Về ước tôpô của phần tử không trong đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM ANH TUÂN VỀ ƯỚC TÔPÔ CỦA PHẦN TỬ KHÔNG TRONG ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM ANH TUÂN VỀ ƯỚC TÔPÔ CỦA PHẦN TỬ KHÔNG TRONG ĐẠI SỐ BANACH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KIỀU PHƯƠNG CHI Vinh - 2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại Học Vinh hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Kiều Phương Chi Tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo môn Giải tích, Viện Sư phạm tự nhiên, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn Gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học K25- Toán Giải tích học Trường Đại Học Vinh cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Vì điều kiện thực luận văn thời gian cịn kiến thức cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong đóng góp ý kiến Thầy giáo, Cô giáo độc giả để luận văn hồn thiện Tơi xin cam đoan luận văn thân tơi hồn thành hướng dẫn PGS TS Kiều Phương Chi Các kết mà luận văn đạt hoàn toàn trung thực Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng năm 2019 Phạm Anh Tuân MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Mở đầu đại số Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Đại số Banach 12 Sự tồn ước tôpô phần tử không 26 2.1 Ước tôpô phần tử không đại số Banach 26 2.2 Sự tồn ước tôpô phần tử không số lớp đại số Banach 29 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Lý thuyết đại số Banach lĩnh vực quan trọng toán giải tích Nó có nhiều ứng dụng sâu sắc nhiều chuyên ngành toán học, đặc biệt ứng dụng nghiên cứu giải tích phức, đại số đều, lý thuyết tốn tử, Đại số Banach có cấu trúc đại số giải tích tổng quát gần gủi mặt phẳng phức C So với khơng gian Banach tính chất đại số Banach phong phú bắt nguồn từ tương thích cấu trúc tơpơ sinh chuẩn cấu trúc đại số sinh phép nhân Đối với đại số A phần tử x gọi ước phần tử không tồn y ∈ A cho xy = yx = 0, với y = Nhờ cấu trúc tôpô mà đại số Banach, người ta định nghĩa ước tôpô phần tử không sau: Phần tử y đại số Banach A gọi ước tôpô phần tử không tồn dãy (xn ) ⊂ A, xn = 1, cho limn→∞ xn y = limn→∞ yxn = 0.([7]) Điều thú vị tồn ước tôpô phần tử không liên hệ mật thiết với cấu trúc đại số Banach Nghiên cứu tồn ước tôpô vấn đề thú vị đại số Banach, nhận quan tâm số chuyên gia lĩnh vực giải tích hàm ([8]) Nhằm tìm hiểu ước tơpơ phần tử không tồn chúng đại số Banach ứng dụng, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về ước tôpô phần tử không đại số Banach Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu có hệ thống khái niệm, ví dụ tính chất ước tôpô đại số Banach, đặc biệt tồn ước tôpô phần tử không