phân tích ổn định cho tấm chữ nhật bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn với 24 bậc tự do

T r a n g i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan rằng luận văn “PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CHO TẤM CHỮ NHẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN VỚI 24 BẬC TỰ DO” này là công trình nghiên cứu của tôi.. Cụ

T r a n g i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng luận văn “PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CHO TẤM CHỮ NHẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN VỚI 24 BẬC TỰ DO” này là công trình nghiên cứu của tôi

Ngoại trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi cam đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được công bố hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác

Không có sản phẩm/nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong luận văn này mà không được trích dẫn theo đúng quy định

Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trường đại học hoặc cơ sở đào tạo khác

TP HCM, ngày 15 tháng 09 năm 2015

Nguyễn Lê Minh

T r a n g iii

TÓM TẮT

Luận văn này sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24 (Phần tử tứ giác phẳng bốn nút với sáu bậc tự do tại mỗi nút) để phân tích ổn định của tấm chữ nhật Mindlin – Reissner Ảnh hưởng của các đại lượng biến dạng, ứng suất và chuyển vị được tính toán

so với trạng thái ban đầu theo lý thuyết tấm dày của Reissner-Mindlin Nhiều loại tải trọng được đưa vào tính toán bao gồm cả tải phân bố đều và lực cắt Tỷ lệ cạnh của tấm được chứng minh là có tác dụng gây mất ổn định Với lý thuyết phần tử hữu hạn trơn,

ma trận độ cứng uốn được xây dựng dựa trên tích phân biên phần tử, vẫn cho kết quả chính xác ngay cả khi phần tử có dạng tứ giác lõm và giảm sai số khi hệ lưới phần tử thô so với phần tử dựa trên kỹ thuật tích phân trên miền phần tử thông thường

Sử dụng phần mềm Matlab để lập trình mô phỏng tính toán cho một số bài toán tấm điển hình Các kết quả phân tích sẽ được so sánh với các kết quả của những nghiên cứu khác để đánh giá độ tin cậy của phương pháp này

T r a n g iv

ABSTRACT

The static buckling and the dynamic instability analysis of Reissner-Mindlin rectangular plates are studied in this thesis using MISQ24 (Mixed Integration Smoothed Quadrilateral Element with 24 drilling DOFs) The effects of transverse shear deformation and rotary inertia are also included following the Reissner-Mindlin plate theory Numerous kinds of loading are considered including uniform compressive loading, shearing force The aspect ratio of the plate is shown to have a destabilizing effect

A finite element code, written in Matlab, has been developed and solved numerical examples which are compared to published outputs in other studies and good agreement was obtained throughout

T r a n g v

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ··· i

LỜI CẢM ƠN ··· ii

TÓM TẮT ··· iii

ABSTRACT ··· iv

MỤC LỤC ··· v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ··· vii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ··· ix 

