Tổ chức thí nghiệm trực diện nhằm kích thích hứng thú học tập phát huy tính tích cực, tự lực, cho học sinh dân tộc nội trú khi dạy phần “điện tích, điện trường” và “dòng điện không đ� .pdf

Tổ chức thí nghiệm trực diện nhằm kích thích hứng thú học tập phát huy tính tích cực, tự lực, cho học sinh dân tộc nội trú khi dạy phần “điện tích, điện trường” và “dòng điện không đ� .p

Chương 3: Tối ưu hàm E-lồi……… 58

3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E-lồi……… 58

3.2 Một số kết quả cho bài toán  PE ……… … 59

3.3 Một số kết quả cho bài toán  PE ……… … 63

Kết luận……… 69

Tài liệu tham khảo……… 70

LỜI NÓI ĐẦU

Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G B Dantzig, giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh

điển như Convex Analysis của R T Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming

của O L Mangasarian (1967),

Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi Vì vậy, ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm lồi Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế

Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E-lồi do Ebrahim A Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]) Khái niệm hàm E-lồi là mở rộng khá tự nhiên của lớp hàm lồi

Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là lớp hàm ,E E1, 3-lồi trên tập ,E E1, 2-lồi Khái niệm ,E E1, 2-lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E-lồi (tậpE-lồi, tập E-lồi mạnh, hàm E-lồi, hàm E-lồi mạnh, hàm semi hàm E-lồi,…)

Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo Chương 1: Tập ,E E1, 2-lồi

Chương 2: Hàm ,E E, -lồi

Chương 3: Tối ưu hàm E-lồi

Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại một số nghiên cứu về lớp hàm E-lồi, vì vậy khái niệm ,E E1, 2-lồi có lẽ cũng đáng được quan tâm

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy

Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học

Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình

Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, ngày 19.8.2010

Ngô Thị Thu Trang

Định nghĩa 1.1

M  và ánh xạ E: n n Tập M được gọi là E-lồi trên tập

E-lồi M (tương ứng với ánh xạ E) nếu với mọi ,x yM và  0,1 ta có ( ) (1 ) ( )

    (1.1) Rõ ràng, tập lồi là tập E-lồi với EI là ánh xạ đồng nhất ( ( )I x  x với mọi

x ) Do đó, khái niệm E-lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi Ta có

Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2)

Nếu M là tập E-lồi thì (E M)M Ta có một số nhận xét sau

Nhận xét 1.1

Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ

E nào đó Nói cách khác, ánh xạ E có thể làm biến dạng tập M (làm mất những tính chất đẹp của tập E)

Ánh xạ E: n n được cho bởi công thức   12 121

E x E x x  xx  Khi ấy E M  là hợp của hai tam giác AOB và COD nên không là tập lồi (Hình 1.1)

Tuy nhiên, vì M là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi ,

x yM và  0,1 Do đó M là tập E-lồi

Hình 1.1 Nhận xét 1.2

Tập M và ánh xạ E có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn Nói cách khác, M không phải là E-lồi

Hình 1.2

E A Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập E-lồi mạnh như sau Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17])

M  được gọi là E-lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ E: n n)

nếu với mọi ,x yM ,  0;1 và  0,1 ta có  xE x( ) (1 ) yE y( ) M

        (1.2) Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm E-lồi và E-lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E-lồi và hàm E-lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi đưa ra khái niệm tập ,E E1, 2-lồi sau đây

Định nghĩa 1.3 ([9])

Cho trước tập n

M  , hai ánh xạ E1,2: n n và số  Tập M được gọi là ,E E1, 2-lồi nếu với mọi ,x yM và  0,1 ta có

 xE x1( ) (1 ) yE y1( ) E M2 

        (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi  0;1 thì ta nói M là tập E E1, 2-lồi mạnh

Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với  0 thì ta nói M là tập E E, -lồi

M  x x   x x  là một hình vuông trong  2 Cho E1,2:2 2 được xác định theo công thức E x1   0,x2;

