Tương tác của bức xạ

Lời nói đầu Nghiên cứu quá trình tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử là một trong những bài toán quan trọng nhất của vật lý hiện đại. Vật chất theo quan điểm hiện đại bao gồm các hạt cơ bản, các nguyên tử, phân tử . và cả các trờng. Ng- ời ta thờng quan tâm tới tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử, bởi vì nó rất phổ biến trong tự nhiên và các hiện tợng xảy ra trong quá trình tơng tác ấy có nhiều ứng dụng thực tiễn. Việc nghiên cứu đã đợc tiến hành rất nhiều trong vật lý cổ điển, tuy nhiên mãi tới thế kỷ XX với sự xuất hiện của lý thuyết tơng đối và lý thuyết lợng tử, chúng ta mới có đợc cái nhìn sâu hơn về sự tơng tác giữa các tr- ờng. Nhờ có lý thuyết hiện đại này mà bài toán tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử đã đợc giải quyết một cách trọn vẹn. Tất cả các hiện tợng quan sát đ- ợc cho tới nay đều phù hợp rất tốt với kết quả tính toán đợc trên cơ sở lý thuyết. Hơn thế, lý thuyết còn tiên đoán đợc các hiện tợng mới. Nhờ cơ học lợng tử, các lĩnh vực mới trong vật lý đã xuất hiện: Điện tử học lợng tử, quang học lợng tử, vật lý Laser, quang học phi tuyến ., đem lại những ứng dụng thực tiễn vô cùng phong phú nh ngày nay. Nhằm mục đích tìm hiểu, giải thích một số hiện tợng cơ bản của qúa trình tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử, theo phơng pháp không quá phức tạp nhng vẫn đảm bảo chính xác, chúng tôi đã trình bày trong bản luận văn này các nội dung sau đây: Ngoài lời nói đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng I: Trình bày các cơ sở lý thuyết về tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử. Chơng II: Là nội dung chính của luận văn, phần này giải thích và tính toán chi tiết các hiện tợng cơ bản nhất: các chuyển dời tự phát và cỡng bức, ảnh hởng của trờng lên tốc độ chuyển dời cỡng bức và sự mở rộng vạch phổ. - 1 - Giải thích các hiện tợng quan sát thấy bằng lý thuyết lợng tử sẽ giúp ta hiểu vấn đề sâu sắc và nắm đợc bản chất của hiện tợng, vì lý thuyết lợng tử là lý thuyết sâu sắc và đẹp đẽ nhất về thế giới vi mô. Hiểu đợc bản chất của hiện tợng sẽ giúp ta nắm vững hơn cơ học lợng tử, thấy đợc vai trò to lớn của nó trong vật lý học hiện đại và rất có lợi cho việc học tập các chuyên đề sau của chuyên ngành, vì thế tôi rất muốn tìm hiểu sâu, có hệ thống vấn đề đặt ra. Tuy nhiên, thời gian thực hiện đề tài và khuôn khổ luận văn có hạn nên tôi chỉ mới xét đợc những hiện tợng cơ bản nhất. Còn nhiều hiện tợng quan trọng khác, cũng rất cơ bản, cha đợc xét đến, hệ vi mô cũng nh vĩ mô thực tế phức tạp hơn nhiều, với các tơng tác cũng tinh tế hơn, lúc này đòi hỏi tính toán chính xác của Điện động lực học lợng tử mới giải quyết đợc. Hy vọng sẽ có dịp tiếp tục đợc nghiên cứu một khía cạnh nhỏ nào đó trong những vấn đề ấy. Trong quá trình thực hiện đề tài này, tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là thầy giáo: TS. Đinh Xuân Khoa và thầy Nguyễn Huy Bằng đã tận tình hớng dẫn giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu, tìm hiểu vấn đề, nghiên cứu và hoàn thành đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn hai thầy và các thầy cô giáo trong khoa đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, ngày 08 tháng 05 năm 2004 Sinh viên: Phan Thị Hạnh Chơng 1 tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử - 2 - 1.1. Mở đầu Tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử là một trong những bài toán quan trọng của vật lý hiện đại.Vật chất theo quan điểm hiện đại bao gồm các hạt cơ bản, các nguyên tử, phân tử và cả các tr ờng . ở chơng này chúng ta quan tâm đến tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử. Việc nghiên cứu đã đợc tiến hành rất nhiều trong vật lý cổ điển, tuy nhiên mãi tới thế kỷ XX với sự xuất hiện của lý thuyết tơng đối và lý thuyết lợng tử, chúng ta mới có đợc cái nhìn sâu hơn về sự tơng tác giữa các trờng. Nhờ có lý thuyết hiện đại này mà bài toán tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử đã đợc giải quyết một cách trọn vẹn. Tất cả các hiện tợng quan sát đợc cho tới nay đều phù hợp rất tốt với kết quả tính toán đợc trên cơ sở lý thuyết. Hơn thế, lý thuyết còn tiên đoán đợc các hiện tợng mới. Nhằm mục đích tìm hiểu, giải thích một số hiện tợng cơ bản của quá trình tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử theo phơng pháp không quá phức tạp nhng vẫn đảm bảo chính xác . ở chơng này chúng ta sẽ đề cập đến một số chủ đề chính là: ma trận mật độ , phơng trình Liuvinlle và vai trò năng lợng , phơng trình Bloch mô tả tơng tác của bức xạ với hệ nguyên tử. Chúng ta sẽ xem xét một cách tổng quát, không chỉ giới hạn vào một hệ nguyên tử cụ thể nào, vì vậy các kết quả có thể đợc ứng dụng một cách rộng rãi. 1.2. ma trận mật độ 1.2.1. Ma trận mật độ Nh ta đã biết để xác định hàm sóng mô tả một trạng thái đã cho thì cần phải sử dụng các phép đo để có đủ các biến động lực. Hàm sóng của một trạng thái đang xét là hàm riêng của các toán tử biểu diễn đầy đủ các đại lợng vật lý. Với điều kiện đó thì hàm sóng đợc xác định hoàn toàn và mô tả một cách đầy đủ nhất ở mức độ cho phép trong cơ học lợng tử. Tuy nhiên trong cơ học lợng - 3 - tử cũng có thể có những trạng thái không tơng ứng với một hàm sóng nào. Khả năng này có thể diễn ra khi chúng ta không thể xác định đợc trạng thái dựa vào một bộ đủ các đại lợng vật lý mà buộc phải thoả mãn với một sự mô tả không đầy đủ. Trong trờng hợp này, nhờ kết quả của những phép đo các đại lợng vật lý của hệ đang xét mà ta có thể thiết lập đợc các trạng thái thuần khiết , ., )2()1( nào có mặt trong trạng thái nghiên cứu, và các xác suất p 1 , p 2 của các trạng thái thuần khiết , ., )2()1( tham gia vào trong trạng thái đang xét, vì xác suất có thể đợc tính theo tần số xuất hiện tỷ đối của các kết quả đo. Nhng chỉ dựa trên những dự kiện đó thì chúng ta vẫn không thể xây dựng đợc hàm sóng của trạng thái đang xét, vì trên cơ sở của nguyên lý chồng chất của các trạng thái = n n n c )( (1.2 - 1) ta mới biết đợc các bình phơng môđun của các hệ số nhng chúng ta không biết đợc một cách chính xác các hệ số. Các hệ số c n chỉ đợc biết chính xác đến các thừa số pha )exp( n i . Nh thế hàm sóng trong trờng hợp này vẫn còn bất định. Các trạng thái mà ta không đối ứng đợc một hàm sóng nào, đợc gọi là trạng thái hỗn hợp, nghĩa là trong trạng thái không mô tả đợc bằng hàm sóng, thì điều đó có nghĩa là chúng ta chuẩn bị trạng thái nhng đã không xác định đợc số khả dĩ cực đại các đại lợng vật lý độc lập, mà việc biết các đại lợng này cần thiết cho việc mô tả đầy đủ dựa vào hàm sóng. Trạng thái hỗn hợp có thể đợc coi nh hỗn hợp không kết hợp của các trạng thái thuần khiết , ., )2()1( với xác suất (hay trọng số thống kê) P i . ở đây P i là những số dơng thoả mãn hệ thức = 1 i P . Các