Môđun cohen - macaulay dãy .pdf

Môđun cohen - macaulay dãy .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------- NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------- NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 ụ ụờ ó ột số ế tứ ị ý tết ộ ố ồ ề ị ọ ề ệ t số tốt tí t ủ ọ t ề ệ ề ệ t số tốt tr ủ ết ệ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ờ ó ứ trú ủ t q ứ tí t ủ ộ ị ở ộ t q ột ệ t số ó ứ q trọ tr số ừ ữ ủ tế ỷ trớ rr ỉ r ó tể ù ứ s ể tí ộ ủột ố ớ ột ệ t số từ ó r ố ệ ữ ộ số ộ ớ ộ ủ ố ồ ề s ố ệó ợ tế tụ ứ tr trì ủ srs t ế ữ ết q trở t tr số ét (R, m) ị tr ớ ự m M ột R ữ s ó ềdim M = d ý ệ x = x1, x2, . . . , xd m ột ệ t số ủ M ó t ó l(M/xM) e(x, M) tr ó l() ộ e(x, M) số ộ ủ M ố ớ ệ t số x r tì M ợ ọ ó tể ó ột trữ trú ợ ứ ỹ ó ề ứ ụ t tr số ột ở rộ tự ủ í t ợ ớ tệ ởt ữ s ó ờ P ứ ớ tr ị ọ M ế tồ t ột ọ D : D0 D1. . . Dt= M ủ M s l(D0) < ỗ tDi/Di1 0 < dim(D1/D0) < dim(D2/D1) < . . . < dim(Dt/Dt1) = d.ế M tì M ũ ớ ọ 0 = D0 D1= M ột ọ D ủ M ợ ọ ọ ềS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ủ M ế Di1 ớ t ủ Diớ dim Di1< dim Di, i =1, 2, . . . , t D0= H0m(M) ố ồ ề ị tứ ủM ố ớ m ế t = 1 tr ọ ề D ở tr ó M ế ỉ ế lR(D0) < D1/D0 từ ị ý ề số ộ tr trờ ợ M ế ỉ ế tồ t ệ t số x = x1, . . . , xdủ M s l(M/xM) =lR(D0) + e(x, D1) D ọ ề ủ M ớ dim Di= di x =x1, . . . , xd ệ t số ủ M s Di (xdi+1, . . . , xd)M = 0, i =0, 1, . . . , t 1 ệ t số ợ ọ ệ t số tốt ủ M ột ỏ tự t r ệ ệ ề s ò ú M ế ỉ ế ớ ọ ệ t số tốtx = x1, . . . , xdủ M l(M/xM) =ti=0e(x1, . . . , xdi, Di) M ế ỉ ế tồ t ột ệ tsố tốt x = x1, . . . , xdủ M s l(M/xM) =ti=0e(x1, . . . , xdi, Di)ụ í í ủ trì ữ ết qủ í ủ ờ ờ ề tr tí t ủ t q ệ t số tốt q ó tr ờ trọ ẹ ỏ tr ồ r trớ ết ú t trì ột số ế tứ sở ý tết ộ tí trệt t ủ ố ồề ị ú ữ ụ ết q ứ ợ trì tr ớ tệ ệ ọ t ề ệề ệ t số tốt tr ệ ó tròq trọ tr ứ s ế tú t trì sự tồ t ệ t số tốt ủ M ệ ID,M(x) =l(M/xM)ti=0e(x1, . . . , xdi, Mi) ột ồ ế ét ID,M(x(n)) ột t n1, . . . , ndtì ồ ếS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn q trọ t ủ r ú t ứ tr ị P trì tí t q ệt số tốt P tế t r tr ị ú ỏ tứ t ớ ỏtứ ú t ỉ r M ế ỉ ếtồ t ệ t số tốt x = x1, . . . , xdủ M s l(M/(x21, . . . , x2d)M) =ti=02die(x1, . . . , xdi, Di) ú t ỉ r ết q tốt t ó tể ồtờ ứ ụ ể tr ợ ớ ỉ ợ t ớ sự ớ t tì ủ ễ ự ờ ị t tỏ ò ết s s tớ t tỏ ò ết P ễố P ị P ố ễ ị t tì ú t ự ữ ế tứ sở ị ớ ọ ổ ũ ộ t tr q trì ố ù t tỏ ò ết tớ ữ ờ t tr ìt ự ộ ề t t t t t ể t t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ột số ế tứ ịr ú t ột số ị ĩ ết q tếtsẽ ợ sử ụ tr ý tết ộ ố ồ ề ị ý tết ộrớ ột số tí t ệ ộ t ó ị ĩ sị ĩ (R, m) ị tr M ột R ữ s dim M = d ột ệ tử x = x1, . . . , xrủ Rs lR(M/xM) < + ợ ọ ệ ộ ủ M ó í ệ ộe(x, M) ủ M ố ớ ệ ộ x ợ ị ĩ q t r sế r = 0 tì lR(M) < + t e(, M) = lR(M) ế r 1 tì t0 :Mx1= {m M | mx1= 0} ễ t x2, . . . , xr ệ ộ ủ 0 :Mx1 ụ tết q M/x1M 0 :Mx1 t óe(x, M) = e(x2, . . . , xr, M/x1M) e(x2, . . . , xr; 0 :Mx1).ộ e(x, M) ó tí t s ú ý 0 M M M 0 ớ R ữ s x ệ ộ ủ M óe(x, M) = e(x, M) + e(x, M).S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ớ ọ số n1, . . . , nr óe(xn11, . . . , xnrr; M) = n1. . . nre(x, M).