E x  x  x với mọi  21, 2

x x x  ; nghĩa là E1 là phép chiếu (vuông góc) từ  2 xuống trục tung, còn E2 là một ánh xạ tuyến tính giữ nguyên tọa độ x2, tọa độ x1 được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị (E x2   z z1, 2 với z1  x1 2;z2 x2)

Chứng tỏ M không phải là tập 1,E E1, 2-lồi

Chứng tỏ M cũng không phải là tập 0,E I1, -lồi, tức là M không phải là tập 1

E -lồi (khái niệm 0,E I1, -lồi trùng với khái niệm E1-lồi) Do đó M cũng không phải là tập E1-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2

1, , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0, 1

, , 0,0 0, 3 2, 1 , , , 0; 1

ii

Hình 1.3 Ví dụ 1.5

Cho E1,2: 2 2;  2112112

Tập M không là tập lồi (xem Hình 1.3) và cũng không là 1,E E1, 2-lồi Thật vậy, chọn x 0,3 , y   2, 1 và 1

Kết luận

Các ví dụ trên chứng tỏ một tập có thể là ,E E1, 2-lồi với   1 và không là ,E E1, 2-lồi với   2 nào đó Tuơng tự, một tập có thể là ,E E1, 2- lồi với E2 này nhưng không là ,E E1, 2-lồi với E2 khác Như vậy, một tập có thể không lồi theo nghĩa thông thường, nhưng có thể là ,E E1, 2-lồi với một bộ ,E E1, 2 nào đó Điều này cho phép mở rộng các khái niệm và kết quả của giải tích lồi sang cho giải tích ,E E1, 2-lồi Tuy nhiên, do các ánh xạ E E1, 2 được chọn tương đối tùy ý, nên ảnh của tập M có thể bị biến dạng mạnh và do đó ảnh của tập lồi có thể bị bóp méo và trở thành tập không lồi

theo nghĩa thông thường (mặc dù có thể là E-lồi) Điều này dẫn đến lưu ý rằng, mặc dù về mặt hình thức, khái niệm tập ,E E1, 2-lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi, không có nghĩa là, khái niệm tập ,E E1, 2-lồi phản ánh đúng thực chất cấu trúc của tập mà ta đang quan tâm Dẫu sao nghiên cứu tập

M qua ảnh (E M)của nó có thể cho phép ta hiểu tốt hơn về tập M

Trường hợp 1: E M1( ) là tập lồi Khi ấy với mọi  0,1 ta có  

1( ) (1 ) 1( ) 1

Mặt khác, E M1( )E M2  nên E x1( ) (1 )E y1( )E M1 E M2  với mọi  0,1 Vậy M là tập E E1, 2-lồi

Trường hợp 2: E M2( ) là tập lồi Vì theo giả thiết E M1( )E M2  nên với mọi điểm x y, bất kỳ thuộc M ta luôn có E x1( )E M1 E M2 và

Hệ quả 1.1 (Grace-Thangavelu, 2009, [7], Proposition 2.3)

Giả sử ( )E M là tập lồi Nếu (E M)M thì M là E-lồi

Mệnh đề 1.4

Giả sử E1: n n là ánh xạ tuyến tính, và E2: n n thỏa mãn tính chất E M2 1 E M2 2 E M2 1M2; M1,2  n là các tập E E1, 2-lồi Khi ấy M1M2 cũng là E E1, 2-lồi

1( ) 1( 12) 1112

và E y1( )E y1( 1y2)E y1 1 E y1 2 Do M1 n là tập E E1, 2-lồi nên

Giả sử E1,2:n  n là các ánh xạ tuyến tính, các tập M ii, 1,m là

E E1, 2-lồi Khi ấy với mọi bộ số thực ti tập

 Vì E1 là ánh xạ tuyến tính nên ta có

 là tập E E1, 2-lồi

Nếu E2 I và E1 E thì ta có

Hệ quả 1.3 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.1)

