Tong hop ly thuyet khoi da dien va the tich khoi da dien le minh tam

TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12 Mục lục  Chủ đề 01 HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN  Chủ đề 02 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP  Dạng 1.1 Chóp có cạnh bên vng góc với đáy  Dạng 1.2 Chóp có mặt bên vng góc với đáy 10  Dạng 1.3 Chóp 11  Dạng 1.4 Tỷ số thể tích 13  Dạng 1.5 Tổng hiệu thể tích 16  Chủ đề 03 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ  Dạng 2.1 Thể tích lăng trụ đứng 19  Dạng 2.2 Thể tích lăng trụ xiên .20  Dạng 2.3 Thể tích khối lập phương – khối hộp 21  Dạng 2.4 Khối đa diện cắt từ khối lăng trụ 22  Dạng 2.5 Max – thể tích 25 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 KHỐI ĐA DIỆN HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN A LÝ THUYẾT CHUNG Khái niệm hình đa diện – khối đa diện  Hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình khơng gian tạo hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất:  Hai đa giác phân biệt có thể: khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện  H  Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện  H  Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện  Điểm trong: Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện  Miền khối đa diện: Là tập hợp điểm  Miền khối đa diện: Là tập hợp điểm  Mỗi đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao nhau: miền miền ngồi  Trong có miền ngồi chứa hoàn toàn đường thẳng d Khối đa diện  H  hợp hình đa diện  H  miền  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Phép biến hình  Phép biến hình khơng gian: Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi phép biến hình khơng gian  Phép dời hình : Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý  Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến: (+) Một đa diện  H  thành đa diện  H , (+) Các đỉnh, cạnh, mặt  H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H  Phép dời hình tịnh tiến theo vector v : phép biến hình biến điểm M thành M cho MM   v  Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  : phép biến hình biến điểm thuộc  P  thành nó, biến điểm M   P  thành điểm M cho  P  mặt phẳng trung trực MM Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng  H   Phép đối xứng tâm O : phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điếm M khác O thành điểm M cho O trung điểm MM Nếu phép đối xứng tâm O biến hình  H  thành O gọi tâm đối xứng  H   Phép đối xứng qua đường thẳng d : phép biến hình biến điểm thuộc d thành nó, biến điểm M  d thành điểm M cho d trung trực MM Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình  H  thành d gọi trục đối xứng  H  Phép đối xứng qua đường thẳng d gọi phép đối xứng qua trục d Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình  Nhận xét:  Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện  Hai tứ diện có cạnh tương ứng  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1  ;  H2  , cho  H1   H2  khơng có điểm chung ta nói: (+) chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H2  , (+) lắp ghép hai khối đa diện  H1   H2  với để khối đa diện  H   Ví dụ Xét khối lập phương ABCD.ABCD Mặt  BDDB  cắt khối lập phương theo thiết diện hình chữ nhật BDDB Thiết diện chia điểm lại khối lập phương làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDDB tạo thành khối lăng trụ, có hai khối lăng trụ: ABD.ABD BCD.BCD   Khi ta nói mặt phẳng  P  chia khối lập phương ABCD.ABCD thành hai khối lăng trụ ABD.ABD BCD.BCD Tương tự ta chia tiếp khối trụ ABD.ABD thành ba khối tứ diện: ADBB , ADBD AABD  