ổ ề s ợ sử ụ ề ệ ứ ết qủ ủ tế tổ ề ổ ề (R, m) ị tró ề d M ữ s x1, . . . , xd ệ t số ủ Rq = (x1, . . . , xd) s ở ệ óe(q, M) = limmin(vi)l(M/(xv11, . . . , xvdd)Mv1. . . vd. ố ồ ề ị rớ ết ú t ệ í q ủ M (R, m) ị M ữ s x = x1, . . . , xr tử ủ Rị ĩ x ợ ọ í q ủ M ế (x1, . . . , xr)M =M xi ớ ủ ủ M/(x1, . . . , xi1)M, i =1, . . . , rị ý s ó ề tí trệt t ề ố ồ ề ị rt ữ í ệ ứ ết q ủ ị ý ị í rt (R, m) ị tr M R ữ s depth M = t, dim M = d ó Him(M) = 0 ớ i < t, i > d Htm(M) = 0 Hdm(M) = 0S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn r ụ trì ệ t số ột số tí t ủ ó rớ t t ó ị ĩ sị ĩ (R, m) ị tr M R ữ s dim M = d ó ệ ồ d tử x = x1, . . . , xd m ệ t số ế l(M/xM) < x = x1, . . . , xd m ột ệ t số q = (x1, . . . , xd) s ở ệ ó q ọ t số ủ M x ệ t số t ó ệ ề sệ ề ị ý (R, m) ị trM R ữ s x1, . . . , xr m ódim M/(x1, . . . , xi)M dim M i. r ỉ x1, . . . , xr ệ t số ủ Mổ ề M ữ s ó tử x m ột tử t số ủ M ế ỉ ế x / P ớ ọ P Ass(M) s dim R/P = dứ sử x tử t số ủ M tì ớ ọ n xnũ tử t số ủ M ó dim(M/xnM) = d 1dim(xnM) = d ì dim M = max{dim(M/xnM); dim(xnM)} ọ N ớ t ủ M ó ề ỏ d ó xnM N ớ ọ n ó Supp(M/N) = Var(Ann(M/N) Ann(M/N) =PSupp(M/N)P t t ó Ass(M/N) Supp(M/N) Min(Ass(M/N)) = Min(Supp(M/N)) rx /Ann(M/N) =PAss(M/N)P.S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ ề N ó tí tAss(M/N) = {P Ass(M)| dim R/P = d}. r x / P ớ ọ P Ass(M) t dim R/P = d tứ ứ sử x / P ớ ọ P Ass(M) t dim R/P = d dim M/xM = d r tồ t P Ass(M/xM) s dim R/P = d ì P = 0 :M +xM ớ tử ó ủ M x Pề t ớ tết ó dim M/xM < d t ệ ề t ó dim M/xM = d 1 x tử t số ủ Mổ ề N ột ủ M ó ế dim(M/N) < dtì tồ t x tử t số ủ M s x Ann(M/N) ữế dim(M/N) = d t < d tì tồ t t tử t số x1, . . . , xtủ Ms x1, . . . , xt Ann(M/N)ứ ừAnn(M/N) =PAss(M/N)P ổ ề tồ t tử x PAss(M/N)P x /QAss(M),dim R/Q=dQ sử ợPAss(M/N)P QAss(M),dim R/Q=dQ ị ý tr tốtồ t P Ass(M/N) Q Ass(M) ớ dim R/Q = d s P Q r dim R/P = d ề t ớ dim M/N < d s r ị tứ t ú sử dim(M/N) = d t < d t ứ tr tồ t x1 tử t số ủ M s x1 Ann(M/N) rx1M N ớ t = 1 ứ ở tr ớ t > 1 t M1= M/x1M N1= N/x1M ódim M1/N1= dim M/N = d t < d 1 = dim M1. r tồ t x2 tử t số ủ M1s x2 Ann(M1/N1) =Ann(M/N) ódim M/(x1, x2)M = dim M1/x2M1= dim M1 1 = d 2. ó x1, x2 ột ệ t số ủ M x1, x2 Ann(M/N) sr (x1, x2)M N ế d t < d 2 tì t M2= M/(x1, x2)M N2=S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn đối Chương 3 Môđun Cohen - Macaulay dãy Trong chương này chúng tôi trình bày cấu trúc của môđun Cohen- Macaulay dãy thông qua hệ tham số tốt và chỉ ra mọi môđun Cohen- Macaulay dãy luôn tồn tại hệ tham số tốt là dd -dãy Tiếp theo là trình bày kết quả chính của luận văn về đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay dãy thông qua hàm độ dài và hệ tham số tốt là dd -dãy 3.1 Môđun Cohen - Macaulay dãy. .. tính chất của môđun Cohen- Macaulay dãy Trước tiên ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.1 chiều M được gọi là môđun Cohen- Macaulay dãy nếu trong lọc D : D0 D1 Dt = M , Cohen- Macaulay với mọi mỗi môđun Di /Di1 là một môđun i = 1, 2, , t Định lý tiếp theo chỉ ra rằng mọi môđun Cohen- Macaulay dãy đều có một hệ tham số tốt là dd -dãy Định lý 3.1.2 Cho M là một môđun Cohen - Macaulay dãy có lọc chiều... 