số lớp đại số Banach đặc biệt Nội dung nghiên cứu Khái niệm, ví dụ kết mở đầu đại số Banach; khái niệm, ví dụ tính chất ước tơpơ phần tử không; tồn ước tôpô số lớp đại số Banach Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp sử dụng phương pháp suy luận toán học để giải vấn đề đặt Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo bố cục sau: Mở đầu Giới thiệu tổng quan ước tôpô phần tử không đại số Banach Chương Mở đầu đại số Banach Chương trình bày có hệ thống kiến thức chuẩn bị đại số giải tích, kết mở đầu đại số Banach Chương Sự tồn ước tôpô phần tử không Chương nghiên cứu tồn ước tôpô phần tử khơng đại số Banach Mục 2.1 trình bày khái niệm, số tính chất ước tôpô phần tử không đại số Banach; đưa số ví dụ minh họa Mục 2.2 nghiên cứu tồn ước tôpô phần tử khơng lớp đại số Banach, kết luận văn thiết lập ví dụ đại số Banach mà phần tử ước không Các kết luận văn trình bày tài liệu dạng tập Chúng miêu tả theo lôgic vấn đề, chứng minh chi tiết kết chương mà tài liệu bỏ qua chứng minh hay chứng minh vắn tắt Đặc biệt, xây dựng nhiều ví dụ minh họa cho kết quả, chẳng hạn như: Ví dụ 2.1.3; Mệnh đề 2.2.7; Mệnh đề 2.2.8 Đây đóng góp luận văn CHƯƠNG MỞ ĐẦU VỀ ĐẠI SỐ BANACH Trong chương này, mục đầu chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị giải tích đại số cần dùng sau Mục chúng tơi trình bày khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết số kết đại số Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục chúng tơi dành để trình bày số kết mở đầu giải tích phức giải đại số cần dùng sau Các kết trích từ [2] 1.1.1 Định nghĩa Một đại số A không gian véctơ A trường K với phép nhân A thoả mãn điều kiện: 1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; 2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A 3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ K Nếu K = C A gọi đại số phức K = R A gọi đại số thực Phần tử e ∈ A gọi đơn vị A ex = xe = x với x ∈ A Các ví dụ đại số chúng tơi kết hợp trình bày mục chương 1.1.2 Định nghĩa ([2]) Cho X tập khác rỗng Hàm d : X ×X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) 0, với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X ; 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), với x, y, z ∈ X Khi đó, (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.3 Định nghĩa ([2]) Cho (X, d), (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X → Y 1) ánh xạ f gọi liên tục với x ∈ X dãy {xn } ⊂ X mà xn → x f (xn ) → f (x); 2) ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε) cho: ρ(f (x), f (y)) < ε, với x, y ∈ X thỏa mãn d(x, y) < δ 1.1.4 Định nghĩa ([2]) Cho E không gian tuyến tính trường K Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ E ; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Sau tác giả xin trình bày số kết họ số khả tổng 1.1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử I tập số tùy ý, {xi }i∈I họ số (thực phức) Kí hiệu F(I) họ tất tập hưũ hạn I Họ {xi }i∈I gọi khả tổng lưới hay dãy suy rộng {SJ }J∈F(I) hội tụ đến số S , SJ = xi Khi ta viết i∈J xi = S i∈I Nói cách khác xi = S với ε > 0, tồn J0 cho với i∈I J ∈ F(I) mà J > J0 | xi − S| < ε i∈J 1.1.6 Nhận xét Khi I = N tập số tự nhiên dãy số {xn }n∈N ∞ khả tổng chuỗi số xn hội tụ không điều kiện, tức n=1 hội tụ với phép đổi vị trí số hạng chuỗi Như ta biết ∞ điều tương đương với hội tụ tuyệt đối chuỗi xn định lý n=1 Riemann Ta cần bổ đề đơn giản sau 1.1.7 Bổ đề ([6]) Nếu với họ số {xi }i∈I tuỳ ý, tồn số C > cho xi | < C, ∀J ∈ F(I) | i∈J |xi | < 4C i∈J Chứng minh Đầu tiên ta giả sử họ {xi }i∈I họ số thực Với J ∈ F(I) đặt J + = {i ∈ J : xi 0} J − = {i ∈ J : xi < 0} Ta có |xi | = xi − i∈J + i∈J xi = i∈J − xi + i∈J + xi < 2C i∈J − với J ∈ F(I) Tiếp theo {xi }i∈I họ số phức hai họ {Rexi }i∈I {Imxi }i∈I họ số thực thỏa mãn giả thiết bổ đề Do |xi | i∈J |Rexi | + i∈J |Imxi | < 4C, i∈J ∀J ∈ F(I) 22 1.2.28 Nhận xét Từ Nhận xét 1.1.15 Định lý 1.1.25 ta đồng MA với tập hình cầu đơn vị không gian liên hợp A∗ A Trên MA ta xét tôpô yếu cảm sinh từ tôpô yếu A∗ Cụ thể hơn, sở lân cận ψ ∈ MA họ tập có dạng U (ψ, f1 , f2 , , fn , ε) = {ϕ ∈ MA : |ϕ(fi ) − ψ(fi )| < ε, fi ∈ A, i = 1, 2, , n, ε > 0, n ∈ N∗ } Dãy (suy rộng) ϕn ⊂ MA hội tụ ϕ ϕn (f ) → ϕ(f ), với f ∈ A 1.2.29 Định lý [1] Không gian ideal cực đại MA đại số Banach giao hoán A Hausdorff compact Chứng minh Giả sử ϕ1 , ϕ2 ∈ MA ϕ1 = ϕ2 Khi tồn f ∈ A cho ϕ1 (f ) = ϕ2 (f ) Xét tập U1 = {ψ ∈ MA : |ψ(f ) − ϕ1 (f )| < |ϕ1 (f ) − ϕ2 (f ) } |ϕ1 (f ) − ϕ2 (f ) } Ta có U1 , U2 lân cận rời MA với tôpô yếu U2 = {ψ ∈ MA : |ψ(f ) − ϕ2 (f )| < ϕ1 , ϕ2 Như MA không gian Hausdorff Bây giờ, theo định lý Banach-Alaoglu hình cầu đơn vị đóng A∗ compact với tơpơ yếu Vì để chứng minh MA compact ta cần chứng minh MA đóng theo tơpơ yếu hình cầu đóng đơn vị A∗ Thật vậy, giả sử {ϕn } dãy (suy rộng) MA mà ϕn → ϕ theo tơpơ yếu Khi ϕn (f ) → ϕ(f ), với f ∈ A Ta ϕ đồng cấu phức Từ ϕn (e) = 1, ∀n suy ϕ(e) = Tiếp theo với f1 , f2 ∈ A, với λ1 , λ2 ∈ C ta có ϕ(λ1 f1 + λ2 f2 ) = lim ϕn (λ1 f1 + λ2 f2 ) n = lim(λ1 ϕn (f1 ) + λ2 ϕn (f2 )) = λ1 ϕ(f1 ) + λ2 ϕ(f2 ) n 23 ϕ(f1 f2 ) = lim ϕn (f1 f2 ) = lim ϕn (f1 )ϕn (f2 ) = ϕ(f1 )ϕ(f2 ) n n Do ϕ ∈ MA Ví dụ sau cấu trúc không gian ideal cực đại đại số C(X) : 1.2.30 Ví dụ [1] Cho X không gian tôpô Hausdorff compact Khi đó, khơng gian ideal cực đại đại số C(X) đồng phôi với X Chứng minh Với x ∈ X , xác định hàm ϕx : C(X) → C xác định ϕx (f ) = f (x), với f ∈ C(X) Ta dễ dàng kiểm tra ϕx đồng cấu phức với x ∈ X Tiếp theo ta với ϕ ∈ MC(X) tồn x ∈ X cho ϕ = ϕx Giả sử ngược lại ϕ = ϕx , với x ∈ X Do với x ∈ X tồn g ∈ C(X) cho ϕ(g) = ϕx (g) = g(x) Chọn fx = g − ϕ(g) ∈ C(X) Khi fx (x) = Vì fx hàm liên tục nên tồn lân cận Ux x cho fx = Ux Từ suy |fx |2 > 0, Ux Từ ϕ(fx ) = ϕ(g − ϕ(g)) = ϕ(g) − ϕ(g) = suy ϕ(|fx |2 ) = ϕ(fx f x ) = ϕ(fx )ϕ(f x ) = Mặt khác, họ {Ux }x∈X phủ mở x nên từ tính compact X suy tồn x1 , , xn ∈ X cho X = ∪ni=1 Uxi Đặt h = |fx1 |2 + + |fxn |2 Ta có h > X Do h khả nghịch, từ suy ϕ(h) = với ϕ ∈ MC(X) Tuy nhiên ϕ(h) = ϕ(|fx1 |2 + + |fxn |2 ) = ϕ(|fx1 |2 ) + + ϕ(|fx1 |2 ) = 24 Ta nhận mâu thuẫn Vì ϕ = ϕx Bây ta lập ánh xạ Ψ : X → MC(X) xác định Ψ(x) = ϕx Rõ ràng Ψ song ánh từ X vào MC(X) Ta chứng minh Ψ liên tục Thật vậy, giả sử {xα } ⊂ X dãy (suy rộng) mà xα → x ∈ X Khi đó, với f ∈ C(X) ta có f (xα ) → f (x), tức ϕxα (f ) → ϕx (f ), với f ∈ C(X) Do ϕxα → ϕx MC(X) Ta thu nhận Ψ(xα ) → Ψ(x) Hơn nữa, X MC(X) khơng gian compact nên Ψ−1 liên tục Ta điều cần chứng minh 1.2.31 Định nghĩa ([1]) Cho A đại số Banach giao hốn, MA khơng gian ideal cực đại A f ∈ A Phép biến đổi Gelfand f hàm nhận giá trị phức fˆ : MA → C xác định fˆ(ϕ) = ϕ(f ), với ϕ ∈ MA Mệnh đề sau trình bày số tính chất đơn giản phép biến đổi Gelfand 1.2.32 Mệnh đề Giả sử A đại số Banach giao hoán Khi 1) ab = aˆˆb với a, b ∈ A; 2) Nếu a ∈ A khả nghịch a−1 = a ˆ Đặt Aˆ = {fˆ : f ∈ A} Khi Aˆ đại số đại số Banach C(MA ), hàm số phức liên tục MA 1.2.33 Định lý ([1]) Đại số Aˆ chứa hằng, tách điểm MA Phép biến đổi Gelfand f → fˆ đồng cấu A lên Aˆ fˆ MA f , với f ∈ A Ta rút kết sau: 25 1.2.34 Định lý ([1]) Giả sử A đại số Banach giáo hoán f ∈ A Khi σ(f ) = fˆ(MA ) 1.2.35 Hệ ([1]) Cho A đại số Banach giao hốn f ∈ A Khi r(f ) = f MA 1.2.36 Hệ ([1]) Cho A đại số Banach giao hoán Phép biến đổi Gelfand G : f → fˆ đẳng cự f = f , với f ∈ A 26 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ƯỚC TÔPÔ CỦA PHẦN TỬ KHÔNG Chương nghiên cứu tính chất bản, tồn ứng dụng ước tôpô phần tử không đại số Banach 2.1 Ước tôpô phần tử không đại số Banach 2.1.1 Định nghĩa ([4, 7]) Cho A đại số Banach (A khơng có đơn vị) Phần tử y ∈ A gọi ước tôpô phần tử không tồn dãy (xn ) ⊂ A, xn = 1, cho limn→∞ xn y = limn→∞ yxn = 2.1.2 Nhận xét 1) Mọi ước đại số phân tử không ước tôpô, x = ước đại số tồn y cho xy = yx = Đặt x dãy xn = với n ta nhận kết luận Ví dụ x nói chung ước tôpô ước đại số 2) Trong số trường hợp, đại số Banach A mà chuẩn đơn vị e khác định nghĩa người ta thay điều kiện xn = e 2.1.3 Ví dụ Xét đại số hàm liên tục C[0,1] với chuẩn hội tụ x = max |x(t)| t∈[0,1] Xét phần tử y ∈ C[0,1] xác định