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU 1 

1.1 Giới thiệu 1 

1.2 Mục tiêu nghiên cứu 1 

1.3 Phương pháp nghiên cứu 2 

1.4 Ý nghĩa của đề tài 2 

1.5 Tóm tắt các chương trong luận văn 3 

CHƯƠNG 2 TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU 4 

2.1 Sự phát triển các loa ̣i phần tử tấm 4 

2.2 Phân tı́ch tuyến tính hı̀nh ho ̣c kết cấu tấm 4 

2.3 Phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method- SFEM) 5 

2.4 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước 6 

CHƯƠNG 3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8 

3.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tính toán tấm 8 

3.2 Công thức phần tử hữu ha ̣n 9 

3.2.1  Phần tử màng 9 

3.2.2  Tấm chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner 12 

3.3 Phân tích ổn định tĩnh 16 

3.3.1  Xây dựng phần tử hữu hạn cho ma trận phần tử 16

T r a n g vi

3.3.2  Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo 19 

3.4 Phân tích ổn định động 20 

3.5 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ24 22 

3.5.1  Biến dạng màng trơn với bậc tự do xoay (drilling DOF) 24 

3.5.2  Biến dạng trơn uốn 26 

3.5.3  Biến dạng trượt 27 

3.5.4  Ma trận độ cứng trơn 28 

3.5.5  Ma trận độ cứng trơn hình học 28 

CHƯƠNG 4 MÔ PHỎNG SỐ 30 

4.1 Phân tích ổn định tĩnh tấm chữ nhật chịu lực nén một trục 30 

4.2 Phân tích ổn định tĩnh tấm chữ nhật chịu lực nén hai trục 35 

4.3 Phân tích ổn định tĩnh tấm Reissner-Mindlin chịu tác dụng lực cắt trong mặt phẳng 37 

4.4 Phân tích ổn định tĩnh tấm hình bình hành chịu lực nén một trục 38 

4.5 Phân tích ổn định tĩnh tấm hình bình hành chịu lực nén hai trục 43 

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 45 

5.1 Kết luận 45 

5.2 Kiến nghị 45 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 

PHỤ LỤC 55 

T r a n g vii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang

Hình 3.1: Nguyên dạng và biến dạng hình học trên cạnh của tấm theo lý thuyết

biến dạng cắt bậc nhất 08

Hình 3.2: Phần tử đẳng tham số 4 nút với bậc tự do xoay 09

Hình 3.3: Phần tử tấm chịu uốn dạng tứ giác 4 nút 13

Hình 3.4: Phần tử tứ diện bốn nút với 6 bậc tự do mỗi nút MISQ24 23

Hình 3.5: Sự chia nhỏ phần tử ra thành nc phần tử con (subcells) và giá trị hàm dạng tại các nút 23

Hình 3.6: Trung điểm dùng để nội suy các biến dạng trượt ngang 27

Hình 4.1: Tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén một trục 30

Hình 4.2: Tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén một trục với lưới đều và không đều (a) 6x6, (b) 10x10, (c) 14x14, (d) 18x18 31

Hình 4.3: Sự hội tụ của hệ số lực tới hạn 32

Hı̀nh 4.4: Sự ổn định của tấm chữ nhật chia lưới đều và không đều chịu lực nén một trục với h/b=0.05 và các tỷ lệ: (a) a/b=0.5, (b) a/b=1, (c) a/b=1.5, (d) a/b=2, (e) a/b=2.5 34

Hình 4.5: Tấm chữ nhật chịu lực nén hai trục 35

Hı̀nh 4.6: Tấm chữ nhật chia lưới đều và không đều chịu lực nén hai trục 35 Hình 4.7: Sự ổn định của tấm chữ nhật chia lưới đều và không đều chịu lực nén hai trục với a=b=10m, h=0.06m (a) tựa đơn, (b) ngàm 36

Hình 4.8: Tấm chữ nhật liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu tác dụng lực cắt trong mặt phẳng 37

Hình 4.9: Sự ổn định tấm chữ nhật liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu tác dụng lực cắt với a=b=10m 38

Hình 4.10: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén một trục 38

T r a n g viii

Hình 4.11: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chia lưới 14x14 đều

và không đều với tỷ lệ a/b=1 với góc xiên (a) 150, (b) 300, (c) 450 39

Hình 4.12: Sự ổn định của tấm hình bình hành chia lưới đều và không đều với

tỷ lệ h/b=0.05 và góc xiên=450 (a) a/b=0.5, (b) a/b=1.0, (c) a/b=1.5, (d) a/b= 2,

(e) a/b=2.5 42

Hình 4.13: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén hai trục

43

Hình 4.14: Sự ổn định của tấm hình bình hành liên kết tựa đơn chịu lực nén hai

trục chia lưới đều và không đều với (a) a/b=1 và góc xiên= 300 (b) a/b=1 và góc xiên= 450, (c) a/b=2 và góc xiên= 300 (d) a/b=2 và góc xiên= 450 44

Bảng 4.2: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực

nén một trục với các tỷ số a/b và h/b thay đổi 33

Bảng 4.3: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm vuông chịu lực nén hai trục

Bảng 4.7: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn

cạnh chịu lực nén hai trục với h/b=0.001 43

đề phức tạp đòi hỏi phải tính toán lại nhiều lần độ cứng kết cấu với các loại tải trọng khác nhau Công việc này mất rất nhiều thời gian ngay cả với những chiếc máy tính mạnh mẽ nhất Vì vậy, việc tìm kiếm những phương pháp tính toán hiệu quả với độ tin cậy cao trong phân tích ổn định luôn là một nhu cầu thiết yếu

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của nghiên cứu này là nhằm phân tích ổn định của kết cấu tấm bằng phần

tử MISQ24 Cụ thể là phát triển phương pháp phân tích ổn định cho bài toán tấm chữ nhật Mindlin – Reissner dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn với 24 bậc tự do MISQ24 được xây dựng bởi Nguyễn Văn Hiếu [17] với các đặc điểm như

sau:

(i) có thể áp dụng cho vật liệu đẳng hướng

(ii) chịu uốn tốt,

(iii) không bị “Shear locking” khi bề dày phần tử mỏng,

(iv) ít nhạy cảm với phần tử bị méo,

(v) chính xác khi dùng lưới thô,

(vi) đơn giản và dễ tích hợp các luật ứng xử tuyến tính và

(vii) hiệu quả cũng như đáng tin cậy

Qua đó kiểm tra và đánh giá những ưu điểm kể trên của phần tử MISQ24 khi phân tích ổn định kết cấu tấm từ mỏng đến dày vừa phải

T r a n g 2 | 59

1.3 Phương pháp nghiên cứu

Để đánh giá được tính hiệu quả của phần tử MISQ24 cho phân tích phân tích ổn định của kết cấu tấm dày Mindlin - Reissner, một số lý thuyết sau cần được sử dụng: Trước tiên, đề tài sử dụng các công thức ma trận độ cứng phần tử và ma trận độ cứng hình học của phần tử MISQ24 để xây dựng ma trận độ cứng tổng thể của phần tử dựa trên tích phân trên biên phần tử

Tiếp theo đó là lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin- Reissner (First-order shear deformation theory - FSDT) cũng sẽ được áp dụng trong việc xây dựng phần tử

do sự đơn giản trong công thức và khả năng linh động trong tính toán các loại tấm từ dày tới mỏng tương đối

Cuối cùng, lập trình tính toán để mô phỏng các bài toán điển hình về phân tích ổn định của kết cấu tấm Kết quả sẽ được đem so sánh với các kết quả của các nghiên cứu trước đó để đánh giá tính hiệu quả và chính xác khi dùng phần tử MISQ24

1.4 Ý nghĩa của đề tài

Tính mới: Các phương pháp phần tử hữu hạn trơn trước đây chưa kể đến bậc tự

do xoay trong các dạng bài toán phân tích ổn định kết cấu tấm Vì vậy điểm mới của đề tài là việc nghiên cứu và cải tiến cho các kỹ thuật phần tử trơn MISQ24 để phân tích các bài toán tính toán ổn định của kết cấu tấm có lưới đều/không đều một cách tổng quát

Tính thời sự: Việc đề xuất các mô hình phần tử hữu hạn chính xác, hiệu quả và

đáng tin cậy trong phân tích kết cấu tấm luôn là một thách thức trong tính toán cơ học Chính vì vậy mà việc nghiên cứu trong lĩnh vực này luôn mang tính thời sự và nhận được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới suốt nhiều năm qua

Ý nghĩa khoa học: Kết quả nghiên cứu này sẽ tạo cơ sở làm tiền đề cho các nghiên

cứu sâu thêm về ổn định động và ứng xử sau ổn định cho kết cấu tấm Điều này góp phần cho việc tiếp tục cải tiến không ngừng cho các nghiên cứu áp dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24

T r a n g 3 | 59

1.5 Tóm tắt các chương trong luận văn

Chương 1 Mở đầu

Chương này giới thiệu tổng quát về đề tài nghiên cứu

Chương 2 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Chương này tổng hợp những nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài và đánh giá về các ưu điểm, hạn chế của những nghiên cứu đó

Chương 3 Cơ sở lý thuyết

Chương này trình bày cách xây dựng phần tử MISQ24 theo Nguyễn Văn Hiếu [17], lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin-Reissner

Chương 4 Mô phỏng số

Chương này trình bày kết quả của các mô phỏng số cho các bài toán tiêu biểu về phân tích ổn định kết cấu tấm cùng với sự so sánh, nhận xét các nghiên cứu tương tự trước đây

Chương 5 Kết luận và kiến nghị

Chương này trình bày các kết luận dựa trên kết quả đã đạt được đồng thời nêu ra kiến nghị cho những nghiên cứu kế tiếp

vì tính chất dễ kết hợp với các loại phần tử khác cũng như sự đơn giản trong công thức

và hiệu quả trong tính toán

2.2 Phân tı́ch tuyến tính hı̀nh ho ̣c kết cấu tấm

Phân tích sự làm việc tuyến tính hình học của các kết cấu có dạng tấm/vỏ đóng vai trò rất quan trọng trong việc đánh giá bản chất ứng xử của chúng khi có biến dạng lớn Những phương pháp mô phỏng số như phần tử hữu hạn đã được phát triển và sử dụng rộng rãi trong khảo sát phi tuyến hình học các dạng kết cấu này với các dạng hình học phức tạp và tải trọng khác nhau Các nghiên cứu báo cáo quốc tế về lĩnh vực này rất nhiều và rất khó có thể liệt kê chi tiết đầy đủ ở đây Nội dung trình bày sau đây sẽ cung cấp mô ̣t cái nhı̀n tổng quan về vấn đề này

