Bài giảng Đại số tuyến tính 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, các tính chất của định thức và các phương pháp cơ bản tính định thức; Nghiên cứu không gian véc tơ. Nghiên cứu về hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÙI THỊ HỒNG PHƯƠNG Bộ mơn Tốn – Khoa Sư Phạm Tự Nhiên Quảng Ngãi - 2018 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương1 ĐỊNH THỨC…………………………………………………… …….5 1.1 Phép thế………………………………………………………………6 1.1.1.Định nghĩa phép thế………………………………………… 1.1.2 Nghịch thế…………………………………………………… 1.1.3 Dấu phép thế…………………………………………… 1.2 KHÁI NIỆM MA TRẬN……………………………………………… 1.2.1 Định nghĩa…………………………………………………… 1.2.2 Ma trận chuyển vị…………………………………………… 1.3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC……………… 1.3.1.Định nghĩa………………………………………………………9 1.3.2 Tính chất định thức…………………………………… 10 1.4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC………………………………………… 12 1.4.1 Định thức phần bù đại số…………………………….12 1.4.2 Khai triển định thức theo dòng…………………………12 1.4.3 Khai triển định thức theo r dòng…………………………….16 1.5 Phương pháp tính định thức………………………………………… 19 1.5.1 Qui tắc Sarus tính định thức cấp 3………………………… 20 1.5.2 Khai triển định thức theo dòng cột………… 20 1.5.3 Đưa định thức dạng tam giác tính…………………….21 1.5.4 Áp dụng tính chất định thức……………………… 23 1.5.5 Phương pháp quy nạp phương pháp truy hồi……………25 BÀI TẬP CHƯƠNG 1………………………………………………………29 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ…………………………………….31 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN………………… 32 2.1.1 Định nghĩa………………………………………………… …32 2.1.2 Một số tính chất đơn giản……………………………………….33 2.1.3 Hiệu hai véc tơ………………………………………………34 2.2 KHÔNG GIAN CON…………………………………………………… 36 2.2.1 Định nghĩa…………………………………………………….….36 2.2.2 Tính chất đặc trưng………………………………………………36 2.2.3 Tổng không gian con…………………………………36 2.2.4 Giao không gian con………………………………….37 2.2.5 Không gian sinh hệ véc tơ……………………………….37 2.3 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH…… 38 2.3.1.Định nghĩa………………………………………………………….38 2.3.2 Các tính chất………………………………………………………39 2.4 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ………………………………… 42 2.4.1 Định nghĩa…………………………………………………………42 2.4.2 Sự tồn sở……………………………………………… 44 2.5 SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ………………………………46 2.5.1 Định nghĩa…………………………………………………………46 2.5.2 Số chiều không gian con…………………………………… 47 2.6 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC TƠ…………………………………………….49 2.6.1 Định nghĩa…………………………………………………………49 2.6.2 Định lý…………………………………………………………… 49 2.6.3 Ma trận chuyển……………………………………………………49 2.6.3 Liên hệ tọa độ véc tơ hai sở khác nhau………………………………………………………………………51 2.7 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ – HẠNG CỦA MA TRẬN……………… 53 2.7.1 Hạng hệ véc tơ……………………………………………… 53 2.7.2 Hạng ma trận……………………………………………… 54 2.7.3 Cách tìm hạng ma trận…………………………………… 59 2.7.4 Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp…………61 BÀI TẬP CHƯƠNG 2……………………………………………………… 63 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…………………………67 3.