trình có hai nghiệm nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm sau Giả sư lượng liên hợp ax + b muốn tìm a,b ta thay hai nghiệm vào pt : ax + b = a,b giải tìm Ngồi kỹ thuật nêu em làm theo thủ thuật khác tìm thấy có nghiệm vơ tỷ phương trình BT Mẫu 22 :Trong pt sau dùng máy tính ta x = 1,390388203 Nếu phương trình có chứa hai căn,thay vào ta có kết sau : x + lượng cần liên hợp vớ thứ nhất,2x lượng liên hợp với thứ Áp Dụng :Giải phương trình sau : Ví dụ :Dùng máy tính thu nghiệm x =4,236067977 ,Nếu phương trình có chứa hai ta đem thay hai nghiệm vào Vậy thứ trừ cho 5,236067977 = x + nên thứ trừ cho x + Áp Dụng :Giải phương trình sau Bài tập vần dụng : Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 1.x  x  3 x    x(DS:x=-2,x=1) KỸ THUẬT LIÊN HỢP 2; x   x  x   0( DS : x  1; x   2) 3;  x2  x   x  x    x   x   x ( x  0; x  1) 4;  x  3 x  x   x  x   6;9   5;3  x   x  x  6( x  3, x  11  )  x   3x   x  7; x    x  x  x   0( x  4) 8; x  24  12  x   x  24, x  88  x   x   x   x   10.2 3x     x    x  2  11.x  x   x   x  x    x  2, x    32  57  12 x  16 x  18  x   x   x  1, x     13 x    x  x  x   x  1 14 x    x  x  x  10 x  26  0( x  2) 15 x  x   x   3x  x   x  x  4( x  2) 2x2 BT Mẫu 23:Giải bất phương trình: 3   2x   x  21  Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999 Bài giải tham khảo 9  2x  ● Điều kiện:     x  x           2x       x   2x     x   2x  x  21    2x        x  21     x  21    2x   2x  2x  42   2x    2x  16  x  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP  7 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ x   ;  \ 0  2   BT Mẫu 24 Giải bất phương trình: x2 1  1 x  x4   Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện:  x   x  1 x  1 ● Nếu   1  x    Do đó: x  1; 4 tập nghiệm x    bất phương trình  ● Khi x  : x    x 1 1 x        x   x    x      1 1 x             x      x   x   x4    x        x4    x    1   x   x  x   x4  x  x  x         x  4; 8    x  1  x  x      x  1; 4   ● Vậy tập nghiệm bất phương trình   x  1;    x 4;     BT Mẫu 25 :Giải bất phương trình:  x  3x   x  4x   x  5x  Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh năm 1996 Bài giải tham khảo          x  3x   x  5x   2x   x    Nên ta có lời giải sau:  Nhận xét:  2  x  4x   x  5x   x   ● Điều kiện: x   x       x  3x   x  5x    x  4x   x  5x   Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN  KỸ THUẬT LIÊN HỢP  x  1 x  3x   x  5x  x 1  x  4x   x  5x      x  1    x  3x   x  5x  x  ● Do  thì:  x  x  3x   x  5x  0    1 2  x  4x   x  5x   1  x  4x   x  5x  0 nên 1  x    x  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x   x  BT Mẫu 26: Giải bất phương trình: x  2x   2x  17  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x     x   x    x   2x  17  2x  2x  17  2x   2x  17  2x   2x  17  2x  16  2x  17  2x   x 2x  17  2x  2x  17  2x    16x  2x  172x  1  6x  (dạng 3   x   ; 4   ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  0; 4 BT Mẫu 27 :Giải bất phương trình: 2x  3x  6x  16   x  