Hệ quả 1.4 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.1)

Giả sử :nn

E   là ánh xạ tuyến tính, ( )E a a với một số thực a nnào đó và M là tập E-lồi Khi ấy M a cũng là tập E-lồi

Nhận xét 1.9

Điều kiện E M2  aE M2 a nói chung không phải lúc nào cũng đúng

Thí dụ, cho M  0;1 ; a1 Khi ấy tập M  a  1;2  Ánh xạ 2:

E  được cho bởi công thức

0, khi 0;( )

1, khi 0.

xE x

Lấy x x1, 2 bất kỳ thuộc tập M1M2 Khi đó ta có x x1, 2M1 và x x1, 2M2

Do M là các tập 1,2 ,E E1, 2-lồi nên với mọi  0,1 ta có

Khi ấy f M 1M2  f(0)   1 và f M 1  f M 2  0;1 Chứng tỏ f M 1M2 f M 1  f M 2

Tuy nhiên, nếu E2 I và E1E thì ta có

Hệ quả 1.5 (Younes, 1999, [14], Proposition 2.4)

M  là các tập ,E E1, 2-lồi, trong đó jJ là tập chỉ số bất kì Nếu ta có E M2 1M2E M2 1 E M2 2 thì j

M  là các tập E-lồi, trong đó jJ là tập chỉ số bất kì Khi ấy

jj J

 cũng là tập E-lồi

 

 

1 0,0 0,0

E  ,E1 2,1  0,3 ,E1 0,3  2,1 , vậy E M1 1 M1 Ta cũng có E1 2, 10, 3 ,E10, 3    2, 1, vậy E M1 2 M2 Do đó M1 và M2 là hai tập E E1, 2-lồi Nhưng M1M2 không phải là tập

E E1, 2-lồi vì với 12

Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được M là E1E E1, 2-lồi Nếu E2 I và E1 E thì ta có

Hệ quả 1.7 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.1)

Nếu n

M  là tập E-lồi và E-lồi thì M cũng là E E -lồi và E -lồi E

Mệnh đề 1.9

Cho E1,2: n n và E1,2 :m m là các ánh xạ bất kì, A: n  là mánh xạ affine sao cho E1A A E 1 và E2 AA E 2 Khi ấy nếu n

Hệ quả 1.8 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.3)

Cho E:n  và nE:m  là các ánh xạ bất kì, mA:n  là ánh xạ maffine sao cho EAA E

Khi ấy nếu n

Hệ quả 1.9 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.2)

Chứng minh

Lấy z1x y1, 1,z2 x y2, 2M1M2 Khi đó x x1, 2M1 và y y1, 2M2 Vì Mi, i1,2 là tập E E1i, 2i-lồi nên

hay E11  x1  1   E11 x2 ;E12  y1  1   E12 y2 E M2 1M2.Vậy M M1M2 là E E1, 2-lồi

E   được gọi là ánh xạ chiếu (Projection) nếu nó là affine và

lũy đẳng, nghĩa là E t x 1 1t x2 2t E x1  1 t E x2  2 với mọi t1,2 và mọi 1,2

E  E x  E y  Ex  Ey  E x  E y Theo giả thiết E1E2 M E M1 nên

E   E M    E E M    E M Vậy từ (1.6), với mọi i 0, 1 2 0 ta có

 1 2E M1( )1E M1 2E M1  Nếu E2 I và E1 E thì ta có

Hệ quả 1.11 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.2)

Giả sử E1: n n là ánh xạ chiếu, M là tập E-lồi Khi ấy ta có

Khi EI thì ta có khái niệm tổ hợp lồi của các điểm thuộc tập M trong giải tích lồi Trong giải tích lồi ta đã biết, tổ hợp lồi đóng vai trò quan trọng trong đặc trưng tính lồi của tập hợp Dưới đây chúng ta mở rộng kết quả về đặc trưng tập lồi qua tổ hợp lồi cho tổ hợp E-lồi

