Bài toán hit đối với đại số đa thức tại một dạng bậc tổng quát

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ HIẾU BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI Số ĐA THỨC TẠI MỘT DẠNG BẬC TổNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HUỲNH THỊ HIẾU Bình Đinh - Năm 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI Số ĐA THỨC TẠI MỘT DẠNG BẬC TổNG QUÁT Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN SUM Bình Đinh - Năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn đề tài “Bài toán hit đại số đa thức dạng bậc tổng quát” viết hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Sum chưa công bố để bảo vệ học vị thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, ngày 27 tháng 07 năm 2020 Học viên thực đề tài Huỳnh Thị Hiếu Mục lục Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ Mở đầu Ký hiệu P := F [x , x , , x ] đại số đa thức phân bậc trường nguyên tố F có k 2 k hai phần tử, với k biến x ,x , , x , biến có bậc Đại số đối đồng điều k 2-nhóm aben sơ cấp hạng k, với hệ số trường nguyên tố F có phần tử Do P xem môđun đại số Steenrod modulo 2, A Tác động k A P xác định công thức k tường minh / Sq (xj) = x2 i = 1, i Xj i = 0, i > 1, cơng thức Cartan n S« (fg) = 2S«‘(/ 'q ■ n i=0 với f, g E P (xem Steenrod Epstein [8]) k Bài toán hit Peterson tốn tìm tập sinh cực tiểu đại số đa thức P xét môđun đại số Steenrod Nói cách khác, tốn tìm sở không gian vectơ QP := P /A P = F P bậc, A iđean bổ sung A sinh toán tử Steenrod bậc dương Đây toán trọng tâm Tơpơ - Đại số Nó có nhiều ứng dụng toán kinh điển lý thuyết đồng luân Chẳng hạn, toán ứng dụng việc nghiên cứu biểu diễn modular nhóm tuyến tính, hướng nghiên cứu có tính thời cao Bài tốn hit Frank Peterson đặt vào năm 1987 xác định tường minh k k k + k 2A k + với k = 1,2 [4] Trường hợp k = xác định hoàn toàn luận án Masaki Kameko [2] trường Đại học John Hopkins vào năm 1990 Trường hợp k = 4, toán xác định tường minh [9, 10] Trong trường hợp tổng quát, toán nghiên cứu nhiều tác giả nước Gần đây, tốn hit ứng dụng biểu diễn modular nhóm tuyến tính trình bày chi tiết sách chuyên khảo Walker-Wood [13, 14] Hiện nay, toán toán mở với k > Từ kết Wood [15] Kameko [2], toán hit rút gọn tính tốn bậc n có dạng n=s(2 -1)+2 m, d d s,m,d số nguyên không âm cho trước, < s < k ụ,(m) < s đây, ký hiệu ^(m) số nguyên không âm nhỏ r cho m = 52 < < (2 — 1) với u > i r Ui i Trong trường hợp s = k — m = 0, toán hit dạng bậc tổng quát n = (k — 1) (2 — 1) xác định tường minh với k < d Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại kết gần báo [12] toán hit dạng bậc tổng quát với k > Cụ thể nghiên cứu tính ổn định số cực tiểu phần tử sinh bậc (k — 1)(2 — 1) d đủ lớn tính d tốn tường minh tốn hit số vectơ trọng có bậc k Nội dung luận văn gồm ba chương Chương Một số kiến thức sở Chúng nhắc lại số kiến thức đại số trường, toán tử Steenrod, đại số đa thức trường F , cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod số kết vectơ trọng, đơn thức hit, đơn thức chấp nhận Chương Sự ổn định số phần tử sinh cực tiểu đại số đa thức dạng bậc tổng qt Trong chương này, chúng tơi tóm tắt số kết sở chấp nhận đại số đa thức ba biến P xét mơđun đại số Steenrod trình k bày chi tiết kết ổn định số phần tử sinh cực tiểu bậc (k — 1)(2 — 1) d Chương Bài toán hit số vectơ trọng có bậc k — Chúng tơi trình bày tính tốn đơn thức chấp nhận đại số P có vectơ trọng (k — k-1 — 2t — 4s, t, ể) với s = 0,1 k — — 2t — 4E t, sử dụng kết để trình bày hệ đơn thức chấp nhận bậc (k — 1)(2 — 1) d Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Sum Qua tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời, chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn Thống kê, Phịng Đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 21 giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ln