Đề tài Hoạt động trải nghiệm: Ứng dụng của tích phân trong thực tiễn

Đề tài Hoạt động trải nghiệm: Ứng dụng của tích phân trong thực tiễn có nội dung trình bày về các ứng dụng tích phân trong tính quãng đường, vận tốc, gia tốc; ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay,... Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN HỌC ĐỀ TÀI HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN Người hướng dẫn Người thực TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC PHAN HỮU HIỆU MSSV: 19S1011009 Huế, 6-2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN ĐỀ TÀI HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM Người hướng dẫn TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Huế, 6-2021 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI GIỚI THIỆU Chương NỘI DUNG 1.1 1.2 Tóm tắt lý thuyết 1.1.1 Khái niệm tích phân 1.1.2 Tính chất tích phân Một số ứng dụng tích phân thực tiễn 1.2.1 1.3 Ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc, gia tốc chuyển động 1.2.2 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 1.2.3 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay 1.2.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể Một số toán ứng dụng thực tiễn 10 1.3.1 Bài tốn ứng dụng tích phân tính qng đường, vận tốc, gia tốc chuyển động 10 1.3.2 Bài tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 12 1.3.3 Bài tốn ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay 14 1.3.4 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích số vật thể 16 Chương KHẢO SÁT SỰ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH, SINH VIÊN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN 19 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI CẢM ƠN Trong trình tìm hiểu thực đề tài: “Ứng dụng tích phân thực tiễn” với cố gắng, nỗ lực thân, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo TS Nguyễn Đăng Minh Phúc, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình thực đề tài, đồng thời nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Tốn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đăng Minh Phúc giúp đỡ hướng dẫn tận tình để tơi hồn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành đề tài Do thời gian lực thân hạn chế Hơn lần làm quen với việc tiến hành tìm hiểu đề tài nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý q thầy giáo, giáo bạn Xin chân thành cám ơn! Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021 Tác giả LỜI GIỚI THIỆU Giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm tích phân Phần lớn người học lung túng gặp khó khăn học giải tích nói chung tích phân, tốn thực tế cần dùng đến tích phân nói riêng Tích phân có nhiều ứng thực tiễn Bên cạnh đó, đề thi THPT năm ln xuất tốn liên quan đến tích phân Tuy nhiên, chương trình sách giáo khoa Toán 12 thể tính tốn khơ khan, học sinh biết tính tốn cách máy móc mà khơng thấy ứng dụng thực tế Với mong muốn giúp cho thân tơi độc giả thấy tốn tích phân gần gũi với sống xung quanh, công cụ đắc lực giúp giải vấn đề, tình thực tế Từ tơi chọn đề tài: "Ứng dụng tích phân thực tiễn" Nội dung đề tài gồm phần: Phần Tóm tắt lí thuyết Trong phần tơi trình bày kiến thức tích phân ứng dụng tích phân Phần Một số tốn ứng dụng tích phân thực tiễn Phần Khảo sát hiểu biết học sinh, sinh viên ứng dụng tích phân thực tiễn Trong phần tiến hành khảo sát 40 sinh viên ứng dụng tích phân thực tiễn CHƯƠNG NỘI DUNG 1.1 Tóm tắt lý thuyết 1.1.1 Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong Khái niệm tích phân bắt nguồn từ tốn thực tế Chẳng hạn, tốn tính diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong Khái niệm hình thang cong giúp ta giải tốn tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường cong khép kín (vì tổng diện tích số hình thang cong dạng hay dạng khác), cách chuyển từ toán phức tạp toán đơn giản Định nghĩa tích phân Cho f (x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F (x) nguyên hàm f (x) đoạn [a; b] Hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân b xác định đoạn [a; b]) hàm số f (x) kí hiệu là: f (x)dx a 