Một số mở rộng và áp dụng của các định lý giá trị trung bình

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VÕ THỊ THỊNH BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TAN BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Thành Tấn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Thống kê Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Muc luc Lời nói đầu 1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 1.1Định lý giátrị trung bình Lagrange 1.2Định lý giátrị trung bình tỉ sai phân 1.3Định lý giátrị trung bình Cauchy 13 1.4Định lý giátrị trung bình Pompeiu 16 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 19 2.1Vi phân đối xứng hàm thực 19 2.2Định lý giá trị tựa - trung bình 23 2.3Một số dạng suy rộng định lý giá trị trung bình 28 2.4Đạo hàm Dini hàm thực 31 2.5Định lý giá trị trung bình hàm không khả vi 36 2.6Định lý giá trị trung bình tích phân mở rộng 41 2.7ững dụng: Biểu diễn tích phân trung bình 49 2.8Sự trùng giá trị trung bình .54 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 59 3.1 3.2 Bài toán 59 Bài toán nâng cao 66 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Xuất phát từ tính thời định lý giá trị trung bình suy rộng nhu cầu muốn tìm hiểu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng đạo hàm suy rộng tích phân đặc biệt dành cho khối chun tốn, chúng tơi định chọn đề tài với tên gọi: Một số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình để tiến hành nghiên cứu Vấn đề ln mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người tìm hiểu định lý giá trị trung bình số suy rộng với ứng dụng đạo hàm, tích phân giới thiệu số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tốn phổ thơng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Lịch sử vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652 - 1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre leségalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle công nhận Joseph Lagrange (1736 - 1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques vào năm 1797 Nó nhận thêm công nhận Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) chứng minh định lý giá trị trung bình sách Equationnes differentielles ordinaires Gần nhiều phương trình hàm nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng định lý giá trị trung bình Trình bày định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng đạo hàm Dini đây, giới thiệu khái niệm vi phân đối xứng sau định lý giá trị trung bình hàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini giới thiệu với số ví dụ, định lý giá trị trung bình hàm khơng khả vi định lý giá trị trung bình tích phân Đối tương nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo hàm tích phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến suy rộng định lý giá trị trung bình ứng dụng chúng - Tham gia buổi hướng dẫn thầy để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp luận văn - Tổng quan kết nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh họa hay hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau: Chương 1, Các định lý giá trị trung bình Chương 2, Một số mở rộng