Đang tải... (xem toàn văn)
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình [r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29 tháng năm 2013 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ================ ) Cho hàm số y Câu (5 x x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d có phương trình x y Tìm m để đường thẳng có phương trình y m x cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A 0;1 , B, C , biết hai điểm B, C có hoành độ là x1 ; x2 thỏa mãn: x13 Câu (5, x23 m x1 x22 m x2 x12 1 ) 2 sin x cos x 2sin x sin x sin x Giải phương trình: x log x log 2 x Giải hệ phương trình: 2 y.2 x 2log x 6log y ) Tính tổng: S Câu (2 22 1 2.C2013 2013 C tan x x, y x log x y 23 2 22014 2013 2013 C2013 C2013 2014 Câu (4 ) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B 3;2 , C 7;10 Lập phương trình đường thẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1 : x2 S2 : x y z y2 z lớn 25 Chứng minh hai mặt cầu trên cắt theo giao tuyến là đường tròn Tính bán kính đường tròn đó Câu (3 ) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N là hai điểm thay đổi thuộc các cạnh AB, CD cho mặt phẳng SMN luôn vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM x, AN y Chứng minh x 3xy , từ đó tìm x, y để tam giác y SMN có diện tích bé nhất, lớn Câu ( ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 8a -( a3 b3 c3 Chứng minh 8b 8c 1 -01 trang) (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT Ngày thi 29 tháng năm 2013 ============== UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cho hàm số y Câu 1.1 x3 x2 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này vuông góc 3.0 với đường thẳng d có phương trình x y TXĐ: , y ' 3x Hệ số góc d là 2x 1.0 Hệ số góc tiếp tuyến là k Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm x0 Khi đó x0 2 x0 y0 y0 x0 1.0 23 27 Từ đó tìm phương trình hai tiếp tuyến: Tìm m để đường thẳng 1.2 y có phương trình y 5x ; y 5x 202 27 1.0 m x cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A 0;1 , B, C , biết điểm B, C có hoành độ là x1 ; x2 thỏa mãn: x13 m x1 x22 x23 m x2 x12 2.0 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 x2 m x x x2 x m x x2 cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C hai nghiệm phân biệt khác 4m m m m x m * 0.5 phương trình (*) có (**) 0.5 (3) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm (*), ta có: x13 m x1 x1 x12 x23 m x2 x2 x2 m x22 Khi đó x12 m 2 x x1 m x2 m x12 x22 x12 m m m m 0.5 m 1 m x1 x12 x22 x2 x1 x1 x2 x2 2 13 x1 x2 Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành 0.5 m m 2 m m Kết hợp điều kiện (**) ta có m Câu 2.1 m m Từ đó tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 sin x cos x 2sin x sin 3x sin x 1.Giải phương trình: ĐK: sin 3x sin x cos x Biến đổi sin x sin x cos x tan x * 0.5 2sin x sin x cos x sin x 0.5 sin x cos x cos x sin x 2sin x k k sin x x cos x sin x sin 3x sin x cos3x cos x (Loại) 0.5 x sin 3x 2.5 sin x x 28 sin x k2 k2 0.5 k Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình là k2 x k 7m 3, k , m 28 0.5 (4) 2.2 x log x log 2 x Giải hệ phương trình: y.2 x 2 2log x 6log y ĐK: x 0; y x, y x log x y log 2 x y x log x x log x x log y Thế vào (2) ta có 2log 22 x 6log x x log x 3x log x 2log x x x y 0.5 log x 3 0.5 2log