bởi: y(t) = t với t ∈ [0, 1] Khi đó, y ước tơ pơ phần tử không Thật vậy, xét dãy 1 − nt t =∈ [0, ] xn (t) = n với t cịn lại 27 Khi xn y = max |xn (t)y(t)| = max |(1 − nt)t| = → 4n t∈[0,1] t∈[0, ] n n → ∞ Vì xn y → Hoàn toàn tương tự yxn → Do y ước tơpơ phần tử khơng 2.1.4 Nhận xét Trong ví dụ y khơng phải ước đại số phần tử không Thật vậy, tồn x ∈ C[0,1] cho xy = yx = x(t)y(t) = với t ∈ [0, 1] Suy x(t) = với t ∈ [0, 1] Do x(t) = với < t Nhờ tính liên tục x ta có x(0) = limt→0 x(t) = Vì vậy, x(t) = với t ∈ [0, 1] Do x = 2.1.5 Ví dụ Xét đại số Banach Cn với n với chuẩn z = max |zi | i=1, ,n Khi đó, xét phần tử a = (1, 0, 0, 0, , 0) Khi đó, a ước tôpô Thật vậy, xét dãy bn = ( , 1, 1, , 1) với n = 1, 2, Khi bn = n với n Hơn nữa, abn = bn a = ( , 0, 0, , 0) n với n = 1, 2, Suy abn = bn a = → n → ∞ Vì n lim bn a = lim abn = n→∞ n→∞ Hay a ước tôpô phần tử không 2.1.6 Mệnh đề ([1]) Giả sử A đại số Banach a ∈ A Nếu a khả nghịch a không ước tôpô 28 Chứng minh Giả sử tồn dãy (bn ) ⊂ A cho |bn | = với n lim abn = lim bn a = n→∞ n→∞ Vì a khả nghịch phép nhân đại số Banach liên tục nên lim a−1 abn = lim bn aa−1 = n→∞ n→∞ Suy limn→∞ bn = Mâu thuẫn với bn = với n Ta ký hiệu Z(A) tập ước tôpô phần tử khơng Ta có kết sau 2.1.7 Mệnh đề ([7]) Mọi phần tử thuộc biên nhóm phần tử khả nghịch G(A) ước tôpô phần tử không Chứng minh Ta ∂G(A) ⊂ Z(A) Thật vậy, với a ∈ ∂G(A) tồn dãy (an ) ⊂ G(A) cho an → a Vì G(A) mở nên a ∈ / G(A) Do an a ∈ / G(A) với n Suy −1 a−1 n a − e = an (a − an ) a−1 n a − an với n Do đó, từ a − an → suy a−1 → ∞ n → ∞, hay n → n → ∞ Đặt a−1 n bn = a−1 n a−1 n với n = 1, 2, Khi bn = với n abn = aa−1 n a−1 n = e (a − an )a−1 n + →0 −1 a−1 a n n n → ∞, (a − an )a−1 n = a − an → −1 an 29 e = a−1 a−1 n n a ∈ Z(A) → n → ∞ Tương tự, ta có bn a → Vì Gọi S(A) tập hợp phần tử không khả nghịch A Khi ta có hệ sau: 2.1.8 Hệ Giả sử A đại số Banach Khi 1) Z(A) ⊂ S(A) 2) ∂S(A) ⊂ Z(A) 3) Nếu Z(A) = {0} A C Chứng minh 1) Vì S(A) = A\G(A) nên từ Mệnh đề 2.1.6 suy Z(A) ⊂ S(A) 2) Vì ∂S(A) = ∂G(A) nên từ Mệnh đề 2.1.7 suy ∂S(A) ⊂ Z(A) 3) Z(A) = {0} Suy ∂G(A) ⊂ {0} Vì G(A) ⊂ A \ {0}, tức phần tử khác A khả nghịch Vì vậy, theo Định lý GelfandMazur ta có A C 2.2 Sự tồn ước tôpô phần tử không số lớp đại số Banach Mục nghiên cứu tồn ước tôpô phần tử không số lớp đại số Banach 2.2.1 Định nghĩa ([4]) Đại số Banach A gọi có sở trực chuẩn tồn dãy (en )∞ n=1 cho với x ∈ A ∞ x= αn en n=1 en em = δmn en với m, n ∈ N, δmn = m = n m = n 30 2.2.2 Định lý ([4]) Nếu A đại số Banach vô hạn chiều có sở trực chuẩn phần tử A ước tôpô Chứng minh Gọi (en ) sở trực chuẩn A Với x ∈ A ta có ∞ x= αn en n=1 Từ en em = δmn en suy ek = e2k ek ek với k = 1, Ta có ∞ αn en ek = αk