Một số đề ôn tập môn kỹ sư tài năng đại học bách khoa hà nội

Một số ñề luyện tập ðề số Câu I 2) ln (1 + x ) − 2011 Chứng minh f ′( x) ≤ phương trình f ( x) = x có nghiệm thực Cho dãy số thực {un } ñược xác ñịnh sau: Cho hàm số f ( x) = ln (1 + un ) − 2011 , với n ≥ hội tụ .c om 1) u1 = a ∈ ℝ , un +1 = Chứng minh dãy {un } ng Câu II Cho số thực dương a, b, c Phương trình sau có nghiệm thực x > : co 1 + + = a+ x b+ x c+ x x an Câu III 1) Cho hàm số f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn: th f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y Giả sử hàm f ( x) khả vi ñoạn [ 0;1] f ′(0) f ′(1) < du on 2) g Chứng minh tồn x0 ∈ [ 0;1] ñể f ( x0 ) = x0 Chứng minh tồn c ∈ ( 0;1) cho f ′ ( c ) = Câu IV Chứng minh cu 2) u 2π 1) ∫ sin x 2dx > Hàm f ( x) khả tích đoạn [ 0;1] [ a, b] ⊂ [ 0;1] ∫ f ( x)dx > Chứng minh tồn ñoạn mà ñó f ( x) > Câu V Cho nửa ñưởng thẳng chéo Ax, By AB = a (a > 0) đoạn vng góc chung Góc Ax, By 30o Hai ñiểm C, D chạy Ax By cho tổng AC + BD = d (d > 0) khơng đổi Xác định vị trí ñiểm C, D cho thể tích tứ diện ABCD ñạt giá trị lớn *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh u1 = , un+1 = 2011un2 + un Tìm giới hạn: u u u  lim  + + … + n  n →∞ u un +1   u3 c om Câu II 1) Giả sử hàm f ( x) xác ñịnh liên tục ℝ f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ Chứng minh tồn x0 ∈ ℝ cho f ( x0 ) = x0 ng Tìm tất hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ Câu III 2012 2011 1) So sánh hai số 20122011 2) Giả sử hàm f : ( a, b ) → ℝ hàm khả vi liên tục, với x, y ∈ ( a, b ) , tồn th an 20112012 co 2) f ( y ) − f ( x) = f ′( z ) Chứng minh f lồi nghiêm ngặt y−x f lõm nghiêm ngặt ( a, b ) Câu IV du on g z mà u Trong phịng có người, người có người quen Chứng minh cu có người đơi quen Câu V Cho số nguyên dương n Chứng minh bất ñẳng thức:      1 +  1 + … 1 + n  <      *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I Cho phương trình x + − m − x = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .c om Câu II 1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần ñoạn [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) Chứng minh tồn x0 ∈ ( a, b ) cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) 2) Tìm tất hàm f ( x) khả vi hai lần ℝ cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = , ∀x ∈ ℝ x≠0 x=0 co   x sin Cho hàm số ϕ ( x ) =  x 0 ng Câu III an 1) Chứng minh hàm ϕ ( x) khả vi ñiểm x = g th 2) Giả sử f ( x) khả vi điểm x = Tính đạo hàm f (ϕ ( x ) ) ñiểm x = du on Câu IV   Giả sử hàm f : ( −a, a ) \ {0} → ( 0, +∞ ) thỏa mãn lim  f ( x) + = x→0 f ( x)   Chứng minh lim f ( x) = 1) x →0 u Chứng minh với t ≥ , phương trình x + tx − = ln có nghiệm cu 2) dương nhất, ký hiệu x (t ) Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt Câu V Trong phịng có người, người có người quen Chứng minh có người đơi quen *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I π 1) Tính I = ∫ dx + ( tan x ) 2) Tìm tất hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn: c om f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + = Câu II Giả sử x1 , x2 ,… , xn nghiệm phức phương trình x n + x n −1 + … + x + = n ∑ 1− x k =1 k ng Tính co Câu III 1) Tìm tất hàm số dương f ( x) khả vi liên tục [ 0;1] thỏa mãn ñiều kiện: Câu IV du on g th an  f ′( x)  f (1) = ef (0) ∫   