Cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THANH THIỆN CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 VÕ THANH THIỆN CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chuyên ngành: ĐẠI Số VÀ LÝ THUYET Số Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG Mục lục Tài liêu tham khảo 38 Mở đầu Lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa hình thành từ cơng trình Hironaka (1964) Grauert (1972) Lý thuyết đóng vai trị quan trọng, sở cho tính tốn hình học giải tích địa phương, có nhiều áp dụng lĩnh vực hình học đại số lý thuyết kỳ dị Do đó, việc tìm hiểu lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa cần thiết tiền đề cho việc nghiên cứu toán liên quan lĩnh vực Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức liên quan đến vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức dùng luận văn Chương tìm hiểu trình bày Định lý chia Grauert, sở chuẩn tắc số tính chất sở chuẩn tắc, áp dụng sở chuẩn tắc vấn đề tính tốn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS.Phạm Thùy Hương, cô trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn học trường đại học Quy Nhơn quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ q trình học tập trường Nhân đây, tơi xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mạc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy giáo, giáo độc giả để luận văn hồn thiện Ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực Võ Thanh Thiên Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức, sở cho việc nghiên cứu sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức chương luận văn Trong toàn luận văn, K[x] = K[x , , x ] ký hiệu vành đa thức n biến n trường K Ký hiệu x = (x , ,x ) biến a = (a , , a ) (a , , a ) n E Mon = {x n (x1, a N , ta viết x = xi n | a n • n E N Với a = n x° gọi đơn thức n biến Ký hiệu • n n a E N } tập hợp đơn thức n biến K [x] Ký hiệu (x) = n , xn) c K [x] 1.1Vành chuỗi lũy thừa hình thức Mục trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Các kết mục trích dẫn từ [3] [5] Định nghĩa 1.1.1 (1) Một biểu diễn 52 a x , a a a aEN a E K, n gọi chuỗi lũy thừa hình thức Một chuỗi lũy thừa hình thức ro ký hiệu 52 a x 52 a x a a a a |a|=0 (2) Ký hiệu K[[x]] = { 52 a x | a a a a £ K, a £ N } tập tất n a£N n chuỗi lũy thừa hình thức n biến với hệ số K Trên K[[x]] ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau 22 aữxa + 22 baXa := 22 (a« + a£N aN ba)x , a a£N n n f a«x^ f baxa^ := 'aN ' aabẦ xy ' aeN" ' Y£Nn ' a.