ek → xek = n=1 k → ∞ Bây giờ, với k = 1, 2, ta đặt bk = ek Khi ek bk = với k bk x = xek → 0 k → ∞ Vì x ước tơpơ 2.2.3 Ví dụ ([4]) Xét đại số C0 = {z = (zn ) ⊂ C : zn → 0} với chuẩn z = sup |zn |, ∀ z = (zn ) ∈ C0 n Ta C0 có sở trực chuẩn (en ) Thật vậy, với n = 1, 2, ta xét en = (en1 , en2 , , enk , ) enk = với k = n enn = Thế thì, với z = (zn ) ∈ C0 ta có limn→∞ |zn | = 0, limk→∞ supn k |zn | = Với k = 1, 2, đặt z k = z1 e1 + z2 e2 + + zk ek = (z1 , , zk , 0, 0, ) 31 Khi z k − z = sup |zn | n k+1 lim z k − z = lim sup |zn | = k→∞ k→∞ n k+1 ∞ n=1 zn en Ta nhận z = limk→∞ z k = Cuối dễ dàng kiểm tra em en = δmn en với m, n ∈ N Vậy (en ) sở trực chuẩn C0 Do đó, phần tử C0 ước tơpơ 2.2.4 Ví dụ ([4]) Với p ∞ p n=1 |zn | 1, ta xét đại số lp = {z = (zn ) ⊂ C : < ∞} với chuẩn ∞ |zn |p z = p , ∀ z = (zn ) ∈ lp n=1 Ta lp có sở trực chuẩn (en ) Thật vậy, với n = 1, 2, ta xét en = (en1 , en2 , , enk , ) enk = với k = n enn = Thế thì, với z = (zn ) ∈ lp ta có ∞ p n=1 |zn | ∞ p n=k+1 |zn | < ∞, limk→∞ = Với k = 1, 2, đặt z k = z1 e1 + z2 e2 + + zk ek = (z1 , , zk , 0, 0, ) Khi ∞ k z −z p |zn |p = n=k+1 ∞ k lim z − z k→∞ p |zn |p = = lim k→∞ n=k+1 32 ∞ n=1 zn en Ta nhận z = limk→∞ z k = Cuối dễ dàng kiểm tra em en = δmn en với m, n ∈ N Vậy (en ) sở trực chuẩn l0 Do đó, phần tử l0 ước tôpô không 2.2.5 Định nghĩa ([8]) Cho A đại số Banach khơng có đơn vị Một dãy suy rộng (ei )i∈I gọi xấp xỉ đơn vị limi xei = limi ei x = x với x ∈ A 2.2.6 Định lý ([8]) Nếu A đại số Banach khơng có phần tử đơn vị A có xấp xỉ đơn vị phần tử A ước tôpô không Chứng minh Đầu tiên từ giả thiết A không chứa phần tử đơn vị suy (ei )i∈I khơng hội tụ Do đó, với ε > i0 ∈ I tồn i1 , i2 i0 cho ei1 − ei2 ε (2.1) Với x ∈ A, ta gọi B(x, δ) hình cầu mở tâm x, bán kính δ Từ (xei ) hội tụ đến x suy với n = 1, 2, ta tìm in ∈ I cho xei ∈ B(0, ) với i in Hơn nữa, nhờ lập luận (2.1) ta tìm n jn , kn ∈ I cho jn in , kn in mà ejn − ekn ε Bây giờ, với n = 1, 2, ta đặt yn = ejn − ekn ejn − ekn Khi yn = với n Hơn nữa, từ ejn − ekn yn x = ejn − ekn yn x = ejn x − x + x − ekn yn x ejn x − x + x − ekn yn x < n 33 suy yn x → Lập luận tương tự ta có xyn → Vì vậy, x ước tơ pơ không Các mệnh đề tiếp sau đưa lớp đại số thỏa mãn Định lý 2.2.6 2.2.7 Mệnh đề Mọi phần tử đại số C0 (I) ước tôpô không Chứng minh Với J ∈ F(I) ta đặt eJ = (eJi )i∈I eJi = với i ∈ J eJi = với i ∈ I \ J Ta (eJ )J∈F(I) xấp xỉ đơn vị C0 (I) Thật vậy, với z = (zi ) ∈ C0 (I) ta có limi |zi | = Khi đó, với ε > 0, tồn J0 ∈ F(I) cho supi∈I\J0 |zi | < ε Với J ∈ F(I) đặt z J = zeJ Khi đó, với J > J0 (tức J0 ⊂ J ta có z J − z = sup |zi | < e i∈I\J z = limJ z J = limJ zeJ Ta nhận (eJ )J∈F(I) dãy suy rộng xấp xỉ đơn vị Nhờ Định lý 