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2  x       2x  3x  6x  16  3    4x   A  B ) Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 2x  3x  6x  11 x 1   0  4x 2x  3x  6x  16  3  x  12x   5x  11 2x  3x  6x  16  3 x 1   4x KỸ THUẬT LIÊN HỢP 0     63    x             x  1   0  2x  3x  6x  16  3  4x        x 1   x  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  1; 4    BT Mẫu 28: Giải bất phương trình: x2   3x    3x    Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x        3x  7x  1   x  1  3x    x  1  3x  2    x  1   3x          3x     3x   3x     2    3x  7  1 ● Khi x  1  1 :  3x     x  1   4  ● Khi   1  x      x  1 x    3 x  1     ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x   ; 1    BT Mẫu29: Giải bất phương trình:   2x   x x x 1 Bài giải tham khảo Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x 2 2x  x 1  x  x 2  x  2 x  2 x 2  x x x 2  x   0 2  x   x   ● Điều kiện:   x    x  2 x  2  x  ● Với: 2  x  : 2 ln    x 2  2x   x x ● Với: x  : 2    x  2  2x   2x  x x  2x   x 2  x 2x    x 2  x  1  do : 2x   ,  x   2x  4x  x 2x    0, x    x  2x   x  2x   x2  2x     x   x  2x  4x  16x  32  4x  16 x x  2  2x  4x  4x x 2 x x  2x     x  2x     x2  2x  x  2x    x  2x    x  1 ● Do x   x     ● Vậy tập nghiệm bất phương trình x  2;0   BT Mẫu 30 :Giải bất phương trình: x  1 x  2x   4x x   x  1 Bài giải tham khảo   x  12      x  2x   2x x   x  2x     x  1  x  2x   2x  x  13x  1 2 x   x  2x  0   2x 3x  1  0   x  1   x  2x     x   x  2x       Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP    x2   x2  2x   x2  x2  2x   7x2  4x      x  1   2      x x 2x       4 31 Do 7x  4x   x     nên phương trình  x    x  1   ● Vậy tập nghiệm bất phương trình x  ; 1 KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU: Khi gặp phương trình vơ tỷ,ta biết phương trình giải phương pháp liên hợp,dùng MODE ta biết phương trình có nghiệm - Nhưng sau liên hợp xong biểu thức lại cồng kềnh phức tạp khó chứng minh phương trình vơ nghiệm lúc ta làm gì.Tất có viết với phân tích bình luận đơn giản thơng qua 20 ví dụ.Hi vọng sức mạnh giúp em giải triệt để lớp toán BT Mẫu 31 Giải phương trình: 2x  5x 1  x    x  Nhận xét: Dùng máy tính ta kiểm tra phương trình có nghiệm x = 3,thay nghiệm vào x   1;  x  nhưn thông thường ta liên hợp sau:    x  3 1 1  x    1 x  ………….ta nhận thấy không đồng dấu???  1   x  x     1  x Tới cách tự nhiên ta tìm ý tưởng để hai mang dấu “+” “- “ truy ngược dấu cho (1) cụ thể sau: ĐK  x    (*)    x  x     x  1  2x2  6x  x3  x  3 x   x x    x    x   x         1  x 1 x  1   x  x   x    x2   x  0; x   2; 4 1   x  x  Tới em hình dung phần lợi phương pháp chứ,kết thu thật tuyệt vời không em - tiếp tục thầy qua ví dụ khác nhé… BT Mẫu 32Giải phương trình: x    x  x    Nhận xét: dùng máy tính ta biết x = nghiệm phương trình,cũng thay nghiệm vào ta có biểu thức lieenh hợp thơng thường sau: Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x 1  1   x    x 1  rõ ràng trái dấu,ta truy ngược dấu (2) sau   x    2  3x    2   3x  Bài