Nhận xét: Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Khối đa diện lồi Khối đa diện  H  gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm  H  thuộc  H  Khi đa diện giới hạn  H  gọi đa diện lồi  Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt (Hình 6.1)  Cơng thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Tức là: Đ – C + M=2  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Khối đa diện  Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: (1) Mỗi mặt đa giác p cạnh (2) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại p ; q  Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác  Định lý: Chỉ có năm loại khối đa diện loại 3 ; 3 , loại 3 ; 4 , loại 4 ; 3 , loại 5 ; 3 , loại 3 ; 5  Nhận xét: Hai khối đa diện có số mặt có cạnh Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với  Ví dụ  Quan sát khối tứ diện (Hình 7.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung mặt  Quan sát khối lập phương (Hình 7.2), ta thấy mặt hình vng, đỉnh đỉnh chung mặt Những khối đa diện nói gọi khối đa diện Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu p ; q Tứ diện 3 ; 3 Khối Lập Phương 12 4 ; 3 Khối Tám Mặt Đều 12 3 ; 4 Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 5 ; 3 Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 3 ; 5  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH KHỐI CHĨP A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa:  Hình chóp hình có đáy đa giác, mặt bên tam giác có chung đỉnh Thể tích khối chóp  Cơng thức tính thể tích khối chóp: V  S.h Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) Cách xác định đường cao khối chóp: Loại Đường cao Cạnh bên vng đáy Đường cao cạnh bên Hình 1.1 Hai mặt bên vng đáy Đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy Hình 1.2 Mặt bên vng đáy Đường cao mặt bên vng góc đáy Hình 1.3 Chóp Đường cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy Hình 1.4  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Cơng thức tính diện tích đáy  Ta có đa giác thường gặp sau: 1 S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 Tam giác S  ba.sin A  ca.sin B  ba.sin C 2 abc S  2R sin A.sin B.sin C 4R với R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC S  p.r với p nửa chu vi r bán kính đường trịn nội tiếp ΔABC S  p  p  a  p  b  p  c  với p  S  abc 2  a  b   c  c   a  b        Tam giác vuông ΔABC vuông A : 1 S  AB.AC  BC.AH 2 Tam giác ΔABC đều, cạnh AB : S   AB  Chiều cao tam giác h  AB ; Hình vng cạnh AB Diện tích hình vng ABCD : S   AB  Hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật ABCD : S  ABCD Hình bình hành Diện tích hình bình hành ABCD : S  AB.AD.sin BAD Hình thoi Diện tích hình thoi ABCD : S  AB.AD.sin BAD  AC.BD Hình thang  AB  CD  h Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S  AC.BD Diện tích hình thang ABCD : S   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Tỷ số diện tích  Ta có tỷ số thường gặp sau: AM trung tuyến, đặt SABC  S   S1  S2  S G trọng tâm, đặt SABC  S   S1  S2  S3  S BM  MN  NC đặt SABC  S   S1  S2  S3  S M; N ; F trung điểm AB; AC ; BC S đặt SABC  S   S1  S2  S3  S4  SABCD  S   S1  S2  S3  S4  S SAMN AM AN  SABC AB AC  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1.1 Chóp có cạnh bên vng góc với đáy  Đây dạng dễ xác định đường cao (h)  Áp dụng công thức: V  S.h  Ví dụ 1.1.1 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA vng góc với  ABCD  SA  a Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a3 B a3 C a3 D 3a3 Lời giải Chọn C S a3 Thể tích khối chóp V  SABCD SA  3 A B D C  Ví dụ 1.1.2 