Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác nguyễn hữu biển

CẨM NANG CHO MÙA THI CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (LỚP 11 & ƠN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân mến, tập giải phương trình lượng giác nội dung thường xuyên xuất đề thi đại học, kiến thức giải phương trình lượng giác em học chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với công thức kiến thức tảng lớp 10 Để giải phương trình lượng giác, điều em cần phải biết cách học thuộc công thức biến đổi lượng giác bản, em cần học tập siêng năng, chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho thân, từ biết phân chia dạng tốn kỹ thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với loại giải phương trình lượng giác đề thi Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC chắt lọc, đánh máy cơng phu, trình bày đẹp Nội dung hữu ích cho học sinh lớp 11, học sinh ôn thi đại học mơn Tốn q thầy giáo dạy Tốn THPT Tài liệu biên soạn tỉ mỉ, phân chia dạng tốn rõ ràng, cơng thức đầy đủ, phần có ví dụ minh họa hướng dẫn Học sinh bị gốc kiến thức lượng giác học lại từ đầu khơng khó khăn Hy vọng với tài liệu hữu ích này, em học sinh có “cẩm nang” để chinh phục phương trình lượng giác thi cử Tài liệu cịn vài khiếm khuyết, mong nhận ý kiến từ em học sinh độc giả Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com CÁC EM CĨ THỂ TÌM ĐỌC THÊM CÁC SÁCH DO THẦY BIÊN SOẠN VÀ Đà PHÁT HÀNH (1) Các chuyên đề đại số (Ôn thi vào lớp 10) (2) Tinh hoa hình học (Ơn thi vào lớp 10) (3) Luyện đề mơn tốn (Ơn thi vào lớp 10) (4) Tinh hoa hình học (Ơn thi THPT quốc gia) (5) Luyện đề mơn tốn (Ơn thi THPT quốc gia) CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hàm số y = sinx + TXĐ: D = R (Vì lấy giá trị x, thay vào hàm số ta tính y) + Tập giá trị: [ -1 ; ] (Vì giá trị tính y nằm đoạn [ -1 ; ], nghĩa −1 ≤ s inx ≤ ) + Hàm y = sinx hàm số lẻ (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O) + Chu kỳ T = 2π (Vì sin(x + π) = s inx - Cứ biến số cộng thêm 2π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ 2π - tính chất giúp vẽ đồ thị thuận tiện) + Bảng biến thiên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ) π x y = sinx π 0 + Đồ thị hàm số Hàm số y = sinx hàm số lẻ R, tuần hoàn với chu kỳ 2π Do muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = sinx R, cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn [0;π] (nửa chu kỳ) sau lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta đồ thị đoạn [ −π; π] (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài 2π;4π;6π; *Nhận xét: Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π  π   + Hàm số y = sinx đồng biến khoảng  − + k.2π; + k.2π  π 3π  + Hàm số y = sinx nghịch biến khoảng  + k.2π; + k.2π  , k ∈ Z 2  Hàm số y = cosx + TXĐ: D = R (Vì lấy giá trị x, thay vào hàm số ta tính y) + Tập giá trị: [ -1 ; ] (Vì giá trị tính y nằm đoạn [ -1 ; ], nghĩa −1 ≤ cosx ≤ ) + Hàm y = cosx hàm số chẵn (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua trục tung Oy) + Chu kỳ T = 2π (Vì cos(x + π) = cos x - Cứ biến số cộng thêm 2π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ 2π - tính chất giúp vẽ đồ thị thuận tiện: ) + Bảng biến thiên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ) π x y = cosx π -1 + Đồ thị hàm số Hàm số y = cosx hàm số chẵn R, tuần hồn với chu kỳ 2π Do