Đề thi HSG môn Toán lớp 11 năm 2020 - 2021 THPR Lưu Hoàng có đáp án | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuôn[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán - Lớp: 11

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5 điểm) Cho phương trình: cos2x – 2cosx + m = (1), (với m tham số)

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thuộc đoạn [0; /2] Câu 2 (5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hàm số

3 2

2   

x x

y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân

b) Cho đa giác 18 cạnh Nối tất đỉnh với Chọn hai tam giác trong số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh Tính xác suất để chọn được hai tam giác có chu vi

Câu 3 (5 điểm)

a) Cho dãy số (un) thỏa mãn:

     

  





2

2

1

n n

n u u

u u

(nN*) Tìm 

  

 





n

k 1uk

1

lim

b) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội công ty Bảo Việt với thể lệ sau: Cứ đến tháng hàng năm người đóng vào công ty 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi 6%/ năm Hỏi sau 18 năm kể từ

ngày đóng, người thu tất triệu đồng (kết làm tròn đến hai chữ số phần thập phân)

Câu 4 (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt đáy, góc SB mặt đáy

60 Gọi N trung điểm BC

a) Tính cosin góc hai đường thẳng SD AN

b) Gọi H, K hai điểm thuộc đường thẳng SB DN cho HK  SB, HK  DN Tính độ dài đoạn HK theo a

Câu 5 (1 điểm) Cho x, y R thoả mãn: x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A =

1 2 2

) 6 (

2

2

 

 y xy

xy x

-HẾT -

Cán coi thi khơng giải thích thêm!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn thi: Tốn - Lớp: 11

I Hướng dẫn chung

1 Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định

2 Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Ban chấm thi

3 Thang điểm tính đến 0,25 Sau cộng điểm tồn bài, khơng làm tròn

II Đáp án thang điểm

Câu Đáp án Điểm

Câu

(5 điểm)

a) Với m = -3, phương trình có dạng: cos2

x – 2cosx – = 0.5

cos (N)

cos (L)

x

x 0.5

Với cosx = -1 x k2 (k Z) 0.5

Vậy phương trình có họ nghiệm là: x k2 (k Z) 0.5

b) Đặt t = cosx, x  [0; /2]  t  [0; 1] 0.5 Khi phương trình cho  m = -t2 + 2t, t  [0; 1] (*) 0.5 Xét hàm số: f(t) = -t2

+ 2t, t  [0; 1]

1.0

Để phương trình cho có nghiệm x  [0; /2]  phương trình (*) có nghiệm t  [0;

1] m Vậy m  [0; 1] 1.0

Câu

(5 điểm)

a) 1.0

1.0

(vì qua gốc tọa độ O) 0.5 0.5 a) Gọi A biến cố: “Chọn hai tam giác số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh” Giả sử đa giác cho nội tiếp đường trịn (C)

Vì tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh đa giác nên tam giác vng có cạnh huyền đường chéo đường tròn (C)

0.5

Suy số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh 18 đỉnh đa giác là:

9.16=144

144

( )

n C

   0.5

Vì hai tam giác vng 144 tam giác vng ln có cạnh huyền nên hai tam giác có chu vi chúng hai tam giác Trong 144 tam giác vng chia thành nhóm tam giác có chu vi tam giác hai nhóm khác khác

36

( )

n A C

 

0.5

2 36 144

4

( ) 35

( )

( ) 143

C n A P A

n C

   

 0.5

Câu

(5 điểm)

a) Ta có: un un  (un 4un 4)0,n

1

1  Dãy không giảm

Nếu có số M: un  M với n, tồn limun = L Vì un  u1 L  u1

0.5

Khi ta có: L =

2

L2 – L +  L = (Vô lý)

 limun = 

0.5

Ta có: un2 2un 42un1  un(un 2)2(un12) 

) ( ) ( 1  

 n

n

n u u

u 2 1 1 1           

 n n n

n n

n u u u u u

u (nN*)

0.5 Do đó: 2 1 1        n n

k uk u u

         n

k 1uk

1

lim =

2 1   u 0.5

b) Gọi Tn số tiền vỗn lẫn lãi sau n năm, a số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng

và r lãi suất Ta có:

- Sau năm, có số tiền là: T1a(1r)

0.5

- Sau năm, có số tiền là: T2 T1(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1r)2

- Sau năm, có số tiền là: T3T2(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1r)2a(1r)3 …

0.5

- Sau n năm, có số tiền là:

(1 ) (1 ) (1 )n

n

T a  r a r  a r (1 ).(1 )

n

r

a r

r

 

  1.0

Sau 18 năm người thu số tiền là: 18

18

(1 0,06)

12.(1 0,06) 393,12

0,06

T  

    (triệu đồng) 1.0

Câu

(5 điểm)

a) Đặt ABa AD, b AS, c với

a bb cc a a  b a c, a

N A B C D S H K 0.5

Ta có SD b c

2

AN  a b 0.5

Suy 2 , 2

4

a

SD  b c  a AN  a  b 

2 2 a

SD AN  b  0.5

Vậy  

2

1

cos ,

5

2 a SD AN a a

   Suy cos , 

2

SD AN  0.5

b) + Ta có SB a c

2

DN  a b 0.5

  1

2

HK HBBN NK  xSBBN  yDN x ac  by a  b

 

 

2 y

HK HB BN NK x y a  b xc

       

Vì HK SB

HK DN

 

 

 nên

 

 

2

2

0

0

x y a xc

y

x y a b

   



 

  

 

 

 

2

2

3

1

x y a xa

y

x y a a

   



     



4 16

4 1

4 x

x y

x y

y      

 

 

 

  



0.5

Suy

2

3 3 3

16 16 16 16

a

HK  a b cHK   a  b   c 

     

Vậy

4 a

HK 

0.5

Câu

(1 điểm)

Vì x2 + y2 = suy x = sint, y = cost, với t  [0; 2] 0.25 Khi đó: A =

2

2

2( 6 ) 2(sin 6sin cos ) 6sin 2 cos 2 1 2 2 1 2sin cos 2 cos 1 sin 2 cos 2 2

x xy t t t t t

xy y t t t t t 0.25

Xét phương trình:

6sin 2 cos 2 1

( 6)sin 2 ( 1) cos 2 1 2 sin 2 cos 2 2

t t

A A t A t A

t t (*)

(*) có nghiệm  2 2

(A 6) (A 1) (1 )A A 3A 18 0 6 A 3

0.25