Đầu tiên, kết cấu tấm/vỏ được phân tı́ch tuyến tı́nh bởi Clough và Tocher [10] và

Zienkiewicz [55] Phần tử đẳng tham số với hê ̣ to ̣a đô ̣ tự nhiên kết hợp với ma trâ ̣n

Jacobi và phép cầu phương Gauss cũng được áp du ̣ng cho phân tı́ch tuyến tính kết cấu Lúc đầu, tı́ch phân được thực trên suốt chiều dày phần tử, nhưng sau đó để giảm thời gian tı́nh toán, người ta chı̉ thực hiê ̣n điều này khi phân tı́ch cho vâ ̣t liê ̣u tuyến tính

Mô ̣t vấn đề quan tro ̣ng đươ ̣c xem xét bởi nhiều tác giả là bâ ̣c tự do thứ sáu xoay quanh tru ̣c z vuông góc với mă ̣t phẳng phần tử, hay còn go ̣i là ‘Drilling rotation’ Trong công thức cổ điển của tấm chịu lực màng (Membrane), ta chı̉ có 5 bâ ̣c tự do trong đó có

2 bâ ̣c tự do xoay quanh 2 tru ̣c x, y Tuy nhiên, để xây dựng được ma trâ ̣n chuyển từ hê ̣

to ̣a đô ̣ đi ̣a phương sang hê ̣ to ̣a đô ̣ tổng thể cũng như để thực hiê ̣n ghép nối ma trâ ̣n giữa các phần tử, bâ ̣c tự do thứ sáu cần được kể đến Khi đó ta có sáu bâ ̣c tự do ta ̣i mô ̣t nút trong đó có 3 bâ ̣c tự do xoay quanh 3 tru ̣c Để vượt qua vấn đề này, mô ̣t số tác giả đã đề xuất dùng kỹ thuâ ̣t đô ̣ cứng lò xo giả ta ̣o, như Zienkiewicz và Providas [45],[56] hoặc

T r a n g 5 | 59

sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24 Cho đến hiện nay các kỹ thuâ ̣t này cho kết quả chính xác với phân tı́ch tuyến tı́nh

2.3 Phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method- SFEM)

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method viết tắt FEM) được đề xuất và phát triển bởi Giáo sư G.R Liu và các cộng sự tại trung tâm tính toán kỹ thuật cao (ACES) thuộc đại học quốc gia Singapore (NUS) Phần lớn những

S-nghiên cứu ứng dụng của phương pháp này giới hạn trong phân tích tuyến tính [30-36]

S-FEM được đề cập đến như là một lớp đặc biệt của thuật toán mô phỏng số để mô phỏng các hiện tượng vật lý Nó được phát triển bằng cách kết hợp phương pháp không lưới (meshfree method) với phương pháp phần tử hữu hạn S-FEM được áp dụng cho

cơ học vật rắn cũng như động lực học chất lỏng, nhưng cho đến nay chủ yếu áp dụng cho các bài toán cơ học vật rắn

Ý tưởng cơ bản trong S-FEM là sử dụng lưới phần tử hữu hạn (đặc biệt là lưới tam giác) để xây dựng các mô hình số có hiệu suất tốt Điều này có thể đạt được bằng cách thay đổi trường biến dạng tương thích, hoặc xây dựng trường biến dạng chỉ sử dụng các chuyển vị, đặt hy vọng vào mô hình Galerkin sử dụng trường biến dạng xây dựng/cải tiến có thể đem lại các hiệu quả khả quan Việc cải tiến/xây dựng như vậy có thể được thực hiện bên trong các phần tử nhưng thường lại là bên ngoài các phần tử (khái niệm không lưới): mang lại những thông tin từ các phần tử lân cận Thông thường, trường biến dạng phải đáp ứng các điều kiện nhất định, và dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn cần được sửa đổi cho phù hợp để đảm bảo sự ổn định và hội tụ

Sự phát triển của S-FEM bắt đầu từ những công trình về phương pháp không lưới, phát triển công thức “weaken weak” (W2) dựa trên lý thuyết không gian G Công thức W2 cung cấp khả năng xây dựng các mô hình "mềm" khác nhau (đồng dạng) hoạt động tốt với lưới tam giác Vì lưới tam giác có thể được tạo ra tự động, việc chia lại lưới và

do đó tự động hóa trong việc mô hình và mô phỏng trở nên dễ dàng hơn nhiều Ngoài

ra, mô hình W2 có thể được tạo đủ mềm (đồng dạng) để cho ra các nghiệm cận trên (đối với các bài toán động lực) Cùng với mô hình cứng (chẳng hạn như các mô hình FEM tương thích hoàn toàn), có thể cho ra biên nghiệm số từ cả hai cận một cách thuận lợi