Mệnh đề 1.13

Giả sử n

M  và E1:n n là ánh xạ sao cho E M1( ) hoặc E M2( )là tập lồi Khi ấy M là E E1, 2-lồi khi và chỉ khi với mọi xiM, với mọi số tự nhiên m và với mọi bộ số thựci có tính chất i 0, và

mii

Vậy nếu E M1  là tập lồi thì với mọi  11

0, 1,1

 nên theo giả thiết qui nạp ta có

1E x11 kE x1 kk 1E x1 k 1 E M2

Chứng tỏ nếu E M1( ) hoặc E M2( )là tập lồi và M là E E1, 2-lồi thì (1.8) được nghiệm đúng

Ngược lại, giả sử (1.8) đúng Ta có

M  và E: n  là ánh xạ sao cho (nE M là tập lồi Khi ấy )

M là E-lồi khi và chỉ khi với mọi xiM, với mọi số tự nhiên m và với mọi bộ số thựci có tính chất i 0, và

Khái niệm tập ,E E1, 2-lồi là mở rộng tự nhiên và hợp lí của khái niệm tập

E-lồi và tập E-lồi mạnh Các tính chất của tập ,E E1, 2-lồi được chứng minh trong chương này cho thấy, tập ,E E1, 2-lồi đủ rộng và đủ tốt để có thể ứng dụng được vào trong các bài toán tối ưu Khái niệm tập ,E E1, 2-lồi là cơ sở để xây dựng khái niệm hàm ,E E1, 2-lồi trong chương 2

Một số khái niệm và kết quả khác của giải tích lồi (E-bao lôi và E-nón) cũng đã được mở rộng cho tập E-lồi (xem [6])

Chương II Hàm ,E E1, 3-lồi

Hàm lồi được nghiên cứu khá kĩ trong Giải tích lồi và có ứng dụng quan trọng trong các bài toán tối ưu Chương này chúng tôi trình bày những mở rộng của khái niệm hàm lồi và hàm lồi suy rộng cho lớp hàm ,E E1, 3-lồi và lớp hàm

E-lồi Khái niệm hàm ,E E1, 3-lồi lần đầu tiên được nêu ra trong luận văn này cho phép thống nhất một số lớp hàm E-lồi (E-lồi, E-lồi mạnh, semiE-lồi, tựa E-lồi, ) đã được nghiên cứu trong [2], [3], [4], [6], [7], [11], [12],

M  là tập ,E E1, 2-lồi nếu với mọi ,x yM và  0,1ta có

 xE x1( ) (1 ) yE y1( ) E M2 

        (2.1) Nếu (2.1) đúng với mọi  0;1 thì M được gọi là E E1, 2-lồi mạnh

Nếu  0, E2 I và E1 E, thì (2.1) trở thành E x( ) (1 ) ( )E y M Khi ấy M là tập E-lồi theo Định nghĩa 1.1 Chương 1

Youness trong [14] đã định nghĩa hàm E-lồi, là mở rộng của hàm lồi như sau

Nếu bất đẳng thức (2.2) là chặt (xảy ra dấu <) với mọi ,x yM , ( )E x  E y( )và  0;1 thì ta nói hàm f là E-lồi chặt trên tập E-lồi M

Nhằm thống nhất các khái niệm hàm E-lồi, ta đưa vào định nghĩa sau đây

1( ) 1( )

E x E y và  0;1 thì ta nói hàm f là ,E E1, 3-lồi chặt trên tập

,E E1, 2-lồi M

Hiển nhiên hàm ,E E1, 3-lồi chặt là hàm ,E E1, 3-lồi

Nếu tập M là E E1, 2-lồi mạnh và bất đẳng thức (2.3) thỏa mãn với mọi

 0;1

 thì ta nói hàm f là E E1, 3-lồi mạnh trên tập E E1, 2-lồi mạnh

M

Hiển nhiên hàm E E1, 3-lồi mạnh là hàm E E1, 3-lồi với mỗi  0;1

Để ngắn gọn, nếu f là hàm 0,E E1, 3-lồi thì ta nói nó là hàm E E1, 3-lồi, tức là

 (1 )  ( ) (1 ) ( )

f x  y f x   f y (2.4) Vậy hàm lồi là hàm ,E E1, 3-lồi với  0 và E1E2 E3 I là các ánh xạ đồng nhất

