Đề thi HSG môn toán lớp 9 và lời giải chi tiết huyện Diên Khánh năm 2020 - 2021

Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1.. 32.[r]

UBND HUYỆN DIÊN KHÁNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TOÁN

Năm học: 2020 – 2021

Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu

a) Cho biểu thức  1

a a a

P

a a a



 

  với a0 a1 Rút gọn tính giá trị P a2021

b) Cho biểu thức An33n2 n Chứng minh A chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Câu

a) Giải phương trình:

2

4 20

2

2

x x x x

x x

       

b) Cho x y, hai số dương thỏa mãn xy1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

4 2

x y

M

x y x y

    Câu

Cho đa thức  

P x x x x axb  

2

Q x x  x Xác định a b, để P x  chia hết cho Q x 

Câu

Ơng An hỏi ơng Bình: “Bố mẹ ông năm tuổi?” Bình trả lời: “Bố mẹ tuoir Trước tổng số tuổi bố mẹ tơi 104 tuổi hai anh em 16 14 tuổi Hiện tổng số tuổi bố mẹ gấp hai lần tổng số tuổi hai anh em tơi” Tính xem năm tuổi bố mẹ ơng Bình bao nhiêu? Câu

Cho tam giác ABC vuông A AB AC, kẻ đường cao AH AD tia phân giác góc BAH D BH a) Chứng minh

2

AB AC

BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân DH DC BD HC

c) Gọi M trung điểm AB E, giao điểm hai đường thẳng MD AH Chứng minh CE AD Câu 6.

Trong hình vng cạnh cho 33 điểm Chứng minh điểm cho tìm điểm lập thành tam giác có diện tích khơng lớn

32

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu

a) Cho biểu thức  

1

a a a

P

a a a



 

  với a0 a1

Rút gọn tính giá trị P a20212

b) Cho biểu thức An33n2 n Chứng minh A chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải

a) Ta có:

 

    

  

1 1 1 1

1

1 1

1 1

a a a a a a a

P a

a a a a

a a a a

   

           

  

Thay a20212 vào P, ta có: P 20212  1 2020

Vậy P2020với a2021

b) Ta có:    

3 3 1

An  n   n n n n Vì n lẻ nên n2k1,k Khi đó, ta có:

     

2 2 2 1

A k k k  k k k Vì k k 1k1 ba số tự nhiên liên tiếp nên k k 1k1 6.

Suy 8k k 1k1  6  hay A48 Câu

a) Giải phương trình:

2

4 20

2

2

x x x x

x x

       

b) Cho x y, hai số dương thỏa mãn xy1 Tìm giá trị lớn biểu thức

4 2

x y

M

x y x y

    Lời giải

a) Điều kiện xác định: x2; x 4 Phương trình cho tương đương:

   

 

  

 

  

2

2 4

2

2 4

2 4

2

2 4

x x

x x

x x x x

x x

x x x x x x

   

        

   

 

   

Phương trình tương đương: 2x44x2 x (thỏa điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình S{0}

b) Áp dụng bất đẳng thức 2

2 ,

a b  ab ta có

4 2

4 2 2

1 1

2

2 2

x x x

x y x y

x y x y x y x y x y

       

   (vì y0, xy1).)

Tương tự, ta có: 2 4

2

y

x y  ( x0, y0 xy1)

Suy 4 2 2 4 1

2

x y

M

x y x y

    

  Dấu "" xảy 1

0,

x y

xy x y

x y

   

       

 Vậy giá trị lớn M 1 x y

Câu

Cho đa thức  

P x x x x axb  

2

Q x x  x Xác định a b, để P x  chia hết cho Q x 

Lời giải Ta có: Q x x2   x x 1x2 

Gọi H x  thương phép chia P x  cho Q x , ta có:

      

1

P x x x ax b x x H x Chọn x1, ta có: a  b hay b  1 a 1

Chọn x 2, ta có 2a  b  

Từ (1) (2) suy       2a a 3a    3 a Thay a1 vào (1), ta có b 2

Vậy a1 b 2 Câu

Ơng An hỏi ơng Bình: “Bố mẹ ơng năm tuổi?” Bình trả lời: “Bố mẹ tuoir Trước tổng số tuổi bố mẹ tơi 104 tuổi hai anh em 16 14 tuổi Hiện tổng số tuổi bố mẹ gấp hai lần tổng số tuổi hai anh em tơi” Tính xem năm tuổi bố mẹ ông Bình bao nhiêu?

Lời giải

Gọi số nằm kề từ “trước đây” đến thời điểm x (năm), điều kiện x0 Khi đó:

Tổng số tuổi hai anh em ơng Bình là: 16142x2x30 (tuổi) Theo đề bài, ta có phương trình:

 

1042x2 2x30 2x44 x 22 (thỏa mãn) Suy tổng số tuổi bố mẹ ơng Bình là:

104 2 22148 (tuổi) Vì bố ơng Bình mẹ ơng Bình tuổi nên tuổi bố ơng Bình là:

1484 : 2 76 (tuổi) Và tuổi mẹ ơng Bình 76 4 72 (tuổi)

Câu

Cho tam giác ABC vuông A AB AC, kẻ đường cao AH AD tia phân giác góc BAH D BH a) Chứng minh

2

AB AC

BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân DH DC BD HC

c) Gọi M trung điểm AB E, giao điểm hai đường thẳng MD AH Chứng minh CE AD Lời giải

a) Xét HAB HCA, ta có: AHBCHA900 ABHCAH (cùng phụ HAB)

Suy  

2 2

2

AH BH AB AB BH AB AC

HAB HCA g g

CH AH AC AC CH BH CH

         

Vậy

2

AB AC

BH  CH

N

E M

H D

B C

b) Ta có: DACDAB90o ADCDAH900 mà DABDAH (AD phân giác BAH) Suy DACADC ADC cân C

Xét ABH, ta có AD tia phân giác (giả thiết), suy ra:

DH AH

DB  AB mà

AH CH

AB  AC

AH AB

CH  AC

Suy DH CH CH

DB  AC CDvì ADC cân C DH CD BD CH

c) Dựng N điểm đối xứng D qua M Khi tứ giác ADHN hình bình hành Suy ra:

DH HE

AN  AE (vì DHAN )

Ta lại có: DH DH

AN  BD (vì AN BD) mà  

DH CH

cmt DB  CD

Suy HE CH HE CH

AE  CD  AEEHCDCH hay

HE CH

AH  DH

Xét HCE HDA, ta có CHEDHA90o gt HE CH cmt AH DH Suy ra: CEH  HDA c  g c

 

CEH DAH CE AD

    (vì CEH DAH so le trong) Vậy CE AD

Câu

Trong hình vng cạnh cho 33 điểm Chứng minh điểm cho tìm điểm lập thành tam giác có diện tích khơng lớn

32

Lời giải Chia hình vng cho thành 16 hình vng hình vẽ

Dễ dàng tính được, cạnh hình vng

4 diện tích 16

Gieo 33 điểm cho vào hình vng ban đầu, 33 điểm nằm 16 hình vng Vì 3316 2 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet, tồn điểm nằm hình vng

Khi diện tích tam giác lấy điểm cho làm đỉnh không lớn

2diện tích hình vng con, tức