chuyen de the tich khoi da dien le minh tam

LÊ MINH TÂM CHƯƠNG 01 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ II CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng tốn CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY  Dạng toán CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY  Dạng tốn CHĨP ĐỀU 11  Dạng toán TỶ SỐ THỂ TÍCH 14  Dạng toán TỔNG HIỆU THỂ TÍCH 18  Dạng tốn THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG 24  Dạng tốn THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN 29  Dạng tốn THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG – KHỐI HỘP 33  Dạng toán KHỐI ĐA DIỆN ĐƯỢC CẮT RA TỪ KHỐI LĂNG TRỤ 37  Dạng toán 10 MAX – MIN THỂ TÍCH 44 III BÀI TẬP RÈN LUYỆN .50 IV BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO 127 Biên soạn: LÊ MINH TÂM Trang Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các định nghĩa – Hình chóp hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh – Hình lăng trụ hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành – Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành Thể tích khối chóp  Cơng thức tính thể tích khối chóp: V  S.h Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) Cách xác định đường cao khối chóp: a Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao cạnh bên b Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy c Chóp có mặt bên vng góc đáy: chiều cao mặt bên vng góc đáy d Chóp chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy e Chóp có hình chiếu vng góc đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao từ đỉnh tới hình chiếu Thể tích khối lăng trụ  Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V  S.h Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) ● Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c ● Thể tích khối lập phương: V  a3 Trang LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Cơng thức diện tích đáy Ta có đa giác thường gặp sau: 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 1 S  ba.sin A  ca.sin B  ba.sin C 2 abc S  2R sin A.sin B.sin C 4R với R bán kính đường trịn ngoại tiếp S  p.r S Tam giác ABC với p nửa chu vi r bán kính đường trịn nội tiếp S  p  p  a  p  b  p  c  với p  ABC abc 2  a  b   c  c   a  b        1 ABC vuông A : S  AB.AC  BC.AH 2 S ABC đều, cạnh  x x :S  Chiều cao tam giác h   x Hình vng cạnh x S   x Hình chữ nhật S   x   y  ( x ; y : dài rộng) Hình bình hành ABCD S  AB.AD.sin BAD Hình thoi ABCD S  AB.AD.sin BAD  Hình thang: S ; AC.BD  a  b  h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc LÊ MINH TÂM S AC.BD Trang Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tỷ số diện tích AM trung tuyến, đặt SABC  S   S1  S2  S G trọng tâm, S đặt SABC  S   S1  S2  S3  NM  MN  NC đặt SABC  S   S1  S2  S3  S S SABCD  S  S1  S2  S3  S4  S SABC  S   S1  S2  S3  S4  SAMN AM AN   SABC AB AC Trang LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng toán CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY Phương pháp giải Khối chóp có sẵn chiều cao diện tích đáy Áp dụng công thức: V  S.h  Ví dụ 01 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA vng góc với  ABCD  SA  a Thể tích khối