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, BC  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Thể tích khối chóp S.ABCD là: 2a3 A a3 C B a 2 2a3 D Lời giải Chọn D Diện tích đáy: SABCD  AD.BC  2a2 2a3 Thể tích: V  SABCD SA  3  Ví dụ 1.1.3 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng canh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  2a Thể tích khối chóp S.BCD là: A a3 B a3 C a3 D 2a3 Lời giải Chọn B a2 Ta có: SBCD  SABCD  2 a3 Suy V  SBCD SA  3  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 1.5 Tổng hiệu thể tích  Trong q trình tính thể tích khối đa diện lồng ghép khối chóp ta gặp khó khăn với cách tính thực tiếp đó:  Ta tách khối chóp thành khối nhỏ tính trực tiếp khối tách  Phần cần tính phần khối chóp bỏ khối nhỏ tính  Ví dụ: Cho khối chóp S.ABCD ,   chia khối chóp thành V1 ; V Tính thể tích khối V  Giải: Để tính trực tiếp thể tích khối V ta khó áp dụng cơng thức ta cắt khối chóp thành hai phần: + V1 phần chứa đỉnh S + V phần mặt phẳng   Gọi thể tích khối chóp S.ABCD V , V  V1  V2  V2  V  V1  Ví dụ 1.5.1 Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên AB CD lấy điểm M N cho MA  MB  NC  2ND Mặt phẳng  P  chứa MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  18 B V  11 C V  216 216 Lời giải D V  108 Chọn B Từ N kẻ NP//AC , N  AD M kẻ MQ //AC , Q  BC Mặt phẳng  P  MPNQ Ta có VABCD  AH.SABCD  12 V  VACMPNQ  VAMPC  VMQNC  VMPNC Ta có VAMPC  AM AP VABCD  VABCD  VABCD AB AD 3 1 CQ CN 11 VMQNC  VAQNC  VABCD  VABCD  VABCD 2 CB CD 22 2 2 AM 11 VMPNC  VMPCD  VMACD  VABCD  VABCD  VABCD 3 3 AB 32 11 11 1 1 Vậy V      V ABCD  V  VABCD  18 216 3 9  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 16 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.5.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a SA   ABCD  Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN  2ND Tính thể tích V tứ diện ACMN a3 a3 a3 A V  B V  C V  12 Lời giải Chọn A M trung điểm SB, N điểm thuộc cạnh SD: SN  2ND SM SN  ,  nên SB SD Ta có: VC AMN  2VO AMN   VS ABD  VS AMN  VM AOB  VN AOD  D V  S M Lại có: a3 a3 a3 VABCD  SA.AB.AD   VS ABD  ; VS AOB  VS AOD  3 12 VS AMN SM SN 1 a     VS AMN  VS ABD  VS ABD SB SD 3 18 a3 36 N A B O D C VM AOB MB 1 a    VM AOB  VS AOB  VS AOB SB 2 24 VN AOD ND 1 a3    VN AOD  VS AOD  VS AOD SD 3 36 Do đó: VC AMN  2VO AMN  Biên soạn: Gv Lê  a3 a3 a3 a3  a3  2       18 24 36  12 Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 17 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa:  Hình lăng trụ hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành Thể tích khối lăng trụ  Cơng thức tính thể tích khối chóp: V  S.h Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) Cách xác định đường cao lăng trụ: Loại Đường cao Cạnh bên vuông đáy Đường cao cạnh bên Hình 2.1 Lăng trụ đứng Đường cao cạnh bên Hình 2.1 Lăng trụ xiên Đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy Hình 2.2 Lăng trụ có hình chiếu Đường cao hình chiếu vng góc đỉnh xuống đáy Hình 2.3  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 18 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 2.1 Thể tích lăng trụ đứng  Áp dụng cơng thức chính: V  S.h  Tính diện tích đáy ta xem lại “Cơng thức tính diện tích đáy”  Lăng trụ đứng có đường cao song song nhau, tùy vào trường hợp đề ta sử dụng đường cao hợp lý Định nghĩa Tính chất Là hình lăng trụ có cạnh Các mặt bên hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ bên vng góc với mặt đáy hình chữ nhật vng góc với mặt đáy đứng Các mặt bên hình lăng trụ Là hình lăng trụ đứng có hình chữ nhật vng góc Hình lăng trụ đáy đa giác với mặt