dx ≤ f ( x )  0 2) Tìm tất hàm khả vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ Trên mặt phẳng Oxy cho điểm khơng thẳng hàng A, B, C Biết OA=1, OB=2, OC=3 cu u Chứng minh diện tích tam giác ABC khơng lớn Câu V Cho số thực phân biệt k1 , k2 ,… , kn Chứng minh rằng: a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = , ∀x ∈ ℝ a1 = a2 = … = an *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I  π4  n   1) Tính lim  n ∫ ( tan x ) dx  n →∞     c om 2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] Câu II 1) Cho hàm f ( x) khả vi ñoạn [ a, b ] thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b) = , f ( x) ≠ , ∀x ∈ ( a, b ) Chứng minh tồn dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) cho: ( ) e − f ( xn ) un 1+ 1+ u an 2) Cho dãy {un } : u0 = , un+1 = n th Câu III 25 g 1) Số lớn hai số sau: = 2011 ng n →∞ f ′ ( xn ) co lim  n Tìm lim ( 2n un ) n  n →∞ ∏ 1 − 365  n =1 cu Câu IV f ′′ ( x ) = e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ u du on 2) Tìm tất hàm f ( x) khả vi cấp hai [ a, b ] thỏa mãn f (a ) = f (b) = và: Trong phịng có 100 người, người quen với 67 người khác Chứng minh rằng, phòng phải có người đơi quen Câu V Giải hệ phương trình:  x1 + x2 + 3x3 + … + nxn = a1  x + x + x + … + nx = a   …  xn + x1 + x2 + … + nxn −1 = an *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I u0 = u1 = Cho dãy {un } ñược xác ñịnh sau:  un + = un +1 + un Chứng minh {un } dãy tăng (n ∈ ℕ) Chứng minh {un } có giới hạn hữu hạn n → ∞ Tìm lim un n →∞ du on g th an co ng c om Câu II 1) Có tồn hay khơng đa thức P ( x) thỏa mãn P ( x) > P′′( x ) P′( x) > P′′( x ) , với x ∈ ℝ 2) Biết ña thức Q( x) có tính chất Q( x) > Q′( x) , với x ∈ ℝ Chứng minh Q ( x ) > , với x ∈ ℝ Câu III f ( x) + f ( y ) Cho phương trình hàm: f ( x + y ) = (1) − f ( x) f ( y ) 1) Chứng minh hàm f ( x) = tan(cx ) , c số, thỏa mãn phương trình (1),  1 ∀x, y ∈  − ,   2  1 2) Tìm tất f ( x) hàm khả vi  − ,  thỏa mãn phương trình (1)  2 Câu IV 1) Với n ∈ ℕ , ñặt S n diện tích tam giác cong tạo đường: x = , y = 1, y = x n Tính lim Sn n →∞ cu u 2) Cho số thực p, q > thỏa mãn 1 + = Chứng minh rằng: p q ab ≤ a p bq + p q Câu V Giải hệ phương trình: a   x1 + x2 + … + xn −1 + xn = 2004  a + x1  x2 + … + xn −1 + xn =  20052 −   ………… ……  a + x1 + … + xn −1  xn =  2005n − *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I 1) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh liên tục [ 0;1] thỏa mãn: xf ( y ) + yf ( x) ≤ , ∀x, y ∈ [ 0;1] π Chứng minh rằng: ∫ f ( x)dx ≤ 2) Cho số thực dương p, q thỏa mãn p + q < dãy số {un }n∈ℕ không âm thỏa c om mãn ñiều kiện un + ≤ pun +1 + qun , với n ∈ ℕ Chứng minh dãy {un }n∈ℕ hội tụ tìm giới hạn dãy Câu II Cho f ( x) = a1 sin ( b1 x ) + a2 sin ( b2 x ) + … + an sin ( bn x ) ng 1) Chứng minh phương trình f ( x) = có nghiệm khoảng ( 0; 2π ) co 2) Giả sử f ( x) ≤ sin x , ∀x ∈ ( −1;1) Chứng minh rằng: a1b1 + a2b2 + … + an bn ≤ an Câu III 1) Tìm x > cho lim x + x + x + … + x = x n →∞ ( n dấu căn) th n roots g 2) Tìm tất hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn f ( x ) = f ( x + ) , ∀x ∈ ℝ du on Câu IV Trong mặt phẳng cho 2011 ñiểm cho ñiểm có điểm cách khoảng không vượt Chứng minh : tồn hình trịn bán cu u kính chứa 1006 điểm Câu V Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với