3.2.6 Môđun M được gọi là Cohen- Macaulay xấp xỉ nếu M M/an M là không là Cohen- Macaulay và tồn tại phần tử Cohen- Macaulay Mệnh đề 3.2.7 a m sao cho d 1 chiều mọi n > 0 Cho M không là Cohen- Macaulay chiều d Khi đó mệnh đề sau là tương đương: i) M là một môđun Cohen- Macaulay xấp xỉ ii) Tồn tại một phần tử a m sao cho 0 :M a = 0 :M a2 môđun Cohen- Macaulay chiều iii) M và với là một d 1 là một môđun Cohen- Macaulay. .. Suy ra x là dd -dãy theo Bổ đề 2.1.5 Phần cuối chúng tôi áp dụng các kết quả của Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.5 vào trường hợp đặc biệt là môđun Cohen- Macaulay xấp xỉ Một vành địa phương (R, m) được gọi là vành Cohen- Macaulay xấp xỉ nếu R không là vành Cohen- Macaulay và tồn tại phần tử Macaulay d1 chiều mọi n > 0 am sao cho R/an R là Cohen- Tương tự ta có thể định nghĩa môđun Cohen- Macaulay xấp xỉ... là môđun Cohen - Macaulay dãy và x = x1 , , xd M Khi đó x là một hệ tham số tốt của M nếu và chỉ nếu Cho là hệ tham số của M x là một dd -dãy trên M Chứng minh Theo Định lý 3.1.2, (i) và Hệ quả 3.1.5 ta có điều phải chứng minh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 3.2 Đặc trưng của môđun Cohen - Macaulay dãy Mệnh đề sau cho ta đặc trưng đầu tiên của môđun Cohen- Macaulay. .. = 1, , r Từ định nghĩa dd -dãy ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.3 Nếu x1 , , xr cũng là dd- dãy của M với là một dd- dãy của M thì mọi dãy xn1 , , xnr r 1 n1 , , nr > 0 10 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Chứng minh Vì x1 , , x r dãy của môđun i+1 M/(xi+1 , , xmr )M r m xm1 n1 , , xi i ni 1 là d -dãy của môđun là một dd- dãy của m với mọi m i+1 M/(xi+1... phải chứng minh Định nghĩa 1.3.5 sinh Khi đó M Cho (R, m) là vành địa phương, M là môđun Cohen - Macaulay nếu là R- môđun hữu hạn dim M = depth M Tiếp theo là một số tính chất tương đương của môđun Cohen- Macaulay Mệnh đề 1.3.6 [3, Định lý 4.4.6, Định lý 4.6.10] Các khẳng định sau là tương đương: i) M là môđun Cohen- Macaulay ii) Tồn tại iđêan tham số iii) q sao cho e(q, M ) = l(M/qM ) e(q, M ) = l(M/qM... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 dd- Dãy, lọc chiều và hệ tham số tốt Mục đích của chương này giới thiệu khái niệm dd -dãy, lọc thoả mãn điều kiện chiều, hệ tham số tốt và một số kết quả liên quan đến khái niệm này Trong luận văn, chúng tôi luôn giả thiết M là 2.1 (R, m) là vành địa phương, Noether, R- môđun hữu hạn sinh có chiều d Các tính chất cơ bản của dd - dãy Đầu tiên ta nhắc lại định nghĩa d -dãy, d -dãy. .. Cho một dãy các phần tử x nếu là d- dãy của mọi M i = 1, , r Ta gọi (x1 , , xi1 )M : xj = (x1 , , xi1 )M : xi xj j i Khi đó x1 , , xr và x = x1 , , xr m là một d -dãy mạnh của M với nếu (xn1 , , xnr ) là d- dãy với mọi số nguyên dương n1 , , nr r 1 Định nghĩa 2.1.2 M nếu Một dãy những phần tử x1 , , x r m là dd -dãy của n i+1 (x1 , , xi ) là một d -dãy mạnh của môđun M/(xi+1... (x1 , , xi )M + 0 :M xj j và theo Mệnh đề 3.2.1 (iv), ta suy ra Vậy theo Định lý 3.2.4, có một lọc F M M là môđun Cohen- Macaulay dãy là môđun Cohen- Macaulay dãy khi và chỉ khi thoả mãn điều kiện chiều và một hệ tham số tốt S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn x sao cho http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 IF,M (x(n)) = 0 với mọi n1 , , nd > 0 Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra không nhất thiết phải kiểm . http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -- -- - -- -  -- -- - -- - NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên. SƯ PHẠM -- -- - -- -  -- -- - -- - NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 ụ ụờ