Định lý pick và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ DIỆU LINH ĐỊNH LÝ PICK VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ DIỆU LINH ĐỊNH LÝ PICK VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGƠ LÂM XN CHÂU Bình Định - 2020 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Định lý Pick 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Lưới điểm lưới 1.1.2 Đa giác lưới, điểm biên điểm 1.2 Định lý Pick 1.2.1 Sơ lược việc chứng minh định lý Pick 1.2.2 Chứng minh định lý Pick dựa vào phép phân chia đa giác thành tam giác nguyên thủy (Honsberger(1970)) 11 1.2.3 Chứng minh định lý Pick dựa vào định lý Euler (Funkenbusch (1974), Gaskell et al 1976) 12 1.3 Một số dạng tổng quát định lý Pick 13 1.3.1 Đối với hình đa liên 13 1.3.2 Đối với hình đa diện không gian ba chiều 16 Một số áp dụng định lý Pick 31 2.1 Dãy Farey 31 2.2 Đường tròn Ford 40 2.3 Một số toán khác 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) i MỞ ĐẦU Trong mặt phẳng lưới Z2 cho đa giác đơn P có đỉnh điểm lưới Làm để xác định diện tích hình đa giác P ? Năm 1899, Georg Alexander Pick - nhà tốn học người Áo (1859-1942) đưa cơng thức thú vị đáng ý để tính diện tích đa giác đơn khơng gian Euclide chiều có đỉnh điểm lưới: Area = B + I − 1, B I tương ứng số điểm lưới biên bên đa giác P Định lý Pick nhiều người biết đến từ xuất sách Mathematical Snapshots (1969) Hugo Steinhaus Năm 1957, Reeve đưa phát biểu tương tự định lý Pick cho hình đa diện không gian Euclide chiều Nghiên cứu Reeve cho thấy đưa công thức tính thể tích hình đa diện lồi dựa vào số điểm lưới bên biên đa diện Cụ thể, Reeve xét tứ diện có đỉnh có tọa độ (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, r) với r số nguyên dương Khi tứ diện có điểm có tọa độ nguyên thay đổi giá trị r để thể tích tứ diện đạt giá trị lớn tùy ý Định lý Pick nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tổng quát theo nhiều khía cạnh khác nhau, chẳng hạn Krzysztof Kolodziejczyka (2008) Với mục đích nghiên cứu định lý Pick vấn đề có liên quan, chúng tơi chọn đề tài “Định lý Pick áp dụng ” Đề tài sâu nghiên cứu định lý Pick, phép chứng minh định lý từ dạng đơn giản đến dạng tổng qt hóa cho đa diện lồi khơng gian Euclide chiều Bên cạnh đó, đề tài tìm hiểu lịch sử phát triển định lý Pick, số áp dụng định lý dãy Farey, đường trịn Ford số tốn khác Sau đọc hiểu tài liệu, tác giả cố gắng trình bày lại cách rõ ràng, hệ thống chi tiết nội dung đề tài với bố cục gồm chương: Chương 1: Trình bày sơ lược lịch sử phát triển định lý Pick, nội dung định lý Pick phép chứng minh dựa vào phép phân chia đa giác thành tam giác nguyên thủy (Honsberger (1970)) dựa vào định lý Euler (Funkenbusch (1974), Gaskell et al 1976) Trình bày số dạng tổng quát định lý Pick cho hình đa giác đa liên, hình đa diện khơng gian chiều Chương 2: Trình bày áp dụng định lý Pick vào tốn: dãy Farey, đường trịn Ford số tốn khác Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình TS Ngơ Lâm Xuân Châu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cảm ơn Thầy dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn em suốt q trình thực nghiên cứu hồn thành đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy giáo Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại Học Quy Nhơn, thành viên lớp Cao học Toán K21 quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu Cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln khích lệ, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng hết sức, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận thông cảm, dẫn, góp ý tận tình q thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Chương Định lý Pick Trong chương này, trình bày sơ lược lịch sử phát triển nội dung định lý Pick số phép chứng minh định lý Pick Nội dung tham khảo từ tài liệu [1], [5], [6],[8] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trước đến với nội dung định lý Pick chứng minh, cần số định nghĩa trình bày sau đây: 1.1.1 Lưới điểm lưới Trong không gian Euclide chiều, tọa độ (x; y) gọi tọa độ nguyên x ∈ Z y ∈ Z − − − Cho điểm M (khác gốc tọa độ O) vectơ → u,→ v có tọa độ nguyên, → u → − v không phương Tập tất ảnh điểm M qua phép tịnh tiến → → Tk− u +t− v (k, t ∈ Z) lưới Mỗi lưới khác có hình sở hình bình hành khác kích thước (Hình 1.1) − − Với trường hợp hai vectơ → u → v vng góc có độ dài ta lưới vng Lưới vng có hình sở hình vng (ơ vng) Với hệ trục tọa độ song song với cạnh hình vng sở, đỉnh hình vng điểm có tọa độ nguyên, có đơn vị độ dài độ dài cạnh hình − − vng sở (|→ u |, |→ v |) (Hình 1.2) Mỗi vị trí ảnh điểm M qua phép tịnh tiến nói điểm lưới Hiển nhiên điểm lưới có tọa độ nguyên → − u → − v M Hình 1.1: Lưới → − u M → − v Hình 1.2: Lưới vng Lưới nói chung lưới vng nói riêng có tính chất sau: • Trùng với điểm lưới dịch chuyển đến điểm lưới dịch chuyển song song • Trùng với xoay 180o xung quanh điểm lưới Trong phạm vi nội dung luận, sử dụng lưới vuông để nghiên cứu định lý Pick 1.1.2 Đa giác lưới, điểm biên điểm Đa giác lưới đa giác đơn (không tự cắt) có tất đỉnh điểm lưới Điểm biên điểm lưới nằm cạnh, bao gồm đỉnh đa giác lưới Điểm điểm lưới nằm vùng bên đa giác lưới B C A Hình 1.3: A B hai điểm biên, C điểm đa giác lưới P 1.2 Định lý Pick Định lý Pick phương pháp để xác định diện tích đa giác lưới Mặc dù diện tích hình tính nhiều cách khác (ví dụ: phân vùng đa giác tính tổng diện tích vùng sử dụng hình chữ nhật xung quanh, ) vào năm 1899, Georg Alexander Pick đưa công thức thú vị đáng ý tính diện tích đa giác đơn không gian Euclide chiều Công thức biết đến định lý Pick Tuy nhiên, Steinhau phát biểu sách Mathematical Snapshots (1969) định lý Pick biết đến cách rộng rãi Định lý 1.2.1 Diện tích A đa giác lưới có B điểm biên I điểm A= B + I − Ví dụ 1.2.1 Đa giác lưới P Hình 1.3 có điểm biên điểm Diện tích đa giác P A(P ) = 1.2.1 + − = 9.5 Sơ lược việc chứng minh định lý Pick Kể từ định lý Pick biết đến rộng rãi hơn, có nhiều phép chứng minh đưa Một vài phép chứng minh tiếng như: chứng minh dựa vào phép phân chia đa giác thành tam giác nguyên thủy theo Honsberger; chứng minh dựa vào định lý Euler Funkenbusch; Để việc trình bày phép chứng minh ngắn gọn tường minh ý tưởng, tác giả xin trình bày số đơn vị kiến thức cần thiết sau: Tam giác nguyên thủy Một tam giác có đỉnh điểm lưới khơng có điểm lưới khác nằm cạnh vùng bên gọi tam giác nguyên thủy Mệnh đề 1.1 Tam giác nguyên thủy có diện tích Chứng minh Theo hình học giải tích, diện tích tam giác với đỉnh (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ) x1 y 1 1 x2 y2 = |x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x1 y3 − x2 y1 − x3 y2 | = P 2 x3 y Vì đỉnh tam giác nguyên thủy điểm lưới nên giá trị x y số nguyên Do đó, giá trị P số nguyên dương bé Nếu P = điểm lưới (3 đỉnh) trùng thẳng hàng, trường hợp ta khơng có tam giác Vậy, P có giá trị bé Từ suy ra, diện tích tam giác ngun thủy bé Để xác , ta đặt tam giác nguyên thủy T vào hình chữ nhật R theo cách sau: Một cặp cạnh hình chữ nhật nằm đường thẳng qua đỉnh bên trái đỉnh bên phải T Cặp cạnh cịn lại hình chữ nhật nằm đường thẳng qua đỉnh cao đỉnh thấp T (Hình 1.4) T R Hình 1.4: Tam giác nguyên thủy T hình chữ nhật R Hình chữ nhật R thu có k điểm l điểm biên (trong có điểm biên đỉnh) R phân vùng thành tam giác nguyên thủy Giả sử phân vùng R chứa n tam giác nguyên thủy, số T Chúng khẳng định rằng, phân vùng R chứa số tam giác nguyên thủy Chúng thiết lập điều số góc sau: 360o 180o (a) (b) 90o (c) Hình 1.5: Góc nhìn từ điểm lưới hình chữ nhật • Dễ thấy rằng, điểm R đỉnh chung vài tam giác nguyên thủy Góc đỉnh điểm lên tới 360o Từ đó, với k điểm cho ta góc k.360o (Hình 1.5(a)) • Tại điểm biên khơng đỉnh R (có l − điểm thế), tam giác nguyên thủy đóng góp góc 180o Vậy, từ l − điểm cho ta góc (l − 4)180o (Hình 1.5(b)) 37 Mặt khác, phân số a c xuất trước phân số dãy Fn nên ta có b d a c b d < hay > Xét tam giác theo chiều ngược kim đồng hồ, diện tích b d a c OLM tính theo cơng thức hình học giải tích 0 1 c d = (bc − ad) 2 a b (2.1) Theo chứng minh trên, lại có S OLM = (2.2) Từ (2.1) (2.2) suy 1 (bc − ad) = ⇔ bc − ad = 2 Mệnh đề chứng minh a c e ba phân số liên tiếp b d f Mệnh đề 2.2 ([6]) (Phân số trung bình) Nếu , dãy Farey a+e c = d b+f 1 5 5+7 số liên tiếp , F8 có = 6+8 Ví dụ 2.1.3 Ba phân số liên tiếp , 1+1 F5 có = = Ba phân 5+3 12 = 14 Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1 ta có bc − ad = de − cf = nên suy bc − ad = de − cf ⇔ bc + cf = de + ad c a+e ⇔ c(b + f ) = d(e + a) ⇔ = d b+f Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.3 ([9]) Nếu Farey a c hai phân số liên tiếp dãy b d b + d > n 38 1 F3 có + = > Hai phân 3 số liên tiếp F6 có + = > a c Chứng minh Với hai phân số liên tiếp trong dãy Fn , b d a+c xét phân số trung bình ta có: b+d Ví dụ 2.1.4 Hai phân số liên tiếp a+c a b(a + c) − a(b + d) bc − ad − = = = >0 b+d b b(b + d) b(b + d) b(b + d) c a+c c(b + d) − d(a + c) bc − ad − = = = >0 d b+d d(b + d) d(b + d) d(b + d) bc − ad = theo Mệnh đề 2.1 Do a+c ∈ b+d Nếu b + d n a c , b d a c a+c ∈ Fn Điều vơ lý hai phần tử liên b+d b d tiếp Suy b + d > n Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.4 ([9]) Khơng có hai phân số liên tiếp dãy Farey có mẫu số ngoại trừ hai phần tử sở Chứng minh Với n = ta có F1 = , 1 1 gồm phần tử liên tiếp hai phần tử sở có mẫu số c a hai phân số liên tiếp dãy Fn : b b a c • Nếu b = ta có hai phân số liên tiếp nên suy 1 Với n > b = c = ⇒ a = ⇒ n = (Vơ lí) • Nếu b > a+1 c c a > b b c < b c < b 39 Hay a+1 c < b Mặt khác, ta lại có a a a+1 < < b b−1 b Do đó, vô lý c b a a c phân số nằm hai phân số liên tiếp Điều b−1 b b Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.5 ([9]) Trong dãy Fn bất kỳ, tổng tử số nửa tổng mẫu số Ví dụ 2.1.5 Dãy F2 có tổng tử số + + = tổng mẫu số + + = = 2.2 Dãy F5 có tổng tử số + + + + + + + + + + = 19 tổng mẫu số + + + + + + + + + + = 38 = 19.2 Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này, đầu tiên, ta cần chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Nếu dãy Fn Chứng minh Vì Suy a b−a phân số dãy Fn phân số b b a phân số dãy Fn nên ta có (a, b) = b (b − a, b) = Hay 1− a b b−a phân số dãy Fn Bổ đề chứng minh b Quay lại việc chứng minh Mệnh đề 2.5, áp dụng bổ đề ta a= b−a⇔2 Mệnh đề 2.5 chứng minh a= b a b 40 Mệnh đề 2.6 ([9]) Trong dãy Fn bất kỳ, mẫu số phân số liền trước liền sau phân số số nguyên lẻ lớn không vượt q n Ví dụ 2.1.6 Dãy F4 có mẫu số phân số liền trước liền sau phân số Dãy F7 có mẫu số phân số liền trước liền sau phân số Chứng minh Gọi 2 a phân số liền trước dãy Fn Theo Mệnh b đề 2.1 ta có b − 2a = ⇔ b = 2a + Hay b số lẻ Mặt khác, theo Mệnh đề 2.3 ta có b+2>n⇔b>n−2⇔b n − Mà b n n−1 b nên n Vậy, b số nguyên lẻ bé không vượt n Mệnh đề 2.6 chứng minh 2.2 Đường tròn Ford Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu đường trịn Ford dựa vào tài liệu [9] Đường tròn Ford mở rộng hình học phân số Farey Với số nguyên m, điểm (m, ), vẽ đường trịn có bán kính Khi đó, ta có chuỗi đường trịn tiếp xúc liên tiếp có hai tiếp tuyến chung hai đường thẳng nằm ngang y = y = Tiếp điểm đường tròn chuỗi với hai tiếp tuyến (m, 0) (m, 1) Giữa hai đường tròn liên tiếp, vẽ đường tròn tiếp xúc với chúng đường thẳng y = Tiếp tục trình với chuỗi đường tròn mới, ta hình vẽ: 41 y=0 (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) Hình 2.5: Chuỗi đường trịn tiếp xúc liên tiếp Đặc biệt, tiếp điểm đường tròn với đường thẳng y = số hữu tỷ Hai đường tròn tiếp xúc hai số hữu tỷ tương ứng liên tiếp dãy Farey (Hình 2.6) 1 3 1 3 3 Hình 2.6: Chuỗi đường trịn tiếp xúc dãy Farey Định nghĩa 2.2 Trong hệ tọa độ Oxy , đường trịn có tọa độ tâm tiếp xúc với Ox điểm có hồnh độ phân số tối giản tròn Ford, ký hiệu C(a, b) a , b 2b2 a gọi đường b Một số hình ảnh đẹp đường trịn Ford sau cách điệu [9] tác giả sưu tầm internet (Hình 2.7) Mệnh đề 2.7 Với hai đường tròn Ford khác C(a, b) C(c, d), đó: Hai đường trịn tiếp xúc |bc − ad| = Hai đường trịn khơng tiếp xúc |bc − ad| > Chứng minh Cho C(a, b) C(c, d) hai đường trịn Ford có bán kính tương ứng r, R ký hiệu hình vẽ (Hình 2.8) 42 Hình 2.7: Đường trịn Ford cách điệu Dễ thấy rằng, bán kính đường trịn tung độ tâm Hay r= 1 R = 2b2 2d2 Khi ta có (r + R) = 1 + 2 2b 2d Gọi D khoảng cách hai tâm O1 O2 Áp dụng định lý Pytago cho M O1 O2 vuông M ta 2 D = O1 M + O2 M = c a − d b 2 + (R − r) = c a − d b + 1 − 2 2d 2b 43 O2 D O1 R M r a b c d Hình 2.8: Đường tròn Ford C(a, b), C(c, d) Xét hiệu số D2 − (r + R)2 ta D2 − (r + R)2 = c a − d b + 1 − 2d2 2b2 − 1 + 2b2 2d2 c a −1 c2 2ac a2 − + − 2 + · = 2− d b b d d bd b b d 2 2 (bc − ad) − b c − 2bcad + a d − = = 2 b d b2 d2 = Đẳng thức xảy |bc − ad| = Có nghĩa là, |bc − ad| = 1, ta có D2 − (r + R)2 = 0, hai đường tròn tiếp xúc Nếu |bc − ad| > D2 − (r + R)2 > 0, hai đường trịn khơng tiếp xúc Mệnh đề chứng minh Từ mệnh đề ta dễ dàng thấy rằng, biểu diễn mặt phẳng tọa độ, hai phân số Farey liên tiếp có hai đường trịn qua chúng hai đường tròn tiếp xúc Ví dụ biểu diễn dãy Farey thứ (Hình 2.9) a e c < < ba phân số liên tiếp dãy Fn Khi b f d C(a, b) tiếp xúc với C(e, f ) điểm Mệnh đề 2.8 Giả sử A1 = e b − , f f (b2 + f ) b2 + f 44 5 4 56 67 1 Hình 2.9: Biểu diễn F7 C(e, f ) tiếp xúc với C(c, d) điểm d e + , f f (d2 + f ) d2 + f A2 = Chứng minh Ký hiệu độ dài đoạn hình vẽ (Hình 2.10) 2f 2b2 n 1 − 2 2f 2b m A e f a b Hình 2.10: C(a, b) tiếp xúc C(c, d) Áp dụng định lý Thales ta có e f m − a b = 2f n − 2b2 = 2f 2f + 2b2 45 Suy m= a e 2f ( f − b ) 1 2f + 2b2 (Vì = eb − af 2f b2 b b(eb − af ) · = · = 2 2 2f fb b +f f (b + f ) f (b + f ) e a hai phân số liên tiếp Fn nên eb − af = 1.) b f n= 2f ( 2f12 − 2b12 ) 2f + 2b2 = b2 − f 2f b2 b2 − f · · = 2f 2f b2 b2 + f 2f (b2 + f ) Vậy, tọa độ điểm A1 (x1 , y1 ), đó: x1 = y1 = e e b −m= − f f f (b + f ) b2 − f 1 b2 − f 2f 1 = = − = − n = − · 2 2 2 2 2 2f 2f 2f (b + f ) 2f b +f 2f b + f b + f2 Bằng cách tương tự, ta tìm tọa độ A2 Mệnh đề chứng minh 2.3 Một số tốn khác Ngồi áp dụng tiêu biểu dãy Farey đường tròn Ford, định lý Pick áp dụng để giải số toán tác giả sưu tầm sau Bài tốn 2.3.1 Chứng minh khơng có tam giác có đỉnh điểm nguyên Chứng minh Định lý Pick nói diện tích đa giác lưới nửa số điểm biên cộng với số điểm trừ Rõ ràng, diện tích đa giác lưới nói chung diện tích tam giác lưới (nếu có) số hữu tỷ Tuy nhiên, công thức tính diện tích sơ cấp √ thường dùng nhất, ta tính diện tích tam giác cạnh a (điều Pytago chứng minh) mà √ a Vì a2 số hữu tỷ lại số vô tỷ nên suy tích chúng số vơ tỷ Từ ta diện tích tam giác khơng thể số hữu tỷ Vậy, khơng có tam giác có đỉnh điểm nguyên 46 Bài tốn 2.3.2 Tìm tất số nguyên dương n cho tồn n- giác có đỉnh điểm nguyên Lời giải Giả sử tồn n- giác A1 A2 · · · An có đỉnh điểm nguyên Theo Định lý Pick, diện tích tam giác A1 A2 A3 số hữu tỷ Suy A1 A2 A1 A3 sin A2 A1 A3 ∈ Q ⇒ sin2 π 2π ∈ Q ⇒ cos ∈ Q 2n n (2.3) Xét dãy đa thức {Fn }n>1 xác định F1 (x) = x, F2 (x) = x2 − 2, Fn+2 (x) = xFn+1 (x) − Fn (x), n Dễ thấy với n, Fn monic có bậc n, có hệ số nguyên Fn (2 cos t) = cos nt, ∀t ∈ R Ta có Fn cos 2π n = Suy cos 2π nghiệm đa thứcFn − n (2.4) Từ (2.3) (2.4) suy cos 2π 2π ∈ Z ⇒ cos ∈ {±1, 0, ±2} n n Do n ∈ {3, 4, 6} Vì khơng tồn tam giác (n = 3)có đỉnh điểm nguyên (Bài toán 2.3.1) nên không tồn lục giác (n = 6) Vậy, n có giá trị Dễ thấy hình vng có đỉnh điểm nguyên Bài toán 2.3.3 (Bài toán Frobenius) Giả sử ngân hàng lại hai loại tiền nghìn nghìn Tơi có tờ n nghìn (n ∈ N), liệu đem tờ n nghìn đến ngân hàng để đổi lấy tờ nghìn nghìn hay khơng? Rõ 47 ràng lúc đổi được, chẳng hạn với n = với n đủ lớn ta đổi Một câu hỏi tự nhiên n lớn để không đổi được? Câu hỏi lần đặt Frobenius Bằng cách tốn học hóa vấn đề, ta có toán sau: Cho tập A = a1 , a2 , , ad gồm d số nguyên dương d > cho (a1 , a2 , , ad ) = Một số tự nhiên n gọi biểu diễn theo tập A tồn số tự nhiên m1 , m2 , , md d cho n = A mi Tìm số tự nhiên lớn không biểu diễn theo tập i=1 Kết toán gọi số Frobenius A kí hiệu g(a1 , a2 , , ad ) Mệnh đề 2.9 Nếu p q hai số nguyên dương nguyên tố (p, q > 1) g(p, q) = pq − p − q C(0, p) B(−1, p − 1) px + qy = pq D(q, 0) px + qy = pq − p − q A(q − 1, −1) Chứng minh Trong hình trên, tứ giác ABCD khơng chứa điểm nguyên 48 cạnh A, B, C, D Áp dụng cơng thức dây giày ta có A(ABCD) = q q−1 q −1 q − −1 + + + −1 p − −1 p p−1 p (p − 1)(q − 1) − − p − pq − q = |−2p − 2q| = = p + q Áp dụng Định lý Pick ta thấy số điểm nguyên nằm tứ giác ABCD p + q − 1, dễ thấy điểm nằm góc phần tư thứ Mỗi p+q −1 đường thẳng px+qy = pq = p−q +i với i = 1, p + q − chứa nhiều điểm nguyên nằm ABCD, kết hợp với phần trên, đường thẳng chứa điểm nguyên nằm ABCD Mà dễ thấy đường thẳng px + qy = m với m = pq + 1, pq + 2, chứa điểm nguyên nằm góc phần tư thứ nhất, ta suy điều phải chứng minh Bài toán 2.3.4 Cho ABC có đỉnh điểm nguyên khơng có điểm ngun khác cạnh ngồi đỉnh Ở vùng tam giác có điểm nguyên G Chứng minh G trọng tâm ABC A G B H K M C Chứng minh Theo Định lý Pick, ba tam giác diện tích Từ ta có S GBC = S S GBC = BC.GK ABC Mặt khác GAB, GBC, GAC có 49 S ABC = BC.AH Suy 1 1 BC.GK = · BC.AH ⇔ GK = AH 3 Áp dụng Định lý Thales AHM ta GM = AM Vậy, G trọng tâm ABC Bài toán 2.3.5 Chứng minh đỉnh ngũ giác lồi điểm nguyên diện tích khơng bé Chứng minh Giả sử ngũ giác khơng có điểm ngun khác ngồi đỉnh Vì số xâu nhị phân có độ dài nên tồn hai đỉnh ngũ giác thỏa mãn hai hoành độ hai tung độ chúng có tính chẵn - lẻ Trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh điểm nguyên nằm cạnh ngũ giác Vì cạnh ngũ giác khơng có điểm nguyên khác đỉnh nên điểm nguyên nằm ngũ giác Như vậy, bên ngũ giác có điểm ngun Áp dụng Định lý Pick ta có diện tích khơng bé 5 +1−1= 2 Nếu cạnh ngũ giác có điểm nguyên khác đỉnh ta bỏ hai đầu mút cạnh chứa điểm nguyên chọn làm đỉnh để ngũ giác có diện tích bé ngũ giác ban đầu Lặp lại hữu hạn bước vậy, ta chắn thu ngũ giác mà cạnh khơng chứa điểm ngun khác đỉnh Đến ta áp dụng Định lý Pick trường hợp trước Vậy, ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.3.6 Cho n số nguyên Chứng minh tồn n điểm mặt phẳng cho khoảng cách hai điểm số vô tỷ, ba điểm đỉnh tam giác không suy biến có diện tích số hữu tỷ 50 Lời giải Bằng quy nạp, ta xây dựng điểm nguyên {An = (xn , yn )}n cho n , dãy điểm A1 , A2 , · · · , An thỏa mãn điều kiện tốn hồnh độ tung độ đôi khác Theo Định lý Pick, ba điểm ba đỉnh tam giác (có thể suy biến) có diện tích hữu tỷ Do đó, ta cần xây dựng dãy cho khơng có ba điểm thẳng hàng khoảng cách hai điểm số vô tỷ Đầu tiên, ta thấy A1 = (0, 0), A2 = (1, 1), A3 = (3, 2) thỏa mãn Giả sử với n ta có dãy điểm nguyên A1 , A2 , · · · , An−1 thỏa mãn Với i = 1, n − 1, lấy số nguyên tố pi cho pi ≡ 1(mod4) số nguyên , bi thỏa pi , bi pi a2i + b2i Chọn số nguyên ki để vpi (ai + ki pi )2 + b2i = Theo Định lý Trung Hoa, tồn số nguyên xn = xi , yn = yi cho xn − xi + ki pi (modp2i ), xn − xi 0(modp) yn − yi bi (modp2i ), ∀i = 1, n − Ở p số nguyên tố khác tất pi không chia hết (xi − xj )(yi − yj ) i=j (yi − yj ), tất nhiên chọn yn trước, chọn xn sau Ta có vpi (xn − yi )2 + (yn − yi )2 = Suy ra, An Ai số vô tỷ với i = 1, n − Do yi − yj yn − yi = , ∀i = j ∈ {1, 2, · · · , n − 1} xn − xi x i − xj nên An , Ai , Aj không thẳng hàng Tài liệu tham khảo [1] G Pick (1899), Geometrisches zur Zahlenlehre, Sitzungsberichte des ă Băohmen deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines fur "Lotos" in Prag, (Neue Folge), 19: 311-319 [2] H Steinhaus (1969), Mathematical Snapshots, Oxford University Press [3] J E Reeve (1957), On the volume of lattice polyhedra, Proc, London Math, Soc, (3), 7, 378-395 [4] J E Reeve (1959), A further note on the volume of lattice polyhedra, J, London Math, Soc, (1), 34, 57-62 [5] K Kolodziejczyka, J Reay, Polynomials and spatial Pick-type theorems, Expo, Math, 26 (2008) 41-53 [6] R Honsberger (1970), Ingenuity in mathematics , Math, Asso, America [7] R W Gaskell, M S Klamkin and P Watson (1976), Triangulations and Pick’s Theorem , Mathematics Magazine, Vol 49, No (Jan, 1976), 3537 [8] W W Funkenbusch (1974), From Euler’s Formula to Pick’s Formula Using an Edge Theorem ,The American Mathematical Monthly, Vol 81, No (Jun - Jul., 1974), 647-648 [9] Nguyễn Mạnh Dũng (2009), Vẻ đẹp phân số Farey, Tạp chí tốn học MathVn , 02, 2009 [10] Phùng Hồ Hải (2013), Xấp xỉ tốt, phân số liên tục, dãy Farey Định lý Pick , Thơng tin tốn học, Tập 17, số 3, Tháng 9, 2013 ... 2 Định lý chứng minh 1.3 Một số dạng tổng quát định lý Pick Định lý Pick nhấn mạnh phương pháp để xác định diện tích đa giác lưới đơn (đơn liên) không gian Euclide chiều Mặc dù vậy, liệu sử dụng. .. lược lịch sử phát triển định lý Pick, nội dung định lý Pick phép chứng minh dựa vào phép phân chia đa giác thành tam giác nguyên thủy (Honsberger (1970)) dựa vào định lý Euler (Funkenbusch (1974),... định lý Pick vấn đề có liên quan, chúng tơi chọn đề tài ? ?Định lý Pick áp dụng ” Đề tài sâu nghiên cứu định lý Pick, phép chứng minh định lý từ dạng đơn giản đến dạng tổng qt hóa cho đa diện lồi