Đứng trước những bài phương trình, hệ phương trình ta có rất nhiều hướng xử lí như extit{nâng lũy thừa,đặt ẩn phụ, dùng hằng đăng thức,bất đẳng thức,..}. Tuy vậy không phải lúc nào ta cũng áp đặt một trong những phương pháp nêu trên để giải những bài phương trình,hệ phương trình đó.Có những hệ phương trình 3 ẩn mà hai phương trình,hoặc những hệ phương trình có số mũ rất lớn thì việc sử dụng các phương pháp thông thường sẽ đưa ta đến ngõ cụt.Nhưng thật may mắn thay một số bài phương trình,hệ phương trình lại có những điều kiện bó hẹp của biến giúp ta liên tưởng đến một số công thức lượng giác,từ đó mà ta tìm được phép đặt lượng giác phù hợp.Chính vì vậy tôi viết lên chuyên đề Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa để giúp các bạn yêu toán lại có thêm trong tay mình một phương pháp khá hay để giải quyết một số bài toán về phương trình, hệ phương trình. Khả năng hạn hẹp nên chuyên đề của tôi còn nhiều thiếu sót , rất mong ban đọc đóng góp và cho tôi ý kiến.Mọi thắc mắc xin liên hệ qua hòm thư tranquan208gmail.com.Rất cảm ơn các bạn đã quan tâm đến chuyên đề này
9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề tốn THPT - Diễn đàn Toán học Diễn đà n T oá n h ọc → T oá n T r u n g h ọc Ph ổ t h ôn g v T h i Đại h ọc → Ch u y ên đề t ố n T HPT Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa Bắt đầu GSXoan, 8-1 0-2 01 - :4 Đã g ửi -1 -2 - :4 GSXoan Giải phương trình, hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa Trần Văn Quân-HS lớp 11A1-Trường THPT Lê Lợi,Tân Kỳ,Nghệ An Lời mở đầu: Đứng trước phương trình, hệ phương trình ta có nhiều hướng xử lí \textit{nâng lũy thừa,đặt ẩn phụ, dùng đăng thức,bất đẳng thức, } Tuy lúc ta áp đặt phương pháp nêu để giải phương trình,hệ phương trình đó.Có hệ phương trình ẩn mà hai phương trình,hoặc hệ phương trình có số mũ lớn việc sử dụng phương pháp thơng thường đưa ta đến ngõ cụt.Nhưng thật may mắn thay số phương trình,hệ phương trình lại có điều kiện bó hẹp biến giúp ta liên tưởng đến số cơng thức lượng giác,từ mà ta tìm phép đặt lượng giác phù hợp.Chính tơi viết lên chun đề "Giải phương trình, hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa" để giúp bạn u tốn lại có thêm tay một phương pháp hay để giải số toán phương trình, hệ phương trình Khả hạn hẹp nên chun đề tơi cịn nhiều thiếu sót , mong ban đọc đóng góp cho tơi ý kiến.Mọi thắc mắc xin liên hệ qua hòm thư tranquan208@gmail.com.Rất cảm ơn bạn quan tâm đến chuyên đề !!! I.Một số phép đặt lượng giác 1.Nếu x ∈ [−a; a], a > đặt x = a cos α, α ∈ [0; π] −π x = a sin β, β ∈ [ π ; ] 2.Nếu x ∈ R thì đặt −π x = tan t, t ∈ ( 3.Nếu x + y = a(a > 0) π ; ) đặt x = √a sin t, y = √a cos t, t ∈ [0; 2π] *Chú ý: Một số đẳng thức lượng giác : sin x + cos x = 1, ∀x ∈ R sin 2x = sin x cos x cos 2x = cos Với α; β; γ 2 x − sin π ≠ x = cos 2 x − = − sin x , ta có: + kπ, k ∈ Z tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ ⇔ α + β + γ = mπ(m ∈ Z) https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ 1/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề tốn THPT - Diễn đàn Toán học Với α; β; γ π ≠ , ta có: + kπ, ∈ Z π tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = ⇔ α + β + γ = + nπ(n ∈ Z) II.Ví dụ V í dụ : Giải phương trình:4x − √1 − x − 3x = Giải: Điều kiện: − x ⩾ ⇔ −1 ⩽ x ⩽ Với điều kiện ta đặt x = cos t, t ∈ [o; π](∗) ,Phương trình cho trở thành: cos t − √1 − cos t − cos t = ⇔ cos 3t − sin t = π ⇔ cos 3t = cos( − t) (**) Giải phương trình(**) kết hợp (*) ⇒ 5π π t = ;t = Vậy phương trình có nghiệm x = cos V π x = cos 5π □ í dụ :Giải phương trình : x = √2 + √2 − √2 + x Giải: Điều kiện < x ⩽ Với điều kiện ta đặt x = cos t, t ∈ ( π π ; ) (*) Ta phương trình cos t = √2 + √2 − √2 + cos t t ⇔ cos t = √2 + √2 − cos ⇔ cos t = √2 + sin t t ⇔ cos t = √2(sin t + cos π ⇔ sin( t − t) = sin( π + ) (**) Giải (**) kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình x = cos −2π cos 2π x= □ Nhận xét: Qua ví dụ ta dễ dàng tìm điều kiên biến từ suy cách đặt lượng giác phù hợp.Lượng giác có một ưu điểm khử cơng thức hạ bậc, điều lợi lớn giải phương trình vơ tỷ.Bài tập tương tự: Giải phương trình: 4x + 2√ − x − 3x − = Ví dụ sau ta xét đến lợi ưu điểm khử Đề thi Vơ địch Quốc gia 1984 V í dụ Giải phương trình( Vơ địch Quốc gia 1984) √1 + √1 − x 3 ( √(1 + x ) − √(1 − x) ) = + √1 − x Giải: Điều kiện x ∈ [−1; 1] Với điều kiện ta đặt x = cos α, α ∈ [0; π] Ta phương trình: √1 + √1 − cos α ( √(1 + cos α) 3 − √(1 − cos α) ) = + √1 − cos https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ α 2/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề tốn THPT - Diễn đàn Toán học ⇔ √1 + sin α ⎛ + cos α √8( ) ⎝ α α ⇔ 2√2 (sin + cos ⇔ 2√2 (cos = + sin α ⎠ ) (1 + sin α) = + sin α 2 − sin ⎞ ) α α − cos α − sin α − √8( α ) (cos ) (2 + sin α) = + sin α ⇔ √2 cos α(2 + sin α) = + sin α 1 ⇔ cos α = ⇒ x = √2 √2 Vậy phương trình có nghiệm x = □ √2 V í dụ Giải hệ phương trình: x√1 − y 2 + y √1 − x = { (1 − x)(1 + y) = Giải: Điều kiện x, y ∈ [−1; 1] Với điều kiện đặt x = cos α; y = cos β; α, β ∈ [0; π] Ta có hệ tương đương: cos α sin β + cos β sin α = { (1 − cos α)(1 + cos β) = α + β = ⇔ { π (1) cos β − cos α − cos α cos β − = 0(2) Giải (2): Đặt cos β − cos α ⇒ ⇔ ⇔ t = cos 2 t β + cos α − cos α cos β π = cos ( − α) + cos α − cos β cos α 2 t = − cos β cos α → = t(t ⩽ √2) t − − cos β cos α = 2 Được phương trình: t t thay vào (2) − + − = ⇔ t + 2t − = ⇒ t = Với t=1 ta có : cos β − cos α ( t ≤ √2) = π ⇔ sin(α − π ) = sin 4 π x = → α = → β = ⇒ { V nghiệm hệ □ y = í dụ Giải hệ phương trình: ⎧ ⎪ 2x + x y = y ⎨ 2y + y z = z ⎩ ⎪ 2z + z x = x Giải: Nhận thấy hệ khơng có nghiệm (±1, y, z); (x, ±1, z); (x, y, ±1) Với x, y, z ≠ ±1, viết lại hệ dạng: ⎧ y = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ z = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ x = 2x 1−x 2y 1−y 2z 1−z Với điều kiện đặt x = tan α (1), α −π ∈ ( π ; ) , với tan α, tan 2α, tan 4α https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ ≠ ±1 3/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học