đó, muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = cosx R ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn [0;π] (nửa chu kỳ), sau lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta đồ thị đoạn [ −π; π] (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài 2π;4π;6π; Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm số y = tanx π 2   + TXĐ: D = R \  + kπ / k ∈ Z  (Vì cos x ≠ ) + Tập giá trị: R + Hàm y = tanx hàm số lẻ (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O) + Chu kỳ T = π (Vì tan(x + π) = tan x - Cứ biến số cộng thêm π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ π )  π + Bảng biến thiên đoạn 0;  (nửa chu kỳ)  2 π x y = tanx +∞ 10 + Đồ thị hàm số π 2   Hàm số y = tanx hàm số lẻ R \  + kπ / k ∈ Z  , tuần hồn với chu kỳ π Do đó, muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = tanx R ta cần khảo  π sát vẽ đồ thị hàm số đoạn 0;  (nửa chu kỳ), sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc  2  π π tọa độ O ta đồ thị đoạn  − ;  (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu  2 sang trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài π;2π;3π; y = tanx Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *Nhận xét:  π π  + Hàm số y = tanx đồng biến khoảng  − + k.π; + k.π  , k ∈ Z   + Hàm số khơng có khoảng nghịch biến π  + Mỗi đường thẳng vng góc với trục hồnh, qua điểm  + k.π;0  gọi đường 2  tiệm cận đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = π + k.π làm đường tiệm cận) Hàm số y = cotx + TXĐ: D = R \ {kπ / k ∈ Z} (Vì sin x ≠ ) + Tập giá trị: R + Hàm y = cotx hàm số lẻ (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O) + Chu kỳ T = π (Vì cot(x + π) = cot x - Cứ biến số cộng thêm π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ π )  π + Bảng biến thiên đoạn 0;  (nửa chu kỳ)  2 π x y = cotx +∞ + Đồ thị hàm số Hàm số y = tanx hàm số lẻ R \ {kπ / k ∈ Z} , tuần hồn với chu kỳ π Do đó, muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = tanx R ta cần khảo sát vẽ  π đồ thị hàm số đoạn 0;  (nửa chu kỳ), sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O  2  π π ta đồ thị đoạn  − ;  (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang  2 trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài π;2π;3π; Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y = cotx *Nhận xét: + Hàm số y = tanx nghịch biến khoảng (k.π; π + k.π) k ∈ Z + Hàm số khơng có khoảng đồng biến biến + Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = k.π làm đường tiệm cận II BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng: + Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R + Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R π 2   + Hàm số y = tanx có TXĐ: D = R \  + kπ / k ∈ Z  (Vì cos x ≠ ) + Hàm số y = cotx có TXĐ: D = R \ {kπ / k ∈ Z} (Vì sin x ≠ ) BÀI TẬP: Tìm tập xác định hàm số sau 1) y= 5cos2 x − s inx + − s inx 3) y = + s inx − cos x 5) y = + sin 3x + 3cos 7) y = t anx + c otx 9) y = 2) y= + cos x x.sin x cos x − s inx + cos x 4) y = x+3 x−2 − cos x cos2 x 6) y = sin 2x 2x − 5cos x+3 2x − π 8) y = tan(2x + ) 10) y = + sin x + cos x Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11) y = π  12) y = 2tgx + 3cot g  x −  3 + tgx + sin x   HƯỚNG DẪN 1) Hàm số y= 5cos2 x − s inx + π xác định − s inx ≠ ⇔ s inx ≠ ⇔ x ≠ + k.2 π (k ∈ Z) − s inx π 2   Vậy TXĐ: D = R \  + k.2π, k ∈ Z  2) Hàm số y= cos x − s inx + π xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ + k.