Bộ đề thi kỹ sư tài năng đại học bách khoa hà nội

du on Tài liệu gồm: g th an co ng c om Trần Vũ Trung - ðề thi tuyển sinh chương trình KSTN mơn tốn 2008 – 2010 u - 12 đề tự ơn tập cu - Hướng dẫn giải – ðáp số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ng Bộ tài liệu gồm: 1) Hàm liên tục 2) Hàm khả vi 3) Dãy số 4) Tích phân 5) Lời giải đề thi KSTN năm 2008, 2009, 2010 6) Một số ñề luyện tập (12 ñề) c om “Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài 2011” bao gồm viết theo chủ ñề số ñề thi ñược biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh mơn tốn vào chương trình đào tạo KSTN & KSCLC trường ðại học Bách khoa Hà Nội an co (Tài liệu tham khảo khác ñi kèm: 0.1 ðề thi ñáp án mơn tốn KSTN 1999 – 2007 (Vũ Hữu Tiệp) 0.2 ðề thi đáp án mơn giải tích kì thi Olympic Sinh viên năm.) cu u du on g th Các viết trình bày với mục đích hệ thống hóa cách trọng tâm lí thuyết phương pháp giải tốn giải tích bậc phổ thơng Với tốn ví dụ nhiều dạng thường xuất ñề thi KSTN năm trước ñây, viết mong muốn ñem ñến định hình cấu trúc đề thi nội dung kiến thức cần thiết mà bạn cần ơn tập, chuẩn bị cho kì thi tới Các viết khơng đơn tập hợp tốn lời giải mà cịn cung cấp số nhận xét quan trọng ñể tiếp cận lời giải cách ñặt vấn ñề cách tự nhiên, có hệ thống Mong tài liệu bổ ích phục vụ cho q trình học tập mơn giải tích phổ thơng nói giúp bạn ôn thi cách hiệu Mặc dù có nhiều cố gắng q trình biên soạn chắn tránh khỏi thiếu sót, tác giả cám ơn ý kiến đóng góp để tài liệu hồn chỉnh Mọi thắc mắc, góp ý xin gửi địa hịm thư: vutrunglhp@gmail.com Hà Nội, tháng năm 2011 Trần Vũ Trung, Sinh viên lớp KSTN ðKTð – K55 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề năm 2008 Bài 1: Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn: Tìm giới hạn lim ( n xn )  x1 =   x1 + x2 + … + xn = n xn n →∞ Bài 2: sin nx sin x Bài 3: c om π Cho số nguyên dương n Tính tích phân: I = ∫ Cho hàm số f ( x) liên tục [0;1] thỏa mãn f (0) > , ∫ f ( x) dx < 2008 có nghiệm thuộc khoảng (0;1) ng Chứng minh phương trình f ( x) = x 2007 an co Bài 4: Cho hàm số f ( x) liên tục [0;1] khả vi (0;1) thỏa mãn f (0) = , f (1) = Chứng minh tồn số phân biệt a, b ∈ (0;1) cho f '(a ) f '(b) = th Bài 5: Cho hàm số f : [a ; b] → [a ; b] thỏa mãn: du on g f ( x) − f ( y ) < x − y với x, y ∈ [a ; b] ; x ≠ y Chứng minh phương trình f ( x) = x có nghiệm [a ; b] cu u Bài 6: Cho IK đoạn vng góc chung đường thẳng chéo a b ( I ∈ a, K ∈ b ), M N hai điểm thuộc a b cho IM + KN = MN Trong số ñiểm cách ñều ñường thẳng a , b MN , tìm điểm có khoảng cách đến đường nói ngắn *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề năm 2009 Câu I: Cho phương trình x + x − mx + = 1) Giải phương trình (1) m = (1) m tham số 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .c om Câu II: 1) Chứng minh với số thực a cho trước hàm số f(x) = |x – a| có ñạo hàm ñiểm x ≠ a đạo hàm điểm x0 = a 2) Cho trước số thực λ1 , λ2 , , λn khác đơi Chứng minh rằng: k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … + kn x − λn = ∀x ∈ ℝ k1 = k2 = … = kn = ng Câu III: co  x + y + z − x − z − = 1) Tìm số thực x, y , z , p, q, r thỏa mãn  2  p + q + r + 10 p − 6q − 14r + 47 = Câu IV: du on g th an cho P = x + y + z + p + q + r − xp − yq − zr ñạt giá trị lớn 2) Cho nửa ñường thẳng chéo Ax, By AB = a (a > 0) đoạn vng góc chung Góc Ax, By 30o Hai ñiểm C, D chạy Ax, By cho AC+BD = d (d > 0) khơng đổi Xác định vị trí điểm C, D cho thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn u  f ( x) ≤ x Tìm hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn:  với x, y ∈ ℝ  f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y ) cu Câu V: Cho hàm số f : ℝ → ℝ liên tục thỏa mãn: f ( λ x + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ) với x, y ∈ ℝ λ ∈ (0;1)  a+b  với a, b ∈ ℝ ; a < b  b Chứng minh rằng: ∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f  a *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề năm 2010 Câu I 2π 1) Tính ∫ sin ( sin x + nx ) dx với n ∈ ℤ Cho hàm số y = f ( x) xác ñịnh tập số thực, thỏa mãn: 2) f ( x) − f ( y ) ≤ x − y ∀x, y ∈ ℝ Câu II 1) c om f ( f ( f (0))) = Chứng minh f (0) = Cho hàm số f ( x) khả vi liên tục cấp hai [0;1], có f " (0) = f " (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0;1) cho f " (c) = c ng ( n dấu thức bậc hai) Hàm số f ( x) khả vi x0 ñược gọi lồi (lõm) ñiểm tồn lân an Câu III 1) Tính lim 30 + 30 + 30 + ⋯ + 30 co 2) cận ñiểm x0 U ( x0 ) cho: ∀x ∈ U ( x0 ) ta có: th f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) g (tương ứng f ( x) ≤ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) ) x0 ∈ (a ; b) Số lớn hai số sau: 22 11 + 22 + 33 + ⋯ + 10001000 22 cu u 2) du on Chứng minh hàm số khả vi (a ; b) lồi (lõm) điểm Câu IV Trong phịng có người, người ln tìm người quen người khơng quen Chứng minh nhóm ngồi quanh bàn tròn cho người ñều quen với người ngồi cạnh Câu V Cho A, B, C góc tam giác nhọn Chứng minh rằng: tan n A + tan n B + tan n C ≥ + 3n ∀n ∈ ℕ *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Một số ñề luyện tập ðề số Câu I 2) ln (1 + x ) − 2011 Chứng minh f ′( x) ≤ phương trình f ( x) = x có nghiệm thực Cho dãy số thực {un } ñược xác ñịnh sau: Cho hàm số f ( x) = ln (1 + un ) − 2011 , với n ≥ hội tụ .c om 1) u1 = a ∈ ℝ , un +1 = Chứng minh dãy {un } ng Câu II Cho số thực dương a, b, c Phương trình sau có nghiệm thực x > : co 1 + + = a+ x b+ x c+ x x an Câu III 1) Cho hàm số f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn: th f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y Giả sử hàm f ( x) khả vi ñoạn [ 0;1] f ′(0) f ′(1) < du on 2) g Chứng minh tồn x0 ∈ [ 0;1] ñể f ( x0 ) = x0 Chứng minh tồn c ∈ ( 0;1) cho f ′ ( c ) = Câu IV Chứng minh cu 2) u 2π 1) ∫ sin x 2dx > Hàm f ( x) khả tích đoạn [ 0;1] [ a, b] ⊂ [ 0;1] ∫ f ( x)dx > Chứng minh tồn ñoạn mà ñó f ( x) > Câu V Cho nửa ñưởng thẳng chéo Ax, By AB = a (a > 0) đoạn vng góc chung Góc Ax, By 30o Hai điểm C, D chạy Ax By cho tổng AC + BD = d (d > 0) khơng đổi Xác định vị trí điểm C, D cho thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh u1 = , un+1 = 2011un2 + un Tìm giới hạn: u u u  lim  + + … + n  n →∞ u un +1   u3 c om Câu II 1) Giả sử hàm f ( x) xác ñịnh liên tục ℝ f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ Chứng minh tồn x0 ∈ ℝ cho f ( x0 ) = x0 ng Tìm tất hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ Câu III 2012 2011 1) So sánh hai số 20122011 2) Giả sử hàm f : ( a, b ) → ℝ hàm khả vi liên tục, với x, y ∈ ( a, b ) , tồn th an 20112012 co 2) f ( y ) − f ( x) = f ′( z ) Chứng minh f lồi nghiêm ngặt y−x f lõm nghiêm ngặt ( a, b ) Câu IV du on g z mà u Trong phịng có người, người có người quen Chứng minh cu có người đơi quen Câu V Cho số nguyên dương n Chứng minh bất ñẳng thức:      1 +  1 + … 1 + n  <      *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I Cho phương trình x + − m − x = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .c om Câu II 1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần ñoạn [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) Chứng minh tồn x0 ∈ ( a, b ) cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) 2) Tìm tất hàm f ( x) khả vi hai lần ℝ cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = , ∀x ∈ ℝ x≠0 x=0 co   x sin Cho hàm số ϕ ( x ) =  x 0 ng Câu III an 1) Chứng minh hàm ϕ ( x) khả vi ñiểm x = g th 2) Giả sử f ( x) khả vi điểm x = Tính đạo hàm f (ϕ ( x ) ) ñiểm x = du on Câu IV   Giả sử hàm f : ( −a, a ) \ {0} → ( 0, +∞ ) thỏa mãn lim  f ( x) + = x→0 f ( x)   Chứng minh lim f ( x) = 1) x →0 u Chứng minh với t ≥ , phương trình x + tx − = ln có nghiệm cu 2) dương nhất, ký hiệu x (t ) Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt Câu V Trong phịng có người, người có người quen Chứng minh có người đơi quen *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I π 1) Tính I = ∫ dx + ( tan x ) 2) Tìm tất hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn: c om f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + = Câu II Giả sử x1 , x2 ,… , xn nghiệm phức phương trình x n + x n −1 + … + x + = n ∑ 1− x k =1 k ng Tính co Câu III 1) Tìm tất hàm số dương f ( x) khả vi liên tục [ 0;1] thỏa mãn ñiều kiện: Câu IV du on g th an  f ′( x)  f (1) = ef (0) ∫   dx ≤ f ( x )  0 2) Tìm tất hàm khả vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ Trên mặt phẳng Oxy cho điểm khơng thẳng hàng A, B, C Biết OA=1, OB=2, OC=3 cu u Chứng minh diện tích tam giác ABC không lớn Câu V Cho số thực phân biệt k1 , k2 ,… , kn Chứng minh rằng: a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = , ∀x ∈ ℝ a1 = a2 = … = an *** CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I  π4  n   1) Tính lim  n ∫ ( tan x ) dx  n →∞     c om 2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] Câu II 1) Cho hàm f ( x) khả vi ñoạn [ a, b ] thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b) = , f ( x) ≠ , ∀x ∈ ( a, b ) Chứng minh tồn dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) cho: ( ) e − f ( xn ) un 1+ 1+ u an 2) Cho dãy {un } : u0 = , un+1 = n th Câu III  25 g 1) Số lớn hai số sau: = 2011 ng n →∞ f ′ ( xn ) co lim n Tìm lim ( 2n un ) n  n →∞ ∏ 1 − 365  n =1 cu Câu IV f ′′ ( x ) = e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ u du on 2) Tìm tất hàm f ( x) khả vi cấp hai [ a, b ] thỏa mãn f (a ) = f (b) = và: Trong phịng có 100 người, người quen với 67 người khác Chứng minh rằng, phịng phải có người đơi quen Câu V Giải hệ phương trình:  x1 + x2 + 3x3 + … + nxn = a1  x + x + x + … + nx = a   …  xn + x1 + x2 + … + nxn −1 = an *** 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Câu III 1) Áp dụng bđt Cơ-si (AM-GM): 25  25  n  25 ⋅ 26   1− 25 ∑   25   n    n =1  365    = 1 − 13  − ≤ = −    ∏    365   25  n =1   25 ⋅ 365   365        Theo nhị thức Newton: 13  13 132 25 ⋅ 24  ⋅ 25 + ⋅ < 1 −  ≤ 1− 365 3652 2  365  25 n   Suy ∏ 1 − < 365  n =1  c om 25 2) Do tính liên tục nên ∃x1 , x2 ∈ [ a, b ] cho f ( x1 ) = max f ( x) , f ( x2 ) = f ( x) Có f (a ) = f (b) = , nên f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ≤ [ a ,b ] ng [ a ,b ] Nếu f ( x1 ) > x1 ∈ ( a, b ) , x1 điểm cực ñại ⇒ f ′′( x1 ) < < e x1 f ( x1 ) , vơ lí an Do đó, f ( x1 ) = f ( x2 ) = Vậy f ( x ) ≡ co Nếu f ( x2 ) < x2 ∈ ( a, b ) , x2 ñiểm cực tiểu ⇒ f ′′( x2 ) > > e x2 f ( x2 ) , vơ lí cu u du on g th Câu IV