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ……………………………… …67 3.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát………………………… 67 3.1.2 Hệ phương trình Cramer…………………………………………67 3.1.3 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss (Khử dần ẩn số)…………………………………………………………………69 3.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CĨ NGHIỆM 72 3.2.1 Điều kiện có nghiệm………………………………………………72 3.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính định thức……………….74 3.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT…………………78 3.3.1 Định nghĩa…………………………………………………………78 3.3.2 Không gian nghiệm hệ nhất………………………… 79 BÀI TẬP CHƯƠNG 3………………………………………………… 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………85 LỜI NĨI ĐẦU Bài giảng “Đại số tuyến tính 1” biên soạn theo chương trình Cao đẳng Sư Phạm ban hành tháng 10/ 2015 trường Đại học Phạm văn Đồng dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán Nội dung chủ yếu dựa vào giáo trình Đại số tuyến tính Bộ Giáo dục xuất năm 2004 theo dự án đào tạo giáo viên trung học sở Nội dung giảng gồm ba chương: Chương Trình bày định nghĩa, tính chất định thức phương pháp tính định thức Đó phương tiện để nghiên cứu không gian véc tơ lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Chương Nghiên cứu không gian véc tơ Đây sở đại số tuyến tính Nó giúp cho việc hồn thiện lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Chương Nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính Đó hướng mở rộng hệ phương trình tuyến tính học trường phổ thơng Với chương này, lý thuyết hệ phương trình tuyến tính coi hồn thiện Ở cuối chương có tập để sinh viên luyện tập Bài giảng chắn cịn nhiều thiếu sót, kính mong q Thầy Cơ góp ý để giảng hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Chương ĐỊNH THỨC 1.1 PHÉP THẾ 1.1.1 Định nghĩa phép i) Cho tập X n = 1, 2, , n Một song ánh : X n → X n gọi phép tập X n ii) Song ánh đồng gọi phép đồng iii) Một phép tập X n gọi chuyển trí hai phần tử i, j thuộc X n (i) = j, ( j ) = i, (k ) = k , k X n , k i, k j Nó kí hiệu (i, j) Tập hợp phép tập X n ký hiệu S n Phép : X n → X n biểu diễn: n = (1) (2) (3) (n) 1 Ví dụ 1: = phép tập X xác định bởi: 2 (1) = 2, (2) = 3, (3) = 1, (4) = 5, (5) = 1 chuyển trí hốn vị hai số Nó viết 3 = gọn = (1,3) * Tập S n có n! phần tử Ví dụ S có 4! = 24 phần tử Đó phép sau: 1 1 , 2 = 1 1 1 1 6 = , = 1 2 1 = 4 1 , = 3 1 4 1 , = 4 2 4 1 , = 2 1 4 1 , = 3 2 4 1 , = 4 1 4 1 , 10 = 4 2 4 , 3 4 , 1 1 1 1 1 1 , 12 = , 13 = , 14 = , 15 = , 3 1 3 4 3 2 3 4 11 = 1 1 , 17 = 3 3 1 1 21 = , 22 = 3 4 16 = 4 1 , 18 = 2 3 4 1 , 23 = 1 4 4 1 , 19 = 1 4 4 1 , 24 = 1 4 4 1 , 20 = , 3 2 4 2 1.1.2 Nghịch Định nghĩa Giả sử phép tập X n Với i, j X n , i j , ta nói cặp ( (i ), ( j )) nghịch i j (i ) ( j ) 1 có nghịch là: (3, 2), (4, 2) 1 Ví dụ Trên X , phép = 1.1.3 Dấu phép 1.1.3.1.