n ∈ ℕ* : 4n + n n < + +… + n < n *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I + 22 + 33 + … + n n n →∞ nn dx 2) Tính tích phân: I = ∫ x e + x + −1 1) Tìm giới hạn: lim ( )( ) Câu II a 503 + + = n + n +1 n c om 1) Cho số nguyên dương n số thực a thỏa mãn 2012 2) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh khả vi cấp hai ℝ , thỏa mãn ñiều kiện f ( x ) + f ′′( x ) ≥ , với x ∈ ℝ Chứng minh rằng: f ( x) + f ( x + π ) ≥ , với x ∈ ℝ co ng Chứng minh rằng: a ≤ Câu III ∀x ∈ ℝ ∀x, y ∈ ℝ th an  f ( x) ≥ e2011x Tìm tất hàm f ( x) thỏa mãn:   f ( x + y ) ≥ f ( x) f ( y ) g Câu IV du on Cho hàm liên tục f : [ 0;1] → [ 0;1] ðặt ∫ f ( x)dx = a Chứng minh rằng: x ∫ F ( x)dx ≤ a − cu 2) u 1) F ( x ) ≤ x F ( x ) ≤ a , với F ( x) = ∫ f ( x)dx 0 a a2 ≤ xf ( x)dx ∫0 3) ∫ xf ( x)dx ≤ a − 4) a2 ðẳng thức xảy nào? Câu V Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 ñường thẳng cho ñường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 ñường thẳng ñó có ñường thẳng ñồng quy *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I n 1) Tính: lim ∫ n→∞ e− x − x n dx 1+ e 2) ℚ tập hợp số hữu tỉ Tìm tất hàm liên tục f : [ a, b ] → [ a, b ] , thỏa mãn: f ( x) = , với x ∈ ℚ ∩ [ a, b ] Chứng minh ∃c ∈ ( 0;1) cho f ′(c) = c c om Câu II 1) Cho hàm f ( x) khả vi [ 0;1] , f ′(0) = , f ′(1) = du on g th an co ng 2) Hàm ϕ ( x) khả vi cấp hai [ 0; +∞ ) Biết ϕ ( x ) > , ϕ ′( x) > ϕ ( x)ϕ ′′( x) ϕ ′( x) ≤ , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) Chứng minh lim =0 2 x →+∞ (ϕ ′( x) ) (ϕ ( x ) ) Câu III 1) Giải hệ phương trình:  xyz = x + y + z  yzt = y + z + t    ztx = z + t + x txy = t + x + y 2) Cho hàm liên tục f : [ 0;1] → [1; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Chứng minh rằng: dx ∫ f ( x) < cu Câu IV u Cho bàn cờ quốc tế x Hỏi qn mã nước từ bên trái kết thúc ô bên phải hay không ? (Với điều kiện phải qua tất bàn cờ qua ñúng lần) Câu V Chứng minh đa giác có cạnh mà tỉ số ñộ dài chúng 1  nằm khoảng  ;  2  *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ðề số 10 Câu I Cho dãy { xn }n∈ℕ* xác định cơng thức truy hồi xn +1 = xn2 − , với x1 = 1) Tìm giới hạn lim n →∞ xn +1 x1 x2 … xn 1  1 2) Tìm giới hạn lim  + +… +  n →∞ x x1 x2 … xn   x1 x2 π c om Câu II (n ∈ ℕ ) sin nx sin x 1) Tính tích phân I n = ∫ * 2) Cho hàm f ( x) khả vi ñoạn [ 0;1] thỏa mãn f (0) = , f (1) = ng Chứng minh với k1 > , k2 > , tồn x1 , x2 ∈ [ 0;1] cho: co k1 k2 + = k1 + k f '( x1 ) f '( x2 ) an Câu III Tìm số α lớn số β nhỏ ñể: n +α  1 ≤ e ≤ 1 +   n th  1 1 +   n g Câu IV n+ β du on Một nhà hình chữ nhật lát kín loại gạch có kích thớc x x Người ta dỡ gạch lên không may làm vỡ viên x Họ thay viên bị vỡ viên x u tiến hành lát lại sàn nhà Hỏi lát kín nhà hay không? cu Câu V Cho n số thực a1 , a2 ,… , an thỏa mãn ≤ ak ≤ , với k = 1, 2,… , n Chứng minh rằng: (1 + a1 + a2 + … + an ) ≥ a12 + a22 + … + an2 ( ) *** 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ln 2011 ln 2012 > ⇒ 2012 ln 2011 > 2011ln 2012 2011 2012 Từ suy đpcm ñó 2) Phản chứng Giả sử ngược lại, ñó tồn ñường thẳng cắt ñồ thị hàm f ( x) ñiểm phân biệt A = (α , f (α ) ) , B = ( β , f ( β ) ) , C = ( γ , f (γ ) ) với a − x − y ta có:  1   1  1 1 − 1 − … 1 − n  > − − − … − n = −  − n 2      2  1 = + n >  2 Kết hợp (1) (2) ñược ñpcm *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (2) Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I 1) Khi m = , (1) có nghiệm x = 2) Nếu m < , (1) vô nghiệm Nếu m ≥ , (1) có nghiệm x = m − + 2m + c om Câu II 1) Xét hàm g ( x ) = e− x f ( x ) g ′′( x) = e − x ( f ′′ ( x ) − f ′ ( x ) + f ( x ) ) , áp dụng ñịnh lý Rolle 2) Xét hàm g ( x) = ( f ′ ( x ) ) Khi đó, g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = co ng ðáp số: f ( x) = ax + b an Câu III ϕ ( x) − ϕ (0) 1 1) lim = lim x sin = (vì sin ≤ ) x→0 x → x−0 x x g th 1 1   f  x sin  − f (0) f  x sin  − f (0) x x =  =  x sin x x x sin x du on x Suy lim f (ϕ ( x ) ) − f (ϕ ( ) ) ðáp số: u 2) f (ϕ ( x ) ) − f (ϕ ( ) ) x→0 x→0 = x cu x = f ′(0) lim xsin Câu IV 1) ðặt h( x) = f ( x ) − , g ( x) = −1 f ( x) Ta có lim ( h( x) + g ( x) ) = , lim h( x) g ( x) = , suy lim ( h( x) + g ( x )2 ) = x→0 x→0 x→0 Do đó, lim h( x) = lim g ( x ) = Vậy lim f ( x) = x→0 x →0 2) t = ⇒ x = , x→0 t = ⇒ x =1  − x3  31 ðổi biến, I = ∫ ( x(t ) ) dt = ∫ x d   = ∫ ( x + )dx =  x  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Câu V cu u du on g th an co ng c om Biểu thị người ñiểm mặt phẳng quan hệ họ ñoạn thẳng Nếu người quen ñoạn nối màu ñỏ, khơng quen đoạn nối màu xanh Bất tam giác có cạnh màu đỏ (*) Ta cần chứng minh có tứ giác mà cạnh ñường chéo ñều màu ñỏ Xét khả năng: - Có đỉnh A đầu mút ñoạn màu xanh, giả sử AB,AC,AD,AE Theo (*), tứ giác BCDE tứ giác phải tìm - Mọi ñỉnh ñều mút nhiều cạnh màu xanh Nhưng khơng thể đỉnh 9⋅3 ñều mút ñúng cạnh xanh, số đoạn đếm khơng phải số ngun, vơ lí Do đó, phải có ñỉnh M mút nhiều cạnh xanh, suy M mút đoạn đỏ, gọi đầu mút cịn lại đoạn A,B,C,D,E,F Mặt khác, ln có tam giác màu có đỉnh điểm A,B,C,D,E,F (chứng minh tương tự câu IV ñề 2), chẳng hạn ñó tam giác ABC Khi ñó, ñỉnh M,A,B,C lập nên tứ giác cần tìm Tóm lại, ln có tứ giác mà cạnh ñường chéo màu đỏ (đpcm) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I π − x , ta có: π π 2 I=∫ dx + ( tan x ) =∫ π dx  π  +  tan  − x   2   π 2 = ∫  + ( tan x )  =∫ dx + ( cot x ) π + 1 + ( cot x )  π 12 dx = ∫ dx =  20  c om 1) ðổi biến t = co ng 2) Xem lời giải toán 10 – Hàm liên tục , áp dụng với a = b = c = an Câu II Gọi α ≠ nghiệm phức x n +1 = , α nghiệm phức phương trình x n + x n −1 + … + x + = , { x1 , x2 ,… , xn } = {α , α ,… , α n } n 1 n  1  =∑ = + ∑  k k n +1− k  k =1  − α − α  k =1 − xk k =1 − α th n Vậy, S = n cu Câu III du on 1 − α k − α n +1− k + = =1 − α k − α n+1− k (1 − α k )(1 − α n+1− k ) ( k = 1, n ) (vì α n +1 = ) u Mà g Do đó, S = ∑ 2 1 1  f ′( x)   f ′( x)  f ′( x) f ′( x) 1) ∫  − 1 dx ≥ ⇒ ≥ ∫  dx + dx ≥ dx ⇒ ≥ dx  ∫ ∫ ∫ f ( x)  f ( x)  f ( x) f ( x) 0 0 0 1 Mà ∫ f ′( x) f (1) dx = ln f ( x) = ln = ln e = f ( x) f (0) ðẳng thức xảy (1) ⇔ f ′( x) = , ∀x ∈ [ 0;1] f ( x) Từ tìm hàm f ( x) = e x + c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (1) Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 2) f ′( x) = f ( f ( x) ) > , nên f hàm tăng ℝ f ( x) > ⇒ f ′( x) = f ( f ( x) ) > f (0) , ∀x ∈ ℝ f ( x) − f (0) = f ′(c) > f (0) x Khi đó, f ( x) < xf (0) + f (0) = ( x + 1) f (0) < x < −1 , vơ lí Với x < −1 , tồn c ∈ ( x ;0 ) cho Vậy không tồn hàm f thỏa mãn ñề , BH = , CH = 10 ng Khi đó, áp dụng định lý Pythagore tính được: AH = 1 HS(ABC) = V ( HABC ) ≤ HA×HB×HC= , mà HO = Do S(ABC) ≤ c om Câu IV