T r a n g 6 | 59

Điều này dễ dàng cho phép ước lượng sai số cho các bài toán phức tạp tổng quát, miễn

là có thể tạo ra được lưới hình tam giác Mô hình W2 điển hình là phương pháp nội suy điểm trơn (Smooth Point Interpolation Methods hoặc S-PIM) S-PIM có thể là trơn nút (Node based PIM hay còn gọi là NS-PIM hoặc LC-PIM), trơn cạnh (ES-PIM), và trơn phần tử (CS-PIM) NS-PIM được phát triển bằng cách sử dụng kỹ thuật gọi là SCNI (stabilized conforming nodal integration) Sau đó NS-PIM được phát hiện có khả năng cho ra nghiệm cận trên và không bị khóa cứng do biến dạng thể tích (volumemetric locking free) ES-PIM cho thấy có độ chính xác cao, và CS-PIM nằm giữa NS-PIM và ES-PIM Hơn nữa, công thức W2 cho phép sử dụng các hàm cơ sở xuyên tâm và đa thức trong việc tạo các hàm dạng (bao gồm các hàm chuyển vị liên tục, miễn là hàm nằm trong không gian G1), mở rộng không gian phát triển hơn nữa trong tương lai

FEM gần như là phiên bản tuyến tính của PIM, với hầu hết các tính chất của PIM và đơn giản hơn nhiều S-FEM cũng có các biến thể NS-FEM, ES-FEM và CS-FEM Các tính chất chủ yếu của S-PIM cũng có thể tìm thấy ở S-FEM

S-Phần tử MISQ24 của tác giả Nguyễn Văn Hiếu [17] đã được phát triển song song

từ những nghiên cứu của Nguyễn Xuân Hùng và các cộng sự [22] dựa trên phần tử tấm

tứ giác được làm trơn dùng cho phân tích tuyến tính với 6 bậc tự do tại mỗi nút, trong

đó có kể đến bậc tự do thứ 6 xoay quanh trục z Khi phân tích kết cấu tấm/vỏ, phần tử MISQ24 cho kết quả chính xác hơn đối với độ cứng của kết cấu so với phần tử MISQ20 (5 bậc tự do ở mỗi nút), nó cũng giải quyết được hiện tượng “locking” khi bề dày tấm mỏng, lưới thô vẫn cho kết quả chính xác hơn

2.4 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước

Vấn đề phân tích kết cấu tấm là một vấn đề rất phức tạp và được rất nhiều tác giả trong nước nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau, để cho ra những kết quả phân tích chính xác nhất Tình hình nghiên cứu trong nước trong những năm gần đây về vấn đề phân tích kết cấu tấm, nội dung sau đây sẽ trình bày sơ lược về vấn đề này của một số tác giả

Tiến sĩ Nguyễn Văn Hiếu và cộng sự [18],[19] đã phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm vỏ bằng phương pháp phần tử hữu hạn dùng phần tử tứ giác trơn [17] Lý thuyết

T r a n g 7 | 59

chuyển vị lớn của Von-Karman và cách tiếp cận Total Lagrangian được sử dụng trên cơ

sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Kết quả phân tích cho thấy kỹ thuật phần tử hữu hạn trơn giúp cho kết quả tính toán vẫn chính xác ngay cả khi lưới phần tử có hình dạng méo hay thô

Ngoài ra Tiến sĩ Nguyễn Văn Hiếu và cộng sự [20] còn tiếp tục nghiên cứu phát triển phần tử tứ giác phẳng với bậc tự do thứ 6 xoay quanh trục z và kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn Kết quả của nghiên cứu này cho thấy độ chính xác ngay cả với những phần tử lưới không đều Tuy nhiên nghiên cứu này chỉ dừng lại ở vấn đề phân tích tuyến tính của kết cấu tấm/vỏ

Tác giả Nguyễn Hoài Nam [40] cũng phân tích vấn đề trên bằng phương pháp phần

tử hữu hạn trơn MISQ20 [17] Nghiên cứu này phát triển khả năng ứng dụng của phần

tử MISQ20 với 5 bậc tự do tại nút cho phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm/vỏ với quan hệ phi tuyến giữa tải trọng và chuyển vị có dạng Snap - through, Snap - back

và các dạng phức tạp khác Kết quả phân tích của nghiên cứu cho thấy độ chính xác với trường hợp lưới không đều và lưới thô Trong nghiên cứu này tác giả chỉ sử dụng phần

tử MISQ20 với 5 bậc tự do tại nút và bậc tự do thực sự quay quanh trục z chưa được kể đến