Định nghĩa Ta gọi phép phép chẵn có số chẵn nghịch phép lẻ có số lẻ nghịch Ta gán cho phép chẵn giá trị +1, phép lẻ giá trị -1.Giá trị phép gọi dấu ký hiệu: Sgn( ) Vậy: sgn( ) = chẵn, sgn( ) = -1 lẻ 1 phép chẵn có 1 Ví dụ Trong ví dụ 1.1.2 phép = nghịch Vậy: sgn( ) = i− j i , j (i ) − ( j ) 1.1.3.2.Hệ 1: sgn( ) = 1.1.3.3.Hệ 2: Với hai phép , X n , ta có: sgn( ) = sgn( ).sgn( ) 1.1.3.4.Hệ 3: Mọi chuyển trí phép lẻ 1.2 KHÁI NIỆM MA TRẬN 1.2.1 Định nghĩa Một bảng gồm m.n số viết thành m dòng n cột sau: a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n ai1 aij ain a a a a mj mn m1 m gọi ma trận kiểu (m, n) + Mỗi số aij gọi thành phần ma trận Nó nằm dòng i, cột j + Ma trận thường kí hiệu : A, B, C, + Có thể viết ma trận cách đơn giản là: A = (aij )( m,n ) - Nếu ma trận có dịng ta gọi ma trận dòng (a a11 a - Nếu ma trận có cột ta gọi ma trận cột 21 am1 11 a12 a1 j a1n ) - Nếu m = n ma trận gọi ma trận vng Kí hiệu: A = (aij ) n Ví dụ 1 ma trận kiểu (3, 4) 0 1 2 5 4 ma trận vuông cấp 1.2.2 Ma trận chuyển vị Cho ma trận a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n A= ai1 aij ain a a a a mj mn m1 m Thì ma trận a11 a21 ai1 am1 a12 a22 am a1 j a2 j aij amj a a a a jn mn 1n n Được gọi ma trận chuyển vị A Kí hiệu: t A Ví dụ 1 Cho A = 0 1 t A = 3 4 0 1 9 8 1.3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 1.3.1.Định nghĩa Cho ma trận vuông a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n A= ai1 aij ain a a a a nj nn n1 n Ta gọi tổng D = sgn( )a Sn a (1) 2 (2) .ai (i ) an ( n) định thức ma trận A kí hiệu a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n ai1 aij ain an1 an anj ann hay A hay det( A) Trong cách kí hiệu ta nói aij thành phần, thành phần ai1 , ai2 , ai3 , , ain tạo thành dòng thứ i, thành phần a1j , a2j , a3j , , anj tạo thành cột thứ j định thức Khi A ma trận cấp n ta nói A định thức cấp n a11 a21 Ví dụ Cho ma trận A = a12 , định thức A là: a22 A = sgn 1a11 (1) a21 (2) + sgn a1 (1) a2 (2) = a11a22 − a12 a21 Ví dụ 2.Dùng định nghĩa viết tường minh định thức cấp ba a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a13a22a31 − a12a21a33 , a31 a32 a33 Để tìm kết ta phaei tìm tất phép X3 xác định dấu chúng Công việc vất vả Muốn có phương pháp tính tốn thuận tiện hơn, nghiên cứu tính chất định thức, 1.3.2 Tính chất định thức 1.3.2.1 Tính chất Nếu định thức a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n a 'i1 + a ''i1 a 'i + a ''i a 'ij + a ''ij a 'in + a ''in an1 an anj ann 10 Ma trận cuối ứng với hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho mà phương trình cuối là; x1 + x2 + x3 + x4 = −12 Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ cho vơ nghiệm 3.