+Ịĩ=Y ' Khi K [[x]] với hai phép tốn vành giao hốn có đơn vị, gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến trường K Ký hiệu m = (x , , xn) c K[[x]] Mệnh đề 1.1.2 K [[x]] vành địa phương với iđêan cực đại m Chứng minh Xem [[5], Bổ đề 6.1.2] □ Bổ đề 1.1.3 n m = (0) k k=i Chứng minh Xem [[5],Bổ đề 6.1.5] □ Định nghĩa 1.1.4 (1) K[[x]] với tập hợp F = {m | k k G N} không gian tôpô, F hệ lân cận Tôpô gọi tôpô m-adic (2) Một dãy {f } N, f v v£ v K[[x]], gọi dãy Cauchy với k £ £ N, tồn l £ N cho f v (3) Một dãy {f } N,f v v£ v G — f m £ m với V, m > l k K[[x]] gọi dãy hội tụ tồn f G K[[x]] cho với k G N, tồn l G N thỏa mãn f—f v £ m với V > l k Khi f xác định ta viết f = lim f V V — ro ro (4) Một chuỗi 52 f K [[x]] hội tụ dãy tổng riêng V=0 hội tụ V Chú ý 1.1.5 Nếu {f } N, {g } GN dãy hội tụ V Ve V V lim (fV +gV) = lim fV + lim gV V^x V^x V^- lim (fvgv) = lim fv • lim gv V^x V^- V ^- Định lý 1.1.6 K[[x]] đầy đủ, nghĩa dãy Cauchy K [[x]] hội tụ, Hausdorff tôpô m-adic Chứng minh Xem [[5], Định lý 6.1.8] □ ro Mệnh đề 1.1.7 Một chuỗi f K[[x]] hội tụ tôpô m-adic V=0 V lim f = V V Chứng minh Xem [[3], Mệnh đề 4.4.8] □ 1.2Iđêan đơn thức Trong mục này, ta nhắc lại định nghĩa số tính chất iđêan đơn thức Các kết trích dẫn từ [1], [5] [7] Sau đó, ta đưa tính chất tương tự cho iđêan sinh đơn thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Từ sau toàn luận văn R ký hiệu vành K [[x]] = K[[x , , x ]] n chuỗi lũy thừa hình thức n biến trường K, trừ có khẳng định khác Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan I c K[x] gọi iđêan đơn thức I có hệ sinh tập đơn thức Cho x°',xf G Mon Ta nói xf chia hết cho x hay x chia hết x/, ký hiệu x | a n a a x^, tồn Y £ N cho = Y + a, tức > a , với i = 1, , n n i Bổ đề 1.2.2 Cho I = (A) iđêan đơn thức, A c Mon xf £ Mon Khi n n xf £ I tồn xa G A cho xf chia hết cho x a Chứng minh Xem [[1], Bổ đề 2] □ Bổ đề 1.2.3 (Bổ đề Gordan-Dickson) Một tập hợp khác rỗng M đơn thức K [x] chứa tập hữu hạn E c M cho đơn thức M bội đơn thức E E thường gọi sở Dickson M Chứng minh Xem [[5], Bổ đề 1.2.6] □ Từ Bổ đề 1.2.2 Bổ đề 1.2.3 ta suy hệ sau Hệ 1.2.4 Mọi iđêan đơn thức I c K[x] có hệ sinh gồm hữu hạn đơn thức Chứng minh Gọi I = (M | M c Mon ) c K [x] Theo Bổ đề Gordan- Dickson, n tồn tập hữu hạn E={m1, ,mr}c M cho với m G M, m chia hết cho m với i i0 G {1, , r} dụng Bổ đề 1.2.2 ta có I = (mi, ,m ) Khi đó, áp □ r Bổ đề 1.2.5 Cho I J hai iđêan đơn thức Khi I n J I : J iđêan đơn thức Hơn nữa, I = (m , ,m ) J = (n , ,n ),mị,nj đơn thức, r s (1) I n J = (BCNN(m , nj) | < i < r, < i < j) i (2) I : nj = (mi/UCLN(m ,nj) | < i < r) i s Do I : J tính theo cơng thức I : J = n (I : nj) j=1 Chứng minh Xem [[7], Mệnh đề 4.7] □ Một iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức sinh đơn thức có tính chất tương tự iđêan đơn thức, thể qua bổ đề sau Bổ đề 1.2.6 Cho I = (M | M c Monn) c R iđêan Cho