Tương tự như tác giả Nguyễn Hoài Nam, tác giả Bạch Quang Trung [51] mở rộng nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử MISQ24 với 6 bậc tự do tại nút

Ngoài ra tác giả Nguyễn Thời Trung [52] còn sử dụng phương pháp phần tử trơn cắt khoảng (cell-based smoothed discrete shear gap method CS-DSG3) để phân tích tĩnh

và phân tích rung động của tấm Reissner – Mindlin Phương pháp này sử dụng kỹ thuật trơn kết hợp với phương pháp cắt khoảng (Shear gap) với phần tử 3 nút tam giác Nhờ

đó cũng giải quyết được hiện tượng “shear Locking” và kết quả phân tích của nghiên cứu này cho thấy giải pháp chính xác trong việc phân tích tấm

Phương pháp phần tử trơn 3 nút được tác giả Phùng Văn Phúc [44] sử dụng trong phân tích phi tuyến tấm dựa trên cơ sở lý thuyết tấm Mindlin Lý thuyết phi tuyến được xây dựng dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và chuyển vị lớn Von – Karman

T r a n g 8 | 59

CHƯƠNG 3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tính toán tấm

Đối với các tấm mỏng, lý thuyết tấm cổ điển dựa trên những giả thiết của Kirchhoff

mà biến dạng cắt được bỏ qua, vẫn cho kết quả khá chính xác Theo đó, các thành phần chuyển vị được tính theo chuyển vị tại mặt trung hòa u0,v0,w0:

0 0 0

0 0 0

x y

3.2 Công thức phần tử hữu ha ̣n

3.2.1 Phần tử màng

Phần tử màng có kể đến bậc tự do xoay quanh trục z trong mặt phẳng tấm được

mô phỏng bởi phần tử đẳng tham số bốn nút, mỗi nút có 3 bâ ̣c tự do là 2 chuyển vi ̣ u, v theo 2 phương x, y tương ứng, và zxoay quanh trục z như hình 3.2

Hı̀nh 3.2 Phần tử đẳng tham số 4 nút với bậc tự do xoay

T r a n g 10 | 59

Chuyển vi ̣ u, v theo 2 phương x, y và z xoay quanh trục z được nô ̣i suy từ chuyển

vi ̣ của bốn nút u , i v , i z bởi các hàm nô ̣i suy i N i

ij i

y u

u

x v

q là vector chuyển vi ̣ nút phần tử và B là ma trâ ̣n quan m

hệ giữa biến da ̣ng và chuyển vị màng

T r a n g 11 | 59

00

Hàm floor là làm tròn về âm vô cùng

Hàm mod là lấy phần dư của phép chia

Nếu xét vâ ̣t liê ̣u đàn hồi, đẳng hướng, tuyến tı́nh thı̀ ứng suất sẽ được tı́nh

T r a n g 12 | 59

Với

12121

i, k, l, m được xác định như trong công thức (3.15)

Và vector lực nút của phần tử: T

3.2.2 Tấm chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner

Lý thuyết tấm Mindlin hoặc lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tấm bao gồm các ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang Nó có thể được coi là một phần mở rộng của lý thuyết Timoshenko cho tấm chịu uốn Sự khác biệt chính đối với lý thuyết Kirchhoff cho tấm mỏng là trong lý thuyết Mindlin các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng vẫn thẳng, nhưng không nhất thiết phải vuông góc với mặt trung hòa khi biến dạng

Tấm chịu uốn có kể đến biến dạng cắt theo lý thuyết của Mindlin-Reissner được

mô phỏng bởi phần tử tứ giác đẳng tham số với 3 bậc tự do tại mỗi nút 1 bậc tự do là chuyển vị thẳng đứng theo trục z, 2 bậc tự do còn lại là 2 chuyển vị xoay x,y xoay quanh trục y và trục x tương ứng

T r a n g 13 | 59

Hı̀nh 3.3 Phần tử tấm chịu uốn dạng tứ giác 4 nút

Các thành phần chuyển vị cũng được nô ̣i suy từ thành phần chuyển vi ̣ tương ứng của bốn nút bởi các hàm nô ̣i suy N i

4 1

Và qi  w i xi yi là vector chuyển vị nút của phần tử

Biến dạng uốn trong mặt phẳng phần tử được xấp xỉ từ chuyển vị nút phần tử theo công thức

i ,x i si

trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt, ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển

vị hình học

Mối quan hệ đàn hồi tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng trong mặt phẳng phần

tử khi uốn trong trường hợp vật liệu đồng chất đẳng hướng được thể hiện như sau:

Thế năng toàn phần của phần tử tấm chịu uốn  bởi lực phân bố đều trên diện p

tích p, được tính theo công thức

Với hệ số điều chỉnh k s 5 6 cho vật liệu đẳng hướng

Thế các phương trình từ (3.23) đến (3.28) của biến dạng do uốn và do trượt vào phương trình (3.29), thế năng toàn phần của phần tử được viết lại như sau

Trong đó J là định thức của Ma trận Jacobi

Và vector lực nút được tổng hợp theo hàm dạng

Cả tích phân ma trận độ cứng và vector lực được tính bằng tích phân số Tích phân

độ cứng được giải bằng cách sử dụng phần tử Q4, cầu phương Gauss 2 × 2 cho phần uốn và 1 điểm cho phần cắt Tích phân có chọn lọc này được chứng minh là một trong những biện pháp khắc phục đơn giản nhất để tránh “shear locking”

T r a n g 16 | 59

3.3 Phân tích ổn định tĩnh

3.3.1 Xây dựng phần tử hữu hạn cho ma trận phần tử

Thế năng toàn phần có thể được viết như sau:

N x N y

1 2 3 4

s

i i si

i

i

N N x N

N y

trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt, ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển

vị hình học Cùng với ma trận ứng suất được thể hiện như sau:

T r a n g 19 | 59

3.3.2 Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo

Theo kỹ thuật phần tử hữu hạn, kết cấu đang xét được xấp xỉ bằng cách phân chia vật lý nó thành các phần tử hữu hạn được liên kết với nhau tại các nút sao cho việc liên kết các phần tử càng giống cấu trúc ban đầu càng tốt

Các phương trình chuyển động chủ đạo cho phần tử có thể thu được bằng cách sử dụng phương trình Lagrange (Hutt và Salam [23]):

Trường hợp được xét ở đây bao gồm một tấm hình chữ nhật (a x b) chịu tải trọng

phân bố đều trong mặt phẳng Tải được thể hiện là nén tự nhiên Đảo chiều tải sẽ thành bài toán tải chịu kéo tương ứng Các biên của tấm là liên kết tựa đơn dọc theo các cạnh

Ba thành phần chuyển vị, w, x,y được quy định tại mỗi nút Giả thuyết Mindlin được áp dụng bao gồm các tác động của biến dạng trượt ngang và quán tính quay Cuối cùng chúng ta có phương trình ma trận chủ đạo về chuyển động cho toàn tấm như sau:

T r a n g 20 | 59

Phương trình (3.55) đại diện cho bài toán tìm các giá trị riêng Các giá trị riêng là tải trọng ổn định tới hạn P crcho phương trình (3.55) Các vector riêng tương ứng với các hàm dạng cho trạng thái ổn định Hàm dạng được xác định bằng số mode mn của

nó, trong đó m là số nửa sóng xấp xỉ theo hướng x và n là số nửa sóng xấp xỉ theo phương y

3.4 Phân tích ổn định động

Có rất nhiều phương pháp số được sử dụng để giải quyết bài toán động lực học Một vài cái tên có thể kể đến là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), sau đó là phương pháp phần tử ranh giới (BEM), các phương pháp Không lưới, phương pháp Ma trận độ cứng động lực (DSM) và Phương pháp phần tử hữu hạn quang phổ v.v

Ý tưởng chính của các phương pháp là ranh giới để rời rạc ranh giới của miền chứ không phải là phần bên trong Do đó, kích thước của hệ phương trình rời rạc được giảm thiểu và thời gian tính toán ít đi nhiều so với phương pháp phần tử hữu hạn (Beer [3]) BEM đã được áp dụng để phân tích ổn định của tấm (Syngel-Lakis và Elzein [48]) Trái với phương pháp dựa trên phần tử như FEM, BEM, phương pháp Không lưới

sử dụng các nút không lưới rải rác để xây dựng dạng xấp xỉ Vì vậy, tránh được việc dựng lại lưới khi mô phỏng lan truyền vết nứt; các bài toán biến dạng lớn có thể được

xử lý một cách dễ dàng Phương pháp Không lưới gần đây đã được áp dụng cho bài toán động lực học, ví dụ như công trình của Liu và Chen [36]