Mỗi người phịng khơng quen nhiều 100 – 67 – = 32 người Xét người A, mời tất không quen A ngồi phịng Trong phịng cịn 100 – 32 = 68 người, chọn lấy người gọi B Mời tiếp không quen B ngồi, phịng cịn 68 – 32 = 36 người, chọn người gọi C Mời nốt khơng quen C ngồi, cịn 36 – 32 = người phòng, tức ngồi A,B,C cịn người phịng lúc này, gọi D Bộ tứ A,B,C,D đơi quen Câu V Cộng theo vế tất phương trình hệ được: ( a1 + a2 + … + an ) x1 + x2 + … + xn = n ( n + 1) Lấy phương trình thứ k trừ phương trình thứ k + (khi k = n lấy phương trình thứ n trừ phương trình đầu), ta có: ( x1 + x2 + … xn ) − nxk = ak − ak +1 Suy xk = ( a1 + a2 + … + an ) ak − ak +1 , k = 1, n , an +1 = a1 − n ( n + 1) n *** 36 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I Nếu un +1 < un , ∀n ≤ k uk +1 = uk + uk −1 < uk + uk +1 = uk + un = un −1 + un − < un ⇒ un < , ∀n ≥ c om Câu II 1) Dễ thấy khơng tồn đa thức bậc 0,1,2 thỏa mãn ñề Xét ña thức P ( x ) bậc n ≥ thỏa mãn ñiều kiện P ( x ) > P′′( x ) P′( x) > P′′( x ) , ∀x ∈ ℝ Khi đó, ña thức P( x) − P′′( x) có bậc n chẵn, ña thức P′( x ) − P′′( x ) có bậc n − chẵn, mâu thuẫn Vậy khơng tồn đa thức thỏa mãn đề 2) Phản chứng Giả sử ∃x0 ñể Q ( x0 ) < Do Q ( x) − Q′( x) > , ∀x ∈ ℝ , nên bậc n số chẵn, suy lim f ( x) = +∞ Khi đó, tồn x1 , x2 thỏa mãn x1 < x0 < x2 ng x →±∞ g ( x1 ) = g ( x2 ) = ðặt f ( x) = e − xQ ( x ) Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) = , áp dụng định lý Rolle, an co phương trình f ′( x) = ⇔ e − x ( Q′( x) − Q( x) ) = ⇔ Q′( x) − Q ( x) có nghiệm th Câu III 1) Kiểm tra trực tiếp f ( x) + f ( y ) 2) f ( x + y ) = − f ( x) f ( y ) f ( x) + f (0) ⇒ f (0) + ( f ( x) ) = ⇒ f (0) = Thay y = ñược f ( x) = − f ( x) f (0) du on g ( ) ( ) cu u f (∆x) + f ( x) f ( x) + f (∆x) f ( x + ∆x) − f ( x) Mặt khác, f ( x + ∆x ) = ⇒ = − f ( x) f (∆x) ∆x ∆x (1 − f ( x) f (∆x) ) f ′( x) Cho ∆x → , ta ñược f ′( x) = f ′(0) (1 + f ( x) ) = c1 (1 + f ( x) ) , ⇒ = c1 + f ( x)2 Lấy nguyên hàm vế, ta có arctan f ( x) = c1 x + c2 ⇒ f ( x) = tan ( c1 x + c2 ) Do f (0) = nên c2 = Vậy f ( x) = tan(c1 x) Câu IV 1) S n = ∫ x n dx = ⇒ lim Sn = n →∞ n +1 2) Do ( p − 1)(q − 1) = nên ñồ thị (C) hàm y = x q −1 đồ thị hàm x = y p −1 b bq Diện tích giới hạn ñường y = , y = b (C) S1 = ∫ x dx = q q −1 37 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 a ap p Diện tích hình chữ nhật giới hạn đường x = , x = a , y = , y = b S = ab Dễ thấy S1 + S2 ≥ S , suy ñpcm Diện tích giới hạn đường x = , x = a (C) S1 = ∫ y p −1dy = Câu V Cộng thêm x1 + x2 + … + xi −1 vào vế phương trình thứ i ≥ , suy ñược: a  2005i − 2005    2005i  2004  Khi đó, với ≤ i ≤ n − : xi = ( x1 + x2 + … + xi ) − ( x1 + x2 + … + xi −1 ) c om x1 + x2 + … + xi −1 = a  2005i +1 − 2005  a  2005i − 2005  a −   = i +1 i  i 2005  2004 2004  2005   2005 a Và xn = 2004 ⋅ 2005n −1 co ng = cu u du on g th an *** 38 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I 1) xf ( y ) + yf ( x) ≤ , ∀x, y ∈ [ 0;1]  π Thay x = sin t , y = cos t , t ∈ 0;  , ta có:  2 sin t ⋅ f (cos t ) + cos t ⋅ f (sin t ) ≤ π ⇒ ∫ ( sin t ⋅ f (cos t ) + cos t ⋅ f (sin t ) ) dt ≤ π π 2 0 ⇒ − ∫ f (cos t )d (cos t ) + ∫ f (sin t )d (sin t ) ≤ π 1 0 ≥ − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx ≤ co 2) Xem giải Bài toán 5, Dãy số π ng ⇒ π c om du on g th an Câu II 1) Không tổng quát giả sử bi ≠ , ∀i = 1, n a a a Xét hàm F ( x) = − cos ( b1 x ) − cos ( b2 x ) − … − n cos ( bn x ) b1 b2 bn F (0) = F (2π ) , sau áp dụng