đáy  Ví dụ 2.1.1 Khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a , đường cao a tích A a3 3 B a C 2a D a3 Lời giải Chọn B Ta có V  S.h  a2 a  a3  Ví dụ 2.1.2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AA  a Đáy ABC tam giác vuông cân A AB  a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  a Lời giải Chọn C Theo giả thiết ABC.ABC lăng trụ đứng có đáy tam giác ABC vng cân A Suy thể tích khối lăng trụ a3 V  AA.SABC  AA .AB.AC  2  Ví dụ 2.1.3 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có ABC tam giác vuông A ; BC  2a ; ABC  300 Biết cạnh bên lăng trụ a Thể tích khối lăng trụ A 2a B 3a C 3a D 6a Lời giải Chọn C Xét ABC : AC  2a.sin30  a; AB  2a.cos30  a Ta có: Vlt  h  S Trong h  AA  2a S ABC  AB  AC  a 2  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 19 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 2.2 Thể tích lăng trụ xiên  Áp dụng cơng thức chính: V  S.h  Tính diện tích đáy ta xem lại “Cơng thức tính diện tích đáy”  Lăng trụ xiên có đường cao đề cụ thể  Ví dụ 2.2.1 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a thể tích 3a3 Tính chiều cao h lăng trụ cho a A h  9a B h  C h  a D h  3a Lời giải Chọn D V 3a3 Ta có: VABCD ABCD  SABCD h  h  ABCD ABCD   3a SABCD a  Ví dụ 2.2.2 Cho lăng trụ ABC.ABC , đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt phẳng  BCCB  vng góc với đáy BBC  30 Thể tích khối A.CCB là: A a3 B a3 12 C a3 18 D a3 Lời giải Chọn D Gọi H hình chiếu B BC Từ giả thiết suy ra: BH   ABC  1 BB.BC.sin BBC  4a.a.sin 30  a2 2 2S 2a  2a Mặt khác: SBBC  BH.BC  BH  BBC  BC a SBBC  VLT  BH.SABC VA.CCB a a3  2a  a3 a3 1   VA.CCBB  VLT  VLT  2 3  Ví dụ 2.2.3 Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a có H trọng tâm, biết AA  AB  AC  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC ? 3a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải Chọn B Ta có ABC cạnh a AA  AB  AC  a Nên A.ABC tứ diện cạnh a  AH   ABC  Xét SABC AHA : AH  AA  AH  a a2 a a a3  V    ABC ABC  a.a.sin 60 4  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 20 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 2.3 Thể tích khối lập phương – khối hộp  Áp dụng cơng thức chính: Hình hộp đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương V  S.h Định nghĩa Là hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Là hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Là hình hộp chữ nhật đáy mặt bên hình vng Tính chất Có đáy hình bình hành, mặt xung quanh hình chữ nhật Có mặt hình chữ nhật Có mặt hình vng 2  Đường chéo hình hộp  d  r  c với d ; r ; c ba kích thước hình hộp Hệ quả: Đường chéo hình lập phương  a với a cạnh hình lập phương  Ví dụ 2.3.1 Tổng diện tích mặt hình lập phương 150 Thể tích khối lập phương A 200 B 100 C 625 D 125 Lời giải Chọn D Gọi cạnh hình lập phương a Ta có 6a2  150  a   V  a3  125  Ví dụ 2.3.2 Tính theo a thể tích V khối lập phương ABCD.ABCD biết AC  a A V  a3 27 B V  3a3 C V  3a3 Lời giải D V  3a3 Chọn D Ta có AC  AB  AB  a  a  a3 a3 V  AB       3 3  Ví dụ 2.3.3 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có diện tích tam giác ACD a2 Tính thể tích V hình lập phương A V  3a3 B V  2a C V  a3 Lời giải D V  8a3 Chọn B Giả sử cạnh hình lập phương có độ dài x Ta có AC  x , OD  OD2  AA2  x 1 x x2 SACD  OD.AC  x  2 2 a 3  Biên soạn: Gv Lê x2 x2  a2   x  a  V  x  2a 2 Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 21 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 2.4 Khối đa diện cắt từ khối lăng trụ A Một số mối liên hệ thường gặp chóp – lăng trụ chóp – thể tích: Mối liên hệ Cơng thức Hình minh họa Lăng trụ Chóp VC 5d  V L.Tr   điểm thuộc mặt đáy VC 4d  V L.Tr   3 điểm thuộc mặt đáy VC 4d  VHop   Với điểm thuộc đáy điểm thuộc mặt bên Hình hộp Chóp VC 4d  VHop   Với điểm thuộc mặt chéo VC 5d  VHop   Với điểm thuộc mặt bên mặt đáy VC 5d  VHop   Với điểm thuộc mặt chéo  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 22 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B Mặt phẳng cắt cạnh khối lăng trụ tam giác ABC.ABC M ; N ; P cho AM BN CP  ;  ;  : AA BB CC VABC MNP VABC ABC    C Mặt phẳng cắt cạnh khối hộp ABCD.ABCD M ; N ; P ; Q cho AM BN CP DQ  ;  ;  ;  : AA BB CC DD    VABCD ABC D    V ABCD MNPQ   Ví dụ 2.4.1 Hình lập phương ABCDABCD cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACBD A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D VACBD  VABCDABCD   VB ABC  VC BCD  VD ACD  VA ABD  Mà VABCD ABCD  a VB ABC  VC.BCD  VD ACD  VA ABD 1 1 AA.SABD  a a2  a3 3 a VACBD  a3  a3  VB ABC  VC.BCD  VD ACD  VA ABD  Ví dụ 2.4.2 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi O giao điểm AC BD Thể tích tứ diện OABC a3 a3 a3 a3 A B C D 24 12 Lời giải Chọn C VO ABC  VA '.OBC   Biên soạn: Gv Lê 1 a a a3 AA.OB.OC  a  6 2 12 Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 23 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.4.3 Cho khối lăng trụ ABC.ABC tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC V V 2V 3V A B C D 4 Lời giải Chọn D V V 2V Ta có: VABCBC  VBABC  VCBAC    3  Ví dụ 2.4.4 Cho khối lăng trụ ABC.ABC tích V Gọi M điểm đường thẳng CC Tính thể tích khối chóp VM ABBA theo V A V B 2V C 2V D V Lời giải Chọn A Gọi h1 , h2 đường cao M.ABC , M.ABC h1  h2  h đường cao ABC.ABC V  VM ABC  VM ABBA  VM ABC 1  h1 SABC  VM ABBA  SABC h2 3 1 2V  SABC  h1  h2   VM ABBA  a3  VM ABBA   Ví dụ 2.4.5 Khối lăng trụ ABC.ABC có V  36 cm3 Mặt  ABC  ABC  chia khối lăng trụ thành khối đa diện Tính thể tích khối chứa mặt hình bình hành BCCB A 15 cm3 B cm3 C 12 cm3 D 18 cm3 Lời giải Chọn A Gọi I  AB  AB , J  AC  AC  Ta có VIJBB'C 'C  VA BB'C 'C  VA BCIJ VA ABC  VA.BCCB  VABC ABC 2 VABC ABC  V  24 3 V  AI AJ 1 Lại có A.IJA    VA IJA  36  VA ABC AB AC 4  VA.BCCB  VA.IJBC  VA ABC  VA.IJA  36   Vậy VIJBB 'C 'C  24   15 cm   Biên soạn: Gv Lê  Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 24 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 2.5 Max – thể tích Dạng a BĐT Bunyakovsky  c  b2  a22   an2 a   d   ac  bd   b 2   b22   bn2   a1b1  a2b2   anbn  ab  ab a1  a2   an n  a1 a2 .an n BĐT AM – GM Dấu “=” xảy a b  c d a a1 a2    n b1 b2 bn ab  n  1 a1  a2   an Khảo sát hàm số khoảng Tính đạo hàm lập BBT, từ kết luận theo yêu cầu toán xác định  Ví dụ 2.5.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho 40 80 20 A Vmax  B Vmax  C Vmax  3 Lời giải Chọn A Cách Đặt cạnh BC  x  D Vmax  24 2 Δ ABC , có AC  16  x 2 Δ SAC , có SA  SC  AC  20  x Diện tích hình chữ nhật SABCD  AB.BC  4x Thể tích khối chóp VS ABCD  SABCD SA  x 20  x 3 Áp dụng BĐT Côsi: x 20  x  x2   20  x 2   10 40 Suy VS ABCD  10  3 Dấu "  " xảy  x  20  x  x  10 Vậy Vmax  Cách Xét hàm số f  x    40  x 20  x 0;  Ví dụ 2.5.2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác có SA  SB  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho A Vmax  B Vmax  C Vmax  12 12 Lời giải D Vmax  12 Chọn C  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 25 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S.ABC hình chóp  SO   ABC  Đặt AB  x  Diện tích tam giác SABC  x2 Gọi M trung điểm BC  AM  x x  OA  AM  3 x2 ΔSOA : SO  SA2  OA2   Khi VS ABC  S Xét hàm f  x   Cách Ta có x x2 3  x2 SO   x  x ABC 12   x  x2 0; , ta max f  x   f 12 0;  3 x  2  x x  2x 2     16  x  x   2x         Ví dụ 2.5.