Dựng ñiểm H không gian cho OH ⊥ mp(ABC) OH = cu u du on g th an co Câu V Giải tương tự Bài toán – Hàm khả vi CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I π n +1 tn n d (t ) 1) I n = n ∫ ( tan x ) dx = n ∫ dt = t +1 n + ∫0 t + 0 ∫ 1 n +1 t ( 2t ) t n +1 t n+ 2 = + dt = + ∫0 t + dt t + t + ∫0 ( t + 1) 2 ( ) (t t n+2 ⇒ lim ∫ d ( t n +1 ) t +1 dt ≤ ∫ = 1 Vậy lim I n = →∞ n 2 co n →∞ t n+2 n t n+ dt = t dt = ⇒ lim dt = n →∞ ∫ (2t )2 ∫0 ( n + 1) 0 ( t + 1) + 1) c om ∫ d ( t n+1 ) ng n an 2) Xem lời giải toán 4, ñề thi KSTN 1999 n e −1 = ⇒ lim n →∞ n n ( n ) e −1 = , ta chứng minh tồn dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) cho du on n →∞ g 1) lim th Câu II f ′ ( xn ) 2011 2011 = ⇔ f ′ ( xn ) − f ( xn ) = f ( xn ) n n cu u (Bài liên quan ñến hàm dạng f ′ ( x ) + P ( x) f ( x) = ) Xét hàm g n ( x) = e − 2011 x n f ( x) , g n ( a ) = g n ( b ) = Áp dụng ñịnh lý Rolle với hàm g n ( x ) , thu ñược dãy { xn } thỏa mãn ñề 2) Sử dụng biến đổi cơng thức un = tan tan x + + ( tan x ) π 3⋅ n = sin x x = tan phép quy nạp ñể chứng minh + cos x Khi đó, lim ( 2n un ) = n →∞ π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Câu III 1) Áp dụng bđt Cơ-si (AM-GM): 25  25  n  25 ⋅ 26   1− 25 ∑   25   n    n =1  365    = 1 − 13  − ≤ = −    ∏    365   25  n =1   25 ⋅ 365   365        Theo nhị thức Newton: 13  13 132 25 ⋅ 24  ⋅ 25 + ⋅ < 1 −  ≤ 1− 365 3652 2  365  25 n   Suy ∏ 1 − < 365  n =1  c om 25 2) Do tính liên tục nên ∃x1 , x2 ∈ [ a, b ] cho f ( x1 ) = max f ( x) , f ( x2 ) = f ( x) Có f (a ) = f (b) = , nên f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ≤ [ a ,b ] ng [ a ,b ] Nếu f ( x1 ) > x1 ∈ ( a, b ) , x1 điểm cực đại ⇒ f ′′( x1 ) < < e x1 f ( x1 ) , vơ lí an Do đó, f ( x1 ) = f ( x2 ) = Vậy f ( x ) ≡ co Nếu f ( x2 ) < x2 ∈ ( a, b ) , x2 ñiểm cực tiểu ⇒ f ′′( x2 ) > > e x2 f ( x2 ) , vơ lí cu u du on g th Câu IV Mỗi người phịng khơng quen nhiều 100 – 67 – = 32 người Xét người A, mời tất khơng quen A ngồi phịng Trong phịng cịn 100 – 32 = 68 người, chọn lấy người gọi B Mời tiếp khơng quen B ngồi, phịng cịn 68 – 32 = 36 người, chọn người gọi C Mời nốt khơng quen C ngồi, cịn 36 – 32 = người phịng, tức ngồi A,B,C cịn người phịng lúc này, gọi D Bộ tứ A,B,C,D đơi quen Câu V Cộng theo vế tất phương trình hệ được: ( a1 + a2 + … + an ) x1 + x2 + … + xn = n ( n + 1) Lấy phương trình thứ k trừ phương trình thứ k + (khi k = n lấy phương trình thứ n trừ phương trình đầu), ta có: ( x1 + x2 + … xn ) − nxk = ak − ak +1 Suy xk = ( a1 + a2 + … + an ) ak − ak +1 , k = 1, n , an +1 = a1 − n ( n + 1) n *** 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I Nếu un +1 < un , ∀n ≤ k uk +1 = uk + uk −1 < uk + uk +1 = uk + un = un −1 + un − < un ⇒ un < , ∀n ≥ c om Câu II 1) Dễ thấy khơng tồn đa thức bậc 0,1,2 thỏa mãn đề Xét ña thức P ( x ) bậc n ≥ thỏa mãn ñiều kiện P ( x ) > P′′( x ) P′( x) > P′′( x ) , ∀x ∈ ℝ Khi đó, đa thức P( x) − P′′( x) có bậc n chẵn, ña thức P′( x ) − P′′( x ) có bậc n − chẵn, mâu thuẫn Vậy không tồn ña thức thỏa mãn ñề 2) Phản chứng Giả sử ∃x0 ñể Q ( x0 ) < Do Q ( x) − Q′( x) > , ∀x ∈ ℝ , nên bậc n số chẵn, suy lim f ( x) = +∞ Khi đó, tồn x1 , x2 thỏa mãn x1 < x0 < x2 ng x →±∞ g ( x1 ) = g ( x2 ) = ðặt f ( x) = e − xQ ( x ) Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) = , áp dụng ñịnh lý