m m G I tồn m G G Mon Khi n M cho m chia hết cho m Chứng minh Lập luận chứng minh Hệ 1.2.4, tồn sở Dickson E = {m1, , mr} c M M Khi đó, rõ ràng I = (E) c R r Giả sử m G m g ,i = i i {1, , r} I Khi m X mg, i i=1 i với g , ,g r R Đạt h = G i r Vì m đơn thức 52 h nên tồn i i i=i G cho m đơn thức h Vì đơn thức h chia hết cho i0 i0 m nên m chia hết cho m i0 i0 Ngược lại, giả sử tồn m G G M cho m chia hết cho m , tức tồn m ' Mon cho m = m m Suy m G (M | M c Mon } = I n z n □ 1.3Thứ tự đơn thức Mục trình bày số khái niệm tính chất liên quan đến thứ tự đơn thức, thứ tự đơn thức địa phương quan tâm dùng chương luận văn Các kết mục trích dẫn từ [3] [5] Định nghĩa 1.3.1 Một thứ tự đơn thức K[x] thứ tự toàn phần > Mon thỏa mãn với a, p, Y G N ta có n n Mệnh đề 2.2.4 Mọi iđêan I khác khơng R có sở chuẩn tắc Chứng minh Gọi J = (LM(f) | f tồn f i G G I, f = 0} c K[x] Khi theo Hệ 1.2.4, I, f = 0, i = 1, , r, cho i J = (LM (f1), ,LM (fr)} Mạt khác R ta có L(I) = (LM(f) | f e I, f = 0} = J = (LM(fl), , LM(fr)}, e J mở rộng J phép nhúng tắc e i : K[x] Rff với f G K[x] Vậy {f , , f } sở chuẩn tắc I □ r Mệnh đề 2.2.5 Cho I iđêan khác không R Cho S = {fl, , f } r sở chuẩn tắc I Khi I = (fl, , fr) r Chứng minh Với g G I ta có g X g f + NF(g|S) với gi, ,g i i i=1 r G R Suy NF(g|S) = g — ^2 gifi G I Nếu NF(g|S) = i=1 LT(NF(g|S)) e L(I) = (LT(fi), ,LT(fr)) Theo Bổ đề 1.2.6, LM(NF(g|S)) chia hết cho LM(f ) với i G i {1, ,r} đó, điều mâu thuẫn với định nghĩa NF(g|S) Dođó NF( |S) g = Vậy g E(f\, ,frỵ □ Mệnh đề 2.2.6 Cho I iđêan khác không R Cho S = {fl, , f } T = r {hi, , h } sở chuẩn tắc I Khi với g s NF(g|T) Chứng minh Với g G R, ta có rs E R ta có NF(g|S) = g = E gifi + NF (g|S) = hj + NF (g |T), i=1 j=1 với gi, ,gr ,gi, ,gs E R Suy sr NF(g|S) - NF(g|T) = £ gjh - £ g,f, e I j=1 i=1 Nếu NF(g|S) = NF(g|T) LM(NF(g|S) - NF(g|T)) E L(I) Mặt khác, LM(NF(g|S) — NF(g|T)) đơn thức xuất NF(g|S) NF(g|T) Điều mâu thuẫn với định nghĩa dạng chuẩn Do NF(g|S) = NF(g|T) □ Định nghĩa 2.2.7 Cho I c R iđêan khác không S sở chuẩn tắc I Khi đó, với g G R ta định nghĩa NF(g|I) := NF (g|S) dạng chuẩn g I Mệnh đề 2.2.8 Cho I c R iđêan khác không S = {f , , f } sở r chuẩn tắc I Cho g G R Khi (1) g G I NF(g|S) = (2) g - NF(g\I) e I Chứng minh Vì S = {f , , f } sở chuẩn tắc I nên I = f1, , fr} Với g r E R ta có r g = E gifi + NF (g|s) i=l với giG R (1) Giả sử g E I Khi NF(g\S) = g — ^2 gifi £ I Nếu NF(g\S) = i =l LM(NF(g\S)) G L(I), điều mâu thuẫn với định nghĩa NF(g|S) Do NF(g|S) = Ngược lại, NF(g|S) = g = gifi £ I i =l (2) Ta có g - NF(g|S) = £ gfi G I □ i=l Định nghĩa 2.2.9 Cho Z vành giao hốn có đơn vị, M Z-mơđun Cho f , , f r G M Một xoắn f , , f phần tử hạt nhân Kerộ r