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CĨ NGHIỆM 3.2.1 Điều kiện có nghiệm Điều kiện liên quan đến hạng ma trận A ma trận bổ sung B hệ phương trình, ta cần nhớ lại rằng: hạng hệ véc tơ số chiều không gian sinh hệ véc tơ ấy; hạng ma trận hạng véc tơ cột Định lý Kronecker-Capeli Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm hạng (A) = hạng (B) Chứng minh Ta kí hiệu A = , , , n hệ véc tơ cột củ ma trận A B = , , , n , hệ véc tơ cột ma trận bổ sung B hệ phương trình (1), U khơng gian sinh hệ véc tơ A, W không gian sinh hệ véc tơ B Vì A B nên U W ) Giả sử hệ có nghiệm (c1 , c2 , , cn ) Khi = c1 + c2 + + cn n Điều có nghĩa ta thêm vào hệ véc tơ A véc tơ tổ hợp tuyến tính hệ A để hệ B Theo mệnh đề 2.7.1.3, hạng (A) = hạng (A) = hạng (B) = hạng (B) ) Giả sử hạng (A) = hạng (B) Thế hạng (A) = hạng (B) Suy dim (U) = dim (W) Vì U W nên theo định lý 2.5.2.1ta có U = W Do U Vì tồn n số (c1 , c2 , , cn ) cho = c1 + c2 + + cn n Vậy hệ (1) có nghiệm Ví dụ Mọi hệ Cramer có định thức A Do hạng (A) = n Ma trận B có n dịng A định thức cấp cao khác B Vì (A) = hạng (B) Vậy hệ Cramer có nghiệm Ví dụ Xét hệ phương trình 71 3 x1 − x1 − x1 + 12 x − x2 − x3 + x4 = x2 − x3 + x4 = x2 + x3 − x4 = − x2 + x3 − x4 = − 10 1 −1 −1 −1 −1 −1 − −1 − 5 Ma trận A = ma trận bổ sung B = 1 1 1 −6 −9 −6 − 2 12 − − 10 12 − Thực phép biến đổi sơ cấp, ta đưa ma trận A B dạng 1 0 0 0 0 0 −1 −5 0 1 0 0 0 0 0 −1 − −5 −7 0 Vì phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi hạng ma trận Do hạng(A) = hạng(B) = Vậy hệ cho có nghiệm Ví dụ Xét hệ phương trình 4 x1 + x1 − 2 x1 + 4 x + x2 + x3 − 3x4 = x2 + x3 + x4 = x2 − x3 + x4 = x2 − x3 + x4 = 4 Ma trận hệ số A = 2 4 4 ma trận bổ sung B = 2 4 −3 −1 −3 1 −1 −1 −3 −1 −3 7 5 3 1 Thực phép biến đổi sơ cấp, ta đưa ma trận A B dạng 72 1 0 0 0 0 0 0 46 − 15 37 − 15 1 0 0 0 0 0 0 46 − 15 37 − 15 0 0 0 Ta có: hạng (A) = 3, hạng (B) = Vậy hệ phương trình vơ nghiệm 3.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính định thức Bây ta nghiên cứu cách giải hệ phương trình tuyến tính (1) định thức Ta biết định thức cấp cao khác ma trận A cho ta biết số chiều sở không gian sinh hệ véc tơ dòng ma trận A Giả sử hạng hạng (A) = hạng (B) = r, khơng làm tính tổng quát, ta giả thiêt định thức cấp cao khác A B là: a11 a12 .a1r D= a21 a22 a2 r ar1 ar arr Nếu r = n hệ phương trình cho hệ Cramer, có nghiệm Nếu r < n ta xét hệ phương trình gồm r phương trình đầu a11 x1 + a12 x2 + + a1r xr + a1r +1 xr +1 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x + a x + + a x = b 2j j r +1 r +1 2n n 21 22 ar1 x1 + ar x2 + + arj x j + arr +1 xr +1 + + arr xr = br (3) Mọi véc tơ dòng ma trận bổ sung B tổ hợp tuyến tính r véc tơ dịng đầu Vì nghiệm hệ (3) nghiệm phương trình thứ r+1 đến thú m; nghiệm hệ (1) Ngược lại, hiển nhiên nghiệm hệ (1) nghiệm hệ (3) Như ta cần giải hệ (3) Ví dụ Giải hệ phương trình 73 3 x1 x1 2 x1 2 x 5 x1 − x2 + x3 = − x2 + x3 = 12 + x2 = −6 + x2 + 3x3 = + x3 = Giải Ta tìm hạng ma trận A= −1 1 −5 3 1 B = 2 5 −1 −5 1 12 − Ta có: hạng (B) = = hạng (A) Vậy hẹ phương trình có nghiệm Ta giải hệ phương trình (gồm phương trình ứng với dòng định thức D): x1 − x2 + x3 = 12 = −6 x1 + x2 2 x + x + 3x = 3 Đó hệ Cramer D Áp dụng cơng thức Cramer ta tìm nghiệm hệ phương trình là: ( 1, -2, 1) Ví dụ Giải hệ phương trình 3 x1 − x1 − x1 + 12 x − x2 − x3 + x4 = x2 − x3 + x4 = x2 + x3 − x4 = − x2 + x3 − x4 = − 10 Giải −1 −1 −1 − Ma trận