định lý giá trị trung bình Chương 3, Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng Tất nội dung luận văn trình bày lại tham khảo từ tài liệu P K Sahoo T Riedel [4] Chương CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Trong chương chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân, nghiên cứu định lý giá trị trung bình tỉ sai phân Cuối chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy chứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý phát lần Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc áp dụng định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Bonnet Ossian (1819-1892) Tuy nhiên, công bố định lý xuất báo nhà vật lý tiếng André - Marie Ampére (1775-1836) Nhiều kết giải tích thực hệ định lý giá trị trung bình Cơ sở định lý Rolle dựa vào hai kết sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : R R đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm c khoảng mở (a, b) f '(c) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm f : R R liên tục đoạn [a, b] phải đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [a, b] Định lý 1.1.3 (Định lý Rolle) Giả sứ f hàm liên tục khoảng đóng [x ,x ] có đạo hàm x € (x ,x ) Nếu f (xi) = f (x ) tồn 2 điểm n € (xi, x ) cho f(n) = Như định lý Rolle giải thích mặt hình học sau có cát tuyến nằm ngang đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị cho tiếp điểm nằm hai giao điểm cát tuyến với đồ thị Một giải thích khác định lý Rolle hai nghiệm thực hàm thực khả vi f có điểm tới hạn f (nghiệm đạo hàm cấp f') Định lý Rolle tổng quát hóa cách quay đồ thị hàm f để có định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.1.4 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x = x I, tồn điểm n phụ thuộc vào x x cho f (x - x) ' xi - x2 = f'(n(xi,x2)) (1.1) Chú ý 1.1.5 Ta kết thúc mục chứng minh khác định lý Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 Mệnh đề 1.1.2 Chứng minh Tucker (1997) Velleman (1998) Giả sử f hàm khả vi khoảng đóng [X1, x ] và f (x ) - f (x ) m := x2 -xx2 1- xi y Khi y chia khoảng đóng [x , x ] thành hai khoảng có độ dài h = X2-X1 h 2 Nhận thấy min{m , m } < m < max{m , m }, m1 f (y) - f (X1), = th—’ m = f (X2) - f (y) h Hàm g(x) = f (x+h -f (x) h liên tục nhận giá trị m [a , b ] cho 1 b)-a(a ) f(b = m b1-a1 Lặp lại thủ tục này, ta xây dựng chuỗi khoảng lồng [X1,X2] [a1 ,b1] D [a ,&2] [an, bn] cho f (b ) - f (a ) n mn b -ma n n 1, , = với n = 1, 2, lim (b — On) = Gọi n điểm giao n khoảng Nếu n = a với N n = a với N n n > N , nên f( (n) v ) m = b n n)' n n Tương tự, có m = f '(n) n = b với N Nếu a < n < b với f (b ) -f n b N n n i hàm elip modun Giới hạn M(a, b) có nhiều tính chất Chúng ta vài đặc điểm tính chất mà không chứng minh Giới hạn M(a, b) hàm bậc một, tức M (Aa, Ab) = AM(a, b) 2.8 Sự trùng giá trị trung bình Trong mục này, chúng tơi mơ tả tất hàm số có giá trị trung bình đạo hàm chúng Để chứng minh mô tả định lý, kết sau cần thiết Kết gọi Định lý Bernstein dẫn cho độc giả sách Walter (1985) thay cho việc chứng minh định lý Định lý 2.8.1 Cho g khả vi vô hạn khoảng I = (-r,r) cho với n đủ lớn Dng(x) với x G I (—1) Dng(x) n với x E I, g xác định khai triển chuỗi Taylor khoảng I.( Dng(x) ký hiệu đạo hàm cấp n g) Tiếp theo định lý nói đến cần thiết phải đưa trùng hàm số f : R R i) f khả vi liên tục đến cấp hai, ii) signf(x)) = c với x, c E {-1,1}, 1 iii) sign( f" (x)) = c với x, c E {-1,1} 2 Định lý giá trị trung bình phép vi phân tích phân khẳng định giá trị trung bình W(x, a) w(x, a) phù hợp với định nghĩa với x, a E R cho ta phương trình sau, với x = a: p/TTr/ XX Ja fax f (s)ds f (W(x, a)) = ' xa f (w( ' x, a)) =f (x) - a(a) (2.16) (2 17) xa với x = a ta định nghĩa W(a, a) = a = w(a, a) Nói chung hai giá trị trung bình khơng Do câu hỏi nảy sinh hàm f có giá trị trung bình W(x, a) w(x, a) với x a Định lý sau Kranz Thews (1991) trả lời xác cho câu hỏi Định lý 2.8.2 Cho f : R R thỏa mãn Nếu với x,a E R ta có điều sau W(x, a) = w(x, a), (2.18) có a,fì = p, E R cho f (x) = ae^ + fl x Chứng minh Trước tiên, ta thấy f khả vi vô hạn Cho a cố định Để đơn giản ta viết w(x) thay cho w(x, a) Theo ta có fd = í f (a + t(x - a)) dt x-a (2.19) Sử dụng (2.16) (2.18) ta f(a + t(x - a)) dt (2.20) w(x) = f -1 Dễ dàng ta thấy w khả vi vô hạn f Đạo hàm (2.16) x ta thu /0 f (a + t(x a)) dt w (x) = > - f/(w(x)) Do w (y) tồn khả vi vô hạn f Bây ta cho x > a Với —1 y = w(x) > a từ (2.17) ta có sau ,f'(y)=f (w —Iyy)- a(a) w (y) - a — -1 Do với x > a f khả vi vô hạn f, f khả vi vơ hạn Vì a tùy ý điều khắp nơi với w Kí hiệu đạo hàm cấp k f a Dkf (a) xác định f(a), f (a),f"(a), f D f(a) = D g(a) với k = 0, 1, g(x) = Ae + C với B f (a) k k Bx A /'(«) ’ f/(a) BBa C= f(a) - Ae Ba Từ ta dề dàng thấy sau: tính tốn cách đơn giản ta thấy g thực thỏa mãn điều kiện từ (2.16) đến (2.18) Dkf (a) = D g(a) với k = 0,1,2 k Cuối để trình bày điều : từ (2.16) đến (2.18) ta f(w(x)) = f(a + t(x - a)) dt (2.21) f'(w(xỴ) = í f (a + t(x — a)) dt (2.22) đạo hàm (2.19), (2.20) n lần với x = a ta D (f ◦ w) (a) = / D F(a)t dt = D f(a) n+1 (2.2 n n n n D (f'o w)(a)= / D f (a)t dt = n n+1 3) (2.24) D f(a) n+1 n n+1 Với n =1 từ (2.22) (2.23) ta thấy ( Dnf) ◦ w) (a) (w'(a)) + S (a) + ((Df) ◦ w) (a)D w(a) n n n D f (a) n+1 n (^( (2.25) Dn+1f ◦ w) (a) (w'(a)) + R (a) + ((D f) ◦ w) (a)D w(a) n n n D f(a) n+1 = ' (2.26) n+1 Trong S chứa đạo hàm f w đến cấp lớn n — R chứa n n đạo hàm f đến cấp lớn n w đến cấp lớn n — Do f'(a) = f"(a) = giải (2.24) (2.25) để D w(a).Từ n suy Dn+T — ((D f) “ ◦ w) (a) (w'(a)) — S„(a) n D f (a) (n+ĩ — (2)n) D f (a) — Rn(a) D f (a) n+1 (2.27) Đối với n > 2, giải (2.26) để D f (a) đạo hàm n+1 xác định đạo hàm cấp thấp Do tất đạo hàm xác định hết giá trị hàm số đạo hàm thứ nhất, thứ hai Điều lại để trình bày f giải tích theo định lý đồng thức ta thu nghiệm Điều cho ta cách trực tiếp sau, thực sign B = B(a) A = A(a) số Định lý Bernstein Điều xóa bỏ nhận định tất đạo hàm f dương đan dấu sign □ Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 3.1 Bài tốn Bài toán Xét hàm số f (x) = x — 2x — 3x — đoạn [-1; 4] Tìm giá trị c thỏa mãn định lý giá trị trung bình Giải * Bước 1: Xác định hàm số liên tục [—1; 4] khả vi ( — 1; 4) f (x) liên tục [—1; 4] khả vi ( — 1; 4) * Bước 2: Tìm tọa độ điểm cuối hàm cho f(—1) = (—1) — 2(—1) — 3(—1) — = —6 f(4) = (4) — 2(4) — 3(4) — = 14 * Bước 3: Tìm f(x) f(x) = 3x — 4x — * Bước 4: Áp dụng định lý giá trị trung bình ta có: f f I ' = f'(c) Thay giá trị vào (3.1) ta 60 (3.1) 61 (3c-7)(c+1) = Do c = - c = -1 * Bước 5: Xét giá trị c Theo định lý giá trị trung bình c £ (-1; 4) Ta thấy £ (-1; 4) —1 £ (-1; 4) Vậy c = thỏa mãn định lý giá trị trung bình Bài tốn Xét hàm số g(x) = 4x - 8x + 7x - đoạn [2; 5] Tìm giá trị c thỏa mãn f'(c) = 107 Giải * g(x) liên tục [2; 5] khả vi (2; 5) * g(2) = 12; h(5) = 333 * g'(x) = 12x - 16x + Ta có f'(c) = 107 Thay giá trị vào (3.2) ta 12c Do Ta thấy 16c 100 = + \ 79 2-V79 c = ——7 c = 3 Vậy c = '3 79 £ (2; 5) '3 79 thỏa 79 / (2; 5) mãn định lý giá trị trung bình (3.2) 62 Bài tốn Xét hàm số A(t) = 8t + e đoạn [-2; 3] Tìm giá trị c thỏa 3t mãn định lý giá trị trung bình Giải * A(t) liên tục [-2; 3] khả vi (-2; 3) * A(-2) = -16 + e ; A(3) = 24 + e -9 * A'(t) = - 3e -3t * Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có (3.3) Thay giá trị vào (3.3) ta 3e « 80, 6857 -3c Do c « -1,0973 thuộc (-2; 3) Vậy c « -1,0973 giá trị cần tìm Bài tốn Định lý giá trị trung bình có áp dụng cho hàm bên đoạn [-1, 3] khơng Íx — 3x x < 2 - x - 11x + 12 x > Giải * Kiểm tra tính liên tục lim f(x) = lim (x - 3x) = - 3.2 = - - x2 x2 lim f(x) = lim (x - 11x + 12) = - 11.2 + 12 = -2 x^2+ f(2) = - 3.2 = -2 3 X-+2- 63 Do hàm số f (x) liên tục khoảng [— 1,3] * Kiểm tra tính khả vi 2x — f'(x) = x < 3x2 — 11 x > lim f(x) = lim (3x - 11) = 3.2 - 11 = x^2+ x^2+ f'(2) = Do hàm f (x) khả vi khoảng (-1; 3) Vậy hàm f (x) liên tục [—1;3] khả vi (—1;3) nên Định lý giá trị trung bình áp dụng Bài tốn Định lý giá trị trung bình có áp dụng cho hàm bên [0; 6] không I ựx + f (x)= ^6 — (x — 5)nếu x > Kiểm tra tính liên tục Do hàm liên tục [0,4] Kiểm tra tính khả vi —2(x — x > 5) x = lim f7x) = lim ■X > I x ự x + ự 25 ^- - ,1 = 64 lim f'(x) = lim (—2(x — 5)) = -2(4 — 5) = x^4+ x^4+ Suy lim f(x) = lim x^4 x^4+ Do hàm khơng khả vi x = Vì không khả vi khoảng (0,4) Vậy định lý giá trị trung bình khơng thể áp dụng cho hàm Bài toán Cho hàm số f khả vi (0; 1) thỏa mãn f (0) = 0; f (1) = Chứng minh tồn hai số phân biệt a b thuộc (0; 1) cho f(a)f(b) = Giải Xét hàm số g(x) = f (x) + x — g khả vi (0; 1) Ta có: g(0) = —1 < g(1) = > nên tồn số c E (0; 1) cho g(c) = Do đó: f(c) + c — = hay f(c) = — c Áp dụng định lý Lagrange cho f đoạn [0; c] [c; 1] tồn a E (0; c) cho M = f,(a) tồn b E (c; 1) cho f — (c) , f =f'(b) 1-c Từ suy f'(a) = N ên ff = ff lf c f Cc) , f(b) = 1—f(c = C(——C) = Vậy tồn hai số phân biệt a,b thuộc (0; 1) cho f'(a)f'(b) = 65 Bài toán Giả sử f (x) liên tục [—7;0] khả vi (—7;0) f (—7) = —3 f'(x) < Giá trị lớn f (0) là? Giải Theo định lý giá trị trung bình tồn c E (—7; 0), ta có f (0) — f (—7) = f'(c)(0 — (—7)) (3.4) Thay giá trị vào (3.4) ta f (0) = 7f'(c) — < 7.2 — = 11 Do f (0) 11 Vậy giá trị lớn f (0) 11 Bài tốn Giải phương trình: — = 2x x (3.5) x Giải Nhận xét: x = 0; x = nghiệm phương trình (3.5) Gọi x nghiệm phương trình (3.5), ta có: —3 x0 x0 = 2x hay x0 — 5x = x0 —3x (3.6) Xét hàm số: f(t) = t — txo, phương trình (3.6) trở thành f(5) = f(3) x0 Vì f (t) liên tục [3; 5] có đạo hàm (3; 5), theo định lý Lagrange tồn c E (3; 5) cho: f '(c) = Khi 66 x (c - 1) = 0 x0-1 x = x = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài tốn Giải phương trình : 2018 + 2020 = 2.2019 x x (3.7) x Giải Nhận xét: x = 0; x = nghiệm phương trình (3.7) Gọi x nghiệm phương trình (3.7) Ta 2018 + 2020 = 2.2019 o 2018 - 2019 = 2019 - 2020 (3.8) x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 Xét hàm số f (t) = tx° — (t + 1)x°, phương trình đ (3.8) trở thành f(2018) = f(2019) Vì f (t) liên tục [2018; 2019] có đạo hàm khoảng (2018; 2019), theo định lý Rolle tồn c E (2018; 2019) cho f'(c) = nên x c - x (t + 1) = 0, x0-1 x0-1 x = x = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài toán 10 Cho hàm số g(x) liên tục [0; 1] khả vi (0; 1) thỏa mãn điều kiện g(0) = g(1) = Chứng minh tồn c E (0; 1) cho g'(c) = g(c) 67 Giải Xét hàm số: f (x) = e g(x) -x Ta có f(x) = [g (x) — g(x)] e f -x Theo định lý Rolle hàm f (x) tồn c E (0; 1) cho f (c) = hay / [ g (c) g(c)] e = / — Ha —c y g (c) = g(c) / 3.2 Bài toán nâng cao Bài toán 11 Cho hàm số f (x) khả vi khoảng [6; 13] cho ( (2x — 19) (f (x) — 6) = f (x) x — 19x + 78 } Vx E [6,13] Tìm giá trị nguyên chứa f ([6; 13]) Giải Giả sử: f (x) =6 Vx E [6; 13] x — 19x + 78 (x — 6)(x — 13) g(x) = f—- = f—— Ta có: g(6) = = g(13) g(x) khả vi [6; 13] Khi tồn c E (6,13) cho g'(c) = g (x) (2x — 19)(f (x) — 6) — f'(x)(x — 19x + 78) (f (x) — 6) • f = 68 Suy (2c - 19)(f (c) - 6) - f'(c)(c - 19c + 78) (f (c) - 6) g'(c) = Giải phương trình ta (2c - 19)(f (c) - 6) = f'(c)(c - 19c + 78) Mâu thuẫn với điều giả sử E f ([6; 13]) Giả sử f (x) = x - 14 + f (x) khả vi [6; 13] (2x - 19)(f (x) - 6) - f'(x)(x - 19x + 78) =(2x 19)(x 1|) - - [ - 1(x2 - 19) - 2(x - 6)(x - 13) = 14 ] = [ [ l9x + 78) =1 (2x - 19)(2x - 19) - 2(x - 19x + 78) =1 (2x - ((x-6)+(x-13)) -2(x-6)(x-13) ] (x - 6)2 + (x - 13)2 Vì 14 [(x - 6) + (x - 13)2] > [6,13] Do (2x - 19)(f (x) - 6) - f'(x)(x - 19x + 78) > tức (2x - 19)(f (x) 6) = f'(x)(x - 19x + 78) Su y -1 < -14 + = f (6) V f (x) V f (13) = +6 Vậy giá trị nguyên chứa f ([6; 13]) Nhận xét: Chọn hàm g(x) tùy thuộc vào khoảng khả vi cho Nếu thay khoảng khả vi (6; 13) khoảng khác ta toán với cách giải tương tự e7sinx e7x Bài tốn 12 Tính lim —; — x >0 ■ sinx —x 69 Giải Giả sử x Khi x , hiển nhiên sin x < x Cho x cố định, cho e7 sin x e7x H (y) = e — e — (y — sin x) —; -sin x x 7y x 7sin x Vy E [sin x, x] Ta có: H (x) = = H (sinx) H (y) khả vi [sinx,x] x x x Khi tồn c E (sinx, x) cho HX(c ) = mà x x x e7 e7sinx e7 sin x Suy = HX(c ) = 7e ; -H (y) = 7e — x 7cx 7y sinsinx x xx x nên Khi c Ta có: x x + 7e 7cx + e7x e7sinx e7x sinx x ... 1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 1. 1Định lý gi? ?trị trung bình Lagrange 1. 2Định lý gi? ?trị trung bình tỉ sai phân 1. 3Định lý gi? ?trị trung bình Cauchy 13 1. 4Định lý gi? ?trị trung bình. .. 16 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 19 2.1Vi phân đối xứng hàm thực 19 2. 2Định lý giá trị tựa - trung bình 23 2. 3Một số dạng suy rộng định lý giá trị trung bình. .. đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo