Một số mở rộng và áp dụng của các định lý giá trị trung bình

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VÕ THỊ THỊNH BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TS MAI THÀNH TAN Người hướng dẫn: BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Thành Tấn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Thống kê Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Muc luc 1.1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 59 2.1 2.2 2.3 Lời nói đầu Lý chọn đề tài 2.4 Xuất phát từ tính thời định lý giá trị trung bình suy rộng nhu cầu muốn tìm hiểu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng đạo hàm suy rộng tích phân đặc biệt dành cho khối chuyên tốn, chúng tơi định chọn đề tài với tên gọi: Một số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình để tiến hành nghiên cứu Vấn đề ln mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người tìm hiểu định lý giá trị trung bình số suy rộng với ứng dụng đạo hàm, tích phân giới thiệu số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tốn phổ thơng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Lịch sử vấn đề 2.5 Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652 - 1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre leségalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle công nhận Joseph Lagrange (1736 - 1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques vào năm 1797 Nó nhận thêm công nhận Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) chứng minh định lý giá trị trung bình sách Equationnes differentielles ordinaires Gần nhiều phương trình hàm nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Mục tiêu nghiên cứu 2.6 Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng định lý giá trị trung bình Trình bày định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng đạo hàm Dini đây, giới thiệu khái niệm vi phân đối xứng sau định lý giá trị trung bình hàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini giới thiệu với số ví dụ, định lý giá trị trung bình hàm không khả vi định lý giá trị trung bình tích phân Đối tương nghiên cứu 2.7 Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo hàm tích phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu 2.8 - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến suy rộng định lý giá trị trung bình ứng dụng chúng - Tham gia buổi hướng dẫn thầy để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp luận văn - Tổng quan kết nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh họa hay hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn 2.9 Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau: 2.10 Chương 1, Các định lý giá trị trung bình 2.11 Chương 2, Một số mở rộng định lý giá trị trung bình 2.12 Chương 3, Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng 2.13 Tất từ nộicác dung luận trình lại và4] [ tham cảkhảo tàicủa liệu P văn K Sahoo T bày Riedel 2.14 Chương CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 2.15 2.16 Trong chương chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân, nghiên cứu định lý giá trị trung bình tỉ sai phân Cuối chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy chứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu 1.1Định lý giá trị trung bình Lagrange 2.17 Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý phát lần Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc áp dụng định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Bonnet Ossian (18191892) Tuy nhiên, công bố định lý xuất báo nhà vật lý tiếng André - Marie Ampére (1775-1836) Nhiều kết giải tích thực hệ định lý giá trị trung bình 2.18 Cơ sở định lý Rolle dựa vào hai kết sau 2.19 Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : R R đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm c khoảng mở (a, b) f '(c) = 2.20 Mệnh đề 1.1.2 Một hàm f : R R liên tục đoạn [a, b] phải đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [a, b] 2.21 Định lý 1.1.3 (Định lý Rolle) Giả sứ f hàm liên tục khoảng đóng [x ,x ] có đạo hàm x € (x ,x ) Nếu f (xi) = f (x ) tồn 2 điểm n € (xi, x ) cho f(n) = 2.22 Như định lý Rolle giải thích mặt hình học sau có cát tuyến nằm ngang đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị cho tiếp điểm nằm hai giao điểm cát tuyến với đồ thị 2.23 Một giải thích khác định lý Rolle hai nghiệm thực hàm thực khả vi f có điểm tới hạn f (nghiệm đạo hàm cấp f') 2.24 Định lý Rolle tổng quát hóa cách quay đồ thị hàm f để có định lý giá trị trung bình Lagrange 2.25 Định lý 1.1.4 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x = x I, tồn điểm n phụ thuộc vào x x cho 2.26 f (x )- ' x = f'(n(xi,x2)) (1.1) minh đề 1.1.1 khác Mệnh định đề lý Chứng màminh không sửcủa dụng Tucker Mệnh (1997) vàvà Velleman 2.27 xi (1998) - 1.1.2 x2 Lagrange f (x ) - f (x ) m := x2 - xi 2.292.30 2.31 Giả sử f hàm khả vi khoảng đóng [X1, x ] 2.32 2.33 x2 - x1 2.34 y - 2.35 Khi y chia khoảng đóng [x , x ] thành hai khoảng có độ h dài h = X2-X1 Nhận thấy min{m , m } < m < max{m , m }, 2.36 2.37 m 2.39 Hàm g(x) = 2.41 b)-a(a ) f(b i h m = f (X2) - f (y) 2.40 h liên tục nhận giá trị m [a , b ] 1 = m 2.42 2.43 f (x+h -f (x) f (y) - f (X1), th—’ = 2.38 cho b1-a1 Lặp lại thủ tục này, ta xây dựng chuỗi khoảng lồng 2.44 [X1,X2] [a1 ,b1] D [a ,&2] [an, bn] 2.45 cho f (b ) - f (a ) nm b n- a n n =m 1, , 2.48 với n = 1, 2, lim (b — On) = Gọi n điểm 2.462.47 n giao khoảng Nếu n = a với N n = a với N n 2.49 n>N, nên 2.50 f (b n )-f (n) v ) m = b n f( n)' 2.51 n n Tương tự, có m = f '(n) n = b với N Nếu a < n < b b 2.52 với N n n m f — 11'1'1 ( ) - f (a ) n n n - an + (1 — n - an với n, < b a n- n f (b ) - f ( ) n n bn - n ) Mn < 2.53 n 2.54 2.55 1.2Định lý giá trị trung bình tỉ sai phân 2.56 Trong phần này, chứng minh định lý giá trị trung bình tỉ sai phân trình bày số ứng dụng việc nghiên cứu trung bình Chúng ta bắt