π (k ∈ Z) cos x π 2   Vậy TXĐ: D = R \  + k.π, k ∈ Z  3) Vì + s inx ≥ − cos x ≥ với x nên − cos x ≠ Vậy hàm số y = + s inx ≥ với x thỏa mãn điều kiện − cos x + s inx xác định − cos x ≠ hay cos x ≠ ⇔ x ≠ k.2 π − cos x Vậy TXĐ: D = R \ {k.2π, k ∈ Z} 4) Vì − cos x ≥ cos2 x ≥ với x nên cos x ≠ ⇔ x ≠ − cos x ≥ với x thỏa mãn điều kiện cos2 x π π  + k.π Vậy TXĐ: D = R \  + k.π, k ∈ Z  2  5) Hàm số y = + sin 3x + 3cos x+3 xác định ⇔ x − ≠ ⇔ x ≠ x−2 Vậy TXĐ: D = R \ {2}  x ≠ −3 x + ≠ 2x 2x  6) Hàm số y = sin − 5cos xác định ⇔  ⇔ x+3 2x − ≠ x 2x − ≠    1 2 Vậy TXĐ: D = R \ −3;  7) tanx xác định x ≠ π + k.π, k ∈ Z , cotx xác định x ≠ k.π, k ∈ Z Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π  k.π x ≠ + k.π Vậy y = t anx + c otx xác định  (k ∈ Z) hay x ≠ (k ∈ Z) 2 x ≠ k.π  k.π  , k ∈ Z   TXĐ: D = R \   π π π π k.π (k ∈ Z) 8) y = tan  2x +  xác định 2x + ≠ + k.π hay x ≠ + 4  π 8 Vậy TXĐ: D = R \  + k.π  , k ∈ Z  + cos x có nghĩa khi: x.s inx ≠ ⇔ x ≠ kπ x.sin x Vậy tập xác định hàm số là: D = R \ {kπ / k ∈ Z} 9) Biểu thức y = 10) Do + sin x + cos x = (1 + sin x ) + (1 + cos x ) > Do hàm số y = + sin x + cos x xác định với x Vậy tập xác định hàm số là: D = R + tgx có nghĩa khi: + sin x π  π x ≠ + kπ   π x ≠ + k π   ⇔ ⇔ x ≠ + kπ  sin x ≠ −1  x ≠ − π + k 2π  π  Vậy tập xác định hàm số là: D = R \  + kπ / k ∈ ℕ  2  π  12) Biểu thức y = 2tgx + 3cot g  x −  có nghĩa : 3  π π    x ≠ + kπ  x ≠ + kπ ⇔   x − π ≠ kπ x ≠ π + k π   11) Biểu thức y = Vậy tập xác định hàm số là: π π π    D = D \ A ∪ B với A =  x / x ≠ + kπ  B =  x / x ≠ + k     2 Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN + cos x Bài Tìm tập xác định hàm số y = sin x Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ Tập xác định D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} Bài Tìm tập xác định hàm số y = sin x cos ( x − π ) Hướng dẫn: Hàm số xác định 3π + kπ , k ∈ ℤ 2  3π  Tập xác định D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ    2π   Bài Tìm tập xác định hàm số y = tan  x +    Hướng dẫn: Hàm số xác định 2π  2π π π π  ⇔ cos  x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ − + k , k ∈ ℤ  ≠ ⇔ 5x +  30  ⇔ cos ( x − π ) ≠ ⇔ x − π ≠ π + kπ ⇔ x ≠ π  π  Tập xác định D = ℝ \ − + k , k ∈ ℤ   30  + cos x Bài Tìm tập xác định hàm số y = − sin x Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ ℤ π  Tập xác định D = ℝ \  + k 2π , k ∈ ℤ  2  + cos x Bài Tìm tập xác định hàm số y = − sin x Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ (luôn thoả với x) Tập xác định D = ℝ + sin x cos x + Hướng dẫn: Ta có −1 ≤ sin x ≤ −1 ≤ cos x ≤ nên + sin x > cos x + ≥  + sin x ≥ ( luoân thoaû )  ⇔ cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ ℤ Hàm số xác định ⇔  cos x + cos x + ≠ Tập xác định D = ℝ \ {π + kπ , k ∈ ℤ} Bài Tìm tập xác định hàm số y = Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC (sưu tầm) Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, khơng nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp I PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng khơng âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất: A = A2 + B = ⇔  B = Bài Giải phương trình: tan x + sin x − tan x − sin x + = Hướng dẫn tan x + sin x − tan x − 4sin x + = ⇔ tan x − tan x + + sin x − 4sin x + = ⇔ ( tan x − 1)2 + (2 sin x − 1) = π + mπ ( m, n ∈ Z ) π + 2nπ π ĐS x = + 2kπ ( k ∈ Z )   x= tan x =    tan x − =   ⇔ ⇔ ⇔ 2 sin x − = sin x = x =   II PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f ( x ) = g ( x ) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R: f ( x ) ≥ A, ∀x ∈ ( a, b ) g ( x ) ≤ A, ∀x ∈ ( a , b ) đó:  f ( x) = A f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) = A Nếu ta có f ( x ) > A g ( x) < A , ∀x ∈ ( a, b) kết luận phương trình vơ ngiệm Bài Giải phương trình: cos x + x = Hướng dẫn cos x + x = ⇔ x = − cos x Vì − ≤ cos x ≤ nên ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤  −π π  mà [− 1,1] ⊂  ,  ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [− 1,1] ⇒ − cos x < 0, ∀x ∈ [− 1,1]  2 Do x > − cos x < nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 60 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình: sin 1996 x + cos1996 x = (1) Hướng dẫn (1) ⇔ sin 1996 x + cos 1996 x = sin x + cos x ⇔ sin x(sin 1994 x − 1) = cos x(1 − cos1994 x) (2) sin x ≥ Ta thấy  1994 ⇒ sin x (sin 1994 x − 1) ≤ 0, ∀x sin x ≤1 cos x ≥ Mà  ⇒ cos x(1 − cos1994 x) ≥ 0, ∀x 1994 1 − cos x≥0   x = mπ  sin x =   x = π + mπ  sin x = ± sin x(sin 1994 x − 1) =   Do (2) ⇔  ⇔ ⇔ ( m, n ∈ Z ) 1994 cos x(1 − cos x) = cos x =   x = π + nπ cos x = ±1     x = nπ  π Vậy nghiệm phương trình là: x = k ( k ∈ Z ) π ĐS x = k ( k ∈ Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây: sin ax =  sin bx = (1) sin ax sin bx = ⇔  sin ax = −1  sin bx = −1 sin ax =  sin bx = −1 (2) sin ax sin bx = −1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng: cos ax cos bx = cos ax cos bx = −1 sin ax cos bx = sin ax cos bx = −1 III PHƯƠNG PHÁP ĐỐN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau: + Dùng tính chất đại số + Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f ( x ) = có nghiệm x = α ∈ ( a, b) hàm f đơn điệu ( a, b) f ( x ) = có nghiệm x = α Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 61 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm x = α ∈ ( a, b) , f (x ) tăng (giảm) ( a, b) , g (x ) giảm (tăng) ( a, b) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm x = α Bài Giải phương trình: cos x = − x2 với x > Hướng dẫn Ta thấy phương trình có nghiệm x = Đặt f ( x) = cos x + x2 − biểu thức hàm số có đạo hàm f ' ( x ) = − sin x + x > 0, ∀x > (vì x > sin x , ∀x ) ⇒ Hàm f đơn điệu tăng (0,+∞ ) ⇒ f ( x ) = có nghiệm (0,+∞ ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình: x − x cos x − sin x + = (1) Hướng dẫn Ta có (1) ⇔ x − x cos x + cos x + sin x − sin x + = ⇔ (x − cos x)2 + (sin x − 1) =  x − cos x = cos x = x ⇔ ⇔ sin x − = sin x = Phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải phương trình: sin x + cos 15 x = Hướng dẫn Ta có: sin x + cos 15 x = ⇔ sin x + cos 15 x = sin x + cos x ⇔ sin x (sin x − 1) = cos x (1 − cos 13 x ) (1) Vì sin x(sin x − 1) ≤ 0, ∀x Và cos x(1 − cos13 x) ≥ 0, ∀x Do (1)   x = mπ  sin x =   x = π + mπ   2 sin x(sin x − 1) =  sin x = ±1 ⇔ ⇔ ⇔ (m, n ∈ Z )   cos x(1 − cos13 x) = π = cos x     x = + nπ cos x =    x = 2nπ  ĐS x = Bài 3: Giải phương trình: π 1) sin x + cos ( x + ) = (1) 4 π + kπ hay x = 2kπ , ( k ∈ Z ) 2) (tan x + cot x) n = cos n x + sin n x(n = 2,3,4, ) Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 62 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng dẫn 1) Ta có: π   + cos(2 x + )  (1 − cos x)  ⇔ + = 4 ⇔ (1 − cos x) + (1 − sin x) = ⇔ cos x + sin x = (1) ⇔ cos(2 x − π )= 2  x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ  2) Với điều kiện x ≠ k π ta có tan x cot x ln dấu nên: n 1 1 tan x + cot x = tan x + cot x ≥ tan x ⋅ cot x = ⇒ tan x + cot x ≥ 4 4 1 Dấu "=" xảy ⇔ tan x = cot x ⇔ tan x = ⇔ tan x = ± 4 2   + Với n = : phương trình  tan x + cot x  = có nghiệm cho bởi:   1 tan x = ± ⇔ x = ± arctan + kπ ( k ∈ Z ) 2 + Với n ∈ Z , n > thì: cos n x + sin n x ≤ cos x + sin x = π   x = k n = 2m Dấu xảy ⇔  (k , m ∈ Z )  x = 2kπ hay x = π + 2kπ n = 2m +  (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π phương trình) Vậy với n > 2, n ∈ Z phương trình vơ nghiệm ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) Bài 4: Giải phương trình: cos x 1 − + cos 3x − = (1) cos x cos x Hướng dẫn cos x > cos x > Điều kiện:  Khi (1) ⇔ cos x − cos x + cos 3x − cos 3x = Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 63 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 = (a − ) ≥ ⇒ a − a ≤ 4 1 Do cos x − cos x ≤ cos x − cos x ≤ 4 1 ⇒ cos x − cos x ≤ cos x − cos x ≤ 2 1   cos x − cos x = cos x = ⇔ ⇔ x∈∅ Dấu xảy ⇔  cos x − cos x = cos x =   Vì a − a + Vậy phương trình (1) vơ nghiệm Bài 5: Giải phương trình: sin x + cos x = − sin x Hướng dẫn sin x ≤ sin x , ∀x cos x ≤ cos x , ∀x ⇒ sin x + cos x ≤ , ∀x − sin x ≥ , ∀x sin x + cos x = π Vậy phương trình tương đương:  ĐS x = + 2kπ (k ∈ Z ) 2 − sin x = Bài 6: Giải phương trình: sin x + tan x − x = với ≤ x ≤ π Hướng dẫn Dễ thấy phương trình có nghiệm x = π Đặt f ( x ) = sin x + tan x − x liên tục 0;   2 (cos x − 1)(cos x − cos x − 1)  π ≥ , ∀x ∈ 0;  Có đạo hàm: f ' ( x) = cos x  2 1− 1+ < ≤ cos x ≤ < ⇒ cos x − cos x − < 2  π ⇒ f đơn điệu tăng 0;   2 Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 64 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP Bài 1: Giải phương trình: sin x − cos2 x = 2sin x − Bài 2: Giải phương trình: sin x − cos x = 3sin x − cos x Bài 3: Giải phương trình: cos x + sin x − = x π 17π ) + 16 = 3.sin x cos x + 20 sin ( + ) Bài 4: Giải phương trình: sin(2x + 2 12 Bài 5: Giải phương trình: 3(2.cos x + cos x − 2) + (3 − 2cos x).sin x =0 2cos x + Bài 6: Giải phương trình: 2(cos x + sin x ) = + sin x (1 + cos x ) Bài 7: Giải phương trình: sin x + = sin x + cos x Bài 8: Giải phương trình: 3sin x − cos x + − cos x − sin x = Bài 9: Giải phương trình : sin 2x − ( sin x + cos x − 1)( 2sin x − cos x − 3) = Bài 10: Giải phương trình lượng giác: cos x + cos x + 3sin x − 3sin x = Bài 11: Giải phương trình : ( cos x - sin x ) + cos x ( 2sin x + 1) = π π Bài 12: Giải phương trình sau: cos  − x  − sin  x +  = 4 4   Bài 13: Giải phương trình: ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x − ) + cos2 x = Bài 14: Giải phương trình: cos x.cos x + sin x = cos x Bài 15: Giải phương trình sin x + = 6sin x + cos x Bài 16: Giải phương trình: cos2x + sin x − − sin x cos 2x = sin x − 2cos2 x − Bài 17: Giải phương trình: =0 2cos x − Bài 18: Giải phương trình: sin x − 2(s inx + cosx) = Bài 19: Giải phương trình cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = Bài 20: Giải phương trình: sin x + sin x − = π  Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- sin  x −  -1= 4  Bài 22: Giải phương trình: cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = π   4  Bài 24: Giải