CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC có CÁCH GIẢI đặc BIỆT

CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT GV Nguyễn Thị Thanh Hương Chúng ta biết có nhiều phương pháp để giải phương trình lượng giác, phương pháp hay dùng biến đổi để đưa dạng tích Tuy nhiên có số phương trình lượng giác đặc biệt thể tính khơng mẫu mực dạng chúng Cũng có phương trình lượng giác ta thấy dạng bình thường có cách giải lại khơng mẫu mực Vì mục đích chuyên đề nhằm giới thiệu đến quý thầy cô em số phương pháp giải phương trình lượng giác đặc biệt I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG CỦA CÁC PHẦN TỬ KHÔNG ÂM Nội dung phương pháp: �A1  �A  � A1  A2   An  ۳ �  Ai � � �An  0, i  1, 2, n  Ví dụ 1: Giải phương trình cos x  cos x  x sin x  x   Giải: cos x  4cos x  x sin x  x   � x  x sin x   cos x  cos x   � ( x  x sin x  sin x)  (2 cos x  cos x  2)  � ( x  sin x)  2(cos x  1)  sin x  x �x  sin x  � �� �� � x0 cos x   cos x  � � Ví dụ 2: Giải phương trình 8cos x cos 2 x   cos x   Giải: 8cos x cos 2 x   cos x   � cos x(1  cos x)   cos x   � (4 cos x  cos x  1)   cos x  � (2 cos x  1)   cos x  � cos x   � cos x   � �� �� �  cos 3x  � cos x  � Trang Ví dụ Giải phương trình sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x  4 cos 2 x  sin 2 x Giải: sin x  cos x   sin 2 x; 4cos 2 x  sin 2 x   3sin 2 x Do phương trình cho  sin 2 x sin10 x  cos10 x sin x  cos x sin10 x  cos10 x  �   2 4 cos x  sin x 4  3sin x 10 10 10 10 � sin x  cos x  � (sin x  sin x)  (cos x  cos x)  sin x  sin10 x  sin x(1  sin x) �0 � Ta có � cos x  cos10 x  cos x(1  cos8 x) �0 � � � sin x  sin10 x  sin x(1  sin x)  sin x  �sin x  �1 �  � � � � x  k Pt � � � cos x  �cos x  �1 cos x  cos10 x  cos x(1  cos8 x)  � � � II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN � � 32cos �x  � sin x  � 4� Ví dụ Giải phương trình Giải: Đặt t  x   3 � x  6t  Phương trình trở thành 3  cos 2t �  cos 2t � � � 3 � � 32 � � sin �6t  � � 32 � � cos 6t  � � � � � � 3 � 4(1  3cos 2t  3cos 2t  cos 2t )  (4 cos 2t  3cos 2t )  � cos 2t  5cos 2t   Ví dụ Giải phương trình cos x  cos 4x Giải cos x  cos Đặt t  4x  cos x 4x 1� 2x � 4x �  cos � �  cos � cos 3 2� � 2x , phương trình trở thành: (1  cos 3t )  cos 2t (dùng công thức nhân đôi, nhân ba khai triển để giải tiếp) Trang III PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ Giải phương trình sin x    cos x  Giải: Đặt a  sin x  2; b   cos x � a � a  b  � � �� Pt � � 2 a  b  2 � � b � Ví dụ Giải phương trình ( cos x )  sin x    Giải: Đặt a   cos x  , b  sin x  � a b  3 � Lúc phương trình � �3 a  b  2 � IV PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Để giải phương trình f ( x)  g ( x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A cho f ( x)  A, x  (a, b) g ( x)  A, x  (a, b) đó:  f ( x)  A f ( x)  g ( x)    g ( x)  A Nếu ta có f ( x)  A g ( x)  A , x  (a, b) kết luận phương trình vơ ngiệm Ví dụ Giải phương trình cos5 x  x  � x   cos5 x Giải: Vì  cos x 1 nên  x 1    x 1   ,   cos x  0, x    1,1   cos x  0, x    1,1  2  mà   1,1   Do x �0  cos x  nên phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: cos x 1   cos 3x  1 cos x cos x  cos x   cos x  Điều kiện:  Khi pt  cos x  cos x  cos 3x  cos 3x 1 Vì a  a  (a  ) 0  a  a  4 Do cos x  cos x  cos 3x  cos 3x  Trang  1 cos x  cos x  cos x  cos x  2 1    cos x  cos x   cos x     x Dấu xảy    cos x  cos x   cos x    Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  Giải : Pt � sin 2012 x  cos 2012 x  sin x  cos x � sin x(sin 2010 x  1)  cos x(1  cos 2010 x) (*) � sin x �0 � sin x(sin 2010 x  1) �0, x Ta thấy � 2010 sin x �1 � cos x �0 � � cos x (1  cos2010 x) �0, x Mà � 2010  cos x �0 � �� x  m � � �� sin x   �� x   m �� 2010 sin x  �1 � sin x(sin x  1)  �� � �� � �� (m, n �Z ) Do (*) � � � 2010 cos x   cos x(1  cos x)  � � � � �x   n �� �� cos x  � �� �� x  n ��  Vậy nghiệm phương trình là: x k (k  Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây:   sin ax 1   sin bx 1 sin ax sin bx 1     sin ax     sin bx    sin ax 1   sin bx  sin ax sin bx      sin ax     sin bx 1 Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng: cos ax cos bx 1 cos ax cos bx  sin ax cos bx 1 sin ax cos bx  Trang 10 Ví dụ Giải phương trình Với điều kiện x k (tan x  cot x) n  cos n x  sin n x (n  2,3, 4, )  ta có tan x cot x ln dấu nên: n 1 1 tan x  cot x  tan x  cot x 2 tan x  cot x 1  tan x  cot x 1 4 4 4 2 Dấu "=" xảy  tan x  cot x  tan x   tan x     Với n 2 : phương trình  tan x  cot x  1 có nghiệm cho bởi:   1 tan x   x arctan  k (k  Z ) 2  Với n  Z , n  thì: cos n x  sin n x cos x  sin x 1    x k n 2m (k , m  Z ) Dấu xảy    x 2k hay x    2k n 2m   (đều không thoả mãn điều kiện x k  phương trình) Vậy với n  2, n  Z phương trình vô nghiệm ĐS x arctan  k (k  Z ) V PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông dụng sau:  Dùng tính chất đại số  Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f ( x) 0 có nghiệm x   (a, b) hàm f đơn điệu (a, b) f ( x) 0 có nghiệm x  Phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm x   (a, b) , f (x) tăng (giảm) (a, b) , g (x) giảm (tăng) (a, b) phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm x  Trang 11 Ví dụ Giải phương trình: cos x 1  x2 với x  Giải Ta thấy phương trình có nghiệm x 0 Đặt f ( x) cos x  x2  có đạo hàm f '( x)   sin x  x �0, x �0 (vì x  sin x , x )  Hàm f đơn điệu tăng  0; �  f ( x) 0 có nghiệm  0; � Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 Ví dụ Giải phương trình: sin x  tan x  x 0 với x   Giải Dễ thấy phương trình có nghiệm x 0   Đặt f ( x) sin x  tan x  x liên tục 0;   Có đạo hàm: f ' ( x)  1 2 (cos x  1)(cos x  cos x  1)   0 , x  0;  cos x  2  cos x 1  1  cos x  cos x      f đơn điệu tăng 0;   2 Vậy phương trình có nghiệm x = Trang 12 ... x  � �� �� x  n ��  Vậy nghiệm phương trình là: x k (k  Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây:   sin ax 1   sin bx... Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 Ví dụ Giải phương trình: sin x  tan x  x 0 với x   Giải Dễ thấy phương trình có nghiệm x 0   Đặt f ( x) sin x  tan x  x liên tục 0;   Có đạo... � b � Ví dụ Giải phương trình ( cos x )  sin x    Giải: Đặt a   cos x  , b  sin x  � a b  3 � Lúc phương trình � �3 a  b  2 � IV PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Để giải phương trình f ( x)