Giải: ĐK   x    1    x  3x    3x    x     x  1 x 1  3x   x 1  1  x  3x  x    3x    x  1    1    3x      3 1   x  3x   1   x  x  (3) dương nên vô nghiệm,vậy x = nghiệm BT Mẫu 33 : Giải phương trình x  x  3x   x   Nhận xét: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x =1 giống ta truy ngược dấu nhiên ta truy ngược hai biểu thức liên hợp,ta có lời giải sau: ĐK x  3x   3x    3x    x 1   x 1   x2  x   3x   x 1 x 1 2x 1  2 x 1  x  x  1    x  1    x  3x   2 x 1  x 1    3x   x    3x  phương trình (1) ln dương Đk x = ! 2 x 1   x  0(1)  3x   2 x 1  BT Mẫu 34 : Giải phương trình  x  1  x  1   x  x   5(*) ĐK: x  ,Nhẩm x = nghiệm phương trình 5 x 2  Do ta tiến hành truy ngược dấu biểu thức này, viết lại phương trình sau: x    1  x  1   x   x  ( x   1)   x  1 x 0 5 x  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN x 1  2 5 x   x  1  x  1   x  5 x   x  1  x    2 5 x  KỸ THUẬT LIÊN HỢP  x  1  x  1 1 x   2x 1 1 x    0  5 x x    3   x  1  x    2 5 x   x  1  0(1)  2x 1  (1) dương tập nên vơ nghiệm,vậy x = nghiệm phương trình BT Mẫu 35 : Giải phương trình 10x   4x 1  3x 1  Nhận xét:Dùng casio ta biết hai phương trình có nghiệm x = 0,thay hai nghiệm vào hai kết 1,nhưng liên hợp thơng thường hai bị mang dấu trái dấu so với phần cịn lại.Do ta truy ngược dấu hai biểu thức trên.Ta có lời giải ĐK: x   Viết lại pt: 10 x   x   3 x    x    x    3x    x  1  1  3x  x  4x x 1   4x 1 1  3x   x 3 x   3x       3x     x    4x   4x 1 1  3x   3 x    0(1) 3  3x  1   x  1   (1) ln dương nên phương trình cho có nghiệm x = Điểm nhấn tốn nằm chỗ em thấy chưa???Đó kỹ truy ngược dấu cho hàm bậc - ta tới mẫu sau nhé: BT Mẫu 36 : Giải phương trình sau x  3x   x   x    ĐK : x  Dùng Casio biết x = nghiệm phương trình,thay vào hai cho kết = PT (*)  x  x   x   x    x    x  2 2x  2x  1 x     2x    2x    = x  x  2   x  1   x  1  x  x  1   x  1    x    x 1   x  1  1  x2     x   x     x   1 Với x  (1) ln dương,pt có nghiệm x Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN BT Mẫu 37: Giải phương trình x  x   3x   3x   KỸ THUẬT LIÊN HỢP ĐK: x  1 Nhận xét: Máy tính cho ta biết x = nghiệm phương trình,ta có lời giải sau     3x    3x    3x   x  1 x  3x    x    3x    3x    3x  5    2x2  2x   x   x    64   3x  5  3x    x  1    3x      64  x    64   x  1 x      x  13 3 x    x      3x    64  3x  5  642   x  13 3x  (1) ln dương nên pt có   x    0(1) 2  x    64  x    64 nghiệm x = đọc độc giả thắc mắc ,bởi 3x  5 3 3x  5 lại liên hợp với mà x  Thêm điều trình giải trước đưa biểu thức liên hợp để đảm bảo tính cân hệ số nhân hai vế phương trình cho   BT Mẫu 38Giải phương trình sau : x    x  1 x   x  3 x    TXĐ : D = R   5x    x 1 x   x 1   x 1 x    x  1 x   x   3x      x    x 1 3x   x 1  x2  x2    x  1   x  1  3  x  1   3x2  5 3x  5  3x  5  x 1    x  1 x   x2  x     x  1   1  2  x 3 2  x  1   x  1  3x    3x      x  1 x   x2  x     x  1     1  2  x 3 2  x  1   x  1  3x    3x    Vậy phương trình có nghiệm x = Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP Điều làm bạn thấy khó