Rolle, an co phương trình f ′( x) = ⇔ e − x ( Q′( x) − Q( x) ) = ⇔ Q′( x) − Q ( x) có nghiệm th Câu III 1) Kiểm tra trực tiếp f ( x) + f ( y ) 2) f ( x + y ) = − f ( x) f ( y ) f ( x) + f (0) ⇒ f (0) + ( f ( x) ) = ⇒ f (0) = Thay y = ñược f ( x) = − f ( x) f (0) du on g ( ) ( ) cu u f (∆x) + f ( x) f ( x) + f (∆x) f ( x + ∆x) − f ( x) Mặt khác, f ( x + ∆x ) = ⇒ = − f ( x) f (∆x) ∆x ∆x (1 − f ( x) f (∆x) ) f ′( x) Cho ∆x → , ta ñược f ′( x) = f ′(0) (1 + f ( x) ) = c1 (1 + f ( x) ) , ⇒ = c1 + f ( x)2 Lấy nguyên hàm vế, ta có arctan f ( x) = c1 x + c2 ⇒ f ( x) = tan ( c1 x + c2 ) Do f (0) = nên c2 = Vậy f ( x) = tan(c1 x) Câu IV 1) S n = ∫ x n dx = ⇒ lim Sn = n →∞ n +1 2) Do ( p − 1)(q − 1) = nên ñồ thị (C) hàm y = x q −1 đồ thị hàm x = y p −1 b bq Diện tích giới hạn ñường y = , y = b (C) S1 = ∫ x dx = q q −1 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 a ap p Diện tích hình chữ nhật giới hạn ñường x = , x = a , y = , y = b S = ab Dễ thấy S1 + S2 ≥ S , suy đpcm Diện tích giới hạn ñường x = , x = a (C) S1 = ∫ y p −1dy = Câu V Cộng thêm x1 + x2 + … + xi −1 vào vế phương trình thứ i ≥ , suy ñược: a  2005i − 2005    2005i  2004  Khi đó, với ≤ i ≤ n − : xi = ( x1 + x2 + … + xi ) − ( x1 + x2 + … + xi −1 ) c om x1 + x2 + … + xi −1 = a  2005i +1 − 2005  a  2005i − 2005  a −   = i +1 i  i 2005  2004 2004  2005   2005 a Và xn = 2004 ⋅ 2005n −1 cu u du on g th an co ng = 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I 1) xf ( y ) + yf ( x) ≤ , ∀x, y ∈ [ 0;1]  π Thay x = sin t , y = cos t , t ∈ 0;  , ta có:  2 sin t ⋅ f (cos t ) + cos t ⋅ f (sin t ) ≤ π ⇒ ∫ ( sin t ⋅ f (cos t ) + cos t ⋅ f (sin t ) ) dt ≤ π π 2 0 ⇒ − ∫ f (cos t )d (cos t ) + ∫ f (sin t )d (sin t ) ≤ π 1 0 ≥ − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx ≤ co 2) Xem giải Bài toán 5, Dãy số π ng ⇒ π c om du on g th an Câu II 1) Không tổng quát giả sử bi ≠ , ∀i = 1, n a a a Xét hàm F ( x) = − cos ( b1 x ) − cos ( b2 x ) − … − n cos ( bn x ) b1 b2 bn F (0) = F (2π ) , sau áp dụng định lý Rolle 2) f ′( x) = a1b1 cos ( b1 x ) + a2b2 cos ( b2 x ) + … + anbn cos ( bn x ) a1b1 + a2b2 + … + anbn = f ′(0) = lim u x →0 f ( x) sin x ≤ lim =1 x →0 x x cu Câu III 1) x = Giải tương tự Bài toán 14, Dãy số x 2) Xét dãy { xn } : xn +1 = n − , x0 số thực tùy ý Khi đó, f ( x0 ) = f ( xn ) , ∀n ∈ ℕ Chứng minh lim xn = −2 , từ suy f ( x0 ) = lim f ( xn ) = f (−2) = c , ∀x0 ∈ ℝ n →∞ n →∞ Kết luận: f ( x) hàm Câu IV Lấy điểm A 2011 điểm cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính + Nếu tất ñiểm ñều nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm + Nếu tồn ñiểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Khi đó, xét điểm C số 2009 điểm cịn lại Xét điểm A, B, C, AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2, suy 2009 ñiểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo ngun lí ði-rích-lê ta có hình trịn chứa 1005 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1006 điểm 2011 điểm ñã cho Câu V * Chứng minh bất ñẳng thức: n> n > n n − (n − 1) n − ⇔ n > (n − 1) n − n − n n −1 ⇔ > n + n −1 ( ) n n − (n − 1) n − (1) (1) ⇔ k =1 ) n ∑ k k − (k − 1) k − ⇒ k =1 ) + +… + n > ( n −1 + n < n n − (n − 1) n − th * Chứng minh bất ñẳng thức: ( ng ( co k> an n ∑ (2) n −1 n −1 n −1 n < = < 2 n + n −1 n −1 (2) ñúng với n ∈ ℕ* Từ (1) suy ) c om ( ) g n − + n < n n − (n − 1) n − n −1 − n ⇔ < (n − 1) n − n − n −1 − n n −1 ⇔ < n + n −1 (3) ⇔ ) ( u du on ( cu ⇔ n −1 − n )( ) n + n − < 4(n − 1) ⇔ n(n − 1) < 2n − ⇔ 4n(n − 1) < (2n − 1) ⇔ < k −1 + k n < ∑ k k − (k − 1) k − ∑ k =1 k =1 ⇒ + +… + n −1 + n< n n 4n + ⇒ + + … + n −1 + n < n n Từ (3) suy ( ) Gợi ý cách giải hình học: Vẽ đồ thị hàm y = x *** 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt n n (3) Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I 1) Ta có ≤ an = + 22 + 33 + … + n n n + n + … + n n n n +1 − n n n − n n ≤ = = n ⋅ < n n n n n n ( n − 1) n n −1 n −1 Theo nguyên lý kẹp, lim an = n →∞ 2) I = ∫( −1 1 dx dx  1  = = + −x ∫ ∫ x −x x e + x + −1 e + x + −1  e + x + e + x2 + )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )   dx   dx π = ∫ −1 x + Câu II ax n + x n +1 503 x n 1) Xét hàm f ( x) = + + n + n +1 n Do f (0) = f (1) = nên phương trình f ′( x ) = có nghiệm ng c om = co Khi đó, phương trình ax + x + 503 = có nghiệm, suy ∆ = − 2012a ≥ ⇒ a ≤ an 2) Với x ∈ ℝ cố ñịnh, xét hàm g ( y ) = f ′( y ) sin( y − x ) − f ( y ) cos( y − x) Khi đó, g ′( y ) = ( f ′′( y ) + f ( y ) ) sin( y − x) ≥ , ∀y ∈ [ x, x + π ] 2012 th Suy g ( x ) ≤ g ( x + π ) , nghĩa f ( x) + f ( x + π ) ≥ cu u du on g Câu III  f ( x) ≥ e2011x ∀x ∈ ℝ (1)  ∀x, y ∈ ℝ (2)  f ( x + y ) ≥ f ( x) f ( y ) Từ (1) suy f ( x) > , ∀x ∈ ℝ Thay x = vào (1) ñược f (0) ≥ Thay y = vào (2) ñược f ( x) ≥ f ( x) f (0) ⇒ f (0) ≤ Do f (0) = Thay y = − x vào (2) ta có = f (0) ≥ f ( x) f (− x) ≥ e2011x e−2011x = , suy f ( x) = e2011x Câu IV x x 0 1) f ( x) ≤ ⇒ F ( x) = ∫ f ( x)dx ≤ ∫ dx = x f ( x) ≥ ⇒ F ( x) ≤ F (1) = a , ∀x ∈ [ 0;1] 2) Theo câu 1, ta có: a a 0 a a ∫ F ( x)dx = ∫ F ( x)dx + ∫ F ( x)dx ≤ ∫ xdx + ∫ a dx = a2 a2 + a (1 − a ) = a − 2 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 3) Tích phân phần, ∫ F ( x)dx = xF ( x) − ∫ xf ( x)dx = a − ∫ xf ( x)dx 0 Theo câu 2, 1 ∫ F ( x)dx ≤ a − 0 2 a a ⇒ ∫ xf ( x)dx ≥ 2 4) Xét hàm g ( x) = − f ( x) , g : [ 0;1] → [ 0;1] liên tục, ∫ g ( x)dx = − a (1 − a ) ≤ ∫ xg ( x)dx = ∫ x (1 − f ( x) ) dx = − ∫ xf ( x)dx 2 0 Theo câu 3, ta có Suy ∫ xf ( x)dx ≤ 1 c om (1 − a ) a2 − ≤a− 2 co ng  x ( ≤ x ≤ a ) ðẳng thức xảy bất ñẳng thức 3) F ( x) =  a ( a ≤ x ≤ 1) Do F ( x) khả vi [ 0;1] nên a = a = , ứng với F ( x) ≡ F ( x) ≡ x an Khi đó, f ( x) ≡ f ( x) ≡ th Do đó, ñẳng thức xảy (4) f ( x) ≡ f ( x) ≡ g Câu V cu u du on Gọi M, Q, N, P trung ñiểm AB, BC, CD, DA (hình 3) Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d 17 ñường thẳng ñã cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có : S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3 Trên PQ lấy hai ñiểm L1, L2 thỏa mãn ñiều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy hai ñiểm K1, K2 thỏa mãn ñiều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2 Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng ñã cho phải ñi qua ñiểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Vì 17 > 4.4 nên theo ngun lí ði-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) ñi qua ñiểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 ñường thẳng ñồng quy, ñpcm) *** 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I n e− x 1+ e 1) I n = ∫ − e − nt d (e− nt ) dt = − ∫0 + e−t + e−t x n dx = n ∫ e− nt e− ( n +1) t e− ( n+1)t =− − dt = − dt + e −t ∫0 (1 + e−t ) 2 ∫0 (1 + e−t ) 1 e− ( n +1) t 1   ⋅ e− ( n +1) t = − n +1  dt ≤ ∫ e− ( n +1) t dt = −  −t (1 + e ) n +1 n +1  e  0 1 Mà ≤ ∫ e− ( n +1)t dt = ⇒ lim I n = − t n →∞ (1 + e ) x →∞ c om ⇒ lim ∫ 2) Xét số vô tỉ r ∈ [ a, b ] tùy ý Khi ñó, tồn dãy số hữu tỉ { xn } cho lim xn = r n →∞ Do f liên tục [ a, b ] nên f (r ) = lim f ( xn ) = Vậy f ( x) ≡ ng n →∞ co Câu II 1) Giải tương tự câu III, ðề số (ϕ ′( x) ) − ϕ ( x)ϕ ′′( x) ϕ ′( x) 2) ðặt f ( x) = , ta có f ′( x) = − , f ′′( x) = ϕ ( x) ϕ ( x) (ϕ ( x ) ) th an Khi đó, f ( x) > , f ′( x) < , f ′′( x) ≥ , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) g ⇒ f ′( x ) < f ′( x) không giảm [ 0; +∞ ) , nên tồn giới hạn lim f ′( x) = c ≤ du on x →∞ f ( x) − f (0) Áp dụng Lagrange, ∃ α ∈ ( 0; x ) : = f ′(α ) ≤ c ⇒ f ( x) ≤ cx + f (0) , ∀x > x Nếu c < lim ( cx + f (0) ) = −∞ , mâu thuẫn với f ( x ) > u x →+∞ ϕ ′( x) =0 x →+∞ (ϕ ( x ) ) cu Suy c = Vậy lim f ′( x) = ⇒ lim x →∞ Câu III  xyz = x + y + z 1)  ⇒ yz ( x − t ) = x − t ⇒ ( x − t )( yz − 1) =  yzt = y + z + t Nếu yz = thay vào phương trình đầu x = x + y + z ⇒ y + z = ⇒ yz = ( y + z ) − y − z < , mâu thuẫn với yz = Do đó, x = t Chứng minh tương tự ñược x = y = z = t Thay vào phương trình đầu ñược nghiệm hệ x = y = z = t = 17 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 2) Ta có ≤ f ( x ) ≤ ⇒ ( f ( x) − 1)( f ( x) − ) ≤ ⇒ f ( x) + Do ñó, ∫ f ( x)dx + ∫ 0 dx ≤ , mà f ( x) ∫ f ( x)dx = nên 2 ≤ , ∀x ∈ [ 0;1] f ( x) dx ∫ f ( x) ≤ Nếu đẳng thức xảy hàm f ( x) nhận giá trị [ 0;1] , tính liên tục nên ∫ f ( x ) ≡ f ( x) ≡ Khi đó, f ( x)dx = 0 Vậy đẳng thức khơng xảy ra, nghĩa ∫ f ( x)dx = , mâu thuẫn giả thiết dx ∫ f ( x) < c om Câu IV th an co ng Ta tô ô bàn cờ xen kẽ màu ñen trắng bàn cờ vua Do “ bình đẳng màu “ nên khơng tính tổng qt ta giả sử bên trái có màu trắng Từ cách mã ta nhận thấy sau nước ñi mã sang ô khác màu với ô mà đứng Vì sau số lẻ nước ñi mã ô màu ñen , sau số chẵn nước mã màu trắng Trở lại tốn, ta thấy từ ô bên trái lên ô bên phải cần 63 nước Vì bên phải cần mang màu ñen ðiều vơ lý Vậy qn mã khơng thể từ ô bên trái nên ô bên phải yêu cầu ñầu ñược u du on g Câu V Giả sử đa giác có ñộ dài cạnh thứ tự a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an a Ta cần chứng minh có số i mà i +1 < a Thật vậy, giả sử i +1 ≥ , ∀i = 1, n cu Khi đó, an ≥ 2i an −i , ∀i = 1, n 1    ⇒ a1 + a2 + … + an −1 ≤ an  n −1 + n −2 + … +  = an 1 − n −1  ≤ an 2 2   Nếu cạnh AB có ñộ dài an theo trên, ñộ dài ñường gấp khúc dọc theo chu vi ña giác ngắn ñộ dài đoạn thẳng AB, vơ lí Vậy có số i mà ≤  a  +1 <  ⇒ < i ≤ 1 (ñpcm)  +1  18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... du on Một nhà hình chữ nhật lát kín loại gạch có kích thớc x x Người ta dỡ gạch lên không may làm vỡ viên x Họ thay viên bị vỡ viên x u tiến hành lát lại sàn nhà Hỏi lát kín nhà ñược hay không?... https://fb.com/tailieudientucntt ðề số Câu I 1) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh liên tục [ 0;1] thỏa mãn: xf ( y ) + yf ( x) ≤ , ∀x, y ∈ [ 0;1] π Chứng minh rằng: ∫ f ( x)dx ≤ 2) Cho số thực dương p, q thỏa mãn p + q < dãy số {un... sin Cho hàm số ϕ ( x ) =  x 0 ng Câu III an 1) Chứng minh hàm ϕ ( x) khả vi ñiểm x = g th 2) Giả sử f ( x) khả vi điểm x = Tính đạo hàm f (ϕ ( x ) ) ñiểm x = du on Câu IV   Giả sử hàm f