x x x 0.5 Giải (4), xét f x 2log x x x f' x x ln 2 Lập BBT, từ đó suy phương trình (4) có nhiều hai ln f 4 có hai nghiệm x 2; x nghiệm Mà f f' x 2.5 Phương trình x 1.0 Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm x; y : 8;7 ; 2;1 ; 4;3 Câu C2013 Tính tổng: S 2013 Xét x I 22 1 2.C2013 C2013 C2013 2x 23 2 22014 2013 2013 C2013 C2013 2014 C2013 2x 2x 1 dx 2x 21 2013 C2013 2x 2014 2013 2013 d 2x 2x 4028 2013 52014 32014 4028 2.0 0.5 0.5 C2013 C2013 2x C2013 2x 2013 C2013 2x 2013 dx 2013 C C2013 Vậy S x x2 C2013 2 22 1 2.C2013 x3 x 2014 2013 2013 2 C2013 C2013 2014 0.5 23 2 22014 2013 2013 C2013 C2013 2014 52014 32014 4028 0.5 (5) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B 3;2 , C 7;10 Lập Câu 4.1 phương trình đường thẳng đường thẳng lớn qua A cho tổng khoảng cách từ B và C đến cắt đoạn thẳng BC M TH1: d B; d C; BM 2.0 ∆ ∆ CM BC B M C 0.5 A không cắt đoạn thẳng BC , gọi I 5;6 là trung điểm BC TH2: ∆ d B; d C; 2d I ; AI A 0.5 B I C Vì BC 80 41 AI nên d B; d C; lớn AI 41 0.5 vuông góc với AI qua A 1;1 và nhận AI 4;5 là véc tơ pháp tuyến 0.5 Vậy phương trình đường thẳng :4 x y Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1 : x2 4.2 S2 : x y z : 4x y y2 z 25 Chứng minh hai mặt cầu trên cắt 2.0 theo giao tuyến là đường tròn Tính bán kính đường tròn đó S1 có tâm I1 (0;0;1) , bán kính R1 S2 có tâm I (3;1; 1) , bán kính R2 I1I 14 R2 R1 I1I R2 R1 hai mặt cầu cắt Khi đó tọa độ giao điểm hai mặt cầu thỏa mãn hệ phương trình 0.5 0.5 (6) x2 y2 x z y x2 z y2 z x y z 11 25 Do đó hai mặt cầu trên cắt theo giao tuyến là đường tròn Đường tròn đó là giao tuyến măt cầu S1 và mặt phẳng ( P) : x y z 11 56 d I1 ;( P ) r R d bán kính đường tròn cần tìm là 0.5 I1; P Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N là hai điểm Câu thay đổi thuộc cạnh AB, CD cho mặt phẳng SMN luôn vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM x, AN y Chứng minh x y 3xy , từ 3.0 đó tìm x, y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn Kẻ SO MN O SO ABC ( Vì SMN S ABC ) O là trọng tâm tam giác ABC ( Vì S ABC là hình chóp ) N A C O M Ta có S AMN S AMO S xy.sin 600 ANO B x AO.sin 300 y AO.sin 300 0.5 xy 2 S SMN 1 x SO.MN Ta có MN Từ giả thiết x2 S SMN 1 y x y 3xy nhỏ MN nhỏ ( Vì SO không đổi) 0.5 y 2 xy cos600 x; y Từ x2 xy y2 xy x x y y xy 3xy xy xy 3xy 0.5 x y xy x y xy xy xy (7) Đặt t ; xy, t MN 9t 3t ta ; 9t 3t , t Lập bảng biến thiên hàm số f t MN nhỏ t , đó x MN lớn t , đó 1.0 y x 1 y 2 y x Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 Câu 1 8a Ta có a3 8b 1.0 8c 3 a b2 c2 a b c a; y 3b a b c b; z 3c a b c 1 1 a b c x y Mà: c2 3a a b c Ta có a3 3a ; b3 b3 3b ; c3 c3 3c a b2 Đặt x a3 b3 c3 Chứng minh 1 8x 8 1 x y 1 8z z 2 (2 x 1)(4 x x 1) Tương tự suy VP(2) c x x 2 y z 0.5 Ta chứng minh Biến đổi x y 4x 4y z (3) 2 4z 12 ( Bất đẳng thức này luôn đúng cách sử dụng bất đẳng thức Côsi, với chú ý x y z 3) đpcm Hướng dẫn chấm này trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác tính điểm tối đa Với các cách giải đúng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống điểm chi tiết không vượt quá số điểm dành cho bài phần đó Mọi vấn đề phát sinh quá trình chấm phải trao đổi tổ chấm và cho điểm theo thống tổ Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm (8) (9)