hiểu nhất??? có lẽ việc xuất biểu thức liên hợp  x 1  x  khơng phải số 2,vì liên hợp với số du truy ngược dấu kết liên hợp bất lợi việc chứng minh phương trình có nghiệm ta giả thiết có ax + b thỏa mãn mà = + = x + 1(vì x = nghiệm mà).vậy ta có kết tốn thành cơng!!! BT Mẫu 40: Giải phương trình x3  x  x   x x  x   x    Bài giải    x 2x  x 1   x     x 2x2  x 1    x  x    x 2x2  x 1 x  x    x      x  1    2x2  x 1 1    2x  2  x  2 pt có nghiệm x = -1/2  0   x   1  0(VN )  2x  1   BT Mẫu 41: Giải Phương trình 3x   2x   1 x  x  x   ĐK x   Dùng casio ta biết pt có nghiệm x = -1,biểu thức cần truy ngược dấu 1 x  x  (1-x) chưa xác định dấu,khi ta có ý tưởng làm xuất x + 1 x  Ta có lời giải sau:        x    1  x  x   x     x  1 2x  1 x2  1  x  1  x    x2  0  x  1   x  x2     2 0    x  1    x  x2   2  0(1)  x    x    2x     x2   Thấy (1) vơ nghiệm (1) ln >0 pt có nghiệm x = -1 Qua số ví dụ vừa ta thấy có biểu thức ta cần truy ngược để xác định cụ thể dấu biểu thức đứng phía trước thức,điều cần ý làm BT Mẫu 42:Giải phương trình: x  x  13 x    x   x  x   x   Nhận xét: Bài giống với ta cần truy ngược để  x   ,đồng thời liên hợp x  với số ta thu kết (-) cần truy ngược dấu.Dùng casio biết x = nghiệm phương trình thay vào x  3x   1, x   (Các em ý ln dựa vào nghiệm để tìm biểu thức liên hợp nhé) Ta có lời giải: ĐK: x     x3  5x  13x    x     x   x  3x    x   x  3x   x  3x   3x    x2  3x    3x  x  3x   x  3x      3x    x    x  1 x  3x    x 1  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x    x  2 x  x    3x    1     x  2 x  3x   x  1  3x  3x       0(1)  x  3x    3x   x  3x    (1) ln (+) nên phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 43: Giải phương trình sau x  14 x  14   x  1 x    x   x   Nhận xét: phương trình có nghiệm x = 1,ta thấy cần truy ngược hai biểu thức liên hợp biểu thức chưa (x + 1) chưa rõ dấu,một biểu thức liên hợp cho dấu âm.Thay x = vào x   3; x   truy ngược biểu thức  x  1 4x    4x     x  1 x   x  1 rõ ràng không làm xuất  x  1 … Vậy ta 4x   làm nào??? Có thể biểu thức liên hợp hàm bậc chăng? Thế hệ số bất định lên tiếng Nhắc lại ta cần truy ngược để làm xuất  x  1  x  1 ,giả sử ta có ax  b  x  ,thay x = vào ta a + b = đâu phương trình nữa???ta cần xuất  x  1 thay x = -1 vào ta có -a + b = a = ,b = 2(Các em đốn nhanh biểu thức la x + ta có x = nghiệm mà thay x = vào x   = x + 2) tới coi xong phần phân tích ,làm thơi!!!! ĐK x      x  1 x   x    x   x  x    3x     x  1 x   1    x  5 x    x  1 x   4x  x3 2   x   x   3  ( x  1)   x  1    x32  x   x     x  1    x   x   3  ta thấy (1) dương nên vô nghiệm ( x  1)2   x  1       x3 2  x   x   BT Mẫu 44: Giải phương trình sau: x   x  1  x   x  13 x   x  28   ĐK:  x  giống ( x - 13) chưa xác định dấu với đk x ta cần làm 2 xuất  x  13  x  1 với x = nghiệm pt ta nhẩm được,kiểm tra liên hợp thông thường truy ngược dấu với việc thay x = vào 2x 1  ta không thu kết mong đợi,khi hệ số bất định với sức mạnh kinh khủng giúp bạn!!! Giả sử biểu thức cần liên hợp ax + b ta tìm a,b cho ax + b = 2x 1 thay x = x = 13 vào ta thu a = 1/3 ; b = 2/3.Lúc ta có:    x  1      x   x   x  13 x   x   x  x    x  1  x x 1 1  x  x  13  x  1  x  x   2x 1  x  1  x    3x  1  x  x  13     x  1    x      x  1  x ( x  13)2   x x   x  2   x  1      x x   2x 1 Rõ ràng x = nghiệm phương trình (1) ln dương tập xác định BT Mẫu 45: Giải phương trình:  x  x  1   x  1 x    x  1 x    Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP ĐK x  1 Nhận xét: (3x+1) chưa xác định dấu ta suy nghĩ tới hướng làm trên,giả sử biểu thức cần liên hợp với x  ax + b,tìm a b cho ax + b = x  ,thay x = ½ (nghiệm nhẩm ) ta có a + 2b = thay x = -1/3 vào cho số q xấu,phải đây??? Thơi ta chọn a,b phù hợp với phương trình a + 2b = vậy, chọn a = 2,b = Nhân vế (*) cho ta có pt sau:    8x  x  1   x  1 x    3x  1 x     x  1 x      x     3x  1 x   x   x  x     x2   2x 1    x  1 x    x        x  1 x  3    2x     2x   4x     x  1 x   x  x  1    x  1    x  3  x 1  4x   x     x      5 1 x        12 24 x  x             3x   0(1)  x   2x 1  4x  (1) ln dương nên x = ½ nghiệm BT Mẫu 46: Giải phương trình sau  x  13 x  17  12 x  35   x   x   ĐK x  3 Đặt t = x  3(t  0)  x  t2  thay vào phương trình (*) ta có: (*)  t  6t  t  17   4t  1 2t   0(1) nhẩm thấy t = nghiệm phương trình,ta giả sử biểu thức liên hợp at + b ,phải tìm a b để at + b = 2t  ,với t = ta có 2a + b = 3,việc tìm thêm pt lại gặp khó khăn 4t   vơ nghiệm.Ta chọn cặp a,b phù hợp a = 1,b=1 1  t  6t  t  17   4t  1 t   2t  1   4t  1  t  1  t  4t  1  t    t  2t  2  3t  2t  16   4t  1  0     t    3t  4t    t   2t   t   2t   t    t  4t  1  0(2)  3t  4t   t   2t   PT có nghiệm t = (2) ln dương với t  BT Mẫu 47: Giải phương trình x  12   3x   x    x  13 x   Lời giải: Đặt t = x  2, t   x  t  thay vào (*) ta có   4t  4t  5t    3t   t2      t  2t  3t   3t    t   t   t    t t  2t    3t    t   0 t 2 t 4    Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP    t   t  2t    3t    t     0(1) t   t2    (1) vơ nghiệm ln dương,pt có nghiệm t = hay x = -2 Qua hai ví dụ có lẽ bạn đọc thắc mắc lại phải dùng tới ẩn phụ - Lí bậc x biểu thức không chứa thấp so với bậc x biểu thức chứa nên ta dùng ẩn phụ để hóa giải tốn Tới có lẽ tác giả xin dừng viết đây,với kỹ thuật nêu ví dụ phân tích nhận xét cách tỷ mỉ,lối trình bày định hướng cho lời giải rõ ràng hy vọng viết hành trang bổ trợ cho em cơng cụ « mạnh mẽ » việc chinh phục toán phương trình chứa căn.Trong viết tác giả trình bày vài cơng cụ « mạnh mẽ » khác giúp em công phá đề thi quốc gia cách nhẹ nhàng nữa.Xin chân thành cám ơn bạn sử dụng tài liệu này.mọi góp ý tác giả xin ghi nhận ...Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP KỸ THUẬT LIÊN HỢP  Dự đoán nghiệm x  x o máy... 3x  x   3x  x  3x  x       2x  1 2x    3x  x   0 1 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1 ● Ta có: x   2x    nên 1  2x    x  3x  x...   10x   9x  4 10x   9x    3x   2x   3x   2x  2 3x   2x  0 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN   1     x  3    10x   9x  3x   2x   Vì  x  KỸ THUẬT