Trong khi các phương pháp phần tử hữu hạn thường sử dụng các hàm đa thức để xấp xỉ trường các biến ví dụ như chuyển vị, phương pháp ma trận độ cứng động lực trực tiếp sử dụng nghiệm của bài toán đang được xem xét để xây dựng mô hình ma trận Phương pháp này đã cho thấy độ chính xác rất cao so với phương pháp phần tử hữu hạn thông thường khi giải các bài toán liên quan đến động lực học kết cấu

Đối với hầu hết các kết cấu, khi nghiệm chính xác không tồn tại, hoặc nghiệm chính xác vì lý do nào không thể sử dụng kết hợp với DSM thì được đề xuất phương pháp phần tử hữu hạn quang phổ Phương pháp phần tử hữu hạn quang phổ dựa trên cách tiếp cận ma trận độ cứng động lực, nhưng nó sử dụng các hàm thử theo cấp số nhân hoặc hình sin trực tiếp, bất kể có nghiệm chính xác Kết quả là ma trận độ cứng và khối

Đối với bài toán tải trọng động, tải tác dụng P tuần hoàn và có thể được biểu diễn dưới dạng

Trong đó P s là phần tĩnh của P, P t là biên độ của phần động của P và tần số của phần năng động của P Phân bố ứng suất trong tấm sẽ không đồng đều và tuần hoàn và bất kỳ phần tử nào cũng sẽ phải chịu ứng suất trong mặt phẳng

Thông thường, P cr được xem như tải trọng tham chiếu Thế vào phương trình (3.54) thì thu được phương trình sau đây dưới dạng ma trận:

 P cr s P cos t cr t   0

Phương trình trên đại diện cho một hệ thống các phương trình vi phân bậc hai với

hệ số chu kỳ theo loại Mathieu-Hill Ranh giới của các vùng bất ổn động được hình thành bởi nghiệm của chu kỳ T và 2T, trong đó 2

Phương trình trên đại diện cho bài toán giá trị riêng cho các giá trị đã biết của ,

 và P cr Hai điều kiện với dấu cộng hoặc trừ tương ứng với hai ranh giới của các vùng bất ổn định động Các giá trị riêng là  cho biết tần số ranh giới của các vùng bất ổn với các giá trị  và  đã cho

3.5 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ24

Trong những năm gần đây, nhiều phương pháp đã ra đời để giải quyết cái bài toán kết cấu tấm Tuy lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được sử dụng rộng rãi vì sự đơn giản, khả năng cân bằng giữa độ chính xác và độ phức tạp khi tính toán, cũng như tính đa dạng vì có thể áp dụng cho tấm từ mỏng đến dày vừa phải, nó vẫn gặp nhiều khó khăn khi tấm không có hình dạng chữ nhật và tình trạng “shear-locking” Từ đó nhu cầu về một phần tử tứ giác có thể hoạt động hiệu quả khi kết cấu có dạng méo đã xuất hiện xuất phát từ các bài toán ngoài thực tế với các dạng hình học không như thông thường Để nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này, kỹ thuật biến dạng trơn từ phương pháp không lưới SCNI đã được giới thiệu và sử dụng Tiếp theo đó, phần tử tấm tứ diện bốn nút với

6 bậc tự do ở mỗi nút được đặt tên là MISQ24 (Mixed Interpolation Smoothing

T r a n g 23 | 59

Quadrilateral element with 24 DOFs) được hình thành với sự kết hợp của 3 bậc tự do từ phần tử màng u, v, zvà 3 bậc tự do từ phần tử tấm chịu uốn w, x,y như đã được giới thiệu ở phần 3.2 để mô hình và phân tích sâu hơn về kết cấu tấm Đặc trưng nổi bật nhất của phần tử này là ma trận màng, ma trận uốn và ma trận độ cứng hình học đều được tính toán dựa vào tích phân trên biên của phần tử trơn Chính nhờ tích phân biên này đã giúp đảm bảo độ chính xác ngay cả với lưới thô hoặc khi các phần tử tứ giác có dạng lồi lõm so với phần tử dựa trên kỹ thuật tích phân trên miền phần tử thông thường

Hı̀nh 3.4 Phần tử tứ diện bốn nút với 6 bậc tự do mỗi nút MISQ24

Phần tử MISQ24 được phát triển dựa trên kỹ thuật phần tử hữu hạn biến dạng trơn giả định trong khuôn khổ của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Nhờ vậy, kết quả tích phân số có độ chính xác cao hơn ngay cả phần tử có hình dạng xấu giúp làm giảm thời gian tính toán so với kỹ thuật tích phân miền thông thường

Hı̀nh 3.5 Sự chia nhỏ phần tử ra thành nc phần tử con (subcells) và giá trị hàm dạng

tại các nút