đồng cấu ộ:Z r —> M, Si I—> fi, i = 1, , r, {S1 , , S } sở tự nhiên Z Khi đó, Kerộ gọi môđun r r xoắn f , , f , ký hiệu syz(f , , f ) r r Sau ký hiệu {e , , e } sở tự nhiên K[x] c R r r Định nghĩa 2.2.10 Cho f , , f G r r R\{0} Khi thứ tự mơđun cảm sinh > K [x] định nghĩa r x e > x ej o x LM(fi) > x LM(fj), a i a (xaLM(fi) = x ''LM(fj) i > j) Cho fi, ,fr G R\{0} Với i G {1, ,r}, gọi LM(fi) = x , LC(fi) = Ci, = («ii, ,am) G N Với i, j G {1, ,r},i = j, ký hiệu mji = x , n Y-ai Y = (max{aii, aj 1}, , max{a ,«jn}) G N in n Khi mji = BCNN(LM(fj),LM(fi))/LM(fi) Định nghĩa 2.2.11 Cho fi, , f r G R\{0} Với ký hiệu trên, với i = j, S-đa thức f fj, ký hiệu S(f , fj), định nghĩa i i S(f f ) x j = mjifi - C;mij fj Chú ý r n ằ g S(fi, fj) = _S(fj, fi) với i = j Với i = 2, , r, đạt Mi = (LM(fi), , LM(fi_i)> : LM(fi) c K[x] Khi theo Bổ đề 1.2.5, Má sinh đơn thức mj , j < i Hơn nữa, Má i có hệ sinh sở Dickson E c {mj | j < i} Với i phần tử i sinh x a G E Má, chọn j = j(i, a) < i cho mj = x Gọi a i hi,a = NF (S (fi,fj )|G), G = {fi, , fr} Định lý sau cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra hệ sinh iđêan sở chuẩn tắc Định lý 2.2.12 (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho I = {f1, ,fr)c R iđêan, f , ,f r R\{0} Với ký hiệu trên, G = {f , , f } sở chuẩn G r tắc I hị, = với i, a a Chứng minh Giả sử G sở chuẩn tắc I Vì S(f , fj) G I với i = j i nên áp dụng Mệnh đề 2.2.8(1) ta suy h , = với i, a i a Ngược lại, giả sử h , = với i,a Khi theo Định lý chia Grauert, với i a i, a ta có m f - ji i c cmijfj = S(fi fj) = g1 ij)f + + gr fr + jj j j = j(i, a) < i chọn Đạt G := (-g1 , , -mij-gj , -gj+1, , mji-gi , , -gr ) G R cj Khi G xoắn f , , f Trên K [x] c R ta xét thứ tự môđun cảm (i,a) ij) ij) ij) (i,a) j) r r r r sinh Ta chứng minh thứ tự này, đơn thức dẫn đầu G (i,a) LM (G ) = mj e (i,a) i i Thật vậy, ta có mj LM(f ) = m,ịjLM(fj) với k = 1, , r i i mjiLM(fi) = max{LM(mjifi), LM(mijfj)} > LM(S(f ,f )) i j = max{LM(gk fk)} j k=1,r LM(i^LM(fk) > Vì i > j nên từ suy mjịe-ị > m e , m e > LMC'C')ek Do LM (G ) = ij j ji (i,a) i mj e i i Lấy g E I, g = Khi tồn a , , a r E R cho g = a1f1 + +arfr Ta chứng minh tồn biểu diễn g g = g1f1 + + grfr với g , ,g r E R cho với l > k, khơng có đơn thức g LM(fl) chia l hết cho LM(f ) Khi k LM ( ) g = max{LM (gifi)} = LM (gio fi0) = LM (g )LM (fi0 i=1,r với i E {1, , r} Suy LT(g) E (LT(f ), , LT(f ) ta có điều cần chứng io r minh Thật vậy, xét A = (a , ,a ) r E Rr áp dụng Định lý 2.1.4 cho A G , với (i a) i,a (các G xếp theo thứ tự đó), tồn H = (g , , g ) E R (i,a) r r phần dư phép chia Vì G xoắn f , , f với i, a nên ta (i,a) r g = a1f1 + +arfr = g1f1 + + grfr Giả sử phản chứng tồn > k