đầu với định nghĩa tỉ sai phân biểu diễn tích phân tỉ sai phân Một số kết phần tìm thấy sách Isaacson Keller (1966) Ostrowski (1973) Trong mục f biểu (n) diễn đạo hàm cấp n hàm f, f biểu diễn đạo hàm cấp f 2.57 Định nghĩa 1.2.1 Với số thực phân biệt x , x , , x tỉ sai phân i n hàm f : R R định nghĩa 2.58 f[x1] — f(x1) f [xbX21 — f (xx) - ' 2.59 x1 - x2 2.60 (X3 - X2)f (xi) + (xi - X3)f (X2) + (x2 - Xi)f (X3) (xi - X2)(X2 - X3)(x3 - Xi) f [x1, x2, x3] — 2.61 2.62 f [x x f [x , x] 2.63 2.64 với n x , i x x i- n , xn-i] f [x2, x3, , xn] J [xi , x2, , xn] , 2.994 Giải 2.995 Theo định lý giá trị trung bình tồn c E (—7; 0), ta có 2.996 2.997 2.998 Xét hàm số: f(t) = t — txo, phương trình (3.6) trở thành x0 f(5) = f(3) 2.999 định lý Vì f (t) liên tục [3; 5] có đạo hàm (3; 5), theo 2.1000 Lagrange ln tồn c E (3; 5) cho: f '(c) = 2.1001 2.1002 Khi x (c - 1) = 2.1003 2.1004 2.1005 2.1006 x0-1 x = x = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài tốn Giải phương trình : 2018 2.1007 x +2020 =2.2019 x 2.1008 2.1009 2.1010 2.1011 (3.7) x Giải Nhận xét: x = 0; x = nghiệm phương trình (3.7) Gọi x nghiệm phương trình (3.7) Ta 2018 + 2020 = 2.2019 o 2018 - 2019 = 2019 - 2020 (3.8) x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 Xét hàm số f (t) = tx° — (t + 1)x°, phương trình đ (3.8) trở 2.1012 thành f(2018) = f(2019) Vì f (t) liên tục [2018; 2019] có đạo hàm khoảng 2.1013 (2018; 2019), theo định lý Rolle tồn c E (2018; 2019) cho f'(c) = 2.1014 2.1015 nên x c -x (t+1) =0, 2.1016 x0-1 x0-1 x = x = 2.1017 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 2.1018 Bài toán 10 Cho hàm số g(x) liên tục [0; 1] khả vi 2.1019 (0; 1) thỏa mãn điều kiện g(0) = g(1) = Chứng minh tồn c E (0; 1) cho g'(c) = g(c) 2.1020 Giải Xét hàm số: f (x) = e g(x) 2.1021 f/(c) -x 2.1022 Ta có f(x) = [g (x) — g(x)] e 2.1023 Theo định lý Rolle hàm f (x) tồn c E (0; 1) cho f -x = hay [g (c) g(c)] e = / 2.1024 — Ha —c y g (c) = g(c) / 2.1025 3.2 Bài toán nâng cao 2.1026 Bài toán 11 Cho hàm số f (x) khả vi khoảng [6; 13] cho 2.1027 ( (2x — 19) (f (x) — 6) = f (x) x — 19x + 78 } Vx E [6,13] 2.1028 Tìm giá trị nguyên chứa f ([6; 13]) 2.1029 Giải 2.1030 Giả sử: f (x) =6 Vx E [6; 13] 2.1031 x — 19x + 78 2.1032 13) 2.1033 g(x) = f—- = f—— 2.1034 Ta có: g(6) = = g(13) 2.1035 g(x) khả vi [6; 13] 2.1036 Khi tồn c E (6,13) cho g'(c) = 2.1037 2.1038 f (x — 6)(x — (2x — 19)(f (x) — 6) — f'(x)(x — 19x + 78) g (x) = (f (x) — 6) 2 • Suy 2.1039 g' c = 2.1041 (2c - 19)(f (c) - 6) - f'(c)(c - 19c + 78) (f (c) - 6) 2.1040 ( ) 2 Giải phương trình ta (2c - 19)(f (c) - 6) = f'(c)(c - 19c + 78) 2.1042 Mâu thuẫn với điều giả sử E f ([6; 13]) 2.1043 Giả sử f (x) = x - 14 + 2.1044 f (x) khả vi [6; 13] (2x - 19)(f (x) - 6) - f'(x)(x - 19x + 78) 2.1045 2.1046 [ =(2x 19)(x 1|) - - - 1(x2 - [ l9x + 78) =1 (2x - 19)(2x - 19) - 2(x - 19x + 78) =1 (2x - 19) - 2(x - 6)(x - 13) ] 2.1047 2.1049 2.10502.1051 = 14 [ (x - 6)2 + (x - 