hệ số A = 1 −6 − 2 12 − 74 1 −1 −1 −1 − 5 ma trận bổ sung B = 1 −6 −9 12 − − 10 Ta thấy định thức D= −1 = −2 −1 Các định thức cấp ba A bao quanh D Do hạng(A) = Tương tự hạng(B) = Vậy hệ có nghiệm Giải hệ (gồm phương trình ứng với dòng định thức D): 3 x1 − x2 − x3 + x4 = x1 − x2 − x3 + x4 = Viết hệ dạng: 3x1 − x2 = x3 − x4 + x1 − x2 = x3 − x4 + Cho x3 = c3 , x4 = c4 , ta có hệ Cramer: 3 x1 − x2 = c3 − 2c4 + x1 − x2 = 2c3 − 4c4 + Giải hệ ta x1 = −c3 + 2c4 − −5c3 + 10c4 − 14 , x2 = 2 Vậy Nếu nghiệm cho tổng c3 = 0, c4 = quát −c3 + 2c4 − −5c3 + 10c4 − 14 , x2 = , c3 , c4 x1 = 2 : ta nghiệm riêng ( −1, − 2,0,1) Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình: 75 ax + y + z = x + ay + z = a x + y + az = a Giải a 1 D = a = a3 − 3a + = (a − 1) ( a + ) 1 a Nếu a0 a −2 D 0, * hệ cho hệ Cramer Dx = − ( a − 1) ( a + 1) , Dy = ( a − 1) , Dz = ( a − 1) 2 Hệ có nghiệm nhất: a + 1 (a + 1)2 , , − a+2 a+2 a+2 * Nếu a = hệ phương trình có phương trình: x + y + x = 1, hay x = -y – z + Nghiệm tổng quát hệ là: ( −c2 − c3 + 1, c2 , c3 ) * Nếu a = -2 ma trận −2 1 A= −2 1 1 − 2 có định thức có định thức −2 1 = 0; −2 −2 1 ma trận bổ sung B = − − có định thức cấp ba 1 −2 −2 1 − − = 0; 1 nghĩa hạng (B) = hạng (A) 76 Vậy hệ cho vơ nghiệm 3.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.3.1 Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính: a11 x1 + a12 x2 + + a1 j x j + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2 j x j + + a2 n xn = b2 a x + a x + + a x + + a x = b mj j mn n m m1 m 2 (1) Hệ phương trình a11 x1 + a12 x2 + + a1 j x j + + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + + a2 j x j + + a2 n xn = a x + a x + + a x + + a x = mj j mn n m1 m 2 (2) Được gọi hệ liên kết với hệ (1) Nếu viết dạng véc tơ hệ (1) (2) có dạng tương ứng là: n x j j = (1) , j =1 n x j =1 j j =0 ( 2) Ví dụ Hệ phương trình: 3x1 − x2 + x3 − x4 3 x1 − x2 − x3 + x4 x − x + x + 3x = = = hệ phương trình tuyến tính Rõ ràng hệ phương trình tuyến tính có nghiệm ( 0, 0, …, 0) Nó gọi nghiệm tầm thường Nếu A ma trận hệ số B ma trận bổ sung hệ ta ln ln có hạng (A) = hạng (B) thành phần cột cuối ma trận B Giả sử hạng (A) = r Nếu r = n ( 0, 0, …, 0) nghiệm Nếu r < n hệ vơ số nghiệm , hệ có nghiệm khác ( 0, 0, …, 0) 77 Bây giờ, ta xét xem tập nghiệm hệ có cấu trúc nghiệm liên quan với nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết 3.3.2 Không gian nghiệm hệ 3.3.2.1 Định lý Giả sử S tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) Khi đó: i) S không gian không gian véc tơ Kn ii) Nếu A ma trận hệ số hạng (A) = r dimS = n – r 3.3.2.2 Định nghĩa Mỗi sở không gian S nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi hệ nghiệm Để tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) ta làm sau: Giả sử r < n khơng làm tính tổng qt ta giả thiết định thức cấp cao khác ma trận A a11 a12 .a1r D= a21 a22 a2 r ar1 ar arr Khi hệ (2) tương đương với hệ a11 x1 + a12 x2 + + a1r xr = −a1r +1 xr +1 − − a1n xn a x + a x + + a x = −a x − − a x 21 22 2r r