danh từ hỗn hợp không kết hợp khi đó biểu diễn một sự kiện là, khi tính giá trị trung bình < F > của một đại lợng F nào đó trong hệ hỗn hợp, cần phải xác định các xác suất của các giá trị của đại lợng đó trong các trạng thái thuần khiết )(i , nghĩa là tính - 4 - dxFF ii i )( ^ )(* )( = (1.2 - 2) và lấy trung bình các đại lợng thu đợc bằng cách dùng trọng số thống kê P i khi đó: )(i i i FPF >=< (1.2 - 3) ở trên ta thực hiện hai phép lâý trung bình. (1.2 - 2): xác định phép lấy trung bình cơ học lợng tử trong trạng thái )(i ; (1.2 - 3): xác định phép lấy trung bình theo tập hợp thống kê các hàm )(i . Gọi n , .,, 21 là hệ hàm riêng trực chuẩn của các toán tử F biểu diễn đại lợng vật lý F, đặc trng cho tập hợp đang xét. Khai triển một trạng thái thuần khiết )(i theo hệ các hàm riêng trực chuẩn )(), .,(),( 21 xxx n ,ta có: = n n i n i a )()( ; = n i n i n aa 1 )()*( (1.2 - 4) thay (1.2 4) vào (1.2 - 2) chúng ta sẽ có đợc giá trị trung bình của đại lợng F tơng ứng với toán tử ^ F trong trạng thái )(i này sẽ tìm đợc theo quy tắc. = ' '' )()*( )( nn i n i n nn i aaFF (1.2 - 5) Trong đó ^ * '' dxFF n n nn = (1.2 - 6) là các phân tử ma trận đợc xác định bởi các hàm riêng n và toán tử ^ F nhng không phụ thuộc vào trạng thái )(i Bây giờ ta thay (1.2-5) vào (1.2 3) chúng ta tìm đợc = >=< ' '' ' ' ' )()*( nn nnnn nn i n i n nn i i F aaFPF (1.2 - 7) Trong đó = i i n i ni nn aaP )()*( ' ' (1.2 - 8) - 5 - toán tử ^ với các yếu tố ma trận ' ^ nn đợc xác định theo (1.2 - 8) gọi là toán tử thống kê hay là toán tử ma trận mật độ. Hệ thức (1.2 - 7) có thể viết lại ở dạng khác nh sau: == ' '' ][ ^^ nn nnnn FspFF (1.2 - 9) phép tính này đợc gọi là phép lấy vết của ma trận và ta ký hiệu ngắn gọn là sp (spur) công thức (1.2 -9) cho ta thấy giá trị tìm đợc không phụ thuộc vào việc chọn các hàm cơ sở )(i và để tính giá trị trung bình thống kê của bất kỳ đại l- ợng F nào thì ta cần phải biết ma trận mật độ. Nh vậy ma trận mật độ đóng vai trò giống nh hàm phân bố (p,q) trong trờng hợp thống kê cổ điển. Ma trận mật độ xác định trạng thái hỗn hợp đã cho. Ma trận mật độ lần đầu tiên đợc đa vào các công trình của Lanđau và Neumann. Nh thế khi biết đợc ma trận mật độ ta có thể tính đợc giá trị trung bình của một đại lợng vật lý bất kỳ F đặc trng cho hệ (chẳng hạn trạng thái phân cực) từ công thức (1.2 - 7) bằng cách đo một số giá trị trung bình của một số đại lợng trong trạng thái hỗn hợp, ta có thể tìm đợc ma trận mật độ của trạng thái đang xét, nghĩa là xác định đợc tất cả các phần tử (nói chung là phức) của ma trận này. Các hệ thức loại (1.2 - 7) thực chất là các phơng trình đại số tuyến tính với các ẩn là các phần tử ma trận 'nn . Vì đại lợng >< F là thực nên ma trận mật độ là cemitic, tức là ta có: 'nn = nn' * (1.2 - 10) số hàng và số cột trong ma trận mật độ tơng ứng với các trạng thái độc lập dùng để đặc trng cho các trạng thái thuần khiết trong (1.2 - 4). Tuỳ vào từng trờng hợp mà con số này là hữu hạn hay vô cùng (vô hạn), từ (1.2 - 7) và (1.2 - 8) - 6 - nếu ta đặt F = 1 thì các phần tử '' nnnn F = ; ta sẽ thấy ma trận mật độ tuân theo điều kiện : sp = 1 (1.2 - 11) Đó là điều kiện chuẩn hoá của ma trận mật độ. Ma trận vuông phức với N hàng sẽ có N 2 phần tử phức. Điều kiện(1.2 - 10) đa N 2 phần tử phức về N 2 tham số phức độc lập. Điều kiện chuẩn (1.2 - 11) giảm số các thông số thực độc lập xuống N 2 1. Nh vậy, nếu trong