phương trình: sin x + cos x − 2sin x = π 2 Bài 23: Giải phương trình cos x + cos3x = + sin  2x + Bài 25: Giải phương trình : sin  x −  = 2sin x − tan x 4  Bài 26: Giải phương trình: sin x + sin x − = Bài 27: Giải phương trình cosx + sinx (1 − cosx ) = + sinx π  Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau: cos  − x  + cos x = cos x − 4  Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 65 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP Bài 1: Giải phương trình: sin x − cos2 x = 2sin x Hng dn Biến đổi phơng trình dạng : 2s inx(cos x 1) + 2sin x = s inx = s inx(sin x + cos x − 1) = ⇔  sin x + cos x − = + Với sinx = ⇔ x = k 2π  x = k 2π + Với sin x + cos x − = ⇔ sin( x + ) = , k ∈Z ⇔  x = π + k 2π  π Vậy phương trình có họ nghiệm x = kπ , x = π + k 2π Bài 2: Giải phương trình: sin x − cos x = 3sin x − cos x Hướng dẫn Phương trình cho tương đương sin x − 3sin x − + 2sin x cos x + cos x = ⇔ ( 2sin x + 1)( sin x + cos x − ) = + sin x + cos x − = : Phương trình vơ nghiệm π   x = − + k 2π (k ∈ ℤ) + sin x + = ⇔   x = 7π + k 2π  Vậy phương trình cho có nghiệm: x = − π + k 2π , x = 7π + k 2π ( k ∈ ℤ) Bài 3: Giải phương trình: cos x + sin x − = Hướng dẫn cos x + sin x − = ⇔ 2(1 − sin x ) + sin x − = ⇔ sin x − sin x + = π    x = + k 2π sin x = ( lo¹i) ⇔ (k ∈ Z) ⇔  x = 5π + k 2π sin x =   x π 17π ) + 16 = 3.sin x cos x + 20 sin ( + ) Bài 4: Giải phương trình: sin(2x + 2 12 Hướng dẫn Biến đổi phương trình cho tương đương với π cos2x − sin 2x + 10cos(x + ) + = Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 66 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π ⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + = π π ⇔ 2cos (x + ) + 5c os(x + ) + = 6 π π Giải cos(x + ) = − cos(x + ) = −2 (loại) 6 π π 5π + Giải cos(x + ) = − nghiệm x = + k 2π x = − + k 2π 2 Bài 5: Giải phương trình: 3(2.cos x + cos x − 2) + (3 − 2cos x).sin x =0 2cos x + Hướng dẫn ĐK: Pt cho tương đương với pt: Vậy pt có họ nghiệm Bài 6: Giải phương trình: 2(cos x + sin x) = + 4sin x(1 + cos x) Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với: cos x + 2sin x = + 4sin x.cos x ⇔ (1 − 2cos x)(2sin x − 1) =   cos x = ⇔ sin x =  π   x = ± + k 2π  π (k ∈Z ) ⇔  x = + kπ  12   x = 5π + kπ 12  Vậy pt có nghiệm là: x = ± π + k 2π ; x = π 12 + kπ ; x = 5π + kπ 12 (k ∈Z ) Bài 7: Giải phương trình: sin x + = sin x + cos x Hướng dẫn (sin x − 6sin x) + (1 − cos x) = ⇔ sin x ( cos x − 3) + sin x = ⇔ 2sin x ( cos x − + sin x ) = Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 67 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x = ⇔ ⇔ x = kπ Vậy nghiệm PT x = kπ , k ∈ Z sin x + cos x = 3(Vn) Bài 8: Giải phương trình: 3sin x − cos x + − cos x − sin x = Hướng dẫn sin x − cos x + + 2sin x + 2sin x − 2sin x cos x = ⇔ (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 7π  x = + k 2π    π − s inx − cos x = −1 sin(x − ) =  x = −π + k 2π   ⇔ ⇔ ⇔  s inx = −1  −1    x = 3π + k 2π s inx =   x = k 2π  ⇔ Bài 9: Giải phương trình : sin 2x − ( sin x + cos x − 1)( 2sin x − cos x − 3) = Hướng dẫn PT ⇔ ( sin x + cos x ) − = ( sin x + cosx − 1)( sin x − cos x − 3) ⇔ ( sin x + cos x ) − 1 ( sin x + cos x ) + 1 = ( sin x + cosx − 1)( sin x − cos x − 3)  x = k2π sin x + cos x = ⇔ ⇔ π  x = + k2π sin x − cos x = 4(VN)   Bài 10: Giải phương trình lượng giác: cos2 x + cos x + 3sin x − 3sin x = Hướng dẫn   3  cos