r +1 r +1 2n n ar1 x1 + ar x2 + + arr xr = −arr +1 xr +1 − − arn xn Mỗi nghiệm hệ phụ thuộc vào n – r ẩn tự do: xr +1 , xr +2 , , xn Cho xr +1 = 1, xr + = = xn = ta nghiệm có dạng: = ( c11 , c12 , , c1r ,0, ,0 ) Lân lượt cho xr +1 = 0, xr +2 = 1, xr +3 = = xn = ,v,v…Kết cục ta n – r nghiệm riêng: = ( c11 , c12 , , c1r ,1,0, ,0 ) ( ứng với xr +1 = 1, xr + = = xn = ) = ( c21 , c22 , , c2 r ,0,1, ,0 ) ( ứng với xr +1 = 0, xr +2 = 1, xr +3 = = xn = ) 78 ………………………… = ( cn−r1 , cn−r , , cn−rr , 0, 0, ,1) ( ứng với xr +1 = xr + = = xn−1 = 0, xn = ) Đó n – r véc tơ thuộc S Ma trận ma dịng véc tơ có định thức cấp n – r .0 = 0 Do hạng hệ véc tơ , , , n−r n – r Suy hệ véc tơ độc lập tuyến tính Vì dim S = n –r nên hệ sở S Vậy hệ nghiệm , , , n−r hệ nghiệm Chú ý Trong cách tìm j hệ nghiệm không thiết phải chọn xr +1 = mà chọn xr + j số khác nao thuận tiện cho việc tính tốn Ví dụ Tìm hệ nghiệm hệ phương trình: 2 x1 + x2 − x3 + x4 = 4 x1 + x2 + x3 − 3x4 = Giải Ma trận hệ số có định thức cấp hai −1 =3 Hệ phương trình cho tương đương với hệ: x2 − x3 = − x1 − x4 2 x2 + x3 = − x1 + x4 Các ẩn tự x1, x4 Giải hệ ta được: 79 x2 = −2 x1 + x4 x = x4 3 Cho x1 = 1, x4 = , ta x2 = −2, x3 = Nghiệm riêng tương ứng (1, −2,0,0) 5 Cho x1 = 0, x4 = , ta x2 = , x3 = Nghiệm riêng tương ứng 0, , ,1 3 3 Vậy hệ nghiệm là: (1, −2, 0, ) 0, , ,1 Nếu tìm véc tơ thứ hai hệ nghiệm ta cho x1 = 0, x4 = ta nghiệm rieng tương ứng ( 0, 2, 5, ) hệ véc tơ (1, −2, 0, ) Cũng độc lập tuyến tính có định thức ( 0, 2,5,3) −2 = Vì dím = nên hệ véc tơ sở S; hệ nghiệm Chú ý Biết hệ nghiệm , , , n−r hệ phương trình tuyến tính biết tất nghiệm nghiệm tổ hợp tuyến n−r tính hệ nghiệm này; tức nghiệm có dạng si i với i =1 si , i 1, 2, , n − r Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss, tìm hệ nghiệm hệ phương trình: 3 x1 x1 − x2 2 x1 + x2 x + 2x − x3 + x4 = + + x4 = − x3 + x4 = − x3 − x4 = x3 Giải 80 Ta biến đổi ma trận A: 2 − 3 1 − 1 − 2 −4 1 1 − → → 2 −4 1 − − 0 1 − − 3 − 3 0 2 1 − − − 3 → 0 − − 3 − − 3 0 2 − −3 0 0 Hệ cho trở thành hệ tương đương: x1 − x2 + x3 + x4 3x2 − x3 − 3x4 = = x1 − x2 = − x3 − x4 x2 = x3 + x4 hay Cho x3 = 1, x4 = , ta nghiệm riêng tương ứng (1, 2,1,0 ) Cho x3 = 0, x4 = 1, ta nghiệm riêng tương ứng ( −1,1,0,1) (1, 2,1, ) ( −1,1, 0,1) Vậy hệ nghiệm là: 81 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Giải hệ phương trình Cramer: = x1 + x2 − x3 x2 − 3x3 − x4 = −8 a) ; − x3 = x1 x1 − x2 − 3x4 = − 3x3 x1 2 x − x b) x − x3 x2 + x4 = + x4 = + x4 = 13 − x4 = x1 + 3x2 − x3 + x4 2 x − x + x − x c) + x4 x1 + x2 x2 + x4 ; = = −9 = 15 = 3.2 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss 2 x1 x a) 3x1 x1 + x2 + 3x3 + x4 = − 3x2 + x3 − x4 = + x2 + 11x3 + ; x4 = − x2 + x3 − 10 x4 = x1 2 x b) 4 x1 3 x1 − x3 3 x1 x c) 5 x1 2 x1 − x2 − + 3x2 + 3x3 − x4 = − x2 − x3 + x4 = 3x1 2 x d) 3x1 x1 x2 + + x2 − − 3x4 x3 − = −1 x4 = − x2 − x3 − x4 = + 15 x2 − x3 + x4 = 19 − 3x4 = −1 + x2 − − 3x2 + + x3 x3 − x4 ; ; = x3 − x4 = −7 x2 − 3x3 + x4 = − 12 + x2 − 10 x3 + 16 x4 = − 