13)2 ((x-6)+(x-13)) -2(x-6)(x-13) ] 2.1052 Vì 14 [(x - 6) + (x - 13)2] > [6,13] 2.1053 Do (2x - 19)(f (x) - 6) - f'(x)(x - 19x + 78) > tức (2x - 2 19)(f (x) - 6) = f'(x)(x - 19x + 78) y -1 < -14 + = f (6) V f (x) V f (13) = +6 2.1054 Su 2.1055 Vậy giá trị nguyên chứa f ([6; 13]) 2.1056 Nhận xét: Chọn hàm g(x) tùy thuộc vào khoảng khả vi cho Nếu thay khoảng khả vi (6; 13) khoảng khác ta tốn với cách giải tương tự 2.1057 e7sinx e7x 2.1058 Bài tốn 12 Tính lim —; 2.1059 x >0 ■ sinx — x — 2.1060 2.1061 Giải Giả sử x Khi x , hiển nhiên sin x < x Cho x cố định, cho 2.1062 e7 sin x e7x 2.1063 H (y) = e — e — (y — sin 7y x 7sin x x) —; 2.1064 2.1065 2.1066 sin x x Vy E [sin x, x] Ta có: H (x) = = H (sinx) H (y) khả vi [sinx,x] x x x e7 H (y) = 7e — 7y sin x e7x sin x x 2.1067 Khi tồn c E (sinx, x) cho HX(c ) = mà 2.1068 2.1069 e7sinx e7x 2.1070 -Suy = HX(c ) = 7e ; 2.1071 sinx x x x x 7cx x 7e7cx e7sinx e7x sinx x 2.10722.1073 nên 2.1074 2.1075 2.1076 x- -0 ■ sinx — x 2.1077 Bài toán 13 Giả sử f liên tục [0; ị] thỏa mãn f (0) > 0, fÕ f (x)dx < Chứng minh phương trình f (x) = sin x có nghiệm khoảng 2.1078 2.1079 2.1080 Xét F(x) = f (x) — sin x F liên tục [0; ị] 2.1082 2.1081 n n Khi đó: f0 f (x)dx < hay J0 f (x)dx — < 2.1083 Suy ra: 2 [f(x) — sinx] dx = F(x)dx < 2.1084 2.1085 Do tồn c E [0; 2] để F(c) < 2.1086 Mà F(0) = f (0) > nên tồn c E (0; ) để F(co) = tức F(x) =0 có nghiệm 2.1087 2.1088 Vậy f (x) = sin x có nghiệm (0; 2) Bài toán 14 Cho hàm số f(x) hàm khả vi thỏa mãn c f(x) c 14 với x Giả sử a b giá trị lớn giá trị nhỏ f (11) — f (3) Tính giá trị a + b 2.1089 Giải 2.1090 Nếu < f(x) < 14 Vx 2.1091 2.1092 Theo định lý giá trị trung bình: 2.1093 2.1094 f(11) — f (3) = f'(c).(11 — 3) với c e [3,11] Từ đó: 2.1095 2.1096 f (11) — f (3) = 8f'(c) 2.1097 2.1098 nên 2.1099 2.1100 0, h > < ỡ < Nếu giá trị lim ỡ = a (a, b) = Tính giá trị a + b Giải Ta có: f(x) = 3x Khi f (x + h) - f (x) = h.f'(x + ỡh) 2.1102 Suy (x + h) + — x — = 3h(x + ỡh) 3 Giải phương trình ta _1 Í.L2 , , h2 \ _ — \ d x2 + hx + —— xi ứ Do đó: lim ỡ _ lim I \/x + hx + h— xì h4o h IV / = lim h^o = lim h0 hx + h2 h ỵ/x + hx + + x^ h ^ựx + hx + + x^ h 2.1103 Mà lim ỡ 2.1104 h0 2.1105 Do đó: a = , b = Suy a + b = 2.1106 Bài tốn 16 Tính tích phân 2.1107 dx 2.1108 + x + x + ự x + 3x + 2 2.1109 2.1110 (Olympic sinh viên 2011) Giải 2.1111 -Xét hàm số g(x) = „ với x E 1—1; 1] Ta thấy 2.1112 "L J + x + x + ựx + 3x + g(0) = 1+x g(x) + g(-x) = 2.11132.1114 2.1115 2.1116 _x + x + x — ự x + 3x + 2.1117 -Ta có g(x) =- ——-—Z7 2.1118 2(x + x ) 2.1119 Do 2.1120 1 2.1121 g(x)dx = x) + 2.1122 g(x)dx g(x)dx + g(-x)d(- 11010 (g(-x) + g(x))dx = 2.1123 2.1124 Vậy tích phân cần tính -^- 2.1125 g(x)dx = dx 1+x Nhận xét: Việc đặt thêm hàm g(x) nhân liên hợp hoàn tồn tự nhiên, kể tính chất g(x) + g(—x) = ĩ+x chứng minh hoàn toàn dễ dàng Tuy vậy, nhiều bạn chưa nắm vững tích phân suy rộng khơng dám nhân liên hợp kiểu miền cần tính tích phân