x + cos x + 3sin x − 3sin x = ⇔  cos x + − sin x   =       cos x + ⇔   cos x +  3 = − sin x  sin x + cos x = 2 ⇔ 3  sin x − cos x = =− + sin x 2 π (1) ⇔ tan x = − ⇔ x = − + kπ (1) (2) π  x = + k2π  π π  (2) ⇔ sin  x −  = sin ⇔  6   x = 5π + k2π  Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 68 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy phương trình có hai họ nghiệm x = − π π + kπ hay x = + k2π ( cos x - sin x ) + cos x ( 2sin x + 1) = Bài 11: Giải phương trình : Hướng dẫn ⇔ sin x + cos x = sin x − cos x ⇔ 3 sin x + cos x = sin x − cos x 2 2 ⇔ sin x cos π + cos x sin π = sin x cos π − cos x sin π π π π    x + = x − + k 2π  x = − + k 2π (k ∈ ℤ) ⇔  (k ∈ ℤ) ⇔ sin(2 x + ) = sin( x − ) ⇔   x + π = π − ( x − π ) + k 2π  x = 5π + k 2π   18 3 π π π   − x  − sin  x +  = 4 4   Bài 12: Giải phương trình sau: cos  π Hướng dẫn π π Pt cho cos  − x  − sin  x +  = ⇔ 4 4   π  cos  − x  − 4  π  sin  x +  = 4  ⇔ cos x + sin x − sin x − cos2 x = ⇔ sin x(1 − cos x) + cos x(1 − cos x) = ⇔ (sin x + cos x)(1 − cos x) = cos x + sin x = 1 − cos x = ⇔ π   tan x = −1  x = − + kπ ( k ∈ ℤ) ⇔ ⇔  cos x =  x = ± π + k 2π   π + kπ , x = ± π + k 2π , ( k ∈ ℤ) Bài 13: Giải phương trình: ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x − ) + cos2 x = Vậy phương trình cho có họ nghiệm: x = − Hướng dẫn ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x − ) + cos2 x = ⇔ ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x − ) + − 4sin x ⇔ ( 2sin x + 1)( 3cos x − 3) = ⇔x=− π π 7π + k 2π hay x = k với k ∈ Z Bài 14: Giải phương trình: cos x.cos x + sin x = cos x + k 2π hay x = Hướng dẫn Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 69 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x ⇔ 1- 2sin2x + sinx = ⇔ sinx = sin x = − π π 7π ⇔ x = + k 2π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z ) 2 6 Bài 15: Giải phương trình sin x + = 6sin x + cos x Hướng dẫn sin x + = 6sin x + cos x ⇔ (sin x − 6sin x) + (1 − cos x) = ⇔ sin x ( cos x − 3) + sin x = ⇔ 2sin x ( cos x − + sin x ) = sin x = ⇔ ⇔ x = kπ Vậy nghiệm PT x = kπ , k ∈ Z sin x + cos x = 3(Vn) Bài 16: Giải phương trình: cos2x + sin x − − sin x cos 2x = Hướng dẫn + PT ⇔ cos2 x (1 − 2sin x ) − (1 − 2sin x ) = ⇔ ( cos2 x − 1)(1 − 2sin x ) = + Khi cos2x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z π 5π + Khi s inx = ⇔ x = + k 2π x = + k 2π , k ∈ Z 6 Bài 17: Giải phương trình: sin x − 2cos2 x − =0 2cos x − Hướng dẫn dk : cosx ≠ pt ⇔ sin x − cos x − = ⇔ ⇔ sin(2x- π ) =1⇔ x = Đối chiếu đk , pt có nghiệm : x = π 3 sin x − c os2x=2 + kπ 4π + m.2π ( m ∈ Z ) Bài 18: Giải phương trình: sin x − 2(s inx + cosx) = Hướng dẫn Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ ) ⇒ sin2x = t - ⇔ t − 2t − = ⇔ t = − (t/m) π + Giải phương trình sinx + cosx = − … ⇔ cos( x − ) = −1 + Lấy nghiệm … 5π Kết luận : x = + k 2π ( k ∈ Z ) Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 70 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 19: Giải phương trình cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = Hướng dẫn cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = ⇔ (sin x − cos x )(cos x − sin x + 1) = sin x − cos x = ⇔ cos x − sin x + =  π  π  x = + kπ  sin  x −  =    ⇔ ⇔  π   x = π + k 2π , x = π + k 2π  sin  x −  =  4   Vậy phương trình cho có nghiệm: x = π + kπ , x = π + k 2π , x = π + k 2π ( k ∈ Z ) Bài 20: Giải phương trình: sin x + sin x − = Hướng dẫn sin x + sin x − = ⇔ sin x − cos x = ⇔ π  x = + kπ  π π  ⇔ sin  x −  = sin ⇔  6   x = π + kπ  1 sin x − cos x = 2 (k ∈ ℤ) π   Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- sin  x −  -1=  Hướng dẫn PT cho tương đương: sin 2x + cos x − (sin x − cos x) −1 = ⇔ 2cos x(sin x +1) − sin x −1 = ⇔ ( sin x + 1)( cos x − 1) = ⇔ sin x = −1 cos x = + sin x = −1 ⇔ x = − + cosx = π 2 + k 2π π ⇔ x = ± + 2k π π + k 2π ; x = ± π + kπ ( k ∈ Z ) Bài 22: Giải phương trình: cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = Vậy, nghiệm phương trình cho là: x = − Hướng dẫn PT cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = ⇔ (sin x − cos x )(cos x − sin x + 1) =  π  π   sin  x −  =  x = + kπ sin x − cos x = ⇔ cos x − sin x + = 4  ⇔ ⇔  π   x = π + k 2π , x = π + k 2π  sin  x −  = Vậy phơng trình đà cho cã nghiÖm: x = π + kπ , x = π + k 2π , x = π + k 2π ( k ∈ Z ) Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 71 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π  Bài 23: Giải phương trình cos x + cos3x = + sin  2x +  4  Hướng dẫn π  cos x + cos3x = + sin  2x +  4  ⇔ 2cos x cos 2x = + sin 2x + cos2x ⇔ 2cos x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = ⇔ cos x ( cos x + s inx )(1 + s inx − cosx ) = π  = + kπ x    cos x =  x = − π + kπ  ⇔  cos x + sinx = ⇔ (k ∈ ℤ)  x = k2π 1 + s inx − cosx =   3π + k2π x =  π  x = + kπ   π Vậy, phương trình có nghiệm:  x = − + kπ ( k ∈ ℤ )   x = k2π   Bài 24: Giải phương trình: sin x + cos 3x − 2sin x = Hướng dẫn sin x + 3cos3x − 2sin x = ⇔ π  sin x + cos3x = sin x ⇔ sin  3x +  = sin x 2 3  Suy phương trình có nghiệm: x = − π + kπ ; x =   Bài 25: Giải phương trình : sin  x − Hướng dẫn Đ/K cos x ≠ ⇔ x ≠ π π +k π (với k ∈ ℤ ) π  = 2sin x − tan x 4 + lπ ( l ∈ Z ) (*)   Phương trình ⇔ − cos  x − π 2  = 2sin x − tan x ⇔ − sin x = 2sin x − tan x 2 cosx + sinx ⇔ 2sin x.cosx + sin x − tan x − = ⇔ 2sin x ( cosx + sinx ) − =0 cos x cos x + sin x =  tan x = −1 ⇔ ( cos x + sin x )( sin x − 1) = ⇔  ⇔ sin x − = sin x = Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 72 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π   x = − + kπ π π ⇔ ⇔ x = + k , k ∈ Z ( Thoả mãn điều kiện (*) )  x = π + kπ  Bài 26: Giải phương trình: sin x + sin x − = Hướng dẫn sin x + sin x − = ⇔ sin x − cos x = ⇔ π  x = + kπ  π π  ⇔ sin  x −  = sin ⇔  6   x = π + kπ  1 sin x − cos x = 2 (k ∈ ℤ) Bài 27: Giải phương trình cosx + sinx (1 − cosx ) = + sinx Hướng dẫn PT ⇔ cosx + sinx (1 + cos x − 2cosx ) − − sinx = ⇔ (cosx − 2)(1 + sin x) = (*) Do cosx − ≠ nên (*) ⇔ + sin2 x = ⇔ sin2 x = −1 ⇔ x = − π + kπ π  − x  + cos x = cos x − 4  Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau: cos  Hướng dẫn Phương trình ban đầu tương đương: π  + cos  − x  + cos x = cos x − 2  ⇔ sin x + cos x = cos x − sin x + cos x = cos x − 2 π  ⇔ cos  x −  = cos x 6  ⇔ π   x = 12 + kπ ⇔  x = π + kπ  36 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 73 CÁC SÁCH Đà PHÁT HÀNH (1) Các chuyên đề đại số (Ôn thi vào lớp 10) (2) Tinh hoa hình học (Ơn thi vào lớp 10) (3) Luyện đề mơn tốn (Ơn thi vào lớp 10) (4) Tinh hoa hình học (Ơn thi THPT quốc gia) (5) Luyện đề mơn tốn (Ơn thi THPT quốc gia) ĐỂ ĐẶT MUA SÁCH, CÁC EM LIÊN HỆ VỚI THẦY Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Gmail: ng.huubien@gmail.com Điện thoại: 01234.170.323