chóp S S.ABCD là: a3 A B a3 C a 3 D 3a3 A B D C Lời giải Chọn D Thể tích khối chóp VS ABCD a3  SABCD SA  3  Ví dụ 02 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: 4a3 A B 2a3 a3 C 2a3 D Lời giải Chọn D 1 2a3 VS ABCD  SABCD  SA   a  2a  3 LÊ MINH TÂM Trang Chun Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  Ví dụ 03 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, BC  2a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2a3 A B a3 C 2a3 D 2a3 Lời giải Chọn D Diện tích đáy: SABCD  AB.BC  2a2 Thể tích: V  SABCD SA  a3  Ví dụ 04 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy có độ dài 2a Thể tích khối tứ diện S.BCD là: a3 a3 C a3 a3 D A B Lời giải Chọn D Ta có: S BCD 1 a2  SABCD  Suy VS ABCD  SA.S 2 BCD a a3  2a  3  Ví dụ 05 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Tính thể tích khối chóp S.ABO a3 A C a3 12 2a3 B 12 D 4a3 Lời giải Chọn A Trang LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN AC  a  SOAB  OA.OB  a 2  a a2  a 3 Ta có: AC  2a  OA  OB  Vậy: VS.OAB  SA.SOAB  Dạng tốn CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY Phương pháp giải Khối chóp có mặt bên vng góc mặt phẳng đáy + Áp dụng công thức: V  S.h + Chiều cao khối chóp đoạn thẳng từ đỉnh chóp ta kẻ vng góc vào giao tuyến mặt bên mặt đáy Một số kiểu thường gặp:  Mặt bên SAB  vuông với đáy  ABCD  SAB tam giác cạnh x  SH   ABCD   h  SH   x với H trung điểm AB Mặt bên SAB  vuông với đáy  ABCD  SAB tam giác cân S  SH   ABCD   h  SH với H trung điểm AB  Ví dụ 01 Hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật có AB  2a 3; AD  2a Mặt bên SAB  tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABD 3 a B 3a3 C 4a3 A D 3a3 Lời giải Chọn D Gọi H trung diểm AB  SH   ABCD  2a   3a 1   3a   2a  2a  3a3 Tam giác SAB tam giác cạnh 2a nên SH  Vậy thể tích khối chóp SABD V   SH  SABD LÊ MINH TÂM Trang Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  Ví dụ 02 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; hình chiếu S  ABCD  trùng 3a Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a với trung điểm cạnh AB; cạnh bên SD  bằng: A a3 C a3 a3 a3 D B Lời giải Chọn D Gọi H trung điểm AB nên SH   ABCD  a a Lại có DH  a     2 Xét tam giác SDH vuông HL 2 3    1 2 SH  SH  DH   a    a   a  V  SABCD SH  a3 3      Ví dụ 03 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD    ABCD  , SA  SD Tính thể tích V khối chóp S.ABCD biết SC  a 21 a3 A V  B V  2a3 a3 2a3 D V  C V  Lời giải Chọn D Ta có: HC  Trang a 2a3  SH  2a  V  a2 2a  3 LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  Ví dụ 04 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vng cân C nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABD  , tam giác ABD tam giác có cạnh 2a Tính thể tích khối tứ diện ABCD A a a3 B C a3 D a3 Lời giải Chọn B Gọi H trung điểm AB Ta có DH   ABC  DH  a a3 ABC vuông cân C  2CA2  AB2  AC  BC  a  VABCD  DH.SABC  3  Ví dụ 05 Cho chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 3a SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích V S.ABCD , biết góc SC  ABCD  600 A V  18a3 15 B V  18a3 9a3 15 D V  9a3 C V  Lời giải Chọn C Ta có SABCD   3a   9a2 Gọi H trung điểm AB  SH   ABCD  CH hình chiếu vng góc SC  ABCD     SC ,  ABCD   SC , CH   SCH  60 Xét SCH vng H có CH  BC  BH  3a 3a 15 , SH  CH tan SCH  2 9a3 15 VS ABCD  SABCD SH  LÊ MINH TÂM Trang 10 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A 57 B 57 57 Lời giải C D 57 Chọn C Ttrong mặt phẳng ( ABC ) : Kẻ HC  AC , HB  AB  HB  SAB , HC  SAC   AM  SBH  , AN  SCH   SH   AMN  Mà SA   ABC  , ASH  90   AMN  ,  ABC   SA,SH   ASH  ASH  60; BC  AB2  AC  2.AB.AC.cos120  19 S 2S ABC 3 1 3  AB.AC.sin 120  2.3   AI   2 2 BC 19 ABC AH  AB  sin BCA AB AB.AC 2.3 19    AI AI 3 AC 19 19 SA  AH  tan 60  19  V  SA.S S ABC 3 ABC 19 3 57   3 Câu 137 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH chiều cao hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt bên SBC  b Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V  C V  ab a  16b ab a  16b B V  D V  2a3b a2  16b2 2ab a  16b Lời giải Chọn B Trang 113 LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S J I D K C H A M B Vì S.ABCD hình chóp tứ giác suy H tâm hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC , K hình chiếu vng góc H lên SM BC  SH    BC   SHM  BC  HM   SBC   SHM  , mà HK  SM  HK  SBC  Ta có: Suy HK  2IJ  2b , ta có SH  HK HM  HM  HK 2ab Vậy V  2a3b a2  16b2 a2  16b2 Câu 138 Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có đáy hình vng; khoảng cách góc hai đường thẳng AC DC 7a với cos  Thể tích khối lăng trụ cho A 3a3 C 3a Lời giải B 9a3 3a3 D Chọn B D C A B E D' A'    C' O   B'   d  AC , DC    d AC ,  AC D   d A ,  AC D   d D,  ACD     AC D với cos   Đặt DD  x , DE   DO  3a 3a , ta có 1 1     2  2 2 DD DO DE 9a x DO 9a 9a x x2  DO  x  x  9a x  9a x  9a 3ax LÊ MINH TÂM Trang 114 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN tan  cos 1  DO x    x  3a OC 3a 3ax  a nên VABCD ABCD  AA.SABCD  9a3 Vì AA  3a AB  2 x  9a Câu 139 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ' B' C ' có đáy tam giác vng cân C BA  2a góc tạo  ABC '   ABC  60o Gọi M , N trung điểm A ' C ' BC Mặt Khi tan   AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Tìm thể tích phần nhỏ A 3a3 24 B a3 24 3a3 Lời giải C D a3 Chọn A Kẻ MP / / A ' B ' Góc tạo  ABC '   ABC  góc C ' JC  600 với J trung điểm AB CC '  CJ.tan 600  a SABC  CJ.AB  a2 1 S1  SACN  SABC  a2 2 1 S2  SC ' MP  SABC  C ' M.C ' P  a2 CC ' 3a V S1  S2  S1S2  24   Câu 140 Cho hình lăng trụ ABC.A B C tích Gọi M , N điểm nằm cạnh AA, BB cho M trung điểm AA BN  BN Đường thẳng CM cắt đường thẳng AC điểm P , đường thẳng CN cắt đường thẳng AB Q Tính thể tích khối đa diện AMPBNQ 13 23 21 A B C D 18 9 18  Trang 115  LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Lời giải Chọn B Đặt S  S ABC  h  d(C ,( ABC )) ta có VABC ABC  hS    AM  CC  Trong mặt phẳng  AACC  ta có  nên ta có A trung điểm PC  AM //CC   Tương tự mặt mặt phẳng  BCCB  ta có CB  CQ Từ ta có diện tích tam giác C PQ S C PQ  6S thể tích khối tứ diện CC PQ VCCPQ  h.6S  2hS  Trong khối lăng trụ ABC.ABC ta có VCABMN VCAB.CAB 1  0   suy 18 5 13 VCAB.CAB  thể tích khối ABCMNC   18 9 13 23 Do thể tích khối đa diện AMPBNQ   9 Câu 141 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H , M , O trung điểm cạnh AB , SA , AC G trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối tứ diện GHMO 3a3 a3 a3 3a3 A B C D 128 128 64 64 Lời giải Chọn D VCABMN  LÊ MINH TÂM Trang 116 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Gọi N , E trung điểm CB SB a a a3 Ta có: VS ABC SH   ABC 1 a a3 +) SOAHN  S ABC  VS.OAHN  VS ABC  , VS AHN  VS.OAN  VS AHNO  2 16 32 V SG SM SH 1 a3 +) S.GMH     VS.GMH  VS.NAH  VS.NAH SN SA SH 3 96  S +) VS.GMO SG SM SO 1 a3     VS.GMH  VS.OAH  VS.NAO SN SA SO 3 96   1 1 1 a3 +) VG.ONH  d G;  ABC  S ONH  SH S ABC  SH.S ABC  VS ABC  3 12 12 96 1 1 1 a3 +) VM OAH  d M ;  ABC  S OAH  SH S ABC  SH.S ABC  VS ABC  3 8 64 a3 a3 a3 a3 Vậy VGMOHN  VS HNO  VS.GMH  VS.GMO  VG.HNO  VG.HAO     16 96 64 64   Câu 142 Cho hình chóp S.ABC có AB  BC  a , góc ABC  120 , SAB  SCB  90 khoảng cách từ 2a B đến mặt phẳng SAC  Tính thể tích khối S.ABC 21 A V  a3 10 B V  a3 15 10 C V  a3 15 D V  a3 Lời giải Chọn B Trang 117 LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Gọi D hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC   BC  SC Có   BC  CD  BC  SD  AB  SD Có   AB  AD AB  SA  Gọi I giao điểm BD AC ( BD đường phân giác góc ABC ) BC a BD   2a ; BI  BC  cos 60  cos 60 D H Gọi hình chiếu vng góc lên SI  SAC    SBC    SAC    SBC   SI  DH  SAC  hay DH  d D ;  SAC   DH  SI  DI 2a 6a  d B; SAC      DH Ta có: d D; SAC   BI 21 21   Suy ra: SD    DI  DH DI  DH    3a 6a  21  6a 9a2 12a2  1 6a a3 15  aa  Vậy VS ABC  SD  S ABC   3 2 10 Câu 143 Cho tứ diện ABCD Hai điểm M , N di động hai đoạn thẳng BC BD BC BD cho   10 Gọi V1 , V2 thể tích khối tứ diện ABMN ABCD BM BN V Tìm giá trị nhỏ V2 A LÊ MINH TÂM B 25 Lời giải C D Trang 118 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chọn C Cách BD  a  a  1 BN BC 10  3a Suy     a 1 a  BM 2 V1 V ABMN BM BN 1      3 V2 V ABCD BC BD a  a 5a  a 2 V           5a  a2  Tìm max  5a  a2   8 max    V2 min 1;    3  Vì M  BC , N  BD nên ta đặt  8  Xét hàm số f  a   5a  a , a  1;  ; f '  a    3a; f '  a    a   3  Suy max f  a    8 1;   3 25 V   Vậy     V2 min 25 Cách  V1 VABMN SBMN   V2 VABCD SBCD BM.BN.sin B BM.BN   BC.BD BC.BD.sin B V   BM.BN   BC.BD         V BC BD BM BN    max  min  Theo giả thiết; 10  Trang 119 2.BC 3.BD 2.BC 3.BD BC BD    BM BN BM BN BM BN LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN   BC.BD BC.BD 25   BM.BN BM.BN V   Do     V2 min 25  2.BC 3.BD   BM  BN  BM  BC   Đẳng thức xảy   2 BC  BD  10  BN  BD BN  BM  Câu 144 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2, AA  AB  AC  , M trung điểm AA Tính thể tích phần chung khối đa diện AM.BCCB A.ABC A 17 27 B 17 18 17 27 Lời giải C D Chọn A  Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (ABC) Vì AA  AB  AC nên H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm BC  Ta có: AI   AH  12 2  AI  ; AH  AA2  AH   ; 3 2  2 ; VA ABC  VABC ABC  ; 3  Gọi P  AB  BM ; Q  AC   CM Khi phần chung khối đa diện AM.BCCB A.ABC khối đa diện MPQ.ABC  VABC ABC  AH.SABC  LÊ MINH TÂM Trang 120 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  Ta có: V A MPQ VA ABC   AM AP AQ 1 1 17 17 2 17    VMPQ ABC   VA ABC   AA AB AC  3 18 18 18 27 Câu 145 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a , AD  2a , SA vng góc với đáy, SA  a Gọi B ' điểm đối xứng B qua mặt phẳng SCD  Tính thể tích khối đa diện SB'.ABCD A a3 B a3 C 2a3 D 2 a3 Lời giải Chọn D   1 Ta có: VSB' ABCD  VS ABCD  VB'SCD  SA.SABCD  SSCD d B ', SCD  3 1  SA.SABCD  SSCD d B, SCD  (vì B ' điểm đối xứng B qua mặt phẳng SCD  ) 3    a  2a  a  a3 1 + VS ABCD  SA.SABCD  a 3 2 + Gọi M giao điểm AB CD , dễ dàng chứng minh B trung điểm MA 1  d B, SCD   d A, SCD   AH 2 Lại có tam giác SAC vng cân A ( SA  AC  a ) 1 1 a  d B, SCD   d A, SCD   AH  SC  2a  2 4 Trang 121         LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN   1 a a a3 a3  VB'.SCD  SSCD d B ',  SCD   SC.CD  2a.a   3 2 6 VSB' ABCD  VS ABCD  VB'SCD  a3  a3  2a3 3 Câu 146 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  15 , khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCA  , khoảng 10 30 cách từ C đến mặt phẳng SAB  hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm 20 tam giác ABC Tính thể tích khối chóp VS ABC A 24 B 12 36 Lời giải C D 48 Chọn D S K A C H F G B Gọi H hình chiếu S  ABC  F , G , K hình chiếu H AB, BC , CA Đặt V  VS ABC ; h  SH Ta có 3V  h.S ABC  d  A,(SBC)  S SBC  d  B,(SAC)  S SAC  d  C ,(SAB)  S SAB 15 30 h SF  SG  SK 4 10 20  SF  h ; SG  h ; SK  h 10  HF  h; HG  2h; HK  3h  Mặt khác S ABC S HAB S HBC S HCA  1  HF  HG  HK  h  2 12 3  Vậy VS ABC  12 48 Câu 147 Cho hình chóp tam giác S.ABC , cạnh đáy a Các điểm M , N trung điểm SA, SC Biết BM vuông góc với AN Thể tích khối chóp A a 24 LÊ MINH TÂM B a C 14 a D 14 a 24 Trang 122 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Lời giải Chọn D S M D N C A H B Gọi D cho MNAD hình bình hành BM vng góc với AN nên tam giác DMB a 3 a    BD a 14   vuông cân M Suy ra: BM    2 Gọi cạnh SA  x, x  BM đường trung tuyến tam giác SAB nên ta có: BM    BA2  BS2  SA2   a2  x2  x2  a 14  a  x       a 42 a 42 a2 a3 14 Vậy VS ABC   6 24 Câu 148 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, tích 24 cm3 Gọi E trung điểm SC Một mặt phẳng chứa AE cắt cạnh SB SD M N Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMEN A cm3 B cm3 C cm3 D cm3 Lời giải Chọn B SH  SA2  AH  Mặt đáy  ABCD  hình bình hành  ADC ABC có diện tích  VS ADC  VS ABC (hai khối chóp có chiều cao có diện tích mặt đáy nhau) Trang 123 LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VS ABCD 24   12 (cm3) 2 Gọi O giao điểm AC BD ; I giao điểm SO AE  I trọng tâm SM SN SAC I thuộc MN Gọi  a  b ( a  ; b  ) SB SD V V SA SN SE b SA SM SE a Ta có: S ANE     1 b   S AME     1 a   VS ADC SA SD SC 2 VS ABC SA SB SC 2 Mà VS ABCD  VS ADC  VS ABC  24 cm3  VS ADC  VS ABC  VS ANE b V a  S AME   VS ANE  6b (cm3) VS AME  6a (cm3) 12 12 Do đó: VS AMEN  VS AME  VS ANE  6a  6b   a  b  (cm3)  Mặt khác: ISM ISB có chung chiều cao kẻ từ I có đáy SAC  Mà I trọng tâm Chứng minh tương tự ta có: S SM  a  a  ISM SISB SB S S 2a SI   ISB   ISM  SSOB SSOB SO SISN 2b  SSOD SSDB hay SSDB  2SSOB  2SSOD 2  SISM  SISN  2SSNM   SSDB SSDB O trung điểm DB  SSOB  SSOD   2a 2b SISM SISN 2SISM 2SISN      3 SSOB SSOD 2SSOB 2SSOD  ab  3SSNM 3SN  SM  sin MSN SN SM   3   3ab SSDB SD SB SD  SB  sin BSD  a  b Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: ab   a  b  3ab  3 a  b   a  b   (do a  b  )  a  b    a  b   hay VS AMEN  (cm3) SM SN Dấu "  " xảy a  b      MN qua I MN SB SD Vậy giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMEN cm3 BD Câu 149 Tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a, BAC  1200 , BAD  600 tam giác BCD tam giác vng D Tính thể tích khối tứ diện ABCD A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 12 Chọn D LÊ MINH TÂM Trang 124 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Gọi H hình chiếu A lên  BCD  Dễ thấy, AHB  AHC  AHD  HB  HC  HD Do đó, H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  H trung điểm BC Xét tam giác ABC , có BC2  AB2  AC2  2AB.AC.cos BAC  a2  a2  2a.a.cos120  3a2  BC  a  BH  a 2 Xét a 3 a AHB vng H , có AH  AB  BH  a         Xét BDC vng D , có CD  BC  BD2  3a2  a2  a Xét ABD, có AB  AD  a BAD  60  ABD tam giác cạnh a  BD  a S BDC 2 a2  a.a  (đvdt) 2 1 a a 2 a3  Vậy VABCD  AH.S BCD  (đvtt) 3 2 12 Câu 150 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, tam giác SBC vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SBC  góc 60 Thể tích khối chóp cho A 2a B a3 C 3a3 Lời giải D a Chọn C Kẻ SH  BH , H  BC Trang 125 LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  SBC    ABCD   Ta có  SBC    ABCD   BC  SH   ABCD  SH  BC  CD  BC Mà   CD   SBC  SD  SBC   S CD  SH Suy SC hình chiếu SD lên  SBC    Khi SD, SBC   SD, SC   CSD  60 Tam giác SCD vuông C có SC  CD 3a   a tan 60 Tam giác SBC vng S có SB  BC  SC  a Mà SH  SB.SC a a   a BC 3a 1 Vậy thể tích khối chóp cho V  SH.SABCD  a  3a   3a3 (đvtt) 3 HẾT LÊ MINH TÂM Trang 126 Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN IV BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO BẢNG ĐÁP ÁN D 11 D 21 C 31 D 41 C 51 B 61 B 71 C 81 D 91 D 101 B 111 D 121 D 131 B 141 D Trang 127 D 12 D 22 A 32 A 42 C 52 D 62 C 72 D 82 B 92 B 102 A 112 A 122 B 132 A 142 B A 13 B 23 C 33 B 43 B 53 B 63 A 73 D 83 A 93 B 103 A 113 A 123 B 133 C 143 C A 14 C 24 D 34 B 44 C 54 C 64 A 74 D 84 B 94 D 104 B 114 B 124 B 134 D 144 A B 15 A 25 A 35 B 45 B 55 A 65 B 75 A 85 C 95 B 105 D 115 B 125 B 135 D 145 D C 16 D 26 B 36 A 46 A 56 B 66 B 76 C 86 D 96 A 106 B 116 C 126 B 136 C 146 D D 17 B 27 A 37 B 47 C 57 C 67 C 77 B 87 C 97 C 107 D 117 B 127 C 137 B 147 D B 18 A 28 C 38 D 48 D 58 C 68 C 78 B 88 A 98 B 108 B 118 A 128 D 138 B 148 B D 19 C 29 A 39 B 49 D 59 D 69 C 79 B 89 C 99 D 109 C 119 B 129 A 139 A 149 D 10 C 20 B 30 A 40 B 50 B 60 A 70 A 80 A 90 B 100 A 110 A 120 D 130 A 140 B 150 C LÊ MINH TÂM ... EMD  Khi tan  EI  MI  a x  DE. AH x  EI   DE EI DI  AD a    Gọi DE  x  AD AH DH a  x  DE. DH x 3  DI  AD  a   Khi MI  DM  DI  LÊ MINH TÂM a x  Trang 22 Chuyên Đề... V  a2 2a  3 LÊ MINH TÂM Chuyên Đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  Ví dụ 04 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vuông cân C nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABD  , tam giác ABD tam giác có cạnh 2a... B Gọi H trọng tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có ABC tam giác cạnh a AA  AB  AC  a nên A.ABC tứ diện cạnh a  AH   ABC  hay AH đường cao khối chóp A.ABC Xét tam giác vng AHA