định lý Rolle 2) f ′( x) = a1b1 cos ( b1 x ) + a2b2 cos ( b2 x ) + … + anbn cos ( bn x ) a1b1 + a2b2 + … + anbn = f ′(0) = lim u x →0 f ( x) sin x ≤ lim =1 x →0 x x cu Câu III 1) x = Giải tương tự Bài toán 14, Dãy số x 2) Xét dãy { xn } : xn +1 = n − , x0 số thực tùy ý Khi đó, f ( x0 ) = f ( xn ) , ∀n ∈ ℕ Chứng minh lim xn = −2 , từ suy f ( x0 ) = lim f ( xn ) = f (−2) = c , ∀x0 ∈ ℝ n →∞ n →∞ Kết luận: f ( x) hàm Câu IV Lấy điểm A 2011 điểm cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính + Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm + Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính 39 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Khi đó, xét điểm C số 2009 điểm cịn lại Xét điểm A, B, C, AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, ñiểm C phải thuộc C1 C2, suy 2009 ñiểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo ngun lí ði-rích-lê ta có hình trịn chứa 1005 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1006 điểm 2011 ñiểm ñã cho Câu V * Chứng minh bất ñẳng thức: n> n > n n − (n − 1) n − ⇔ n > (n − 1) n − n − n n −1 ⇔ > n + n −1 ( ) n n − (n − 1) n − (1) (1) ⇔ k =1 ) n ∑ k k − (k − 1) k − ⇒ k =1 ) + +… + n > ( n −1 + n < n n − (n − 1) n − th * Chứng minh bất ñẳng thức: ( ng ( co k> an n ∑ (2) n −1 n −1 n −1 n < = < 2 n + n −1 n −1 (2) ñúng với n ∈ ℕ* Từ (1) suy ) c om ( ) g n − + n < n n − (n − 1) n − n −1 − n ⇔ < (n − 1) n − n − n −1 − n n −1 ⇔ < n + n −1 (3) ⇔ ) ( u du on ( cu ⇔ n −1 − n )( ) n + n − < 4(n − 1) ⇔ n(n − 1) < 2n − ⇔ 4n(n − 1) < (2n − 1) ⇔ < k −1 + k n < ∑ k k − (k − 1) k − ∑ k =1 k =1 ⇒ + +… + n −1 + n< n n 4n + ⇒ + + … + n −1 + n < n n Từ (3) suy ( ) Gợi ý cách giải hình học: Vẽ ñồ thị hàm y = x *** 40 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt n n (3) Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I 1) Ta có ≤ an = + 22 + 33 + … + n n n + n + … + n n n n +1 − n n n − n n ≤ = = n ⋅ < n n n n n n ( n − 1) n n −1 n −1 Theo nguyên lý kẹp, lim an = n →∞ 2) I = ∫( −1 1 dx dx  1  = = + −x ∫ ∫ x −x x e + x + −1 e + x + −1  e + x + e + x2 + )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )   dx   dx π = ∫ −1 x + Câu II ax n + x n +1 503 x n 1) Xét hàm f ( x) = + + n + n +1 n Do f (0) = f (1) = nên phương trình f ′( x ) = có nghiệm ng c om = co Khi đó, phương trình ax + x + 503 = có nghiệm, suy ∆ = − 2012a ≥ ⇒ a ≤ an 2) Với x ∈ ℝ cố ñịnh, xét hàm g ( y ) = f ′( y ) sin( y − x ) − f ( y ) cos( y − x) Khi đó, g ′( y ) = ( f ′′( y ) + f ( y ) ) sin( y − x) ≥ , ∀y ∈ [ x, x + π ] 2012 th Suy g ( x ) ≤ g ( x + π ) , nghĩa f ( x) + f ( x + π ) ≥ cu u du on g Câu III  f ( x) ≥ e2011x ∀x ∈ ℝ (1)  ∀x, y ∈ ℝ (2)  f ( x + y ) ≥ f ( x) f ( y ) Từ (1) suy f ( x) > , ∀x ∈ ℝ Thay x = vào (1) ñược f (0) ≥ Thay y = vào (2) ñược f ( x) ≥ f ( x) f (0) ⇒ f (0) ≤ Do f (0) = Thay y = − x vào (2) ta có = f (0) ≥ f ( x) f (− x) ≥ e2011x e−2011x = , suy f ( x) = e2011x Câu IV x x 0 1) f ( x) ≤ ⇒ F ( x) = ∫ f ( x)dx ≤ ∫ dx = x f ( x) ≥ ⇒ F ( x) ≤ F (1) = a , ∀x ∈ [ 0;1] 2) Theo câu 1, ta có: a a 0 a a ∫ F ( x)dx = ∫ F ( x)dx + ∫ F ( x)dx ≤ ∫ xdx + ∫ a dx = a2 a2 + a (1 − a ) = a − 2 41 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 3) Tích phân phần, ∫ F ( x)dx = xF ( x) − ∫ xf ( x)dx = a − ∫ xf ( x)dx 0 Theo câu 2, 1 ∫ F ( x)dx ≤ a − 0 2 a a ⇒ ∫ xf ( x)dx ≥ 2 4) Xét hàm g ( x) = − f ( x) , g : [ 0;1] → [ 0;1] liên tục, ∫ g ( x)dx = − a (1 − a ) ≤ ∫ xg ( x)dx = ∫ x (1 − f ( x) ) dx = − ∫ xf ( x)dx 2 0 Theo câu 3, ta có Suy ∫ xf ( x)dx ≤ 1 c om (1 − a ) a2 − ≤a− 2 co ng  x ( ≤ x ≤ a ) ðẳng thức xảy bất ñẳng thức 3) F ( x) =  a ( a ≤ x ≤ 1) Do F ( x) khả vi [ 0;1] nên a = a = , ứng với F ( x) ≡ F ( x) ≡ x an Khi đó, f ( x) ≡ f ( x) ≡ th Do đó, đẳng thức xảy (4) f ( x) ≡ f ( x) ≡ g Câu V cu u du on Gọi M, Q, N, P trung ñiểm AB, BC, CD, DA (hình 3) Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d 17 ñường thẳng ñã cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có : S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3 Trên PQ lấy hai ñiểm L1, L2 thỏa mãn ñiều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy hai ñiểm K1, K2 thỏa mãn ñiều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2 Tóm lại, đường thẳng số 17 ñường thẳng ñã cho phải ñi qua ñiểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Vì 17 > 4.4 nên theo ngun lí ði-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) ñi qua ñiểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 ñường thẳng ñồng quy, ñpcm) *** 42 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số Câu I n e− x 1+ e 1) I n = ∫ − e − nt d (e− nt ) dt = − ∫0 + e−t + e−t x n dx = n ∫ e− nt e− ( n +1) t e− ( n+1)t =− − dt = − dt + e −t ∫0 (1 + e−t ) 2 ∫0 (1 + e−t ) 1 e− ( n +1) t 1   ⋅ e− ( n +1) t = − n +1  dt ≤ ∫ e− ( n +1) t dt = −  −t (1 + e ) n +1 n +1  e  0 1 Mà ≤ ∫ e− ( n +1)t dt = ⇒ lim I n = − t n →∞ (1 + e ) x →∞ c om ⇒ lim ∫ 2) Xét số vô tỉ r ∈ [ a, b ] tùy ý Khi đó, tồn dãy số hữu tỉ { xn } cho lim xn = r n →∞ Do f liên tục [ a, b ] nên f (r ) = lim f ( xn ) = Vậy f ( x) ≡ ng n →∞ co Câu II 1) Giải tương tự câu III, ðề số (ϕ ′( x) ) − ϕ ( x)ϕ ′′( x) ϕ ′( x) 2) ðặt f ( x) = , ta có f ′( x) = − , f ′′( x) = ϕ ( x) ϕ ( x) (ϕ ( x ) ) th an Khi đó, f ( x) > , f ′( x) < , f ′′( x) ≥ , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) g ⇒ f ′( x ) < f ′( x) không giảm [ 0; +∞ ) , nên tồn giới hạn lim f ′( x) = c ≤ du on x →∞ f ( x) − f (0) Áp dụng Lagrange, ∃ α ∈ ( 0; x ) : = f ′(α ) ≤ c ⇒ f ( x) ≤ cx + f (0) , ∀x > x Nếu c < lim ( cx + f (0) ) = −∞ , mâu thuẫn với f ( x ) > u x →+∞ ϕ ′( x) =0 x →+∞ (ϕ ( x ) ) cu Suy c = Vậy lim f ′( x) = ⇒ lim x →∞ Câu III  xyz = x + y + z 1)  ⇒ yz ( x − t ) = x − t ⇒ ( x − t )( yz − 1) =  yzt = y + z + t Nếu yz = thay vào phương trình đầu ñược x = x + y + z ⇒ y + z = ⇒ yz = ( y + z ) − y − z < , mâu thuẫn với yz = Do ñó, x = t Chứng minh tương tự ñược x = y = z = t Thay vào phương trình đầu nghiệm hệ x = y = z = t = 43 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 2) Ta có ≤ f ( x ) ≤ ⇒ ( f ( x) − 1)( f ( x) − ) ≤ ⇒ f ( x) + Do đó, ∫ f ( x)dx + ∫ 0 dx ≤ , mà f ( x) ∫ f ( x)dx = nên 2 ≤ , ∀x ∈ [ 0;1] f ( x) dx ∫ f ( x) ≤ Nếu ñẳng thức xảy hàm f ( x) nhận giá trị [ 0;1] , tính liên tục nên ∫ f ( x ) ≡ f ( x) ≡ Khi đó, f ( x)dx = 0 Vậy ñẳng thức không xảy ra, nghĩa ∫ f ( x)dx = , mâu thuẫn giả thiết dx ∫ f ( x) < c om Câu IV th an co ng Ta tô ô bàn cờ xen kẽ màu ñen trắng bàn cờ vua Do “ bình đẳng màu “ nên khơng tính tổng qt ta giả sử ô bên trái có màu trắng Từ cách ñi mã ta nhận thấy sau nước mã sang khác màu với mà đứng Vì sau số lẻ nước mã màu ñen , sau số chẵn nước ñi mã màu trắng Trở lại tốn, ta thấy từ bên trái lên ô bên phải cần ñi 63 nước ñi Vì bên phải cần mang màu đen ðiều vơ lý Vậy qn mã khơng thể từ bên trái nên ô bên phải yêu cầu ñầu ñược u du on g Câu V Giả sử ña giác có ñộ dài cạnh thứ tự a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an a Ta cần chứng minh có số i mà i +1 < a Thật vậy, giả sử i +1 ≥ , ∀i = 1, n cu Khi đó, an ≥ 2i an −i , ∀i = 1, n 1    ⇒ a1 + a2 + … + an −1 ≤ an  n −1 + n −2 + … +  = an 1 − n −1  ≤ an 2 2   Nếu cạnh AB có độ dài an theo trên, độ dài ñường gấp khúc dọc theo chu vi ña giác ngắn độ dài đoạn thẳng AB, vơ lí Vậy có số i mà ≤  a  +1 <  ⇒ < i ≤ 1 (ñpcm)  +1  *** 44 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số 10 Câu I 1) Xem giải Bài toán 28, Dãy số Câu II π (n∈ ℕ ) sin nx dx sin x 1) I n = ∫ * π π π ng π π  sin x = = = I I dx  n −1 ∫ ∫0 dx = π sin x  Suy ra, ∀n ∈ ℕ* :  π π  I = I = sin x dx = cos x dx = ∫0 sin x ∫0  2n  co 2) Xem giải Bài toán 29, Hàm khả vi n+ β  1  1 ⇔ ( n + α ) ln 1 +  ≤ ≤ ( n + β ) ln 1 +   n  n ⇔α ≤ −n≤ β (*)  1 ln 1 +   n th  1 ≤ e ≤ 1 +   n du on g n +α an Câu III  1 1 +   n c om sin (n + 1) x − sin (n − 1) x cos nx sin x I n +1 − I n −1 = ∫ dx = ∫ dx = 2∫ cos nx dx = , ∀n ∈ ℕ* sin x sin x 0 −x ( x > 0)  1 ln 1 +   x Ta có f ′( x) = −1 1 2 x( x + 1) ln 1 +   x cu u Xét hàm f ( x) = 1 t   Dễ chứng minh ñược ln (1 + t ) < , ∀t > , suy ln 1 +  < x = t +1  x  + x( x + 1) x Do đó, f ′( x ) > , ∀x > , f hàm tăng ( 0; +∞ ) 1 − , lim f (n) = n →∞ ln 2 1 Vậy số cần tìm α = −1 , β = ln 2 Mà f (1) = 45 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Câu IV Chia nhà thành vng đơn vị Ta đánh số vào góc bên trái Sau cách đánh số (như hình vẽ) 1 1 1 c om 1 Viên x ln có bị đánh số, cịn x ln có bị đánh số Do thay viên x viên x số đánh dấu thay đổi số lẻ nên khơng thể lát kín sàn nhà với số gạch Bài tốn có câu trả lời phủ ñịnh ( ng Câu V Xét hàm số f ( x) = x − (1 + a1 + a2 + … + an ) x + a12 + a22 + … + an2 ) Ta có lim f ( x) = +∞ ; f (1) = ∑ ( ak2 − ak ) ≤ , ≤ ak ≤ , với k = 1, 2,… , n x →+∞ k =1 Suy phương trình f ( x) = có nghiệm ( co n ) cu u du on g th an Do ∆ = (1 + a1 + a2 + … + an ) − a12 + a22 + … + an2 ≥ 46 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số 11 Câu I  x2 + y2 + z =  1) Khi a = , hệ  x + y + z = x + y2 + z2 =   x2 + y + z =  ⇒ y − z =  ( x − z )( x + z − 1) =  x2 + y2 + z =   y + z −1 = ( x − z )( x + z − 1) =  du on g th an co ng c om 1 1 ðáp số: nghiệm  , ,  ; ( −1, −1, −1) , ( 0, 0,1) , ( 0,1, ) ; (1, 0, ) 2 2 2) Biến ñổi giống câu 1 Nếu a < − , hệ vô nghiệm  1 1 Nếu a = − , hệ có nghiệm  − , − , −   4 4 Nếu a > − , hệ ln có nghiệm ( x1 , x1 , x1 ) ( x2 , x2 , x2 ) , x1 x2 nghiệm phân biệt phương trình x + x − a = Kết luận: a = − Câu II 1) Không thể chắn Thí dụ f ( x) = x3 , c = f ( x1 ) − f ( x2 ) Khi đó, f ′(0) = , = x12 + x1 x2 + x22 > , với x1 ≠ x2 x1 − x2 2) Do f ( x) ≥ , ∀x ∈ ℝ , nên deg f = n số chẵn Xét ña thức g ( x) = f ( x) + f ′( x) + f ′′( x) + … + f ( n ) ( x) Do deg g = n chẵn nên lim g ( x) = +∞ , suy tồn x0 ∈ ℝ cho g ( x0 ) = g ( x) x →±∞ ℝ u Khi đó, g ′( x0 ) = cu Do deg f = n nên f ( n +1) ( x) = , suy g ′( x) = f ′( x) + f ′′( x) + … + f ( n ) ( x) = g ( x) − f ( x) Do đó, g ( x) ≥ g ( x0 ) = g ′( x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 ) ≥ , ∀x ∈ ℝ Câu III 1) f tăng, bị chặn 1, nên tồn giới hạn hữu hạn L = lim f ( x) thỏa mãn: x →+∞ L (1 − L ) ≥ 1 ⇒L= Cách làm tương tự Bài toán 16, Dãy số n  π 2) ∀x ∈ 0;  , ≤ x ≤ tan x ⇒ x ( tan x ) ≥ x n +1  4 47 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 π π ⇒ ∫ x ( tan x ) dx ≥ ∫ x n +1dx = n 0 π    n+2  n+2 c om Câu IV Ta chia quốc hội thành viện A, B cách tuỳ ý Ta gọi S(A), S(B) tổng số kẻ thù tất thành viên viện tương ứng Giả sử cách chia chưa thoả mãn yêu cầu: viện A có nghị sĩ C có kẻ thù A Ta thực thuật tốn tráo đổi: chuyển C từ A sang B ñể ñược cách chia mới: A’ = A\{C} B’ = B ∪ {C} Vì loại C khỏi A nên có kẻ thù C ngày trước ñược giảm ñi kẻ thù, cịn C lại có nhiều kẻ thù B, đó: S(A') ≤ S(A) − an co ng S(B') ≤ S(B) + Nếu cách chia chưa thoả mãn u cầu đó, ta tiếp tục làm Sau lần chuyển vậy, S(A) + S(B) ln giảm đơn vị Rõ ràng thuật toán phải dừng lại (nếu khơng, thu vơ số số tự nhiên nhỏ số S(A) + S(B) ban đầu, vơ lí), nghĩa tồn cách chia (A*,B*) thoả mãn yêu cầu toán th Câu V 1 4 Ta có + ≥ = = k n + − k k + ( 4n + − k ) 4n + 2n + ( < k < 4n + ) cu u du on g 1  3n +1  1   ⇒ 2 + +… + =2 = ∑  +  ≥ (2n + 1) 3n +  k = n +1  k 4n + − k  2n +  n +1 n + 1 ⇒ + +… + >1 n +1 n + 3n + *** 48 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 ðề số 12 Câu I π π 2 π  π  1) ∫ sin (sin x ) dx = ∫ sin  sin  − x   dx = ∫ sin (cos x ) dx   2 0 π π ( ) π ( ) ⇒ I = ∫ cos (cos x) + sin (sin x) dx = ∫ cos (cos x) + sin (cos x) dx = ∫ dx = 2 2 2) f ( x) = max { xy − f ( y )} π Với y = x ta có f ( x) ≥ x − f ( x) ⇒ f ( x) ≥ x2 Thử lại dễ thấy hàm thỏa mãn co Vậy f ( x) =  y2 y2  x2 ⇒ f ( x) = max { xy − f ( y )} ≤ max  xy −  = y∈ℝ y∈ℝ 2  ng Khi đó, xy − f ( y ) ≤ xy − 1 0 1 dx + ∫ ( x − 3) dx ≥ ∫ f ′′( x)(3 x − 3) dx = ∫ f ′′( x)( x − 1) dx , th ∫ ( f ′′( x) ) an Câu II 1) Xem giải Bài toán 14, Hàm liên tục 2) Ta có x2 , ∀x ∈ ℝ c om y∈ℝ 0 1 ∫ f ′′( x)( x − 1) dx = ∫ ( x − 1) d ( f ′( x) ) = ( x − 1) f ′( x) − ∫ f ′( x)dx = f ′(0) − f (1) + f (0) = , g du on 0 ∫ ( 3x − 3) ( ) dx = 9∫ x − x + dx = 0 dx ≥ − = u ∫ ( f ′′( x) ) cu Suy  f ′′( x) = 3x −  ðẳng thức xảy với  f (0) = f (1) =  f ′(0) =  ⇔ f ( x) = x3 3x − + x 2 Vậy f ( x )∈H ∫ ( f ′′( x) ) dx = Câu III Xem giải Bài toán 11, Dãy số 49 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Câu IV ðK: x > , y > ðặt log x − = a , log y − = b a + a + = 3b  Ta có  ⇒ a + a + + 3a = b + b2 + + 3b a b + b + = (*) f (t ) = t + t + + 3t t + 3t ln > (do t + t ≥ 0) f ′(t ) = + t +1 Vậy từ (*) suy a = b , a + a + = 3a → ln a + a + = a ln Xét: ) c om ( ) ( − ln < t2 +1 g (a) = = g (0) ⇒ a = ⇒ log3 x − = ⇒ x = y = Hệ phương trình có nghiệm x = y = co ng Xét hàm g (t ) = ln t + t + − t ln , g '(t ) = cu u du on g th an Câu V Lấy chu vi ña giác ñiểm A,B cho chúng chia chu vi ña giác thành đường gấp khúc AmB AnB có ñộ dài Gọi M trung điểm AB Lấy điểm C nằm (hoặc biên) ña giác Dễ thấy ñộ dài đường gấp khúc ACB khơng lớn độ dài ñộ dài ñường gấp khúc AmB C nằm nửa đa giác giới hạn AmB, khơng lớn ñộ dài ñộ dài ñường gấp khúc AnB C nằm nửa lại 1 Do đó, ta ln có AC + BC ≤ , suy CM ≤ ( AC + BC ) ≤ 2 Như vậy, ña giác nằm trọn đường trịn tâm M bán kính B m C M n A *** 50 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... K55 ng Bộ tài liệu gồm: 1) Hàm liên tục 2) Hàm khả vi 3) Dãy số 4) Tích phân 5) Lời giải đề thi KSTN năm 2008, 2009, 2010 6) Một số ñề luyện tập (12 ñề) c om ? ?Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài 2011”... số ñề thi ñược biên soạn phù hợp với nội dung ñề thi tuyển sinh mơn tốn vào chương trình đào tạo KSTN & KSCLC trường ðại học Bách khoa Hà Nội an co (Tài liệu tham khảo khác ñi kèm: 0.1 ðề thi đáp... dụ nhiều dạng thường xuất ñề thi KSTN năm trước ñây, viết mong muốn đem đến định hình cấu trúc ñề thi nội dung kiến thức cần thi? ??t mà bạn cần ôn tập, chuẩn bị cho kì thi tới Các viết khơng ñơn