Khi  0, E1E3 E và E2 I thì tập ,E E1, 2-lồi M là tập E-lồi, tức là E x   1   E y M với mọi ,x yM và  0,1 và bất đẳng thức (2.3) trở thành bất đẳng thức (2.2)

Vậy hàm E-lồi (E-lồi chặt) là hàm ,E E1, 3-lồi (,E E1, 3-lồi chặt) với 0

  , E1 E3 E và E2 I

Trong [3], Xiusu Chen đã đưa ra khái niệm hàm semi E-lồi như sau

Định nghĩa 2.3 (Xiusu Chen, 2002, [3])

Hàm f :n  được gọi là semi E-lồi tương ứng với ánh xạ E trên tập Elồi M nếu M là tập E-lồi và với mọi ,x yM và  0,1 ta có

- ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )

f E x   E y f x   f y (2.5) Khi  0, E1 E và E2 E3 I thì tập ,E E1, 2-lồi M là tập E-lồi và với mọi ,x yM và  0,1 ta có (2.5) Như vậy, hàm ,E E1, 3-lồi là hàm semi E-lồi với  0, E1 E và E2 E3 I Khái niệm hàm

,E E1, 3-lồi là mở rộng của khái niệm hàm semi E-lồi

Lớp hàm E E1, 3-lồi mạnh là mở rộng của lớp hàm E-lồi mạnh và lớp hàm semi E-lồi mạnh Ta có

Định nghĩa 2.4 (Youness-Emam, 2005, [17])

Hàm f :n  được gọi là E-lồi mạnh ứng với ánh xạ E trên tập M nếu

M là tập E-lồi mạnh và với mọi ,x yM ,  0;1 và  0;1 ta có

f  xE x   yE y f E x   f E y (2.6)

Như vậy, hàm E E1, 3-lồi mạnh là E-lồi mạnh với E1E3 E và E2 I

Định nghĩa 2.5 (Youness-Emam, 2005, [17])

Hàm f :n  được gọi là semi E-lồi mạnh ứng với ánh xạ E trên tập

nếu M là tập E-lồi mạnh và với mọi  0;1 ; ,x yM và  0,1 ta có

f  xE x   yE y f x   f y (2.7) Hàm E E1, 3-lồi mạnh là semi E-lồi mạnh với E1 E và E2 E3 I

2.1.2 Các ví dụ Ví dụ 2.1

Hạn chế của hàm f trên nửa đường thẳng y0; x0 là một hàm lõm theo

 1; 1 (1 ) 3; 3  1; 1 (1 )  3; 3

không được thỏa mãn

Nhưng hàm f là E-lồi trên tập E-lồi M Thật vậy, ta luôn có

  

và E:  ,   2.

E x  x Hiển nhiên M  là tập E-lồi

Hàm f không phải là hàm lồi và không liên tục tại điểm x0, nhưng là hàm

E-lồi Thật vậy, với mọi  x y, M và x y  ,  M và với mọi  0,1 ta có

được thỏa mãn (thực chất với dấu bằng) Vậy f là hàm E-lồi

Các bất đẳng thức trong hai ví dụ trên đều xảy ra dấu bằng Các ví dụ dưới đây do chúng tôi xây dựng thể hiện rõ hơn ý nghĩa của khái niệm hàm

,E E1, 3-lồi so với khái niệm hàm E-lồi

Theo Ví dụ 1.1 ta có M là tập E E1, 2-lồi