Với x = tan α tan α ⇒ y = = tan 2α − tan Với y α tan 2α = tan 2α ⇒ z = − tan = tan 4α 2α tan 4α Với z = tan 4α ⇒ x = − tan = tan 8α (2) 4α π Từ (1) (2) → tan α = tan 8α ⇔ α = k ,k ∈ Z Vì α −π π ∈ ( ; −π ) ⇒ 2 mà k ∈ Z → π π < k < 2 k = {0; ±1; ±2; ±3} Nên: x = tan k π 2π ; y = tan k 4π ; z = tan k 7 với k = {0; ±1; ±2; ±3} □ Nhận xét: Việc biến đổi hợp lí đưa ta liên tưởng cơng thức lược giác thường gặp.Ví dụ sử dụng công thức nhân hàm tan α để đưa biến y, z, x lên hàm tan 2α, tan 4α, tan 8α tan t Ghi nhớ: tan 2t = − tan t Ví dụ ta lại sử dụng \textit{công thức nhân 3} hàm tan V í dụ Giải hệ phương trình: ⎧ x ⎪ ⎨ y ⎩ ⎪ z 3 − 3x = y(3x − 3y = z(3y − 3z = x(3z 2 − 1) − 1) − 1) Giải:Nhận thấy hệ khơng có nghiệm x = ± ;y = ± √3 ;z = ± √3 √3 x y = Với x, y, z ≠ ± ta có hệ tương đương: √3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 3x y z = 3y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = ⎪ z 3z Đặt x = tan t, t ∈ ( −π π ; ) − 3x − − 3y − − 3z − (1) với tan t, tan 3t, tan 9t ≠ ± √3 Khi đó: tan t − tan t y = tan tan = tan 3t t − 3t − tan 3t z = = tan 9t tan tan 3t − 9t − tan 9t x = tan = tan 27t \: (2) 9t − Từ (1) (2) ta được: tan t = tan 27t ⇔ π t = k ,k ∈ Z 26 Do t ∈ ( −π π ; −26 ) → 26 < k < 2 mà k ∈ Z nên k = 0; ±1; ±2; ; ±12 (*) https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ 4/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề tốn THPT - Diễn đàn Tốn học Vậy hệ có 25 nghiệm (x; y; z) 3π π = (tan k ; tan k 26 9π ; tan k 26 ) với k thỏa mãn (*) □ 26 Nhận xét: ∙ Với tập phải sử dụng công thức nhân hàm tan tan Ghi nhớ: α − tan α tan 3α = tan ∙ α − Khi khai triển hệ ta hệ khó "nhận" dạng hơn: ⎧ ⎪ x ⎨ y ⎩ ⎪ z − 3x y − 3x + y = 3 − 3y z − 3y + z = − 3z x − 3z + x = ⎧ f (x) = g(y) ⎪ → Chúng ta đưa dạng : ⎨ f (y) ⎩ ⎪ thử xem hàm f , g có liên quan đến = g(z) f (z) = g(x) cơng thức lượng giác khơng tìm phép đặt lượng giác phù hợp.Thường ta thường đặt x = tan α, α −π ∈ ( π ; ) khơng có điều kiện ràng buộc biến.Một số trường hợp phải tìm điều kiện biến để sử dụng phương pháp,ta xét chúng ví dụ sau Bài tập tương tự:Giải hệ phương trình ⎧ ⎪ zy ⎨ x ⎩ ⎪ z ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ + 2y − z = − 3x y − 3x + y = − 3z x − 3z + x = x − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 y − z − x y z = 2y = 2z = 2x Công thức nhân có ta xét ví dụ cơng thức nhân Bài v iết chỉnh sửa nội dung GSXoan: -1 0-2 01 - :02 Đã g ửi -1 -2 - :4 GSXoan V í dụ Giải hệ phương trình: x { 16x − 20x + 4y + 5x + 512y = − 160y + 10y + √2 = Giải: Rõ ràng từ phương trình tứ hệ ta thấy xuất A đến viện đặt A Với A = sin t, B = cos t = x, B = 2y sin { 16 sin t − 20 sin + B = nên ta nghĩ chắn tồn t ∈ (0; 2π) nên ta đặt x = sin t, y 2 t + cos t + sin t + 16 cos = cos t, t ∈ (0; 2π) , ta hệ phương trình: t = t − 20 cos t + cos t = −√2(∗) Ta giải phương trình (*): Nhận thấy hệ số bậc hàm sin, cos nhau.