Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuôn[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán - Lớp: 11
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1
(5 điểm) Cho phương trình: cos
2x – 2cosx + m = (1), (với m tham số)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thuộc đoạn [0;
/2]
Câu 2
(5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hàm số
3
2
2
x
x
y
có đồ thị (C) Viết
phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam
giác vuông cân
b)
Cho đa giác 18 cạnh Nối tất đỉnh với Chọn hai tam giác
trong số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh Tính xác suất để chọn
được hai tam giác có chu vi
Câu 3
(5 điểm)
a) Cho dãy số (u
n) thỏa mãn:
2
2
1
n n
n u u
u u
(nN*)
Tìm
n
k 1uk
1
lim
b) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội công ty Bảo
Việt với thể lệ sau: Cứ đến tháng hàng năm người đóng vào công ty 12
triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi
6%/ năm Hỏi sau 18 năm kể từ
ngày đóng, người thu tất triệu đồng (kết làm tròn đến hai
chữ số phần thập phân)
Câu 4
(4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng
SA vng góc với mặt đáy, góc SB mặt đáy
60
Gọi N trung điểm
BC
a) Tính cosin góc hai đường thẳng SD AN
b) Gọi H, K hai điểm thuộc đường thẳng SB DN cho HK
SB, HK
DN Tính độ dài đoạn HK theo a
Câu 5
(1 điểm) Cho x, y
R thoả mãn: x
2+ y
2= Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
biểu thức: A =
1
2
2
)
6
(
2
2
y
xy
xy
x
-HẾT -
Cán coi thi khơng giải thích thêm!
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn thi: Tốn - Lớp: 11
I Hướng dẫn chung
1 Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định
2 Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Ban chấm thi
3 Thang điểm tính đến 0,25 Sau cộng điểm tồn bài, khơng làm tròn
II Đáp án thang điểm
Câu Đáp án Điểm
Câu
(5 điểm)
a) Với m = -3, phương trình có dạng: cos2
x – 2cosx – = 0.5
cos (N)
cos (L)
x
x 0.5
Với cosx = -1
x
k
2 (k
Z)
0.5Vậy phương trình có họ nghiệm là:
x
k
2 (k
Z)
0.5b) Đặt t = cosx, x [0; /2] t [0; 1] 0.5 Khi phương trình cho m = -t2 + 2t, t [0; 1] (*) 0.5 Xét hàm số: f(t) = -t2
+ 2t, t [0; 1]
1.0
Để phương trình cho có nghiệm x [0; /2] phương trình (*) có nghiệm t [0;
1] m Vậy m [0; 1] 1.0
Câu
(5 điểm)
a) 1.0
1.0
(vì qua gốc tọa độ O) 0.5 0.5 a) Gọi A biến cố: “Chọn hai tam giác số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh” Giả sử đa giác cho nội tiếp đường trịn (C)
Vì tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh đa giác nên tam giác vng có cạnh huyền đường chéo đường tròn (C)
0.5
Suy số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh đa giác là:
9.16=144
144
( )
n C
0.5
Vì hai tam giác vng 144 tam giác vng ln có cạnh huyền nên hai tam giác có chu vi chúng hai tam giác Trong 144 tam giác vng chia thành nhóm tam giác có chu vi tam giác hai nhóm khác khác
36
( )
n A C
0.5
2 36 144
4
( ) 35
( )
( ) 143
C n A P A
n C
0.5
(3)Câu
(5 điểm)
a) Ta có: un un (un 4un 4)0,n
1
1 Dãy không giảm
Nếu có số M: un M với n, tồn limun = L Vì un u1 L u1
0.5
Khi ta có: L =
2
L2 – L + L = (Vô lý)
limun =
0.5
Ta có: un2 2un 42un1 un(un 2)2(un12)
) ( ) ( 1
n
n
n u u
u 2 1 1 1
n n n
n n
n u u u u u
u (nN*)
0.5 Do đó: 2 1 1
n nk uk u u
nk 1uk
1
lim =
2 1 u 0.5
b) Gọi Tn số tiền vỗn lẫn lãi sau n năm, a số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng
và r lãi suất Ta có:
- Sau năm, có số tiền là: T1a(1r)
0.5
- Sau năm, có số tiền là: T2 T1(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1r)2
- Sau năm, có số tiền là: T3T2(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1r)2a(1r)3 …
0.5
- Sau n năm, có số tiền là:
(1 ) (1 ) (1 )n
n
T a r a r a r (1 ).(1 )
n
r
a r
r
1.0
Sau 18 năm người thu số tiền là: 18
18
(1 0,06)
12.(1 0,06) 393,12
0,06
T
(triệu đồng) 1.0
Câu
(5 điểm)
a) Đặt ABa AD, b AS, c với
a bb cc a a b a c, a
N A B C D S H K 0.5
Ta có SD b c
2
AN a b 0.5
Suy 2 , 2
4
a
SD b c a AN a b
2 2 a
SD AN b 0.5
Vậy
2
1
cos ,
5
2 a SD AN a a
Suy cos
,
2
SD AN 0.5
b) + Ta có SB a c
2
DN a b 0.5
12
HK HBBN NK xSBBN yDN x ac by a b
2 y
HK HB BN NK x y a b xc
(4)Vì HK SB
HK DN
nên
2
2
0
0
x y a xc
y
x y a b
2
2
3
1
x y a xa
y
x y a a
4 16
4 1
4 x
x y
x y
y
0.5
Suy
2
3 3 3
16 16 16 16
a
HK a b cHK a b c
Vậy
4 a
HK
0.5
Câu
(1 điểm)
Vì x2 + y2 = suy x = sint, y = cost, với t [0; 2] 0.25 Khi đó: A =
2
2
2(
6
)
2(sin
6sin cos )
6sin 2
cos 2
1
2
2
1
2sin cos
2 cos
1
sin 2
cos 2
2
x
xy
t
t
t
t
t
xy
y
t
t
t
t
t
0.25Xét phương trình:
6sin 2
cos 2
1
(
6)sin 2
(
1) cos 2
1
2
sin 2
cos 2
2
t
t
A
A
t
A
t
A
t
t
(*)(*) có nghiệm 2 2
(
A
6)
(
A
1)
(1 )
A
A
3
A
18
0
6
A
3
0.25