bài tập giới hạn trong các đề thi HSG môn toán lớp 11

Giới hạn đề thi HSG lớp 11 Câu 1: Cho dãy số(un): a Chứng minh rằng: u1 = 0; u2 =   un +1 + un , ∀n ∈ N * un+ = un +1 = − un + b Xác định cơng thức un Tính limun  u1 =  u = n + u n  n +1 3n Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: Với a) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) tìm lim un S = u1 + b)Tính tổng Câu 3: Cho dãy số u u3 u + + + 11 11 ( un ) a) Chứng minh n∈ N* xác định u1 = 2018  un4 + 2017  * u =  n +1 u − u + 4034 , ∀n ∈ N n n  un > 2017, ∀n ∈ N * n , ∀n ∈ N * k =1 u + 2017 Sn = ∑ b) Đặt k Tìm limSn Câu 4: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Câu 5: Tìm giới hạn 2015n + u = (u + 1) n+1 2016n + n 1.Chứng minh dãy số (un) giảm bị chặn 2.Tính lim(un) Câu 7: Tính biết − x3 − x + lim x →1 x2 − Câu 6: Cho dãy số (un) có u1 = 2017; lim x→2 ( un ) u1 =  2un+1 − un = 4, n ≥ x −1.5 x + 30 − x−2 (∀n ≥ 1) Câu 8: Cho dãy số a)Chứng minh dãy S= b) Đặt (un ) (un ) xác định sau : u =   u2 +1 u = n , n ∈N *  n +1 tăng không bị chặn 1 + + + u +1 u +1 un + 1 17 lim x →0 Câu 9: Tính giới hạn: Tính lim S n→+∞ 2017 x + − x u1 = 11  u = 10un + − 9n,∀n∈ N Câu 10: Cho dãy số (un) xác định :  n+1 Tìm cơng thức tính un theo n x + x + x + + x 2017 − 2017 lim 2018 − 2018 Câu 11: Tìm giới hạn: H = x →1 x + x + x + + x lim x→1 Câu 12: Tính giới hạn sau: − 2x + x − 2 x −1− x Câu 13: Tìm số nguyên dương n cho: Câu 14: Cho 2.2 + 3.23 + 4.2 + + n.2 n = 2n +12 u1 = 1,  * (u n ) :  2017 (n ∈ N ) u n+1 = (u n + u ) n  u n > ∀n ∈ N * a) CMR b) CMR (u n ) có giới hạn tìm lim x →1 lim u n x 2017 − 2017 x + 2016 ( x − 1) Câu 15: Tìm (Un) Câu 16: Cho dãy số xác định bởi: u1 =   un2 u = u +  n +1 n 2017  Sn = Đặt u u1 u2 + + + n u2 u3 un +1 Tìm lim Sn Câu 17: Tính giới hạn sau: Câu 18: Cho dãy số lập theo quy tắc: u1 = u2 =   un − 2un −1 + un − = 2; ∀n ≥ Chứng minh số hạng tổng quát dãy là: ( an ) Câu 19: Cho dãy số thỏa mãn: (un ) Câu 20: Cho dãy số thực un = n2 − 3n +   a1 = ∀n ≥ 1, n ∈ ¥  ( n + ) a = n a − ( n + 1) a a n n +1 n n +1  Tìm lim an u1 = −2  un = 3un−1 − ∀n ≥ xác định bởi: a) Chứng minh dãy số cho dãy số giảm lim b) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) tìm 3n un 3x − + x + lim x →0 − cos x Câu 21 : Tính giới hạn : Câu 22 : Cho dãy số ( un ) a) Chứng minh dãy xác định bởi: ( un ) b) Với số nguyên dương Câu 25: Cho dãy số ( xn ) tăng n , đặt u1 = 2018, un+1 = un2 − u n + 1, n = 1, 2,3, lim un = +∞ 1 1 = 2018  + + + ÷ un   u1 u2 xác định sau :   x0 =  xn  xn +1 = 2(n + 1) xn +  Tính với Câu 26: Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, …) xác định sau: xn +1 = xn ( xn + 1)( xn + 2)( xn + 3) + x1 = n yn = ∑ i =1 Đặt xi + với n = 1, 2, … lim yn (n = 1, 2, ….) Tìm n →∞ lim n∈ N lim (n xn ) Tìm n →+∞ Câu 27 : Tính giới hạn Câu 28: Cho dãy số với n∈ N, n ≥ Sn = Câu 29: Cho x 2015 − 2015 x + 2014 I = lim x →1 ( x − 1) ( un ) xác định bởi: Tìm số hạng tổng quát dãy  1  + + +  ÷ n  + 10 10 + 19 9n − + 9n +  Tính limSn lim n →∞ Câu 30: Tính giới hạn sau: Câu 31: Tìm giới hạn sau: Câu 32: Cho dãy số u1 = 4;  1 1 2  2 ( n + )  un +1 − ÷ = n  un − ÷− ( n + 1)      ( un ) Chứng minh dãy số   1  + + +  n  1+ 3+ 2n − + 2n +  x 3x − + x − − lim x→2 x2 − u1 = sin1; un = un −1 + xác định bởi: ( un ) 3: Cho dãy số un n →+∞ n , với xác định sau: u1 = 1, u2 = 3, un + = 2un +1 − un + 1, n = 1, 2, lim Tính Câu 34: Cho Pn=   2    1− 1−  1−  2.3 3.4  (n+ 1)(n+ 2) Gọi Un số hạng tổng quát Pn Tìm lim un Câu 35: Tìm giới hạn: Câu 36: Cho dãy ( xk ) n∈¥, n ≥ xác định dãy số bị chặn ( un ) Câu sin n n2 (x + 2012) − 2x − 2012 4x + lim x →0 x xk = xác định sau: k + + + 2! 3! (k + 1)! Tìm lim un n un = n x1n + x2n + + x2019 với Câu 37: Cho dãy số (un ) xác định bởi: b) Tìm số thực lớn cho Câu 38: Cho dãy số nguyên n nhiên a) Tìm số dư x2017 Câu 39: Tìm ( xn ) un ≥ c n với số tự nhiên n2 + n − n 4n + 3n − 2n u1 = 2018  2 ( 3n + 9n ) un +1 = ( n + 5n + ) un , n ≥  3n  lim  un ÷ n  ( un ) Câu 41: Cho dãy số Tính n với số nguyên dương chia cho Câu 40: Cho dãy số (un) xác định Tính giới hạn với số nguyên dương xác định u1 =   un +1 − un = 2018 ( un − un ) , ∀n ≥  u un  u lim  + + + ÷ un +1 −   u − u3 − lim x →1 Câu 42: Tìm giới hạn sau: n x0 = x1 = xn + = xn +1 − xn xác định bởi: , với số tự xn+100 ≡ xn (mod 101) b) Chứng minh lim (n + 1)un+1un = nun2 + 1 1 + +L + = 2018u2018 − u1 u2 u2017 a) Chứng minh rằng: c u1 = ( x + 1) x + − ( x − 1) x + x −1 Câu 43: Cho dãy số (un ) xác định sau ìï u = 2020 ïï í ïï u = 2018n + 2(u + 1), " n = 1,2,3, ïïỵ n+1 2019n + n Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn f ( n ) = ( n + n + 1) + 2 Câu 44: Cho Câu 45: Cho dãy ( un ) biết u1 = Tìm số hạng tổng quát dãy Xét dãy số ( un ) ( un ) : un+1 = 3un + 4n lim Tính un un +1 un = với f ( 1) ( 3) f ( 2n − 1) f ( ) f ( ) f ( 2n ) n∈ N * Tính lim n un ... ïïỵ n+1 2019n + n Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn f ( n ) = ( n + n + 1) + 2 Câu 44: Cho Câu 45: Cho dãy ( un ) biết u1 = Tìm số hạng tổng quát dãy Xét dãy số ( un ) ( un... tính un theo n x + x + x + + x 2017 − 2017 lim 2018 − 2018 Câu 11: Tìm giới hạn: H = x →1 x + x + x + + x lim x→1 Câu 12: Tính giới hạn sau: − 2x + x − 2 x −1− x Câu 13: Tìm số nguyên dương n cho:... (un) xác định Tính giới hạn với số nguyên dương xác định u1 =   un +1 − un = 2018 ( un − un ) , ∀n ≥  u un  u lim  + + + ÷ un +1 −   u − u3 − lim x →1 Câu 42: Tìm giới hạn sau: n x0 =