cho có đơn thức giLM(fl) chia hết cho LM(f ) Suy có đơn thức m gi thuộc vào iđêan k Ml = (LM (f1), , LM (fl-1)) : LM (fl) Vì M iđêan đơn thức sinh E l c {mhl | h < 1} nên tồn đơn thức m hol E E,h < 1, cho m chia hết cho m Do đó, đơn thức me H chia hết cho đơn hol thức m e , mâu thuẫn hol l l □ Mệnh đề 2.2.13 Cho I c R iđêan khác khơng Khi I có sở chuẩn tắc thu gọn S = {f , , f } Cơ sở chuẩn tắc m Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn sở chuẩn tắc thu gọn I Gọi T = {g , , g m sở chuẩn tắc I Giả sử LM(gi) | LM(gj) } với ỉ = j Khi {gi, , gj—1, gj+i, ,gm} sở chuẩn tắc I Do giả sử LM(g ) \ LM(gj) với ỉ = j Hơn nữa, chia g cho LC(g ) i i i ta giả sử LC(g ) = với ỉ = 1, , m Đạt i fi :=LT(gi)+NF(Taỉl(gi)|I), ỉ= 1, ,m Ta chứng minh f , , f sở chuẩn tắc thu gọn I Thật vậy, với ỉ G {1, , m m} g i= LT(g ) + Taỉl(g ) i i = LT(gi) + q g iv v + NF(Taỉl(g )|T i L V =1 với € R nên fi G I với ỉ = 1, , m V1 LT (gi) = LT (fi) với ỉ = 1, , m nên ta có S := {f , , f m sở chuẩn tắc I Hơn } nữa, với ỉ = 1, ,m, LM(f ) \ LM(fj) với j = ỉ theo định nghĩa dạng i chuẩn, khơng có đơn thức Taỉl(f ) chia hết cho LM(g ) = i LM(f ), , LM(g ) = LM(f ) Do f , , f sở chuẩn tắc thu gọn I m m m Ta chứng minh tính sở chuẩn tắc thu gọn Giả sử S = {f , , f m } T = {g , , g } hai sở chuẩn tắc thu gọn I Ta có L(I) = (LM(fi), ,LM(fm)ì s = (LM(gi), ,LM(gs)Ỵ Mạt khác LM(fi) \ LM(fj) với ỉ = j LM(g ) \ LM(g ) với k= l nên m= svà{LM(f1), ,LM(fm)} = k {LM(g1), ,LM(gm)} l Do với ỉ G {1, , m} tồn j G {1, , m} cho LM(f ) = LM(gj) i Vì f —gj G I S sở chuẩn tắc I nên NF(f —gj |S) = i Do theo Định lý chia Grauert tồn h i k G R,k = 1, ,m cho fi - gj = hkfk k=1 Giả sử phản chứng f = gj Khi đó, LM(f ) = LM(gj), đơn thức f i i i — gj đơn thức Tail(fị) Tail(gj) Vì S sở chuẩn tắc thu gọn I, khơng có đơn thức Tail(fị) Tail(gj) chia hết cho số LM (fi), , LM (fm) Do fi — gj = NF (fi — gj |S) 2.3 Một áp dụng sở chuẩn tắc Kết mục khẳng định sở chuẩn tắc iđêan sinh đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thức tính tốn máy tính Một áp dụng sở chuẩn tắc tính tốn số bất biến lý thuyết kỳ dị đưa mục Các kết mục trích dẫn từ [3], [5] [6] Định nghĩa 2.3.1 Cho I iđêan khác không R cho > thứ tự đơn thức địa phương K [x] c R Một đơn thức chuẩn tắc I thứ tự đơn thức > đơn thức không thuộc L(I) Mệnh đề 2.3.2 Cho > thứ tự đơn thức địa phương K[x] Cho I c R iđêan khác không Khi (1) Các đơn thức chuẩn tắc I đại diện cho phần tử K-độc lập tuyến tính R/I, lớp thặng dư chúng sinh không gian R/I trù mật tơpơ m / -adic, m / iđêan cực đại R/I R I R I (2) Nếu dim R/I < oc đơn thức chuẩn tắc đại diện cho sở K K-không gian vectơ R/I Chứng minh (1) Đạt B := {m G R/I | m đơn thức chuẩn tắc I >} Với s G N\{0},m , ,m đơn thức chuẩn tắc I >, a , , a s s G K, giả sử a mi + + a ms = G R/I s Suy g = a m + + a m Giả sử g = 0, tồn i nên m i0 G s G {1, , s} s G I cho LT(g) = a m Vì LT(g) i0 i0 G L(I) L(I), mâu thuẫn Do g = Suy a = 0, i = 1, , s Vậy B hệ i độc lập tuyến tính Ta chứng minh tính trù mật Ký hiệu (B) khơng gian R/I sinh B Lấy f R/I, ta chứng minh f G G (B), (B) bao đóng (B) tơpơ mR/i-adic Với k G N, ta chứng minh f + mR/1 n (B} = Gọi S = {f , , f } c I sở chuẩn tắc I Đạt h = NF(f |S) Khi đó, r f = h e R/I, khơng có đơn thức h chia hết cho đơn thức số LM(f ),i = 1, , r Gọi h X b x i a a G R, ta có h— bx a a E m k |a| Giả sử c , , c s G r K cho s £ m e L(I) = (LM (fi), ,LM (fr)) i=1 Do mị, i = 1, ,s, không chia hết cho đơn thức số LM(fj),j = 1, , r nên c = với i = 1, , s Do đó, B' hệ độc lập tuyến tính Hơn nữa, ị với g G R, rõ ràng R/L(I) ta có g tổ hợp tuyến tính mĩ, , ms Do đó, B hệ sinh R/L(I) □ f Chú ý Hệ 2.3.3, dim R/I < oc tương đương với dim R/L(I) < K K o Bây giờ, cố định > thứ tự đơn thức địa phương K [x] Xét vành K[x]( ) địa phương hóa K[x] iđêan cực đại (x) Ta có K[x] c K[x]( ) c R x x Với f G K[x]( ), LM(f) đơn thức lớn f R Ta định nghĩa x sở chuẩn tắc iđêan vành K [x](x) Định nghĩa 2.3.4 Cho I iđêan K[x]( ) Một tập hợp S = {f , , f } c I\ x {0} r gọi sở chuẩn tắc I L(I) = (LT(fi), ,LT(fr))c K[x], L(I) := (LT(f) | f e I\{0}) c K[x] Chú ý 2.3.5 (1) Nếu S = {f , , f } sở chuẩn tắc iđêan I c K[x] (x) r I = (f , , f ) (Xem [[5], Bổ đề 1.6.7]) r (2) Neu I iđêan K[x](x sinh đa thức I có sở chuẩn tắc gồm đa thức sở tính tốn thuật tốn sở chuẩn tắc (xem [[5], Thuật toán 1.7.8]) Định lý sau sở cho việc tính tốn hình học giải tích địa phương Nó khẳng định neu iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức sinh đa thức sở chuẩn tắc tính Định lý 2.3.6 Cho > thứ tự bậc địa phương K[x] c R Cho I iđêan K [x] S c K [x] sở chuẩn tắc IK[z]( ) Khi S x sở chuẩn tắc IR Chứng minh Gọi S = {f , , f } c K[x] sở chuẩn tắc IK[z]( ) Lấy r x g € IR, g = Khi tồn g , , g r € R cho r g= gi fi i=1 Chọn c € N cho LM(g) € (x)c đơn thức (x)c nhỏ LM(g) Với i = {1, ,r}, chọn h € K[x] cho i gi - hi € (xỴ Đạt r f=E i=1 Khi f € IK [x] r f- Do LM(f) = LM(g) g=^ (h - )f € x i gi i i=1 ( Ỵ Vì f e IK [x](x) nên LM (f) e L(IK [x](x)) = (LM (fl), , LM (fr)) Suy LM(g) e (LM(fi), ,LM(fr)) Chọn thứ tự đơn thức địa phương > K [x] c R Theo Mệnh đề Cuối cùng, ta đưa áp dụng sở chuẩn tắc tính toán số bất biến lý thuyết kỳ dị Định nghĩa 2.3.7 Cho f E m\{0} (1) Số '1(/) :=dim Ỷ K ,- ,f) gọi số Milnor f (2) Số T (f ) : =dim Ý {f,f K ,dXn/ gọi số Tjurina f Với f E m\{0}, đạt df\ ,dxn/ c R, 2.2.4, tồn S = {f , , f } sở chuẩn tắc j(f) > Do r L(j(f)) = (LM(flLM(fr))c R, iđêan R sinh đơn thức Nếu dimK R/L(j(f)) < oc áp dụng Hệ 2.3.3, ta có /' f) = dimK R/j (f) = dimK R/L(j (f)) Tương tự ta tính T(f) Sau minh họa cho việc tính tốn số Milnor số Tjurina trường hợp f đa thức Ví dụ 2.3.8 Cho f = x + xy 3 E C[[x,y]] Khi = (dx’ 10 = (3x + y ’ 3xy > c x, Trên C[x,y] chọn thứ tự đơn thức > với x > y, thứ tự bậc địa phương ds Theo Chú ý 2.3.5, sở chuẩn tắc iđêan j(f) c C[x,y]( ,y tính x thuật tốn Dùng hệ đại số máy tính SINGULAR [4], ta tính sở chuẩn tắc j(f) c C[x, y]( , ) > x y ds S={3x +y ,xy ,y } Theo Định lý 2.3.6, S sở chuẩn tắc j(f) c C[[x,y]] Do ta có L(j(f)) = (x ,xy ,y } c C[[x,y]] 2 Áp dụng Hệ 2.3.3, ta /' f) = dimcC[[x,y]]/j (f) = dimcC[[x,y]]/L(j (f)) = dimcC[[x,y]]/(x ,xy ,y ) = Vì f G j (f) nên T(f) = y,(f) = Kết luận Trong luận văn thực cơng việc sau Trình bày kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức Các kết trình bày Chương Chứng minh chi tiết phiên hình thức Định lý chia Grauert, trình bày lại cách có hệ thống số khái niệm kết sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức, tìm hiểu áp dụng sở chuẩn tắc vấn đề tính tốn Các kết trình bày Chương Tài liệu tham khảo [1] David A Cox, John Little, Donal O'Shea, Ideals, varieties and Algorithms, Springer International Publishing Switzerland, 1998 [2] Wolfram Decker and Christoph Lossen, Computing in Algebraic Geometry, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Hindustan Book Agency New Delhi, 2006 [3] Wolfram Decker, Frank-Olaf Schreyer, Varieties, Grobner Bases, and Algebraic Curves, 2009 [4] Wolfram Decker, Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, Hans Schoennemann, Singular 4.0.2-A Computer Algebra System for Polynomial Computations, 2015, http:// www.singular.uni-kl.de [5] Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, A SINGULAR Introduction to Commutative Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg, 2008 [6] Theo de Jong, Gerhard Pfister, Local Analytic Geometry, Springer Fachmedien Wiesbaden, 2000 [7] Lê Tuấn Hoa, Đại số máy tính-Cơ sở Grobner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 ... nghĩa cách tương tự Định nghĩa 1.3.13 Chương CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chương trình bày số khái niệm kết lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa hình thức. .. Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức, sở cho việc nghiên cứu sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức chương... đơn thức h chia hết cho LM(fị), với i = 1, ,r 2.2 Cơ sở chuẩn tắc số tính chất sở chuẩn tắc Mục trình bày khái niệm sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức, số tính chất sở chuẩn tắc