động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù tơi cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức chuẩn bị cho chương chính, bao gồm kiến thức đại số trường, toán tử Steenrod, đại số đa thức trường F , cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, tác động nhóm tuyến tính tổng qt đại số đa thức, vectơ trọng, đơn thức chấp nhận tiêu chuẩn đơn thức hit Singer, kết trình bày chi tiết Kameko [2], Mothebe-Uys [3], Singer [7] WalkerWood [13] 1.1 Đại số trường Định nghĩa 1.1.1 Một đại số trường K tập hợp A = với phép toán: i) Phép cộng: + : A X A —— A, (x, ) y — x+ y ii) Phép nhân: • : A X A A, (x, ) y xy iii) Phép nhân với vơ hướng: •:KXA A; (a, x) ax thỏa mãn điều kiện sau đây: (1) A với hai phép toán cộng nhân lập thành vành (2) A với phép cộng phép nhân với vô hướng lập thành không gian vectơ K (3) Hai cấu trúc vành không gian vectơ liên hệ với điều kiện a(xy ) = (ax)y = x(ay ), với a G K, x, y G A Tập hợp S c A gọi đại số A S vừa vành vừa không gian vectơ A Cho X c A, giao tất đại số A chứa X gọi đại số A sinh X Tập hợp B c A gọi iđean đại số A vừa iđean vành A vừa không gian vectơ A Khi đó, vành thương A/B có cấu trúc đại số: (x+B) +(y +B) = (x+y) +B, (x+B)(y+B)=(xy)+B, a(x + B) = (ax) + B, x,y G A, a G K; gọi đại số thương A/B Cho A, A đại số trường K Ánh xạ : A A gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu vành vừa đồng cấu K-không gian vectơ Các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu định nghĩa tự nhiên 1.2 Các toán tử Steenrod Định nghĩa 1.2.1 Cho k > 1, ký hiệu P := F [x ,x , ,x ] đại số đa thức gồm k biến k 2 k x ,x , ,x trường F Với k = 0, quy ước P = F k 2 Đại số P đại số phân bậc trường F , P = (Đn>0(Pk )n, (P ) k k k n không gian vectơ đa thức bậc n Tập hợp gồm đơn thức xnxXn xn thỏa mãn n + n + + n = n ni với < i < k sở F -không k gian vectơ (P ) Khi k n Ề(;)(;"1) (■ >""') _ X x Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ đại số Sq : P P xác định k k Sq(1) = Sq(xj) = Xj + xj, j k, gọi bình phương Steenrod tổng Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Sq : (P ) (P ) cách hạn chế Sq (P ) i k n k n+i k n chiếu lên (P ) với i,n > Các ký hiệu Sq gọi bình phương Steenrod Khi k n+i Sq = 52 > Sq i i i — 7, 3) Nếu x ị B(k_5 3) x = x x với i , i > .Xk 5Xị3 - 1, i = i x = 3 xịx X Xk_5 với Ì2 > Nếu x = xiX2 x22 Xk_5X 2 x= x1 x x xk_5x +Sq (x1 x xk_5x ) t i 2 i i i 2 2 Ì2 x = X X Xk 6X - X = Sq (x X x X ) + đơn thức nhỏ hơn; 2 k-6 X = X1X2 Xk 6X - X = Sq (x x X ) + đơn thức nhỏ 1 k-6 Do X không chấp nhận Nếu i = i > X = X1X6 (f f )(x x ) Vì X1X6 i1-1 k-8 chấp nhận nên theo Mệnh đề 1.6.7, X chấp nhận Nếu X = X X Xk 6X4 với < i < Ì2 X=X1Xi Xi (f1fi1-1fi2-2)(z) 2 — z = X x Theo Kameko [2], X X k-9 X52 chấp nhận Do đó, từ Mệnh đề 1.6.7 ta suy X chấp nhận Giả sử X = X X X4 X X với < i < i Nếu i = 1, k-6 1 i = X=X X X3(f1f1f1)(X1 Xk-9), i = 1, i > X = X1 X2Xi (f1f1fi2-2)(X1 Xk-9), < i < i X=X1Xi Xi (f1fi1-1fi2-2)(X1 Xk-9) Theo Kameko [2], X^X2X3, XJX2X4 , X1X3 X4 đơn thức chấp nhận Do đó, Mệnh đề 1.6.7, X chấp nhận Vậy ta chứng minh BB( tất đơn thức chấp nhận Pk- (k — 7,1,1) ) + k-6 tập hợp Lấy x đơn thức P( (k — 7,1,1) Khi x = X1 X? x4 x với < i < i k-5 < k — Nếu i = x = Sq (x x x ) + đơn thức nhỏ k-5 Suy x không chấp nhận Nếu i > x=x1xi xi (f1fi1-1fi2-2)(x1 xk-8) Theo Kameko [2], xix?x4 chấp nhận Do đó, Mệnh đề 1.6.7, x chấp nhận Vậy B + ) k-5 tập hợp tất đơn thức chấp nhận P (k - 7, 1, 1) + k -5 Như ta chứng minh B + ) tập hợp tất đơn thức chấp nhận ( P+(k — 7,1,1) Từ suy dimQP,+ (k — 7,1,1) = |B + )| với k — < r < k — Bằng ( cách tính tốn trực tiếp, ta |B (W= (k.2e) ,|B(W = 2( Y) — (k, dim QPk-1(k — 7, 1, 1) k k+ k—7 k — Khi đó, áp dụng Mệnh đề 1.7.6 ta suy dimQPk (k — 9, 2,1) = fk ) dimQP (k — 9, 2,1) -1 r k—9