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  4, SC  mặt bên SAD  tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho A Vmax  40 B Vmax  40 C Vmax  80 D Vmax  80 Lời giải Chọn D Gọi H trung điểm AD  SH  AD Mà SAD    ABCD   SH   ABCD  x2  16 Giả sử AD  x  Suy HC  HD2  CD2  Tam giác vng SHC , có SH  SC  HC  20  x2 1 Khi VS ABCD  SABCD SH  AB.AD.SH 3     x2 1 80  4.x 20   2x 80  x2  x2  80  x2  3  Ví dụ 2.5.4 Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên 200m , góc ASB  15 đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong điểm L cố định LS  40m (tham khảo hình vẽ) Hỏi cần dung mét dây đèn led để trang trí? A 40 67  40 mét B 20 111  40 mét C 40 31  40 mét D 40 111  40 mét  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 26 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên SA trải mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau Từ suy chiều dài dây đèn led ngắn AL  LS Từ giả thiết hình chóp S.ABCD ta có ASL  120 Ta có AL2  SA2  SL2  2SA.SL.cos ASL  2002  402  2.200.40.cos120  49600 Nên AL  49600  40 31 Vậy, chiều dài dây đèn led cần 40 31  40 mét  Ví dụ 2.5.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB SD V M N Gọi V1 thể tích khối chóp S.AMPN Tìm giá trị nhỏ V 1 A B C D 8 Lời giải Chọn A SM SN Đặt x  , y ,   x , y  1 SB SD  VS ANP V V V V Ta có  S AMP  S AMP  S ANP V V 2VS ABC 2VS ADC  SM SP SN SP        x  y  (1)  SB SC SD SC   VS.PMN V V V V Lại có  S AMN  S AMN  S.PMN V V 2VS ABD 2VS.CBD   SM SN SM SN SP      xy (2)  SB SD SB SD SC  x x  y   xy  x  y  3xy  y   4 3x  x  1, hay x  Từ điều kiện  y  , ta có 3x  Suy  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 27 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 V1 x  Thay vào (2) ta tỉ số thể tích V 3x   x  ( L) 1  x2 3x  x , x   ; 1 , ta có f   x   Đặt f  x   , f   x    x  (N) 3x     3x  1  V 1 2 2 f    f 1  , f    ,  f  x   f    V x ;1 2 3 3 2   Ví dụ 2.5.6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  a , AD  a , AA  a Gọi G trung điểm BD , mặt phẳng  P  qua G cắt tia AD, CD, DB tương ứng ba điểm phân biệt H , I , K Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 T   2 D' H D' K D' I2 4 A T  B T  C T  D T  3a a 3a 12a2 Lời giải Chọn C DH DI DK  x,  y,  z Đặt DA DC DB 1 1 ta có DG  DB  DA  DC  DD 2 2 Ta có DH  xDA  x DD  DA  DH  DD  DA x DI  yDC  y DD  DC   DI  DD  DC y     DK  zDA  z  DA  DC    DK  DA  DC z  DG  1 DH  DI  DK 4x 4y 4z Do DG , DH , DI , DK không đồng phẳng nên  1    4x y 4z DA DC DB   4 DH DI DK  DA DC DB   1  4       DA  DC  DB2  2  DI DK   DH DI DK   DH 16 16 T    2 2 DA  DC  DB 12a 3a  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281   Trang 28 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.5.7 Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt cạnh SA; SB; SC ; SD M , N , P , Q Gọi M ', N ', P ', Q ' hình chiếu SM M , N , P , Q lên mặt đáy Tìm tỉ số để thể tích khối đa điện MNPQ.M N PQ SA lớn SM SM SM SM     A B C D SA SA SA SA Lời giải Chọn B SM SN SP SQ  x Suy    x Đặt SA SB SC SD Gọi h , h ' chiều cao S.ABCD MNPQ.M N PQ SM MN MN Do MN / / AB nên  x  MN  xAB SA AB AB Tương tự ta có BC  x.NP Ta có SMNP  x2 SABC  SMNPQ  x2SABCD ( ΔMNP ~ ΔABC ) AM h ' SA  SM h ' h'      x   h '  1  x  h AS h SA h h Ta có VMNPQ M ' N ' P 'Q'  h '.SMNPQ  1  x  h.x SABCD  1  x  x2 h.SABCD Mặt khác    x  x  Do h, SABCD không thay đổi nên VMNPQ MN PQ  max max  x x 1 x     2 xx    Ta có 1  x  x  1  x  22 27 27 x Dấu  xảy  x   x  Hết  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 29