có chứa số khó tìm lời giải thứ hai thay 2.1126 Bài toán 17 Cho hàm số f (x) = ln(x + 1) với x > 0, tồn số thực c = ln (XX+1) — thỏa mãn f (x) = xf'(c) mà ta kí hiệu c(x) Tính lim cx' (Olympic sinh viên 2010) 2.1127 Giải 2.1128 2.1129 c(x) in(X+i) — x — ln(x + 1) = lim — lim —= lim Theo quy tắc L'Hospital x-ln(x+1) lim x>0 —:—7-—,, x ln(x + 1) + = lim x0 - + lim 2x 1+x 2.1130 x >0 ■ x x >0 ■ x 2.1131 2.1132 Vậy giới hạn cần tìm - 2.1133 lim ĩ , \ x >0 ■ x ln(x + 1) x2 + = lim x0 x-ln(x+1) x>0 YẬ1I x x >0 ■ + 11 x ln(x + 1) Nhận xét: Để tính giới hạn mà khơng dùng quy tắc L'Hospital dùng không tách hai thành phần để tính riêng vất vả giới hạn 2.1134 Bài toán 18 Cho hàm số f (x) xác định có đạo hàm [0; +X) 2.1135 Biết tồn giới hạn 2.1136 lim [f(x) + f'(x)] = 2.1137 x> I X x 2.1138 Tính lim f(x) 2.1139 o I X 2.1140 (Olympic sinh viên 2007) 2.1141 2.1142 Giải Xét hàm số g(x) = f (x)e g(x) liên tục có đạo hàm [0; x +X) 2.1143 Ta có lim f(x) = lim g(x) ex x>I X Theo quy tắc L'Hospital (x) g 1lim o I X e =Jx g'(x) lim x (f (x) + f '(x))e o I X x ex = im (f (x) + f (x)) x> I X =1 x 2.1144 / Từ suy f(x) = 2.1144 2.1145 lim 2.1146 x>I X 2.1147 Nhận xét: Bài tốn khơng thay đổi thay số dương tùy ý Bài toán 19 Giả sử hàm số f (x) liên tục [0; 1] f (0) = 0, 2.1148 f (1) = 1, khả vi (0; 1) Chứng minh với a E (0; 1) tồn X1, x E (0; 1) cho a 1-a f (x1) + f (x2) / / = 2.1149 2.1150 (Olympic sinh viên 2008) 2.1151 Giải Do f (x) liên tục nên với a E [0; 1] tồn x E (0; 1) 2.1152 o cho f(x0) = a Theo định lý Lagrange tồn X E (0; Xo) x E (x ; 1) 2.1153 cho f (x ) - f (0) o Xo - 1-a a o = f'(xi) f(11 - ' = f (X2) 2.1155 1-X 2.1156 Từ suy f'(xi) = xao, /(X2) = J—a a 2.1154 1-a f/(x ) + f,(x ) 2.1157 i x ) Xo + 0= 2.1158 Ta có điều phải chứng minh = xao+ (1 X = o - a)/(1 - 2.1159 2.1160 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số nội dung sau đây: 1.Giới thiệu sơ lược định lý giá trị trung bình 2.Trình bày phép chứng minh chi tiết định lý giá trị trung bình 3.Trình bày mở rộng định lý giá trị trung bình số đạo hàm suy rộng tích phân 2.1161 ữngđến dụng để lý giải minh số tốn có liên quan định giátường trị trung bình 2.1162 Tài liêu tham khảo [1] C.F Aull, The first symmetric derivative, Amer Math Monthly, 1967 [2] J Tong, The mean value theorem of Lagrange and Cauchy, Int J 2.1163 Maths Educ Sci Technol, 1999 [3] Lê Phúc Lữ, Tổng hợp đề thi Olympic Toán sinh viên mơn giải tích, 2013 [4] P K Sahoo and T Riedel Mean Value Theorems And Function Equations, 1998 ... đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo... định lý giá trị trung bình Cauchy chứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu 1. 1Định lý giá trị trung bình Lagrange 2.17 Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình. .. tiêu luận văn nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng định lý giá trị trung bình Trình bày định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng