Biến đổi fourier và hàm cực đại hardy littlewood

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THỊ NHƯ BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ HÀM CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định, năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THỊ NHƯ BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ HÀM CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 Người hướng dẫn: PGS.TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định, năm 2020 Mục lục Lời nói đầu Một số ký hiệu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Lý thuyết độ đo 1.3 Không gian Lp (X) 4 10 Biến đổi Fourier không gian L1 (Rn ) L2 (Rn ) 2.1 Biến đổi Fourier không gian L1 (Rn ) 2.2 Biến đổi Fourier không gian L2 (Rn ) 2.2.1 Biến đổi Fourier lớp Schwartz S(Rn ) 2.2.2 Biến đổi Fourier không gian L2 (Rn ) 2.3 Ứng dụng biến đổi Fourier giải phương trình vi 13 13 24 24 30 31 Hàm cực đại Hardy-Littlewood 3.1 Định lý nội suy Marcinkiewicz 3.2 Hàm cực đại Hardy-Littlewood 3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund 35 35 38 47 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 phân Lời mở đầu Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề giải tích thực, cụ thể trình bày phép biến đổi Fourier, số tính chất phép biến đổi Fourier phép biến đổi fourier ngược, hàm cực đại Hardy-Littlewood, phân hoạch Calderón-Zygmund số tính chất chúng Biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng khoa học ví dụ vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, nhiều lĩnh vực khác Biến đổi Fourier thường nghĩ đến chuyển đổi tín hiệu thành thành phần biên độ tần số Sự ứng dụng rộng rãi biến đổi Fourier bắt nguồn từ tính chất hữu dụng tính tuyến tính, tồn nghịch đảo Hàm cực đại Hardy-Littlewood toán tử Giải tích thực với nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Phân hoạch Calderón-Zygmund kết tiếng, đóng vai trị tảng Giải tích Fourier, Giải tích điều hịa tích phân kỳ dị Phân hoạch xem hệ tính bị chặn hàm cực đại Hardy-Littlewood Luận văn gồm có ba chương, cụ thể sau: Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị gồm định nghĩa, tính chất không gian độ đo, không gian định chuẩn, tích phân Lebesgue nhắc lại số định lý biết định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, bổ đề phủ Vitali, định lý Fubini, bất đẳng thức Tchebychev, bt ng thc Hăolder, b tr cho trình chứng minh kết nêu đề tài Chương Trong chương này, trình bày phép biến đổi Fourier khơng gian L1 (Rn ) mở rộng định nghĩa không gian hàm thuộc lớp Schwwartz S(Rn ), không gian L2 (Rn ) Các tính chất phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược trình bày nhằm cung cấp kiện tốn tử Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất hàm cực đại Hardy-Littlewood phân hoạch Calderón-Zygmund Tơi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn Khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Lương Đăng Kỳ Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến q Thầy, Cơ Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn dày công giảng dạy suốt năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng nỗ lực q trình hồn thành luận văn, chắn luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý Thầy, Cô bạn để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực Bùi Thị Như Một số ký hiệu N R C K R Rn ωn−1 Vn χA f +, f − B(x, r) |B(x, r)| |Q| ∇f · p h.k h.k.n supp f Cc∞ (Rn ) L1loc (Rn ) tập số tự nhiên tập số thực tập số phức R C tập số thực mở rộng {−∞} ∪ R ∪ {∞}, không gian vectơ thực n-chiều diện tích bề mặt hình cầu đơn vị S n−1 thể tích hình cầu đơn vị Rn hàm đặc trưng tập A phần dương, phần âm hàm f hình cầu tâm x, bán kính r thể tích hình cầu B(x, r) thể tích khối lập phương Q gradient hàm f chuẩn Lp hầu khắp hầu khắp nơi giá hàm f không gian hàm khả vi liên tục có giá compact Rn khơng gian hàm khả tích Lebesgue tập bị chặn Rn n Ai hợp rời tập A1 , A2 , , An i=1 M+ (X, A) tập hàm đo không âm không gian đo (X, A) Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến Giải tích hàm khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính khái niệm định lý Lý thuyết độ đo tích phân Một số tính chất khơng gian Lp đề cập chương nhằm cung cấp kiện làm tảng cho chương sau Tài liệu tham khảo chương [1, 3, 9] 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho X khơng gian tuyến tính trường K Một chuẩn X hàm x → x từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau: với mọix, y ∈ X, α ∈ K (i) x 0; x = x = (ii) αx = |α| x ; (iii) x + y x + y Một khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K khơng gian tuyến tính với chuẩn Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Định nghĩa 1.1.3 ([3]) Dãy {xn }n không gian định chuẩn E gọi hội tụ đến x0 ∈ E lim xn − x0 = Ký hiệu xn → x0 lim xn = x0 n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho hai không gian tuyến tính E F Một ánh xạ A : E → F gọi toán tử tuyến tính hay ánh xạ tuyến tính (i) A(x + y) = Ax + Ay với x, y ∈ E; (ii) A(αx) = αAx với x ∈ E α ∈ K Định lý 1.1.5 ([3]) Cho A tốn tử tuyến tính mệnh đề sau tương đương (i) A liên tục E; (ii) A liên tục x0 ∈ E; (iii) A liên tục ∈ E; (iv) ∃M > 0, ∀x ∈ E : Ax M x Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Toán tử tuyến tính A : E → F gọi bị chặn tồn M > cho Ax M x , ∀x ∈ E Định nghĩa 1.1.7 ([3]) Chuẩn toán tử A định nghĩa sau A = inf{M : Ax M x } Định lý 1.1.8 ([3]) Với ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F A = sup x=0 Ax = sup Ax = sup Ax x x x =1 Định lý 1.1.9 ([3]) Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Giả sử M khơng gian tuyến tính trù mật E, F không gian Banach A : M → F ánh xạ tuyến tính liên tục Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục ˜ = Ax với x ∈ M A˜ = A A˜ : E → F cho Ax Chứng minh Vì M trù mật E nên với x ∈ E tồn dãy {xn }n ⊂ M hội tụ đến x Ta có Axn − Axm = A(xn − xm ) A xn − xm Suy {Axn }n dãy Cauchy F Vì F khơng gian Banach nên tồn lim Axn n→∞ Ta định nghĩa ˜ = lim Axn Ax n→∞ Định nghĩa phụ thuộc vào dãy hội tụ đến x Như ta xác định ánh xạ A˜ : E → F Tính A˜ hiển nhiên Ta chứng minh A˜ toán tử tuyến tính A˜ = A Từ định nghĩa hàm A˜ ta có A˜ tuyến tính ˜ = lim Axn Ax n→∞ ˜ n Vì Ax ˜ A xn nên cho n → ∞ ta Ax A˜ A sup ˜ = Ax A n Suy (1.1) Mặt khác A˜ = sup x∈E, x =1 ˜ Ax x∈M, x =1 Từ (1.1), (1.2) ta nhận A˜ = A sup x∈M, x =1 Ax = A (1.2) Định nghĩa 1.1.10 ([3]) Cho X không gian định chuẩn trường số K Không gian L(X, K) gồm tất phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian liên hợp hay đối ngẫu X thường ký hiệu X ∗ Không gian liên hợp X ∗ Banach Định nghĩa 1.1.11 [3] Cho A : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y toán tử liên hợpA∗ : Y ∗ → X ∗ A xác định đẳng thức (A∗ y ∗ ) = y ∗ (Ax) với x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ Nếu X, Y hai khơng gian Hibert x, A∗ y = Ax, y với x ∈ X, y ∈ Y Định lý 1.1.12 ([3]) Cho X < Y < Z ba không gian định chuẩn, A, B ∈ L(X, Y ) C ∈ L(Y, Z) Khi ta có (i) (λA)∗ = λA∗ với λ ∈ K; (ii) (A + B)∗ = A ∗ +B ∗ ; (iii) C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C ∗ 1.2 Lý thuyết độ đo Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Một họ A tập X gọi đại số tập X điều kiện sau thỏa mãn (i) X ∈ A, (ii) A ∈ A ⇒ Ac = X \ A ∈ A, (iii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Cho (X, A, µ) khơng gian độ đo Khi (i) A σ-đại số X, tức A họ tập X cho (a) X ∈ A, (b) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A, (c) A1 , A2 , ∈ A ⇒ An ∈ A n≥1 (ii) µ độ đo, hàm tập hợp (gọi tắt hàm tập) µ : A → [0, ∞] thỏa mãn (a) µ(∅) = 0, (b) µ σ-cộng tính, tức với họ đếm phần tử đôi rời (An )n≥1 ⊂ A, ∞ µ( ∞ An ) = n=1 µ(An ) n=1 Các phần tử A gọi tập đo Định nghĩa 1.2.3 ([1]) Cho X = ∅ a ∈ X Khi hàm tập hợp δa : P(X) → R xác định  1 a ∈ A δa = 0 a ∈ / A, độ đo σ-đại số P(X) gọi độ đo Dirac a Định nghĩa 1.2.4 ([1]) Cho X tập tùy ý khác rỗng C ⊂ P(X) Giả sử γ : C → [0, ∞] hàm số không âm suy rộng (i) Hàm γ đơn điệu với A, B ∈ C, A ⊂ B γ(A) ≤ γ(B) (ii) Hàm γ cộng tính với A, B ∈ C, A ∩ B = ∅, A γ(A B ∈ C, B) = γ(A) + γ(B) (iii) Hàm γ cộng tính hữu hạn với A1 , A2 , , An ∈ C, Ai ∩ Aj = ∅, i = n Ai ∈ C, j, i=1 n γ n Ai = i=1 γ(Ai ) i=1 ∞ (iv) Hàm γ σ-cộng tính với (An )n≥1 ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅, i = j, Ai ∈ C, i=1 ∞ γ ∞ Ai = i=1 γ(Ai ) i=1 (v) Hàm γ cộng tính với A, B ∈ C, A ∪ B ∈ C, γ(A ∪ B) ≤ γ(A) + γ(B) n (vi) Hàm γ cộng tính hữu hạn với A1 , A2 , , An ∈ C, Ai ∈ C, i=1 n γ n Ai i=1 ≤ γ(Ai ) i=1 39 Nhận xét 3.2.2 Ta định nghĩa hàm cực đại cách tổng quát ˜ f (x) = sup M B x |B| |f (y)| dy, B B hình cầu Rn Thay hình cầu B(x, r) Định nghĩa 3.2.1 khối lập phương Q(x, r) := [xi − r, xi + r]n Khi đó, hàm cực đại định nghĩa M f (x) = sup r>0 (2r)n |f (y)| dy, x ∈ Rn Q(x,r) Khi n = 1, M trùng với M Nếu n > tồn hai số cn , Cn (chỉ phụ thuộc vào n) cho với x ∈ Rn , cn M f (x) M f (x) Cn M f (x) (3.1) Tổng quát hơn, với Q khối lập phương Rn , x |Q| |f (y)| dy M f (x) = sup Q Q Ví dụ 3.2.3 Cho f : R → R xác định f (x) = χ(0,1) (x) Khi    x > 1,    2x x 1, M f (x) = M f (x) =     x < 0,  2(1 − x)    x >   x ˜ f (x) = M f (x) = M x 1,      x < 1−x Thật vậy, với x > 1, ta có M f (x) = M f (x) = sup h>0 2h = max x+h χ(0,1) (y)dy x−h 1−x+h , sup 2h x−h>0 x−h 2h sup h1 ,h2 >0 h1 + h2 ˜ f (x) = M f (x) = sup M = max = x+h2 χ(0,1) (y)dy x−h1 − x + h1 , sup h1 0α} max{1,|f (x)|} |f (x)| C E dα dx α |f (x)| log+ |f (x)| dx =C E 44 Định lý 3.2.11 (Định lý vi phân Lebesgue) Cho f ∈ Lp (Rn ), p ∈ [1, ∞], tổng quát hơn, f khả tích địa phương, tức f ∈ L1loc (Rn ) Khi đó, r→0 |B(x, r)| f (y) dy = f (x) h.k x ∈ Rn lim (3.4) B(x,r) Chứng minh Trước tiên, ta xét trường hợp p = Với α > 0, đặt Eα = x ∈ Rn : lim r→0 |B(x, r)| f (y) dy − f (x) > 2α B(x,r) Cố định ε > bé tùy ý Bởi tính trù mật hàm liên tục có giá compact L (Rn ), tồn hàm g thỏa mãn f − g 1= |f (x) − g(x)|dx < ε Rn Biểu diễn B(x, r) B(x, r) f (y)dy − f (x) dạng B(x,r) [f (y) − g(y)]dy + B(x,r) B(x, r) g(y)dy − g(x) + (g(x) − f (x)), B(x,r) ta tìm lim r→0 |B(x, r)| f (y)dy − f (x) M (f − g)(x) + |g(x) − f (x)| B(x,r) Do đó, Fα = {x ∈ Rn : M (f − g)(x) > α} Gα = {x ∈ Rn : |f (x) − g(x)| > α} Eα ⊂ Fα ∪ Gα , suy m(Eα ) m(Fα ) + m(Gα ) Mặt khác, bất đẳng thức Tchebychev, m(Gα ) f − g 1, α m(Fα ) 3n f − g α theo Định lý 3.2.8(ii), ta có Hơn nữa, f − g < ε nên m(Eα ) 3n 3n + ε+ ε= ε α α α 45 Vì ε > nên cho ε → 0, ta µ(Eα ) = Điều chứng tỏ, với p = 1 r→0 |B(x, r)| f (y) dy = f (x) h.k x ∈ Rn lim B(x,r) Trường hợp p ∈ (1, ∞] Bởi bất ng thc Hăolder, vi mi hỡnh cu B, |f (x)| dx f Lp (B) |B|1/q f Lq (B) p B Do đó, f ∈ L1loc (Rn ) kết luận cho p ∈ (1, ∞] Định lý 3.2.12 Cho f ∈ L1loc (Rn ) Khi |f (x)| h.k x ∈ Rn M f (x), Chứng minh Đây hệ trực tiếp Định lý 3.2.11 Định lý 3.2.13 (Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg-Sobolev) Cho p ∈ (1, n) Sobolev liên hợp p∗ Khi đó, với f ∈ Cc∞ (Rn ), f p∗ ≤ C ∇f p, C phụ thuộc n p Chứng minh Vì f ∈ Cc∞ (Rn ) nên ∞ f (x) = − ∂ f (x + rz)dr, ∂r z ∈ S n−1 Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên toàn mặt cầu đơn vị S n−1 , ta ∞ f (x)dσ(z) = − ωn−1 f (x) = S n−1 S n−1 ∞ =− ∂ f (x + rz)drdσ(z) ∂r ∇f (x + rz) · zdrdσ(z) S n−1 ∞ =− ∇f (x + rz) · zdσ(z)dr S n−1 Đổi biến, đặt y = x+rz Khi đó, dσ(z) = r−(n−1) dσ(y), z = (y −x)/|y −x|, r = |y −x|, ∞ ωn−1 f (x) = − ∇f (y) · =− ∂B(x,r) ∇f (y) · Rn y−x dσ(y)dr |y − x|n y−x dy |y − x|n Điều dẫn đến |f (x)| ≤ ωn−1 Rn |∇f (y)| dy |y − x|n−1 46 Xét biểu diễn |∇f (y)| dy = n−1 