1.1.2 Tính chất tích phân Cho f (x) hàm số liên tục đoạn [a; b], k ∈ R, c ∈ (a, b) b a f (x)dx = − a f (x)dx b b c f (x)dx = a b f (x)dx + a c b b k.f (x)dx = k a f (x)dx a b b [f (x) ± g(x)]dx = a f (x)dx b f (x)dx ± a g(x)dx a 1.2 Một số ứng dụng tích phân thực tiễn 1.2.1 Ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc, gia tốc chuyển động Vật chuyển động theo phương trình quãng đường thời điểm t s(t) Phương trình vận tốc tức thời vật thời điểm t v(t) v(t) = s (t) Gia tốc tức thời vật thời điểm t: a(t) = v (t) = s (t) Khi ta rút số kết sau: Vận tốc vật thời điểm t = b, tính theo vận tốc thời điểm t = a là: b v(b) = [v(b) − v(a)] + v(a) = a(t)dt + v(a) a Quãng đường từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là: b L = s(b) − s(a) = v(t)dt a 1.2.2 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b], trục hoành y = hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) tính cơng thức: b |f (x)| dx S= a Tổng qt hơn, diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] hai đường thằng x = a, x = b (a < b) tính cơng thức: b |f (x) − g(x)| dx S= a 1.2.3 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay Thể tích V khối trịn xoay  tạo thành quay hình phẳng (H)  y = f (x), y = giới hạn đồ thị hàm số: quanh trục hoành  x = a, x = b(a < b) 17 Do diện tích thiết diện là: S (x) = 21 P N.M N = 225 − x2 Vậy thể tích vật thể là: 15 15 V = ∫ S (x) dx == ∫ −15 −15 225 − x2 dx = 2250cm3 Bài toán Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO = 6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H) sợi dây C1, C2, C3, C4, C5, C6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P ) vng góc với SO lục giác (P ) qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H) 18 Lời giải Chọn trục tọa độ Oy trùng với OS Ox trùng với OA1 Phương trình đường cong Parabol C1 y = ax2 + bx + c qua điểm (0; 6), (3; 0) , (1; 3)   c=6   Do đó: 9a + 3b + c = ⇔ a = 21 , b = − 72 , c = ⇒ y = 12 x2 − 27 x+6     a+b+c=3 Khi cắt (H) mặt phẳng vng góc với trục Oy điểm có tung độ y (0 ≤ y ≤ 6) ta thiết diện hình lục giác có độ dài cạnh x xác định y = 21 x2 − 27 x + Do đó: x = √ 7± 1+8y với x = √ 7− 1+8y 2 √ Do diện tích thiết diện S = x Và thể tích (H) V = ∫ S (y) dy = √ √ 3 7− 1+8y √ √ 3 7− 1+8y ∫ dy = = √ 135 m3 Nhận xét Đối với toán ta phải biết đến cơng thức tính diện tích hình lục giác cạnh a 6√lần diện tích hình tam giác a2 cạnh a có cơng thức là: S = 19 CHƯƠNG KHẢO SÁT SỰ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH, SINH VIÊN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN Nhóm chúng tơi thực khảo sát đối tượng sinh viên trường thuộc Đại học Huế Thơng qua hình thức phiếu khảo sát có nội dung sau: 20 21 22 Chúng tiến hành khảo sát 40 sinh viên thu kết sau đây: 23 24 25 26 27 28 29 Phân tích kết quả: Từ bảng thống kê kết khảo sát biểu đồ, rút số kết luận rằng: Đa số sinh viên khảo sát thuộc khối ngành khoa học tự nhiên Đa số cho toán học thú vị có nhiều ứng dụng sống nhiên cịn khó Tất bạn sinh viên biết đến tích phân phần lớn cịn nhớ đến số phương pháp tính tích phân ứng dụng thực tiễn học trường trung học phổ thông Tuy nhiên qua kết nhận thấy toán, mức độ áp dụng tích phân vào thực tiễn cịn thấp Đặc biệt ứng dụng việc tính diện tích, thể tích Sau khảo sát, đa số bạn muốn tìm hiểu thêm số ứng dụng tích phân thực tiễn Đây mục đích đề tài 30 KẾT LUẬN Đề tài trình bày đạt số kết sau: Trình bày nội dung kiến thức tích phân ứng dụng tích phân thực tiễn Tổng hợp, sưu tầm số tốn ứng dụng tích phân thực tiễn Thực khảo sát nắm tương đối thực trạng hiểu biết sinh viên ứng dụng tích phân thực tiễn 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất (2006), Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Thu Nga - Phạm Thu Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất (2006), Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Đặng Thành Nam (Biên soạn) (2020) - Bài tập ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể [4] Sở Giáo dục Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh - Trường THCS THPT Hoa Sen (2020-2021), Ứng dụng tích phân tốn thực tế