17 + x2 − x3 = + x4 82 3.3 Xét xem hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng có nghiệm: 2 x1 + 3x2 = 2 x1 + x2 − x3 − x4 = a) 3x1 + x2 = ; b) ; 2 x1 − x2 + x3 − x4 = x +x = x1 − x2 + x3 − x4 = c) x1 − x2 + x3 − x4 = ; 5 x − x + x − x = 3 x1 + x2 − 3x3 − x4 = d ) 2 x1 − x2 + x3 − x4 = x − x − 3x − 3x = − 3.4 Đối với hệ phương trình sau, tìm giá trị tham số a b để hệ có nghiệm: ax + y + z = ax + y + z = a ) x + ay + z = a ; b) x + by + z = x + y + az = a x + 2by + z = 3.5 Tìm điều kiện cần đủ để hệ phương trình ax + y + z = x + ay + z = có nghiệm x + y + az = 3.6 Giải hệ phương trình sau phương pháp định thức: x1 + x2 + x3 − x4 = a) 3x1 − x2 + x3 − x4 = − 12 ; x − x + x + x = − 12 2 x1 + x2 + x − 3x + b) 11 x2 + 4 x1 − x2 + x3 − x4 = −1 x3 + x4 = 2 x3 − x4 = − x3 + 3x4 = ; 83 x1 + x2 2 x − x c) x1 + x2 3x1 − x2 − x3 + x4 − x5 = + x3 − 3x4 + x5 = − x3 + x4 − x5 = ; + x3 − x4 + x5 = 3.7 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x1 + x2 + x3 − x4 = a) 3x1 − x2 + x3 − 3x4 = ; x − x + x + 5x = x1 x b) 2 x1 3x1 x1 x c) x1 + 3x2 − x3 + x4 − x5 = + 3x2 − x3 + x4 + x5 = + x2 − x3 + x4 ; = + x2 − 3x3 + x4 + x5 = − x2 + 3x3 − x4 + x5 = + x2 − − − x5 x3 x2 + x3 − 3x4 x2 − x3 + = = x4 − x5 = 3.8 Tìm hệ nghiệm số chiều không gian nghiệm hệ phương trinh: x1 + x2 − x3 − 3x4 = a) ; =0 2 x1 − x2 − x3 2 x1 − x2 − x3 + x4 = b) x1 − x2 − x3 − x4 = ; 5 x − x − 3x − x = x1 x c) 2 x1 x1 + x2 − 3x3 = − x2 + x3 + x4 = + x2 − x3 + x4 = + x2 − x3 − x4 = x1 − x2 − x3 3x − 12 x − x d) x1 + x2 3x2 + x4 + x5 + x6 = + x4 + x5 + 3x6 = − x4 + x5 − x6 = − x4 − x5 = 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Nguyễn Duy Thuận, Phí Mạnh Ban, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm [2] Hồng Xuân Sính, Trần Phương Dung, Bài tập Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục 2000 [3] Khu Quốc Anh- Nguyễn Anh Kiệt- Ta Mân- Nguyễn Doãn Tuấn, Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [4] Trần Văn Hạo- Hoàng Kỳ, Bài tập Đại số cao cấp, NXB Giáo dục 1978 [5] Nguyễn Đình Trí -Tạ Văn Đĩnh- Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán cao cấp- tập I, NXBGD 2008 [6]Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp- tập I, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006 [7] Nguyễn Đình Trí -Tạ Văn Đĩnh- Nguyễn Hồ Quỳnh, tốn cao cấp- tập I, NXBGD 2008 85 ... 21 5 −4 24 15 20 + 19 = 1 ? ?1 5 −4 −4 ? ?1 = = 19 −4 − + 19 + 19 5 + 19 ? ?1 −4 1 19 19 19 19 + = 1 ? ?1 2 −4 1 1 ? ?1 1 = 19 −5 1 ? ?1 ? ?1 0 −4 19 19 19 19 ? ?1 = 19 ? ?1 ? ?1 = 19 − = 19 (16 2 − 21) = 2679 − 21. .. định thức cấp a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 = a11a22 a33 + a13a21a32 + a31a12a23 − a13a22a 31 − a11a32a23 − a33a12a 21 a 31 a32 a33 Ví dụ 1 = 2.3.9 + 1. 1.7 + 4.5.8 − 1. 4.3 − 2.7.8 − 9.5 .1 = 52 1. 5.2 Khai... 10 b) −4 −2 1. 9 Tính định thức sau cách đưa dạng tam giác: −3 a) ? ?1 − b) ? ?1 −4 10 16 8; 0 0 15 c) −2 10 − −3 − 15 − 13 ; n ? ?1 n e) ? ?1 − n ; ? ?1 − − 1 1 1 d) 3 4 5 ; 1 1 1 5 a1 ? ?1 − a1