2.2.6 ta có phần tử đại số C0 (I) ước tôpô không 2.2.8 Mệnh đề Mọi phần tử đại số lp (I)(p 1) ước tôpô không Chứng minh Với z = (zi )i∈I ∈ lp (I) ta có đó, với ε > 0, tồn J0 ∈ F(I) cho |zi |p < ε i∈I\J0 i∈I |zi |p < +∞ Khi 34 Với J ∈ F(I) ta đặt eJ = (eJi )i∈I eJi = với i ∈ J eJi = với i ∈ I \ J Ta (eJ )J∈F(I) xấp xỉ đơn vị lp (I) Thật vậy, với z = (zi ) ∈ lp (I) J ∈ F(I) đặt z J = zeJ Khi đó, với J > J0 (tức J0 ⊂ J ta có zJ − z p |zi |p < e = i∈I\J z = limJ z J = limJ zeJ Ta nhận (eJ )J∈F(I) dãy suy rộng xấp xỉ đơn vị Nhờ Định lý 2.2.6 ta có phần tử đại số lp (I) ước tôpô không 35 kết luận Luận văn đạt kết sau: 1) Trình bày cách hệ thống số kết mở đầu đại số Banach 2) Trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất ước tôpô phần tử không đại số Banach 3) Trình bày chứng minh chi tiết tồn ước tôpô không lớp đại số Banach Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu bỏ qua chứng minh chứng minh vắn tắt(Mệnh đề 2.2.7, Định lý 2.2.2; Ví dụ 2.2.3; Ví dụ 2.2.4; Định lý 2.2.6; ) 4) Đưa số ví dụ minh họa cho kết quả, thiết lập ví dụ lớp đại số Banach mà phần tử ước tơpơ phần tử khơng (Ví dụ 2.1.3; Mệnh đề 2.2.7; Mệnh đề 2.2.8) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Diệu (2010), Nhập môn đại số đều, Nhà xuất ĐHSP-Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [3] H Alexander and J Wermer (1998), Several complex variables and Banach algebras, Third edition Graduate Texts in Mathematics, 35 Springer-Verlag, New York [4] S Bhatt and H Dedania (1995), Banach algebras in which every element is a topological zero divisor, Proc Amer Math Soc 123, no 3, 735Ọ737 [5] R Meise and D Vogt(1997) Introduction to Functional Analysis, Claderon Press, Oxford [6] A Pietsch (1972) Nuclear Locally Convex Spaces, Springer- Verlag [7] Rudin W (1991), Functional analysis, Second edition International Series in Pure and Applied Mathematics McGraw-Hill, Inc., New York [8] F Schulz, R Brits and M Hasse (2017), Identities, approximate identities and topological divisors of zero in Banach algebras J Math Anal Appl 455, no 2, 1627-1635 ... ƯỚC TÔPÔ CỦA PHẦN TỬ KHƠNG Chương nghiên cứu tính chất bản, tồn ứng dụng ước tôpô phần tử không đại số Banach 2.1 Ước tôpô phần tử không đại số Banach 2.1.1 Định nghĩa ([4, 7]) Cho A đại số Banach. .. tồn ước tôpô phần tử khơng đại số Banach Mục 2.1 trình bày khái niệm, số tính chất ước tôpô phần tử không đại số Banach; đưa số ví dụ minh họa Mục 2.2 nghiên cứu tồn ước tôpô phần tử không lớp đại. .. đại số A phần tử x gọi ước phần tử không tồn y ∈ A cho xy = yx = 0, với y = Nhờ cấu trúc tôpô mà đại số Banach, người ta định nghĩa ước tôpô phần tử không sau: Phần tử y đại số Banach A gọi ước