ωn−1 Rn |y − x| ωn−1 |∇f (y)| dy + n−1 |y − x| ωn−1 B(x,r) Rn \B(x,r) |∇f (y)| dy |y − x|n−1 Khi đó, ωn−1 B(x,r) ∞ |∇f (y)| dy = n−1 |y − x| ωn−1 k=0 ∞ ≤ ωn−1 ∞ k=0 B(x,2−k r)\B(x,2−k−1 r) |∇f (y)| dy |y − x|n−1 B(x,2−k r)\B(x,2−k−1 r) |∇f (y)| dy (2−k−1 r)n−1 2−k r nVn 2−k r ≤ 2n−1 B(x,2−k r) k=0 ∞ n ≤ 2−k+n−1 r k=0 |B(x, 2−k r)| ≤ n |∇f (y)|dy B(x,2−k r) ∞ n−1 |∇f (y)| dy (2−k r)n−1 2−k rM (∇f )(x) k=0 n rM (∇f )(x) n Bi bt ng thc Hăolder vi < p < n, ta có = Rn \B(x,r) 1/q 1/p |∇f (y)| dy ≤ |y − x|n−1 (1−n)q p |y − x| |∇f (y)| dy Rn \B(x,r) Rn \B(x,r) 1/q ∞ ≤ ωn−1 ρ (1−n)q n−1 ρ ∇f dρ p r = Chọn r = 1/q (p − 1)ωn−1 n−p (p − 1)(p−1)/n 1/n (n − p)(p−1) /(nωn−1 2p ) n rM (∇f )(x) = r1−n/p ∇f n f p M (∇f )(x) n ωn−1 p p/n Khi đó, với (p − 1)ωn−1 n−p 1/q r1−n/p ∇f Do |f (x)| ≤ C ∇f p/n 1−p/n , p [M (∇f )(x)] np/n (p − 1)(p−1)/n (n − p)p−1 Bởi (iii) Định lý 3.2.8, với < p < n, ta 1/n C = 2n+p+1 ωn−1 f p∗ 1 + = 1, p q ≤ C ∇f p/n p M (∇f ) 1−p/n p∗ (1−p/n) = C ∇f p/n p M (∇f ) 1−p/n p ≤ C ∇f p p dy 47 3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund Sau hệ quan trọng tính bị chặn tốn tử cực đại Hardy-Littlewood, phân hoạch Calderón-Zygmund Rn Định lý 3.3.1 (Phân hoạch Calderón-Zygmund Rn ) Cho f ∈ L1 (Rn ) α > Khi đó, tồn phân hoạch Rn thỏa mãn (i) F ∪ Ω = Rn , F ∩ Ω = ∅, (ii) |f (x)| α h.k x ∈ F , (iii) Ω hợp khối lập phương Qk , tức Ω = Qk , mà điểm k chúng rời có biên song song với trục tọa độ, cho với Qk α< |Qk | 2n α |f (x)| dx (3.5) Qk |Qk | thể tích khối lập phương Qk Chứng minh Vì f ∈ L1 nên ta phân rã Rn thành lưới khối lập phương (0) Qk , k = 1, 2, mà điểm chúng rời nhau, có biên song song với trục tọa độ đường kính chung lớn đến mức cho khối lập phương mạng lưới |f (x)| dx α (3.6) (0) |Qk | Q(0) k (0) (1) Chia Qk thành 2n khối lập phương có kích thước, ký hiệu Qk , k = 1, 2, Khi (1) |Qk | |f (x)| dx α, (1) |Qk | (1) Qk |f (x)| dx > α (1) Qk (1) Trong trường hợp thứ nhất, ta lại chia Qk thành 2n khối lập phương có (2) kích thước, ký hiệu Qk , k = 1, 2, Trong trường hợp thứ hai, ta có α< (1) |Qk | |f (x)| dx (1) Qk (0) 2−n |Qk | |f (x)| dx 2n α (0) Qk có dạng (3.5) ∞ Lập luận tương tự, ta chứng minh x ∈ / Ω := k=1 1, 2, , (j) |Qkj | → j → ∞, Do đó, |f (x)| α h.k x ∈ F = Ωc (j) |Qkj | |f (x)| dx (j) Qk j (j) Qk x ∈ Qkj , j = α, j = 1, 2, 48 Hệ 3.3.2 Giả sử f, α, F, Ω Qk ký hiệu Định lý 3.3.1 Khi đó, tồn hai số A B (chỉ phụ thuộc vào số chiều n), cho (i) (ii) Định lý 3.3.1 thỏa mãn A f α (a) |Ω| (b) |Qk | 1, |f (x)| dx Bα Qk Chứng minh Đây hệ trực tiếp Định lý 3.3.1 Thật vậy, (3.5) Định lý 3.3.1 với B = 2n , |Ω| = |Qk | < k α |f (x)| dx Ω f α Điều chứng tỏ A = B = 2n Phân hoạch Calderón-Zygmund Rn suy phân hoạch Calderón-Zygmund cho hàm Rn , cơng cụ quan trọng Giải tích điều hịa Định lý 3.3.3 (Phân hoạch Calderón-Zygmund cho hàm) Cho f ∈ L1 (Rn ) α > Khi đó, tồn hàm g h Rn cho f = g + h (i) g f 1 g ∞ 2n α hj , hj ∈ Qj thỏa mãn (ii) h = j hj (x) dx = hj 2n+1 α|Qj | Qj Hơn nữa, Qoj ∩ Qok = ∅, j = k α−1 f |Qj | (iii) j Chứng minh Áp dụng Hệ 3.3.2 với A = B = 2n , ta có ❼ Rn = F ∪ Ω, F ∩ Ω = ∅; ❼ |f (x)| α h.k.n F ; o o ❼ Ω = ∪∞ j=1 Qj , Qj ∩ Qk = ∅, j = k; ❼ |Ω| α−1 |f (x)| dx α < Rn |Qj | |f (x)| dx Qj 2n α 49 Ta định nghĩa |Qj | f− hj = f dx χQj , Qj hj g = f − h Khi h= j |hj | dx |f (x)| dx + |Qj | Qj Qj |f (x)| dx |Qj | f (x) dx Qj 2n+1 α|Qj | Qj Điều chứng tỏ hj 2n+1 α|Qj | Biểu diễn Rn = j Qj ∪ F , Hệ 3.3.2, F tập đóng Vì h|F = f (x) dx, nên f − hj = |Qj | Qj g=   f F,   |Q | j f (x) dx Qj (3.7) Qj Trên khối lập phương Qj , g= Hơn nữa, |f (x)| |Qj | f (x) dx 2n α Qj α h.k x ∈ F nên g ∞ 2n α g f Từ (3.7), ta suy Như ứng dụng phân hoạch Calderón-Zygmund định lý nội suy Marcinkiewicz, ta chứng minh bất đẳng thức có trọng hàm cực đại Hardy-Littlewood mà sau ta gọi ngắn gọn bất đẳng thức có trọng Định lý 3.3.4 (Bất đẳng thức có trọng) Với p ∈ (1, ∞), tồn số C = Cn,p cho với hàm đo khơng âm ϕ Rn , ta có bất đẳng thức (M f (x))p ϕ(x) dx Rn |f (x)|p M ϕ(x) dx C Rn (3.8) 50 Chứng minh Nếu M ϕ(x) = ∞ h.k.n (3.8) tầm thường Giả sử M ϕ(x) < ∞ h.k x ∈ Rn M ϕ(x) > Ký hiệu dµ(x) = M ϕ(x) dx dν(x) = ϕ(x) dx Khi đó, định lý nội suy Marcinkiewicz, để có (3.8), ta cần chứng minh M ∈ (L∞ (µ), L∞ (ν)) M ∈ (L1 (µ), L1 (ν)) Trước tiên, ta chứng minh M ∈ (L∞ (µ), L∞ (ν)) Thật vậy, f L∞ (µ) α M ϕ(x) dx = µ({x ∈ Rn : |f (x)| > α}) = {x∈Rn :|f (x)|>α} Vì M ϕ(x) > với x ∈ Rn nên µ({x ∈ Rn : |f (x)| > α}), tương đương với |f (x)| α h.k x ∈ Rn Vì vậy, M f (x) α h.k x ∈ Rn điều dẫn đến, Mf α L∞ (ν) Do Mf f L∞ (ν) L∞ (µ) Để chứng minh M ∈ (L1 (µ), L1 (ν)), ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.3.5 Cho f ∈ L1 (Rn ) α > Nếu dãy khối lập phương {Qk }k chọn từ phân hoạch Calderón-Zygmund Rn với f α > 0, Q∗k , {x ∈ Rn : M f (x) > 7n α} ⊂ k Q∗k = 2Qk Khi đó, |{x ∈ Rn : M f (x) > 7n α}| 2n |Qk | k Q∗k Khi đó, với khối lập phương Q tâm x, xảy Chứng minh Giả sử x ∈ / k hai trường hợp: ❼ Nếu Q ⊂ F := Rn \ Qk , k |Q| |f (x)| dx α Q ❼ Nếu Q ∩ Qk = ∅, Qk ⊂ 3Q {Qk : Qk ∩ Q = ∅} ⊂ 3Q k Do |f (x)| dx Q |f (x)| dx |f (x)| dx + Q∩F Qk ∩Q=∅ 2n α|Qk | α|Q| + Qk ∩Q=∅ α|Q| + 2n α|3Q| 7n α|Q| Qk 51 Vì vậy, M f (x) Q∗k , điều dẫn đến 7n α với x ∈ / k Q∗k = 2n m({x ∈ Rn : M f (x) > 7n α}) |Qk | k k Bây giờ, ta trở lại chứng minh M ∈ (L1 (µ), L1 (ν)) Ta cần chứng minh tồn số C cho với α > f ∈ L1 (µ), ϕ(x) dx = ν({x ∈ Rn : M f (x) > α}) {x∈Rn :M f (x)>α} C α |f (x)|M ϕ(x) dx Rn Ta giả sử f ∈ L1 (Rn ) Thật vậy, lấy f = |f |χB(0, ) f ∈ L1 (Rn ), với x ∈ Rn f (x) f +1 (x) = 1, 2, Hơn nữa, lim f (x) = |f (x)| →∞ {x ∈ Rn : M f (x) > α} = {x ∈ Rn : M f (x) > α} Bởi Nhận xét 3.2.2, tồn Cn > cho M f (x) Cn M f (x) với x ∈ Rn α Áp dụng Định lý 3.3.3 cho hàm f α = , ta dãy {Qk }k khối lập (cn 7n ) phương thỏa mãn |f (x)| dx 2n α α < |Qk | Qk Bởi Bổ đề 3.3.5 Nhận xét 3.2.2, ta có ϕ(x) dx ϕ(x) dx {x∈Rn :M f (x)>α} {x∈Rn :M f (x)>7n α } ϕ(x) dx ϕ(x) dx k Q∗k |Qk | k = k cn 7n α cn 14n α C α ϕ(x) dx Q∗k |f (y)| Qk k Q∗k 2n |Q∗k | α |f (y)| dy Qk ϕ(x) dx dy Q∗k |f (y)|M ϕ(y) dy k Qk |f (y)|M ϕ(y) dy Rn Do đó, M ∈ (L1 (µ), L1 (ν)), bất đẳng thức (3.8) thu áp dụng định lý nội suy Marcinkiewicz Kết luận Trong luận văn này, thực cơng việc sau đây: ❼ Trình bày định nghĩa biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược không gian L1 Từ chứng minh tính chất biến đổi Fourier tính tuyến tính, tuần hoàn, liên tục ❼ Mở rộng định nghĩa biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược không gian Schwartz số tính chất biến đổi Fourier đạo hàm ❼ Mở rộng định nghĩa biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược không gian L2 chứng minh mộ số định lý Định lý Plancherel ❼ Ứng dụng biến đổi Fourier vào việc giải số phương trình vi phân ❼ Đưa định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood số định nghĩa tương đương, đồng thời sử dụng định lý nội suy Marcinkiewicz số bổ đề khác để chứng minh số tính chất quan trọng hàm cực đại Hardy-Littlewood ❼ Mơ tả phân hoạch Calderón-Zygmund, hệ quan trọng tính bị chặn toán tử cực đại Hardy-Littlewood Hơn nữa, kết xem tảng Giải tích Fourier, Giải tích điều hịa tích phân kỳ dị Trong luận văn này, cố gắng đưa thêm điều mới, thời gian kiến thức cịn hạn chế tơi chưa thể nói lên hết nhiều khía cạnh vấn đề, nhiều sai sót khơng tránh khỏi Vì vậy, tơi trân trọng góp ý q Thầy, Cơ bạn để khóa luận hồn thiện Tài liệu tham khảo [1] L Đ Kỳ, Bài giảng Lý thuyết độ đo tích phân, Quy Nhơn, 2013 [2] L Đ Kỳ, Bài giảng Giải tích thực, Quy Nhơn, 2015 [3] T T Quang, Cơ sở lý thuyết Giải tích hàm, Quy Nhơn, 2013 [4] H Tụy, Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [5] L Debnath, Wavelet transforms and their applications Birkhăauser Boston, Inc., Boston, MA, 2002 [6] L Grafakos, Classical Fourier analysis Third edition Graduate Texts in Mathematics, 249 Springer, New York, 2014 [7] C Hao, Lectures on Introduction to Harmonic Analysis, AMSS, Chinese Academy of Sciences, 2016 [8] W Rudin, Functional analysis Second edition, McGraw-Hill, Inc 1991 [9] S Shkoller, Notes on Lp and Sobolev spaces, 2009 ... trình bày phép biến đổi Fourier, số tính chất phép biến đổi Fourier phép biến đổi fourier ngược, hàm cực đại Hardy- Littlewood, phân hoạch Calderón-Zygmund số tính chất chúng Biến đổi Fourier có nhiều... 2a G(x, ξ) = Chương Hàm cực đại Hardy- Littlewood Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất hàm cực đại Hardy- Littlewood hệ tính bị chặn hàm cực đại Hardy- Littlewood phân hoạch... 4 10 Biến đổi Fourier không gian L1 (Rn ) L2 (Rn ) 2.1 Biến đổi Fourier không gian L1 (Rn ) 2.2 Biến đổi Fourier không gian L2 (Rn ) 2.2.1 Biến đổi Fourier lớp Schwartz