hệ lợng tử có thể có N trạng thái thuần khiết độc lập thì việc xác định trạng thái hỗn hợp tuỳ ý của nó rút về việc đo N 2 1 đại lợng độc lập, các đại lợng này hoàn toàn xác định ma trận mật độ của trạng thái đó. Chẳng hạn, trạng thái phân cực của các nơtrôn (N = 2) hoàn toàn đợc xác định bởi vectơ phân cực P (ba thông số độc lập). Đối với trạng thái thuần khiết, trong tổng (1.2 - 7) chỉ còn một số hạng (thứ i chẳng hạn) Khi đó =>=< ' ' ' )()(* )( nn i n i n nn i aaFFF Nh vậy ma trận mật độ của các trạng thái thuần khiết là: )()*( ' ' i n i n nn aa = (1.2 - 12) Nếu ta để ý đến điều kiện chuẩn hoá = n i n i n aa 1 )()*( ' thì ta sẽ có: mnmn = )( 2 Hay dới dạng ma trận 2 = (1.2 - 13) tức là đối với trạng thái thuần khiết, bình phơng của ma trận mật độ bằng chính nó (1.2 13) là điều kiện cần và đủ để các trạng thái là thuần khiết, khi đó hệ đợc mô tả bằng một hàm sóng xác định. Thật vậy, khi đợc đa về dạng chéo điều kiện (1.2 - 13) có nghĩa là chỉ có 1 trong các phần tử nn bằng đơn vị, còn các phần tử khác còn lại là bằng không. - 7 - Đối với một đại lợng vật lý F biểu diễn bằng toán tử ^ F , ta có khi đó nn FF = nó tơng đơng với sự có mặt của một hàm sóng xác định. Lúc này (1.2- 13) tơng ứng với ( - 1) = 0 (1- 2 - 13) . Nh thế toán tử thoả mãn một phơng trình đại số và các trị riêng của nó sẽ bằng 1 và 0. Hàm riêng (hay vectơ trạng thái) tớng ứng với trị riêng 1 sẽ trực giao với hàm riêng tơng ứng với trị riêng bằng 0. Riêng đối với trạng thái thuần khiết ta có: sp( 2 ) = 1 (1.2 - 14) từ (1-2-11) và (1.2 - 14) sau khi đã chéo hoá, ma trận mật độ cho trạng thái thuần khiết có dạng: = 0 .0 . 0.1.0 0 .0 0 .0 Bây giờ ta trở lại tìm sp của bình phơng ma trận mật độ xét cho trạng thái pha trộn (hỗn hợp). Dễ dàng tìm đợc = n n Psp 22 (1.2 - 15) nhng == n n Psp 2 1 (1.2 - 16) - 8 - Xác suất của một ma trận biến cố nào đó không thể lớn hơn xác suất của một biến cố chắc chắn P n < 1. Do đó bình phơng của xác suất nhỏ hơn chính xác suất nn PP < 2 So sánh hệ thức (1.2 - 15) và (1.2 - 16) ta thấy: spsp 2 Dấu = chỉ xẩy khi trạng thái là thuần khiết, khi đó một trong các xác suất P n chẳng hạn, bằng đơn vị còn tất cả các nn P ' = 0 khi đó: sp 2 = sp = 1 (1.2 - 17) Mức độ gần của sp 2 so với sp có thể đợc coi nh số đo độ thuần khiết của trạng thái. Nh vây, ma trận mật độ cho ta lợng thông tin cực đại khả dĩ về hệ hỗn hợp. 1.2.2. Phơng trình chuyển động của ma trận mật độ. Ta có ma trận mật độ là ma trận có các yếu tố xác định theo công thức: = i i n i ni nn aaP )()*( '' thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian ta có: + = i i n i n i n i ni nn t a a t a aP t )( )(* )*( )( ' ' [ ] (1-2- 18) vì )( )( ' , i n i n aa là các hệ số khai triển của các vectơ trạng thái )(i nên để tính đạo hàm chúng ta xuất phát từ phơng trình SChrodinger: )( ^ )( i i H t i = , trong đó = k k i k i a )( . Ta có = k i k k k t a Hai i k ^ - 9 - Nhân cả 2 vế với * n rồi lấy tích phân ta đợc = k nk i k i n Ha t a i (1.2 - 19) trong đó = ^ * dxHH knnk và nknk HH = * (ma trận Hecmit) Thay (1.2 18) vào (1-2-19) ta đợc: =+= k k kn nknk knkn i n i k kn i n i k i nn HHHaaHaaP t i )(][ ''' ' ' *)()( )( *)( Mặt khác theo quy tắc nhân ma trận ta có: '''' ),()( ^^^^ nn k k kn nk nnkn nk HHhayHH == Từ đó ta có thể viết lại biểu thức đạo hàm của ' nn nh sau: '' ' ],[)( ^^^^^^ nnnn nn HHH t ih == Nh vậy toán tử ^ thoả mãn phơng trình: - 10 -