Điều giúp ta liên tưởng đến công thức lượng giác −3π π (∗) ⇔ sin 5t + cos 5t = −√2 ⇔ sin 5t + = −1 ⇔ t = + k2π, k ∈ Z Vì t ∈ (0; 2π) mà k ∈ Z nên k = 1; 2; 3; 4; ⇒ t nhận giá trị https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ 5/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học t = 13π π ; 21π ; 20 29π 27π ; ; 20 20 20 Kết luận:Nghiệm hệ phương trình √2 ( √2 ; 13π ) ; (sin ; 20 13π cos 20 37π (sin ; 21π ) ; (sin ; 20 20 21π cos 29π ) ; (sin 20 ; 20 29π cos ); 20 37π cos ) 20 □ Nhận xét: ∙ Thoạt tiên, giải hệ ta thấy bậc phương trình thứ lớn, lên tận bậc nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hằng đẳng thức, phương pháp đánh giá , phương → pháp hàm, ∙ x, y đứng độc lập hệ số hạng tử bậc nên ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hàm để giải xuất √2 làm cơng việc trở nên khó khăn ∙ Để ý kĩ chút xuất phương trình thứ A 2 + B = √2 làm cho ta liên tưởng đến phép đặt lượng giác quen thuộc nêu Đã liên tưởng đến phép đặt lượng giác công việc cịn lại rắc rối Phương trình thứ xuất loại bậc 5,3,1 mà công thức nhân ẩn chứa chúng Ghi nhớ: \displaystyle{\displaystyle \fbox{} \begin{matrix} \cos \alpha = 16 \cos^5 \alpha -20\cos^3 \alpha +5 \cos \alpha & \\ \sin 5\alpha =16 \sin^5 \alpha -20 \sin^3 \alpha +5 \sin \alpha & \end{matrix} \displaystyle{}} Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: (2x + 3y) { 512x V − 160x = + 12xy + 12x + 3888y − 540y + 18y = í dụ Giải hệ phương trình: ⎧ ⎨ ⎩ (x + x ) = (y + y ) = (z + z ) xy + yz + zx = (1) (2) Giải: Điều kiện xyz ≠ từ xy + yz + zx = suy x, y, z phải dấu Nhận thấy (x; y; z) nghiệm hệ (−x; −y; −z) nghiệm hệ Do ta cần tìm nghiệm dương hệ → nghiệm lại Xét trường hợp x, y, z > 0 Vì có xuất xy + yz + zx = nên ta đặt π x = tan α; y = tan β; z = tan γ (0 < α, β, γ < ) Từ phương trình (2): tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α ⇔ = tan β(tan α + tan γ) = − tan γ tan α − tan γ tan α ⇔ tan β = = cot(α + γ) tan α + tan γ π ⇔ α + β + γ = 2 Từ phương trình (1): 3 ⇔ α tan tan α = sin 2β sin 2γ β + = 4 = sin 2α tan tan γ + = tan β tan γ https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ 6/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học ⎧ ⎪ ⎪ = sin 2α = sin 2β sin 2γ Ta có hệ tương đương: ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ π < α, β, γ < π ;α + β + γ = 2 Từ hệ suy 2α; 2β; 2γ góc tam giác có cạnh tương ứng 3;4;5 mà 3;4;5 PY-TA-GO Theo định lý sin tam giác → tan α tan 2α = ⇒ tan α = 1 ; = = y −1 −1 ; 1) ; ( ; V ∘ Vậy hệ có nghiệm ( ⇒ z = tan 45 ⇒ tan β = − tan β ∘ = ⇒ γ = 45 = x α tan β tan 2β = ∘ = − tan 2γ = 90 □ ; −1) í dụ Giải hệ phương trình: x + y + z = { (1) y x x+yz + y+zx z + = z+xy (2) Giải: Nhận thấy x, y, z = nghiệm hệ Viết lại phương trình (1) dạng √ Đặt √ xy A xz = tan z ,√ A ta tan y B yz yx √ zy zx + √ z y √ = x C ; A, B, C ∈ (0, π) A + tan x = tan x C tan + √ y C + tan z ,√ yz xz √ B = tan B tan xy tan = 2 Tương tự ví dụ dễ dàng suy A + B + C = π Phương trình (2): y x + x + yz ⇔ cos A + cos 2 z + xy B + cos + tan + tan 2 B + + tan C = = 2 ⇔ = ⇔ cos A + cos B + cos C = A ⇔ − sin B + C A + sin = 4(cos = B − C A sin { sin Từ suy x = y = cos B−C 2 (*) Mặt khác cos − 1) ⩾ Nên (3) ⇔ B − C 2 = cos B − C cos A ⇔ sin + cos ′ + A C + cos A + cos B + cos C △ = y + zx z + B − C − ⩽ B−C π ⇔ A = B = C = = = z = □ V í dụ 10 :Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z − 6(x + y 4 + z ) + 10(x + y 2 3 + z ) − 2(x y + y z + z x) + 6(xy + yz + zx) = Giải: Phương trình tương đương với https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ 7/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề toán THPT - Diễn đàn Toán học ⎧ ⎪ y = x (x − 3x − y) + (y − 3y − z) + (z − 3z − x) = ⇔ ⎨ x = z ⎩ ⎪ +) Nếu x > y (I ) = x − 3x = x(x − 3) > ⇒ z = y(y z = y 3 − 3x − 3z (I ) − 3y − 3) > Ta cộng vế hệ ta được: = x + y + z − 4x − 4y − 4z = x(x − 4) + y(y − 4) + z(z +) Tương tự với trường hợp x < hệ (I) khơng có nghiệm.Vậy |x| − 4) > (Vô lý) ⩽ Với điều kiện ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] ta đươc hệ: ⎧ ⎪ y = 2(4 cos ⎨ x = 2(4 cos ⎩ ⎪ z = 2(4 cos 3 t − cos t) = cos 3t 3t − cos 3t) = cos 9t 9t − cos 9t) = cos 27t Từ hệ suy cos t = cos 27t ⇔ π t = k ,k ∈ Z 13 mà t ∈ [0; π] nên k = 0; 1; 2; ; 13 l t = l π ,l ∈ Z 14 = 0; 1; 2; ; 14 Vậy số (x, y, z) cần tìm (2 cos t; cos 3t; cos 9t) với π t = k , k = 0; 1; 2; ; 13 13 t = l π , l = 0; 1; 2; ; 14 14 Có 27 số thỏa mãn □ Nhận xét: Khơng giống ví dụ trước,điều kiện biến thường thấy rõ từ điều kiện xác định phương trình.Ở ví dụ này,chúng ta phải tìm điều kiện chặt biến để từ tìm phép đặt lượng giác Bài tập tương tự: Tìm tất giá trị tổng S ;biết x, y, z nghiệm = x + y + z hệ phương trình: x = y(4 − y) ⎧ ⎪ ⎨ y = z(4 − z) ⎩ ⎪ z = x(4 − x) III.Bài tập tự luyện Giải phương trình hệ phương trình sau 2 − + 2x√1 − x √1 − x = 2x 2 2x + (4x − 1) √1 − x x − = 2x + √1 − x = 4x √1 − x 4 8x (2x x − 1)(8x + y + z − 8x + 1) = 1, x ∈ (0; 1) = { 1+√3 2xy + yz + zx = x + y + z = xyz { x(y − 1)(z ⎧ (1 + x ⎪ ⎨ (1 + y ⎩ ⎪ (1 + z 2 − 1) + y(x 2 2 + x y + y) + y z + z) + z x + x) − 1)(z = 8(x = 8(y = 8(z 2 2 − 1) + z(x − 1)(y − 1) = + x y) + y z) + z x) x + y + z = ⎧ ⎨ ⎩√ xy z+xy + √ yz x+yz √ zx y+zx < x, y, z < ⎧ ⎪ ⎪ xy + yz + zx = ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 y x 1−x + 1−y + z 1−z = 3√ https://diendantoanhoc.org/topic/107702-giải-phương-trình-hệ-phương-trình-bằng-phương-pháp-lượng-giác-hóa/ 8/14 ... https://diendantoanhoc.org/topic/107702 -giải- phương- trình- hệ -phương- trình- bằng -phương- pháp- lượng- giác- hóa/ α 2/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học... https://diendantoanhoc.org/topic/107702 -giải- phương- trình- hệ -phương- trình- bằng -phương- pháp- lượng- giác- hóa/ ≠ ±1 3/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề toán THPT - Diễn đàn Toán học... https://diendantoanhoc.org/topic/107702 -giải- phương- trình- hệ -phương- trình- bằng -phương- pháp- lượng- giác- hóa/ 6/14 9/6/2021 Giải phương trình hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa - Chun đề toán THPT - Diễn đàn Toán học